Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất... Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F..[r]
Trang 1UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: ( 2,5 điểm)
a Cho:
2 2
A
- Thực hiện rút gọn A
- Tìm x nguyên để A nguyên
b Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: ( 1,5 điểm)
a Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc với mọi số a, b, c
b Chứng minh a b c với mọi số dương a, b, c
c
ab b
ac a
bc
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
6
42 12 4
20 8 8
72 16 2
6
2
x
x x
x
x x x
x x
x
x x
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD
a Chứng minh DE CF; EF = CM
b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác Đường thẳng qua trung
điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F
Chứng minh BF = CE
Trang 2UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 2,5 điểm)
5
4 2 ) 2 )(
5 (
2 2
x
x x
x
x x x
A
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0,25
) 2 )(
5 (
15 8 )
2 )(
5 (
2 )(
4 2 ( 2
x x
x x x
x
x x x
x x
2
3 2
)(
5 (
) 3 )(
5 (
x
x x
x
x x
1
x A
A nguyên khi và chỉ khi 1 nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
2
x
x=3, hoặc x=1
0,25
Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 0,25
= 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] 0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
0,25
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
= 0 a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25
Bài 2: ( 1,5 điểm)
(a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2 0 …) nên có đpcm
0,25 Câu b
abc
ab abc
ac abc
bc)2 ( )2 ( )2
Nhân hai vế với số dương abc được:
(bc) 2 (ac) 2 (ab) 2 a2bcb2acc2ab
0,25
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (bc) 2 (ac) 2 (ab) 2
đpcm
ab c ac b
bc
a2 2 2
0,25
Trang 3Bài 3: (1,5 điểm)
6
6 ) 6 ( 4
4 ) 4 ( 8
8 ) 8 ( 2
2 )
2
x
x x
x x
x x
x
0,25
6
6 6 4
4 4 8
8 8 2
2
2
x
x x
x x
x x
6
6 4
4 8
8
2
2
3 4
2 8
4 2
1
x
) 6 )(
4 (
24 5 )
8 )(
2
(
16
5
x x
x x
x
(5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
(5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,25
5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
8x2 + 40x = 0
0,25
8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,25
Bài 4: (3,0 điểm)
Câu a: 1,25 điểm
ADE = DCF
EDC + DCF = EDC + ADE
0,25
EDC + ADE = 900nên DE CF 0,25
MC = MA (BD là trung trực của AC)
0,25
MA = FE nên EF = CM
0,25
Câu b: 1,0 điểm
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui 0,25
Câu c: 0,75 điểm
C D
M
E F
Trang 4Bài 5: (1,5 điểm)
Trong BMF có AD//MF nên:
BD
BM BA
Trong CAD có AD//ME nên:
CD
CM CA
Chia vế theo vế được:
CM
CD BD
BM CE
CA BA
BF
.
(BM=CM)
BD
CD CE
CA BA
AD là phân giác nên:
AB
AC BD
Thay vào trên được:
AB
AC CE
CA BA
BF
BF CE
CE
BF
0,25
A
E F