Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Thái Nguyên - TOANMATH.com

Gọi O I , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC.. Chứng minh rằng EQ là đường trung trực của đoạn thẳng MP.[r]

Trang 1

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TOANMATH.com

Đề thi gồm có 01 trang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC: 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (6,0 điểm)

a) Tìm cực trị của hàm số y x 2 x2  x 1

b) Cho hàm số y  x7 m m2 3x4m m2 25m3x22020 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên 

Câu 2 (6,0 điểm)

a) Giải bất phương trình

2

x

x



 b) Giải phương trình 32 cos6 sin3 3sin

2

 

 

Câu 3 (3,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB3a, AD3a 2,

SA ABCD , SA4a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và AD

a) Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng BMN 

b) Mặt phẳng   đi qua hai điểm B , M và song song với AC Biết mặt phẳng   cắt các cạnh

SA , SC lần lượt tại hai điểm E , F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng BEMF 

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ABAC(tam giác ABC không cân ) Gọi O I, lần lượt

là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC AD D BC(  ) là đường phân giác trong của BAC Đường thẳng AD cắt đường tròn  O tại điểm E E(  A) Đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với AE cắt đường thẳng BC tại điểm K Đường thẳng KA KE, cắt đường tròn  O lần lượt tại các điểm M N M, ( A N; E) Đường thẳng ND NI, cắt đường tròn  O lần lượt tại các điểm P Q P N Q N, (  ;  ) Chứng minh rằng EQ là đường trung trực của đoạn thẳng MP

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho dãy số ( )u với n 1

2021 2020 1

2020

u





a) Chứng minh limun  

b) Tính

2020

2020 2020

lim

n n

u

Trang 2

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho x, ,y z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x y z   Chứng minh rằng:3

3 x y z 2 x y y z z x  3 HẾT

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:

a) Tìm cực trị của hàm số y x 2 x2  x 1

b) Cho hàm số y  x7 m m2 3x4m m2 25m3x22020 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên 

Lời giải a) Tìm cực trị của hàm số y x 2 x2  x 1

2

y x  x   x

TXĐ: D

2

1

y

2 2

x







2

1 2

x





 

 





1 2

x





 

 





1 x

     y 1

0

x y' y

1

+

+

1

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  , 1 yCT 1

b) Cho hàm số y  x7 m m2 3x4m m2 25m3x22020 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên 

y  x m m x m m  m x 

TXĐ: D

y   x  m m x  m m  m x

y    x  m m x  m m  m x

0

x





Trang 4

Hàm số nghịch biến trên   y , x0   ( Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm)

 1

 có nghiệm bằng x 0

2m m2 5m 3 0

0

m

m m







0 1 3 2

m m m



 



 









Thử lại:

 Với m : 0 y  x7 2020 y 7x6  , x0   Hàm số nghịch biến trên 

 Với m : 1 y  x7 x4 y 7x64x3

0

7

x

x









Đặt 1 3196

7

x   và x2  0

+ y

y'

Hàm số đồng biến trên 3196;0

7



 Với 3

2

m : y  x7 2020y 7x6 , x0   Hàm số nghịch biến trên 

Vậy m , 0 3

2

m thì hàm số nghịch biến trên 

Câu 2:

a) Giải bất phương trình

2

x

x



 b) Giải phương trình 32 cos6 sin3 3sin

2

 

Lời giải a) Điều kiện xác định:    2 x 2

Trang 5

Do 2x 4 2 2   x 0,  2;2 nên bất phương trình đã cho tương đương với bất

2



6x 4 5  x2 1 2x 4 2 2 x 0

2x 4 2 2x  2x 4 2 4 2 x  1 2 2x  4 4 2x 24 Suy ra 2x 4 2 2 x 24 5,   x  2;2

Mặt khác 5 x2    1 5, x  2;2 , do đó 5 x2 1 2x 4 2 2    x 0, x  2;2

3

Đối chiếu với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 2;2

3

S  

  b) Giải phương trình: 32cos6 sin 3 3sin

2

x

 

Ta có 6

3























Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 2 ; 2  

2

x  k  x  k  k



Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB3a, AD3a 2, SAABCD,

4

SA a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và AD

3 Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng BMN 

4 Mặt phẳng   đi qua hai điểm B , M và song song với AC Biết mặt phẳng   cắt các cạnh

SA , SC lần lượt tại hai điểm E , F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng BEMF 

Lời giải

Trang 6

1 Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng BMN 

tan

A

N

tan tanA N 1

1 1 90

A N

1 1 90

A N

   ACBN

Ta có:

MN // SA





 ACBMNAC BMN,  90

2 Mặt phẳng   đi qua hai điểm B , M và song song với AC Biết mặt phẳng   cắt các cạnh SA , SC lần lượt tại hai điểm E , F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

BEMF 

Trong (SAC) qua H kẻ đường thẳng song song với SA cắt SC tại T

Vì HT // MN (//SA)  T  

Trong (BMN) gọi R HT EF 

Trong (SAC) qua R kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA, SC theo thứ tự tại E, F

   BEMF

Kẻ HK BM NQ, BMHK // NQ

Vì AC EF // , EF  d C ,  d H ,  

Ta có:







  d H ,  HK d C ,  HK

2

9

Trang 7

2

3

BN

35

a NQ

Ta có: HK BH HK NQ BH.

 

35

a

Câu 4:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB AC(tam giác ABC không cân ) Gọi O I, lần lượt là tâm

đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC AD D BC(  ) là đường phân giác trong của



BAC Đường thẳng AD cắt đường tròn  O tại điểm E E(  A) Đường thẳng d đi qua điểm

I và vuông góc với AE cắt đường thẳng BC tại điểm K Đường thẳng KA KE, cắt đường tròn  O lần lượt tại các điểm M N M, (  A N; E) Đường thẳng ND NI, cắt đường tròn

 O lần lượt tại các điểm P Q P N Q N, (  ;  ) Chứng minh rằng EQ là đường trung trực của đoạn thẳng MP

Lời giải

Từ bài toán, chú ýAB AC, AI NI là phân giác góc BNC

P

 là điểm chính giữa BAC EQ là đường kính của  O

  KM KA KN KE  KI2IM KAIMKN nt KI 

 

BKN  s CE s BN s NEBAN

  ADNK nt AKD AND

Trang 8

Lại có IKD900IDK900 IAC ACB

2sdQBE 2sdCE 2sd AE

2sdQBE 2sd BE 2sd AB

2sd AQ ANQ

 AKI INQ MNI INP Q

Mà QE là đường kính

EQ

 là đường trung trực của đoạn thẳng MP

Câu 5: Cho dãy số ( ) un với 1 2021 2020

1

2020

u

 



c Chứng minh lim u  n

d Tính

lim

Lời giải

a Từ giả thiết dễ dàng suy ra u n 0 với mọi n  1 Do đó ta có un1 un  2020 với mọi

1

n  Hay ta có dãy ( ) un đơn điệu tăng Suy ra

lim lim u unn a 2020



Giả sử lim un   a 2020 Qua giới hạn hai vế của (*) ta được

2021 2020 2020

a a   a  a Điều này tương đương a  0 hoặc a  2020 (Vô lý)

Vậy lim u  n

b Từ điều kiện (*) ta có với mọi k  1

2021 2020

2020

1

Từ đó suy ra

1

1









Suy ra

n



Trang 9

lim

2020 n 2020 4040



     

Câu 6: Cho x, ,y z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x y z   Chứng minh rằng:3

3 x y z 2 x y y z z x  3

Lời giải

Vì x, y , z vai trò như nhau, không mất tính tổng quát giả sử x y z 

Suy ra x y z  3x 3 3x x 1 *

Ta có 3x2y2z2 2 x y2 2y z2 2z x2 2 3

2

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương y và z ta được:

yz         yz   

  1 3 23 2 2 2 3 23 2 2 2 3 4 3 2 3  

Xét   3 23 2 2 2 3 23 2 2 2 3 4 3 2 3

f x  x  x      x      x 

2

Mà 3x214x 1 3 1x  x 11x 1 0 với  x 0;1

8 x  x  x  với  x 0;1

Từ đó suy ra f x 0 với  x 0;1, hay VT 1 0 với  x 0;1

Đẳng thức xảy ra khi x   y z 1

HẾT