Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị của biểu thức đại số gồm các bước sau - Thực hiện thu gọn các biểu thức đã cho phân tích thành nhân tử hoặc đưa về dạng hằng đẳn[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ 1 NHÂN CHIA ĐA THỨC
1 Kiến thức cơ bản
Ta có: (A B C) AB AC
(AB C)( D) AC AD BC BD
(A B C) :D A D: B D: C D:
(
/ ! R 0 thì A chia cho B
/ ! R 0 thì A không chia cho B
2 Nâng cao
a Định lý Bê – zu
( )
b Hệ quả của định lý Bê – zu
thì chia cho
*
và ( )
chia cho
( )
và chia cho ( )
3 Các ví dụ minh họa
VD
(a) 2 (xy x y2 y 1) , 1 2 2 ,
2
b x y xy y (c) (x y x)( 2 xyy2), 2 1
2
d x xy x y
(e) (12x y4 36x y2 23x y2 ) : 3xy, (f) 3 2
(2x x 3x 4) : (x 1)
Lời giải.
2 2 2
c x y x xy y x x x xy x y y x y xy y y
x x y xy x y xy y
Trang 22 2 2
1
2 3
3 6 2
3 2
x y xy x
(f) (2x3 x2 3x4) : (x 1)
2x x 3x 4 x 1
-
2x32x2 2
2x x 2
x2 3x 4
-
x2 x
2x 4
2x 1
0
+ (2x3 x2 3x4) : (x 1) 2x2 x 2
3 Bài tập tự luyện
Bài 1 Thực hiện phép tính
( ) 3 ( 2 3 ), ( ) (3 ),
Bài 2
2 ( ) (2 1)(2 1), ( )(5 2 )( 1),
1
( ) ( 1)(2 3) ( ) ( 1)( 1)( 2),
2
( ) (e x 2x x 2) : (x 1) ( )(f y 8) : (y2)
Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức sau
( ) (a x x 2)(x2)(x2) x 2
( ) (b x xy)y x( y) x 1, 5 y 10
Trang 3Hướng dẫn: Rút gọn các biểu thức rồi thay các giá trị x y, vào.
Bài 4 Tìm , x biết:
, 2
( ) (a x x 2)x 2 0
, ( ) 2 (b x x 5)x(3 2 ) x 26
( )(c x3)(2x 1) (x 3)(x 2) 0
Hướng dẫn: Nhân các đa thức với nhau rồi rút gọn các số hạng đồng dạng
Bài 5 Xác định để đa thức a 3 2 chia hết cho đa thức
Hướng dẫn: Thực hiện chia đa thức 3 2 cho được dư là ,
cho R 0 suy ra giá trị cần tìm hoặc sử dụng định lý Bê – zu, tính a f(1)và cho
suy ra giá trị của
(1) 0
Trang 4CHỦ ĐỀ 2 HẰNG ĐẲNG THỨC, PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I HẰNG ĐẲNG THỨC (5 tiết)
A Kiến thức cơ bản
1) AB A 2AB B
2) A B A 2AB B
3
3
6)
7)
(AB) (B A)
B Các ví dụ minh họa
VD1: Tính
( ) (2 1) , ( ) ( 3 ) , ( ) 16,
( ) ( 3) , ( )(5 2 ) , ( ) 8
Lời giải.
2
( ) (2 1) (2 ) 2.2 1 1
4 4 1
6 9
2 2 2
( ) c x 16x 4 (x4)(x 4)
9 27 27
( ) (5 2 ) 5 3.5 2 3.5.(2 ) (2 )
125 150 60 8
2
( 2)( 4)
VD2 Đưa các biểu thức sau về dạng các hằng đẳng thức
( ) a x 2x 1, ( ) 16b 8yy , ( ) (2c x 3)(2x3),
( ) 8d x 12x 6x 1, ( ) (2e x3 )(4y x 6xy 9 ).y
Lời giải.
Trang 52 2 2 2
( ) a x 2x 1 x 2 .1 1x (x 1)
( ) 16b 8yy 4 2.4.y y (4y)
( ) (2c x 3)(2x 3) (2 )x 3 4x 9
3
( ) 8 12 6 1 (2 ) 3.(2 ) 1 3.2 1 1
(2 1)
x
(2 ) (3 ) 8 27
VD3 Tính giá trị của các biểu thức sau
2
( ) a x 10x 25 x 15
$
( ) 1 3b x 3x x x 9,
$
( ) 8c x 12x y6xy y x 6,y 2
Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị của biểu thức đại số
gồm các bước sau
- Thực hiện thu gọn các biểu thức đã cho (phân tích thành nhân tử hoặc đưa
về dạng hằng đẳng thức)
- Thay biến bởi giá trị đã cho, lưu ý với các giá trị của biến đã cho là số âm,
ta cần đặt trong dấu ngoặc
- Thực hiện các phép tính (lũy thừa, nhân, chia, cộng và trừ)
Lời giải.
(a) Ta có x2 10x25x2 2 .5x 52 (x 5)2
Thay x 15 vào 2
(x5)
Ta (15 5) 2 102 100
$ là 2
(b) Ta có 1 3 x 3x2 x3 13 3.1 2x3.1.x2 x3 (1x)3
Thay x 9 vào 3
(1x)
Ta (1 9) 3 103 1000
$ là
1 3 x 3x x x 9 1000
(c) Ta có
3
(2 )
x y
Thay x 6,y 2 vào 3
(2x 3 )y
Ta (2.6 2) 3 103 1000
8x 12x y 6xy y x 6,y 2 1000
C Bài tập tự luyện
Trang 6Bài 6 Tính nhanh
( ) 13 26.3 3 , ( ) 25 5 50.5,
( ) 75.65, ( ) 96.104
Bài 7 Tính
( ) ( 3 ) , ( ) ( ) , ( ) (3 ) ,
( ) 27 1, ( ) 125 8, ( ) (3 )
Bài 8 Đưa các biểu thức sau về dạng các hằng đẳng thức
( ) 4 4, ( ) 10 25, ( ) ( 5 )( 5 ),
( ) 3 3 1, ( ) ( 1)( 1), ( ) (3 2 )(9 6 4 )
Bài 9 Tìm , x biết:
2
2
( ) 1 2 ,
a x
II PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (4 tiết)
A Kiến thức cơ bản
* Phân tích
tích
f x( ) f x f x1( ) ( ) ( )2 f x n
* Cách giải :
1 >? nhân T chung,
2 Dùng
3 Nhóm $1 T
4 V3 M7 W! 751 pháp
Ngoài 3 751 pháp trên ta có O (T 4Y1 các 751 pháp sau
1 Tách $1 T
2 Thêm cùng $1 T
3 @
4 V51 pháp #1 Z < (3( hay còn gọi là phương pháp hệ số bất định).
B Các ví dụ minh họa
VD Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1 ( ) 6 3 , ( ) 2 ,
2 2
( ) ( ) ( ), ( ) 3 ( 1) 9(1 ),
3
( ) 64, ( ) 64 1
Lời giải.
Trang 7( ) 6a xy3y 3 2y x 3 1y 3 (2y x 1).
1 ( 2)
2
b x y x y xy xy x xy xy xy
xy x xy
2 ( )( )
3
( ) 3 ( 1) 9(1 ) 3 ( 1) 9( 1)
3( 1)( 9)
( ) e x 64x 8 (x8)(x 8)
2
( ) 64 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 1 1
(4 1)(16 4 1)
C Bài tập tự luyện
Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3 ( ) 5 10 , ( ) 3 6 ,
5
( ) ( 1) ( 1), ( ) 6 ( ) 3 ( ),
1 ( ) 4 4, ( ) 16,
4 1
( ) 27 , ( ) 12 48
27
64 ,
y
Bài 11 Tính giá trị của các biểu thức sau
( ) (a x x 10)y(10x) x 2010 y 2009
( ) b x y 2xy1 x 10 y 1
( )
c x x x 0, 25
( ) d y z 2z1 y 2003 z 6
Bài 12 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
( ) 2 3, ( ) 7 6,
( ) 6, ( ) 4
Trang 8]51 4^ _ câu (a), (b) và (c) dùng 751 pháp tách và nhóm $1 T riêng ` câu (d) dùng 751 pháp thêm $1 T 2 vào
(4 )y
Bài 13 Tìm , x biết
3
( ) 5 0, ( ) 1 ( 1)
( ) 0, ( ) 5 ( 1) 1,
( ) 4 0, ( ) 10 25
Bài 14 Tính giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của các đa thức sau
( ) a A x 6x 11, ( ) b B 2x 10x1, ( ) c C 5x x
, &+ ta có hai 65a1 M7
2
f x x a b
TH1: f x( ) (x a)2 b f x( ) b
nên: GTNNf x( ) b hay (max f x ( ) b) khi x b
TH2: f x( ) (x a)2 b f x( ) b
nên: GTLNf x( ) b hay (min f x ( ) b) khi x b
Trang 9CHỦ ĐỀ 3 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa
*
Hai phân thức bằng nhau: A C !
B D A D B C
2 Tính chất cơ bản của phân thức
(M là
( )
a
B B M
( N là
: ( )
:
b
B B N
3 Rút gọn phân thức
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung,
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
4 Quy đồng mẫu của nhiều phân thức
- Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung,
- Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức,
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức cho nhân tử phụ tương ứng.
B Bổ sung
Phân số là một trường hợp đặc biệt của phân thức khi a là những đa
b
A
B A B,
thức bậc 0 Vì vậy tính chất cơ bản của phân số là một trường hợp đặc biệt của tính chất cơ bản của phân thức đại số
C Các ví dụ minh họa
VD1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
2
( ) , ( )
Lời giải.
2
( )
a
xy
Ta có :
Trang 105 ( 3) 5
( )
b
y
VD2: Rút gọn các phân thức sau
( ) , ( ) ,
3
( ) , ( )
1 3
Lời giải.
a
xy xy y y
Ta Z và W! có nhân T chung là
xy và x2 y2 W! có nhân T chung là x y
Do
xy x y
( )c 3x2 x x x(3 1) 1 3 x
chung
Ta 1R 5 sau:
x
Ta
( )d
5 sau
ý &W 4Z!
x y
VD3. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau
Trang 11
2
( ) à , ( ) à ,
( ) à , ( ) à
x
Lời giải
Phần hệ số ta tìm chung - Z
Ta có a 1R sau
MTC: 6x y2 3
72 3 72 3.2 142 3
2
3x y 3x y 6x y
52 52.3 152 3
3
xy
( ) 2 à 23
Ta
3x 6 3(x2)
x2 4 (x2)(x 2)
2)( 2)
x x
2 2 ( 2) 2( 2)
23 3 3 9
( ) à
l 63x 3(2x) ta + Z 2 x x 2, &+ ta quy #1 ^! 5
)
6 3x (6 3 )x 3x 6
Trang 12Ta có a 1R sau
MTC: 3(x 2)
10 10 3 30
6 3x (6 3 )x 3x 6 3(x 2)
2
5
x
x x thành nhân T
Ta có: 2 2 2 2 do ` bài +7 này ta 1R
x x x x x
5 sau
3(x 2)
2 5 52 52.3 3( 5)2
3
( 2) ( 2)2
D Bài tập tự luyện
Bài 15 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
( ) , ( ) ,
xy
Bài 16 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau hãy đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
2
( ) , ( ) ,
Bài 17 Rút gọn các phân thức
( ) , ( ) , ( ) ,
xy x
)3 ,
12 (1 2 )
Trang 13Bài 18 Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau
( ) à , ( ) à ,
( ) à , ( ) à ,
2 ( 3)
x x
, ( ) à