Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong chương trình Đại số lớp 8

các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều ứng dụng đối với các dạng toán khác có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức, giải bất ph[r]

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và đời sống thì toán học luôn là một ngành giữ vai trò rất quan trọng nó đòi hỏi sự suy luận và trí thông minh cao, chứa đựng rất nhiều những thử thách tác động đến bộ não của chúng ta Nói đến Toán học là nói đến sự rõ ràng và logic, kiến thức toán học bao gồm cả một quá trình tri thức rất phong phú: tư duy trừu tượng, phân tích tổng hợp, suy lý, quy nạp, khái quát hoá, … Giải Toán là một bộ phận không thể thiếu được của quá trình tri thức vì nó đảm bảo cho học sinh hiểu biết sâu sắc lý thuyết, ứng dụng lý thuyết vào thực hành; thực tiễn cuộc sống; tạo điều kiện tốt để nghiên cứu, đi sâu vào các môn học và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Toán học còn là môn học hình thành nhân cách cho học sinh: rèn luyện khả năng tư duy trừu tượng, óc phân tích tổng hợp, tính hệ thống, khái quát hoá và góp phần hình thành các đức tính cần cù, nhẫn nại, chính xác, biết suy nghĩ, khai thác các vấn đề trong cuộc sống

Trong thực tế dạy và học, bên cạnh một số ít học sinh khá giỏi thì hiện nay thực trạng học sinh học yếu môn Toán đã và đang là vấn đề trăn trở của nhiều giáo viên đứng lớp và là nỗi lo chung của toàn ngành, toàn xã hội Là người giáo viên đã và đang nghiên cứu Toán học trong chương trình Toán bậc Trung học cơ

sở, chúng tôi nhận thấy một số bài toán chưa hoặc không có giải thuật đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ thật tốt mới tìm ra được lời giải Chính vì thế đòi hỏi mỗi giáo viên phải có năng lực, kinh nghiệm và những phương pháp giải đúng đắn để truyền thụ và hướng dẫn cho học sinh

Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng, nó góp phần xây dựng một nền tảng vững chắc cho các em học sinh trong suốt quá trình học tập ở bậc phổ thông Đặc biệt hơn,

các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều ứng dụng đối với các dạng toán khác có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức, giải bất phương trình, …

Xuất phát từ những vấn đề đã nêu trên, việc nghiên cứu những phương pháp chọn lọc về việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh tiếp thu bài dễ hơn, củng cố các kiến thức đã học, rèn kỹ năng cho các em trong quá trình giải Toán nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ngày càng được tốt hơn

Vì những lý do trên nhóm chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Một số

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong chương trình Đại số 8” để nghiên cứu trong khóa luận này.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách

có hệ thống nhằm làm nổi bật các ưu, khuyết điểm của từng phương pháp Tìm hiểu, đi sâu vào một số ứng dụng của nó qua một số dạng toán cụ thể

Qua đó, giúp học sinh có hệ thống về việc phân tích đa thức thành nhân tử

và lựa chọn đúng đắn các phương pháp phân tích vào việc giải toán sau này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập vận dụng thích hợp cho từng dạng phương pháp

- Liên hệ được ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng toán

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm và đúc kết kinh nghiệm

4 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 8 với các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó; một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

5 Phạm vi nghiên cứu

Việc phân tích đa thức thành nhân tử trong trường Trung học cơ sở

6 Giả thuyết khoa học

Nếu trong thực nghiệm chúng ta hướng dẫn tốt những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh ở từng đối tượng thì sẽ giúp các em

hệ thống được những phương pháp giải các dạng toán tương tự, tự mình định hình được cách giải và đưa ra được nhiều cách giải cho một bài toán Từ đó nâng cao được năng lực tự học của học sinh, giúp các em biết vận dụng từng phương pháp cụ thể vào những dạng toán có liên quan, bởi vì các em nhớ được những phương pháp giải và có một kiến thức khá ổn định Bên cạnh đó, các em hình thành được cho mình các kĩ năng giải toán, từ đó sẽ dần dần nâng cao được chất lượng học toán của học sinh

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc SGK, SGV, SBT lớp 8 và các tài liệu

liên quan khác phục vụ cho đề tài

- Phương pháp quan sát điều tra: Qua các tiết dự giờ giáo viên dạy, trao đổi

với đồng nghiệp dạy Toán 8, tìm hiểu tình hình học tập của học sinh

- Phương pháp trao đổi với giảng viên hướng dẫn và các thành viên trong

nhóm.

- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Thông qua các buổi báo cáo chuyên đề

các tiết dạy tự chọn trên lớp

8 Bố cục

Đề tài gồm: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

PHẦN 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 ĐA THỨC

1.1.1 Đơn thức

Cho P là một trường (thông thường ta xét các trường số , , ¤ ¡ £ )

Biểu thức dạng: 1 2 (1) được gọi là một đơn thức, với 0 ≠ a 

1k 2k k n

n

P được gọi là hệ số, x 1, x 2 … , x n được gọi là các ẩn số (hay biến số) lấy các giá trị

trên P, và k 1 , k 2 , … , k n  ¥

Nếu a  0, số k = k 1 + k 2 + … + k n đượcgọi là bậc của đơn thức (1)

Hai đơn thức: 1 2 và được gọi là hai đơn thức

1k 2k k n

n

1k 2k k n

n

đồng dạng (tức chúng chỉ khác nhau ở hệ số, còn các ẩn số như nhau với cùng số

mũ tương ứng)

1.1.2 Đa thức nhiều biến

Một tổng hữu hạn các đơn thức dạng: 1 2 , ki  được gọi

1k 2k k n

n

là một đa thức nhiều ẩn với các ẩn (hay các biến số) x 1 , x 2 , …, x n Ta có thể kí hiệu các đa thức nhiều ẩn bởi:

f(x1, x2,… xn) = 1k i1 2k i2 k in

å Mỗi đơn thức được gọi là một số hạng (hay hạng tử) của đa thức

Nếu tất cả các hệ số ai của đa thức đều bằng 0 thì đa thức được gọi là đa thức không

Nếu trong một tổng các đơn thức có những đơn thức đồng dạng thì ta có thể rút gọn chúng Sau khi rút gọn, ta có thể viết đa thức dưới dạng một tổng của các đơn thức đôi một không đồng dạng Ta gọi đó là dạng chính tắc của đa thức

Bậc của đa thức nhiều ẩn (đã viết dưới dạng chính tắc) là bậc cao nhất trong các bậc của các đơn thức Đôi khi người ta còn gọi đó là bậc đối với tập thể các ẩn, để phân biệt với bậc của mỗi ẩn có mặt trong đa thức (là bậc cao nhất của

ẩn đó trong đa thức)

Nếu tất cả các số hạng của đa thức đều có bậc bằng nhau thì ta gọi đa thức

đó là đa thức đẳng cấp (hay đa thức thuần nhất)

1.1.3 Đa thức một biến

Một hàm số f(x) được gọi là một đa thức một biến nếu nó có thể biểu diễn

dưới dạng tổng hữu hạn của những đơn thức có cùng một biến, nghĩa là:

f(x)= k n

n k

x

a 1  2  

2 1

Ở đây a 1, a 2 , …, a n là những số bất kỳ, còn k 1 , k 2, , k n là những số nguyên không âm và không bằng nhau

Ta có thể cho rằng tất cả những đơn thức trong cách viết trên là không đồng bậc vì nếu những đơn thức đồng bậc thì ta nhóm chúng thành một đơn

thức Người ta cũng viết f(x) theo chiều tăng (hoặc giảm) những bậc của các đơn

thức Thường thường người ta viết đa thức dưới dạng:

Với a 0 ≠ 0, a 1 , a 2 , , a k là những số bất kỳ và không đồng thời bằng 0

Các số a 0 , a 1 , a 2 , , a k của đa thức f(x) được gọi là hệ số của đa thức Số a0 được gọi là hệ số bậc cao nhất, còn số a k gọi là hệ số tự do

Nếu đa thức f(x) được viết dưới dạng (*) ta nói rằng nó được biểu diễn

dưới dạng chuẩn tắc và dạng chuẩn tắc này không là duy nhất

Quy ước: Một số cũng là một đa thức và gọi là đa thức bậc 0

1.1.4 Hằng đẳng thức

Các khái niệm bộ giá trị thừa nhận được, giá trị của đa thức, miền xác định của một đa thức nhiều ẩn được định nghĩa bằng cách xem chúng như những

biểu thức toán học Hai đa thức của cùng một số ẩn x 1, x 2 , … , x n được gọi là hằng đẳng (hoặc có khi gọi là đồng nhất) nếu chúng có giá trị bằng nhau tại mọi

bộ giá trị thừa nhận được lấy trong miền xác định của các đối số, chúng lập thành một hằng đẳng thức (hay đồng nhất thức)

Sau đây là một số hằng đẳng thức đáng nhớ:

1 (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

2 (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2

3 x 2 – y 2 = (x + y)(x – y)

4 (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3

5 (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3

6 x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 )

7 x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2 )

8

xy

9 (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab

10 x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – xz)

11 x n – y n = (x – y) (x n-1 + x n-2 y + … + xy n-2 + y n-1 )

12 x 2k – y 2k = (x – y) (x 2k-1 – x 2k-2 y + x 2k-3 y 2 – … – y 2k-1 ).

(x 1 + x 2 + … + x n ) 2 = x 1 + x 2 + … +x n + 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + … + x n-1 x n

13 Nhị thức Newton

0 k

k n k n n

n n 1

n 1 n n 0 n n

y x C y

C

y x C x C y









 trong đó

1.2 !( )!

k

n

C



Đặc biệt 0 n 1

C C 

1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử

1.2.1 Đa thức bất khả quy

* Định nghĩa: Giả sử f(x) Î P[x] là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói f(x)

là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai

đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của f(x) Trái lại thì đa thức được gọi là khả

quy hoặc phân tích được trên P

Chú ý: Tính chất bất khả quy phụ thuộc vào trường cơ sở Chẳng hạn x2 – 2

bất khả quy trên ¤ nhưng khả quy trên : ¡ x2 - 2= (x + 2)(x- 2)

* Tính chất

a) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số

b) Đa thức f(x) là bất khả quy khi và chỉ khi mọi ước của nó đều là đa thức bậc 0 hoặc là đa thức có dạng a.f(x) với a ≠ 0, a  P.

c) Đa thức f(x) là bất khả quy trên P khi và chỉ khi với mọi đa thức p(x)

P[x] thì hoặc f x p x( ) ( ) , hoặc (f(x), p(x)) = 1.

1.2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định nghĩa 1

+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử

+ Với bất kì đa thức (khác 0) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác Thật vậy:

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 0 = c( x a n n + x n – 1 + … + ) (với c 0, c 1)

c

1

n

a c

b) Định nghĩa 2

Giả sử f(x) P[x] là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói f(x) là bất khả quy Î

trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của f(x) Trường hợp trái lại thì f(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P

1.2.3 Một số định lí cơ bản

 Định lí 1: Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành các

đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và nhân tử bậc không

 Định lí 2: (Tiêu chuẩn bất khả quy trên trường số phức và số thực)

a) Trên trường số phức , một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó £

là bậc nhất Vậy mọi đa thức trên có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành £ tích các đa thức bậc nhất

b) Trên trường số thực ¡ , một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó

là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức   0 Vậy mọi đa thức trên ¡ có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất hoặc bậc 2 với   0  Định lí 3: (Tiêu chuẩn Eisentein về các đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ)

Giả sử f(x) = a 0 + a 1 x + … + a n x n , n > 1, a n  0, là một đa thức với hệ số

nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a n nhưng p là ước của tất cả các hệ số còn lại và p 2 không phải là ước của các số

hạng tự do a 0 Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên ¤

Như vậy trên trường số hữu tỉ ¤ , có những đa thức bất khả quy bậc bất

kì Chẳng hạn, đa thức f(x) = x 20 + 6x 10 – 18x 4 + 42x 2 +12 là bất khả quy trên ¤ ,

bằng cách dùng tiêu chuẩn Eisentein với số nguyên tố p = 3.

 Chú ý:

Tiêu chuẩn Eisentein chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện ắt có

Chẳng hạn x4 - 2 x2 + 9 là bất khả quy trên ¤ nhưng không thỏa mãn tiêu

chuẩn Eisentein

1.3 Mục đích, yêu cầu của việc phân tích đa thức thành nhân tử

- Giúp HS có hệ thống cách giải bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử, rèn luyện để quan sát, nhìn nhận cách giải một bài toán tốt hơn, phân dạng được bài tập một cách hợp lý

- Như đã nêu ở trên, việc phân tích đa thức thành nhân tử đóng góp một vai trò rất lớn trong quá trình thực hành giải một số dạng toán Nó đòi hỏi người phân tích phải học thuộc những hằng đẳng thức, có óc quan sát, nhận xét vấn đề

để đưa ra một phương pháp giải đúng đắn Sau khi nắm được các phương pháp phân tích trên thì người học cần biết cách phân biệt cách giải cho từng dạng toán

cơ bản đến nâng cao

1.4 Thực trạng dạy và học vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử 1.4.1 Phương pháp dạy học của giáo viên và phương pháp học tập của học sinh

* Những khó khăn chung

Hiện nay trong chương trình lớp 8 vẫn còn tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay

từ đầu chương trình, do lười nhác trong học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn và ý thức học tập chưa cao

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập khó, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất cho bài toán đã đặt ra Ngoài ra một trong những yếu tố quan trọng là các em thường hay quên những hằng đẳng thức đáng nhớ, hay các em nhớ lầm giữa hằng đẳng thức này và hằng đẳng thức khác

Đối với giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ Sự lôgic giữa các phương pháp chưa cao, chưa vạch rõ được cho học sinh nên ưu tiên phương pháp nào cho những dạng toán phù hợp

Phụ huynh HS chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con

em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà

* Thực trạng vấn đề:

Qua quá trình tìm hiểu hiểu khảo sát chất lượng đầu năm học và trao đổi trực tiếp cùng học sinh và giáo viên bộ môn chúng tôi thấy có một số vấn đề sau:

- Việc nắm bắt các phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử,… các em hiểu chưa thật sự rõ trọng tâm

- Việc phân biệt các phương pháp để áp dụng còn lún túng chưa phân được dạng nào nên áp dụng phương pháp nào cho từng loại toán nào

- Các phương pháp khác như: phương pháp chia liên tiếp, phương pháp dùng nghiệm phức, phương pháp xét giá trị riêng, phương pháp dùng hệ số bất định được đặt ra hầu hết các em chưa biết đến trong quá trình học tập

- Các em chưa hiểu rõ về những ứng dụng của các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1.4.2 Những khó khăn trong thực tiễn giảng dạy

Qua những năm trực tiếp giảng dạy chúng tôi nhận thấy đa số HS chưa

có ý thức tự học, tự rèn Học sinh vùng nông thôn sâu còn nghèo, thiếu thốn nhiều về dụng cụ học tập và hạn chế về thời gian do phải phụ giúp gia đình Chính vì lẽ đó mà học sinh ít tự rèn luyện kĩ năng, chưa cọ xát nhiều với việc giải toán ảnh hưởng không ít đến việc tổ chức giảng dạy của giáo viên trên lớp như chậm về tiến trình, mất nhiều thời gian để rèn luyện kĩ năng cho học sinh… dẫn đến việc phân phối thời gian không hợp lí cho tiết học Một số em học sinh