Cơ sở để nghiên cứu sự vận động của vật chất trong thế giới vi mô

Phương trình Schrodinger: - Trong cơ học lượng tử, nơi tính đến những tính chất sóng của hạt vật chất, việc mô tả trạng thái của hạt và chuyển động của nó về nguyên tắc khác với cách thứ[r]

CƠ SỞ ĐỂ NGHIÊN CỨU SỰ VẬN ĐỘNG CỦA VẬT CHẤT

TRONG THẾ GIỚI VI MÔ

Th.s ĐỖ CUNG TRĂNG – Khoa: Tự nhiên.

Trong

0 ! do  & nghiên 2$ và   3* sinh viên 4 /  .$ khó 5 (

dàng  môn  này tôi xin trình bày % + 5-  2 0 :8 làm . 8 cho sinh viên   và nghiên 2$ môn  lý   (

I/ Toán tử: Toán  là phép :- @! tác 1A lên hàm  K( K là không gian

$- tính) :- thành % hàm khác   K Toán   F  kí &$ :G

Thí 1A> a/ Aˆ (x) (x)

b/ M-$ thì

dx

d

Aˆ 

dx

x d x

Aˆ( ) ( )

c/

z

A y

A x

A



















   Qua thí 1A trên ta  / toán  O* mang tính  / ' hàm, O* mang tính

 / véc 0(

- Toán  Laplax: 2 22 22 22

z y























- Toán  )*0 (Toán   E> ( )

2

ˆ

m

P

Trong "> ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 2 2 2

































































z

i y

i x

i P

P P

  





























2 2 2 2 2

2



z y x

z

j y

i x i i









ˆ ˆ ˆ





































S> , ,

x i

p x







  ˆ

y i

p y







  ˆ

z i

p z







  ˆ

- Toán  mômen % >

+ 6V  W*> Lˆ  rˆ pˆ

+ Hình  -$ toán  mômen %  lên các A>





























y

z z y i p z p

y





























z

x x z i p x p z

Lˆy ˆx ˆz 





























x

y y x i p y p

x

Lˆz ˆ ˆy ˆx 

II/ Cơ học lượng tử: Môn 0  nghiên 2$ Y  % 3*   / trong  -

S vi mô  là môn 0    (

1/ Tính chất hạt của vật chất trong thế giới vi mô:

a/ Tính chất hạt của ánh sáng:

- Ta Z :- ánh sáng O* có tính  / sóng O* có tính  / '( Tính  / sóng

 7 & J &  giao thoa,  <$ =' v.v…, còn tính  / '  7 & trong các &  quang &! compton v.v…

- Q^ tính sóng '  Einstein nêu lên trong  $-   ánh sáng Theo

 $- này ánh sáng  /$ ' :J các ' photon

X` ' có  > E  hf (1)

và có %  :G>  (2)

h

p

3* ánh sáng liên &  4  b )

, (f 

S nhau

b/ Giả thuyết De Broglie:

- Chính  F 5- $ trên Z thúc e De Broglie tìm Y   là ánh sáng có tính

 / ^ tính sóng '! trong khi " các  /  h có tính  / '(

Do ánh sáng và các  / .$ là các 1'   có  7  $7 hóa cho nhau, nên De Broglie cho G các  / ; có tính  / ^ tính và các '

 > electron và sau " +  vi ' khác ; có tính  / sóng '(

- M% dung 8  $- De Broglie: X% vi ' Y do có   xác V ! %

 xác V 0 2 S % sóng  i 0 j xác V >

+

 2> E  hf  (3) + 6%  3* vi ' liên & S :S sóng theo &  2>P



, (4)



h

p  P k  n h n





 



Trong "> h 2  6 , 6256 1034(Js) :  là G + m

  1 , 0545 1034(Js)

2/ Hàm sóng Hệ thức bất định Heisenberg:

a/ Hàm sóng:

- 67 mô 8 ' thái 3* vi '! 0    dùng khái & hàm sóng

- Theo 8  $- De Broglie,  $7 % 3* ' Y do B ' không  V$ tác 1A

3* ' YE  mô 8 :J hàm sóng 0 Y   sóng  i 0 j>

) (

0 )

,

i

e e

t















Hay (r,t)(r).f (t)

Trong "> ,

r p i e r









0 )

e t

f ( )  

và biên % 0 3* hàm sóng  xác V :J>

2  2  * ( * là liên   2 3*  )

Hàm sóng (5)  là sóng  i De Broglie.

- 6+ S '  $7 % trong F  - B '  $7 % không Y do) thì

' thái 3* ' ;  mô 8 :J hàm sóng (r,t)  nó  A  $%

 2 ' vào r ,  t

b/ Điều kiện của hàm sóng: Hàm (r,t) 8  s* mãn .$ 5&>

- Liên A B6# khi ' hàm / 1 theo không gian ;  8 liên AE(

- c $e hóa:    (6)

V

dV 1 2

c/ Hệ thức bất định Heisenberg:

- t8  $- De Broglie  Y u ' tính  / sóng 3* các ' có 4  chung sau: Các ' electron, proton, 0! nguyên  ! phân  và :/ 5v 

 $7 % nào .$ có tính  / sóng Tuy nhiên các  có kích  S S!

 $7 % S  + thông  F! thì theo công  2 (4) có :S sóng /  s

so S kích  S 3* chúng

- Các tính  / sóng 3* :/ 5v +   $7 % nào  4  :J hàm sóng  6'  2 dùng 7 xác V 5 8  tìm  / ' J 7

 xác V nào " trong không gian và   là  % xác $/ ( xác $/ tìm

 / ' trong % 0 V  7 tích)

- X4 khác: hàm sóng   0 trong 8 % 5 8 không gian nào "! vì  - '

có  7 tìm  / J :/ 5v 7 nào 3* không gian này

Tuy nhiên ^ tính sóng ' 3* vi ' không cho phép xác V u  F V trí và % (  4 toán  5- $ này  :7$ 1< :G &  2 :/

V Heisenberg:  x  px  h (7) Trong ">  x là % :/ V 3* V trí

 pxlà % :/ V 3* % (

)&  2 này  2 s> V trí và %  3* ' không  7 xác V u

 F( V trí 3* ' càng xác V thì %  3* ' càng :/ V và 

'(

3/ Phương trình Schrodinger:

- Trong

mô 8 ' thái 3* ' và  $7 % 3* nó  nguyên j khác S cách  2

 áp 1A trong 0  @ 7(

- Trong 0  @ 7> ' thái 3*  / 7  xác V :J * % và 

+ J  F 7 nào "( Trong 0    ! ' thái 3* '  xác V :G =j $/ tìm  / ' J  F 7  / V trong % vùng không gian xác

V (còn hàm mô 8 ' thái 3* vi 'E(

- 67 8 các bài toán liên quan -  $7 % 3* vi ' Schrodinger * ra %  0 trình có vai trò 0 Y    0 trình V $ 2 M$0 áp 1A cho  W mô

Xét % vi ' có   E và %  xác V B' thái 1OE P

và  $7 % trong F  - U (r ) hàm sóng có 1'>

(8)

Et i e r t

r  



( , ) ( )

Trong "> E là   3* vi '

(r) là

Hàm sóng(r,t)  s* mãn  0 trình: (9)

) , ( ˆ ) , (

t r H t

t r

i    







Trong "> ( )  là toán  )*0

2

m

H    

BQ$ ý G> toán  này không tác 1A lên hàm 3*  F gian)

2 22 22 22 là toán  Laplax

z y























Phương trình (9) gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian.

Thay (8) vào (9) ta > Hˆ(r) E (r)

2

2



















m







(10)

  (r) 2m2 EU(r) (r)0





Phương trình (10) gọi là phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian.

- M-$ :- A  7 1' U (r ), 8  0 trình (10) ta tìm  và E,  W* là  xác V  ' thái và   3* vi '(

M-$ '  $7 % Y do (U (r )= 0) m 0 trình Schrodinger có 1'>  (r) 2mE2 n n(r)  0

n





2 2

r E r

r







Hay Hˆ n(r)  E n  n(r) (11)

m 0 trình (11)  là  0 trình V riêng 3* toán  hay  0 trình Hˆ

Schdinger không  A  $% vào  F gian

Trong "> n (r) là hàm riêng hay véc 0 riêng, En là V riêng 3* toán  .Hˆ

4/ Thí dụ áp dụng phương trình Schrodinger:

Xét '  $7 % trên A Ox trong F  -

có 1'>

0 : khi 0 < x < a U(x) =

: khi x  0 và x  a

2 là -  - có thành vô '! : % a

QF 8

- m 0 trình V riêng 3* '  $7 % trong -  - có 1'>

Hˆ n(r ) E n  n(r )

Vì '  $7 % theo  0 ox, nên ta có: Hˆ n(x) E n  n(x)

 ( ) ( )

2 2

x E x dx

d

m  n  n  n

 

Hay //(x)  2mE2 n n(x)  0 (*) S>



2 2



n

mE

K 

6 là  0 trình vi phân $- tính ' 2 có các & + là G + và không

có -  8(

- m 0 trình 4 > r2  K2  0

M & 3*  0 trình 4 > r  iK

M & @ quát 3*  0 trình (*) là: iKx iKx

n(x) C1e C2e



  n(x) C1(cosKxisinKx) C2(cosKxisinKx)

  n(x)  AsinKxBcosKx

S> A = (C2 – C1)i

B = (C2 + C1) là các G +(

Vì '  h  $7 % trong -  - nên 2 J ngoài -  - :G 0,

)

( x

n



 W* là  n (x) J ngoài -  - :G 0

+ Áp 1A .$ 5& liên A 3* hàm sóng B6C biên):

 '> x = 0:  n( 0 ) AsinK 0 BcosK 0  0  B = 0

>  n(x)  AsinKx

 ' x = a:  n(a)  AsinKa  0

( n = 1,2,3 )

a

n

K n 



  & riêng 3* toán  là: x

a

n A x

n



 ( )  sin

+ Áp 1A .$ 5&  $e hóa:  

a

0

2

1 )

(



 a xdx 

a

n A

0

2 2

1



a

A 2

 hàm riêng Z  $e hóa là: x

a

n a

x

n



 ( )  2sin

M   ta có  7 :7$ 1< hàm sóng 3* '  $7 % trong -  - là:

x

a

n a e

c t

i

n n



sin

2 )

, (

1















- O :7$  2> 2 2 2 và



n

mE

K 

a

n

K n 

  222 2 2



n

mE a

2

2 2 2

2ma

n

E n       3* ' trong -  -  A  $% vào + nguyên n,  W* là

  3* ' :- thiên % cách gián '( Ta nói G   :V

  hóa

II/ Cơ học lượng tử: Môn 0  nghiên 2$ Y  % 3*   /  -

S vi mô  mơn 0    (

1/ Tính chất hạt vật chất giới vi mô:

a/ Tính chất. ..% + 5-  2 0 :8 làm . 8 cho sinh vi? ?n   nghiên 2$ môn  lý   (

I/ Toán tử: Toán  phép :- @! tác 1A lên hàm ...

- 67 mô 8 '' thái 3* vi ''! 0    dùng khái & hàm sóng

- Theo 8  $- De Broglie,  $7 % 3* '' Y B '' không  V$ tác 1A

3* '' YE  mô 8