TiÕn tr×nh d¹y häc Sau đây là một số bài toán liên quan đến chuyên đề, tùy từng bài cụ thể mà giáo viên có những phương án phù hợp để hướng dẫn cho học sinh lĩnh hội kiến thức và hình th[r]
Trang 1Ngày soạn :
Chuyên đề 1 biểu thức đại số
A Mục tiêu
Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :
- Tính giá trị của một biểu thức
- Thực hiện phép tính một cách hợp lý
- Bài toán về dãy có quy luật
- Một số bài toán khác về biểu thức đại số
Kĩ năng :
- Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản
- Biết vận dụng vào các bài toán khác tương tự
- Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và tổng quát hóa cho các bài toán
Thái độ :
- Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài
- Cẩn thận, cầu tiến, không nao núng khi làm bài
B Phương tiện dạy học
Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các bài tập đầy đủ và đa dạng
C Tiến trình dạy học
Phần 1 Một số dạng chính
Dạng 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật
A- Kiến thức cần nắm vững:
B- Bài tập ỏp dụng
I Dãy số cộng
Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ 1; 3; 5; 7;
Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số
b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số
c) Tớnh: S 1 3 5 2n1 với (n N )
d) Tớnh: S 2 4 6 2n với (n N *)
Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng?
1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;
Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng: ( 1)
2
n n
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4 Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6
Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành một số A Tớnh tổng cỏc chữ
số của A
b) Cũng hỏi như trờn nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xột số 100 Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18 Tổng cỏc chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng
1 ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
Bài 5: Cho
1
2
3
4
1 2,
3 4 5,
6 7 8 9,
10 11 12 13 14,
S
S
S
S
Tớnh S ?
Trang 2Hướng dẫn: Số số hạng của S1, , S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S100 = 515100
Bài 6: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7 với số mũ băng bao nhiêu? Bài 7: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8;
b) 1.4; 4.7; 7.10;
Bài 8: Cho A 1 3 32 33 320; B3 : 221
Tính B A
Bài 9: Tính các tổng sau:
n
Bài 10: Tổng quát của bài 8
Tính : a) S 1 a a2a3 a n , với (a2, n N )
S a a a a a2, n N
S a a a a a2, n N *
Bµi 11: Cho A 1 4 4243 4 , 99 B4100 Chứng minh rằng:
3
B
A
Bài 12: Tính giá trị của biểu thức:
) 9 99 999 999 9 ) 9 99 999 999 9
Ngµy so¹n :
D·y Sè viÕt theo quy luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt ( tiÕp )
II D·y ph©n sè cã quy luËt
1 Các công thức cần nhớ đến khi giải các bài toán về dãy các phân số viết theo qui luật:
n n n n
k
k
n n k k n n k
k
2 (2n n 2) 4 (n n 1) 2 2n 2n 2 4 n n 1
(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
n n n n n
(Trong đó: n k, N , n1)
2 Bài tập
TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Trang 3Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :
Bài toán A :
Tính tổng :
Lời giải :
Vì 1 2 = 2 ; 2 3 = 6 ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn chút xíu
Bài 1 : Tính tổng :
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược
Bài 2 : Tìm x thuộc N biết :
Hơn nữa ta có :
ta có bài toán
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
không phải là số nguyên
Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau :
Bài 5 : Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho
Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau
Bài 7 : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 < a45 và
Các bạn còn phát hiện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ?
Trang 4Bài toán 2: Tính nhanh:
a) 1 12 13 14 17 18
b) 1 12 13 14 20071 20081
c) 1 12 13 14 11 1 ;
Bài toán 3: (Bài toán tổng quát của bài toán 2)
Tính nhanh: S 1 12 13 14 1n 1 1n ; ( n N ; a 0)
Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy saug:
a) 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; b)
1.2 2.3 3.4 4.5
; ; ; ,
6 66 176 336
Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đó số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1)
Bài toán 4: Tính tổng:
1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1).( 2)
Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức:
1
1.99 3.97 5.99 97.3 99.1
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia: (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) ( 1 1) 100 100 100 100
Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50
b) Biến đổi số chia:
100 1 100 2 100 3 100 99
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia Vậy 1
100
B
Bài toán 6: Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy:
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;
Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên của dãy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ; ; ; ;
3 8 15 24 35
Trang 5Hay
; ; ; ; ;
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
Do đó số hạng thứ 98 có dạng
2
99 98.100
Ta cần tính:
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50
Bài toán 7: Cho Hãy chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên
100
1 3
1 2
1
1
A
Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu các phân số của A ta chọn mẫu chung là tích của 26 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100 Gọi k1, k2, …, k100 là các thừa số phụ tương ứng, tổng A có dạng:
Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số 1/64 có mẫu chứa 26 nên
99
9
7
5
3
26
2
k
trong các thừa số phụ k1, , k100 chỉ có k64 là số lẻ, còn các thừa số phụ khác đều chẵn
Bài toán tổng quát của bài toán 7: Cho Hãy chứng minh rằng A không phải là số tự
n
3
1 2
1
1
nhiên
Ngµy so¹n :
D·y Sè viÕt theo qui luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo qui luËt ( tiÕp ) PhÇn 2 C¸c d¹ng kh¸c.
Bài 2: Tính
a) (2 )2 b) c)
12 4
1
5
5 7
n
Bài 2: So sánh 224 và 316
Bài 3: Tính giá trị biểu thức
a) 10 10 b) c) d)
10
45 5
75
5 6
0,8 0,4
15 4
3 3
2 9
6 8
10 10
8 4
8 4
Bµi 1: Khai triÓn c¸c tÝch sau:
a) (x – 2)(y + 3);
2x 2y
x
Bµi 3: ViÕt c¸c tæng sau thµnh tÝch:
a) ax2 - bx2 + bx - ax + a - b; b) y2 – 5y + 6;
Trang 6c) x2 - 7x + 12; d) 2a2 + 4a + 2.
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
M = ax + ay + bx + by + x + y biết x + y = -9/4
và a + b = 1/3;
N = ax + ay - bx - by - x - y biết x - y = -1/2 và
a - b = 1/2
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
P = 1 + + + … + - -
3.10
1 10.17
1 17.24
1 73.80
1 2.9
1
9.16
1
16.23
1 23.30
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
Q = 1 - + - + … +
-1.3
1
2.4
1 3.5
1 4.6
1 97.99
1 98.100
Bài 7: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị bằng 0:
C =
Bài 8: Tìm các cặp số nguyên (x; y) để biểu thức sau
nhận giá trị là số nguyên:
K = 3x x y 6 x y 1
x 2
Bài 9: Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị
lớn nhất:
H = 1996x 1
1997x 1997
Bài 10: Tìm mối quan hệ giữa các số nguyên a; b; c
(b ≠ 0; c ≠ 0) để có đẳng thức sau:
b c b.c
Bài 2: Tính:
a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c) 8 42205 ; d)
2
11 17
10 15
81 3
27 9
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9);
b)B=(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)…(1000 -
503)
Bài 5: Tính giá trị của:
M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12;
N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 +
152 + … + 32 + 12);
P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0;
c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36;
e) 5x + 2 = 625; f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4;
Trang 7g) (2x – 1)3 = -8 h) 1 2 3 4 5 .30 31 = 2x;
4 6 8 10 12 62 64
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4;
c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243
( 5) ( 6) ( 6)
( 5)
( 4)
x x x
x
x
tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 9920 và 999910; b) 321 và 231;
c) 230 + 330 + 430 và 3.2410
Bài 10: Chứng minh nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3
thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta cũng có:
ax + b2 – 2x4y4 = 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + …
+ 299 + 2100 = 2101 – 1
Trang 8Ngày soạn :
huyên đề: luỹ thừa của một số hữu tỉ.
- Nắm được các kiến thức, quy tắc và công thức cơ bản về biến đổi các lũy thừa của một số hữu tỉ và một số kiến thức bổ sung nâng cao
- Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức lũy thừa của một
số hữu tỉ trong quá trình làm bài tập
- Có kĩ năng thành thạo trong việc biến đổi các lũy thừa và trình bày chính xác khoa học một biểu thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
- Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu thức có cả lũy thừa qua đó
có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài
- Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
- Các tài liệu, tư liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề
Sau đây là hệ thống các bài tập cơ bản trong chuyên đề, giáo viên tùy từng bài cụ thể mà có các phương pháp dạy học cụ thể nhằm mục đích giúp cho học sinh nắm chắc được kiến thức và hiểu bài từ đó hình thành nên phản xạ và kinh nghiệm khi gặp lại những bài tương tự, liên quan thì học sinh có thể làm được :
Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia
Bài 2: Tính:
a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c) 8 42205 ; d)
2
11 17
10 15
81 3
27 9
Bài 3: Cho x Q và x ≠ 0 Hãy viết x12 dưới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9 ?
b) Luỹ thừa của x4 ?
c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x15 ?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9);
b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )…(1000 – 503)
Bài 5: Tính giá trị của:
a) M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12;
b) N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12);
c) P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36;
e) 5x + 2 = 625; f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4; g) (2x – 1)3 = -8 h) 1 2 3 4 5 .30 31 = 2x;
4 6 8 10 12 62 64
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243
( 5) ( 6) ( 6)
( 5)
( 4)
x x x
x
x
C
Trang 9Bài 9: So sánh:
a) 9920 và 999910; b) 321 và 231; c) 230 + 330 + 430 và 3.2410
Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta
cũng có: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các
chữ số 0; 1; 2; 2; 2
Ngày soạn :
huyên đề: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
- Nắm chắc kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đổi của một số hữu tỉ cùng các công thức, quy tắc cơ bản liên quan đến giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ, đồng thời nắm được một số kiến thức nâng cao thuộc chuyên đề giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
- Có kĩ năng tốt trong việc nhận ra dạng toán và suy nghĩ được phương hướng giải quyết bài toán giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ, đồng thời có được phán đoán và phản xạ tốt khi gặp những bài toán lạ
- Nhận thấy sự đa dạng và phong phú của chuyên đề giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ qua đó
có được thái độ nghiêm túc trong việc học và nghiên cứu chuyên đề.
- Giáo án và các tài liệu, tư liệu hỗ trợ cho việc giảng dạy
- Các phương tiện cần thiết khác
Sau đây là một số bài toán liên quan đến chuyên đề giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ, tùy từng bài cụ thể mà giáo viên có những phương án phù hợp để hướng dẫn cho học sinh lĩnh hội kiến thức và hình thành nên kĩ năng kĩ xảo từ đó có thể độc lập sáng tạo giải quyết các bài tập khác liên quan đến giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|;
d) |a| = - a; e) a |a|.
Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng:
a) |a| = |b| a = b; b) a > b |a| > |b|
Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
a) x2y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0;
d) 11 0; d)
y
y x
Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3
b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|
C
Trang 10Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|;
c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20
Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu , , để các khẳng định sau đúng với mọi a và b
Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu
đẳng thức ?
a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| với |a| |b|;
|
|
|
|
b
a b a
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1;
c) C = x2 + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
3
| 1
|
1
x
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.
Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2 Chứng minh rằng: |a – b| < 5.
Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|
Ngày soạn :
huyên đề: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
- Nắm được các kiến thức, công thức, quy tắc các tính chất dãy tỉ số bằng nhau và một số kiến thức mở rộng do giáo viên cung cấp
- Có kĩ năng sử dụng chính xác tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong việc làm bài tập, đặc biệt
là phải hoàn thiện kĩ năng trình bày khoa học sáng sủa và đúng khi đứng trước một bài tập
đã biết được đường lối giải quyết
- Nhận thấy chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình toán 7 từ đó có thái độ nghiêm túc trong việc học tập nghiên cứu các dạng toán trong chuyên đề
- Giáo án bồi giỏi toán 7
- Các tài liệu tư liệu sưu tập qua sách báo, hội thảo chuyên môn
C
Trang 11III Tiến trình dạy học
Sau đây là một số bài toán liên quan đến chuyên đề, tùy từng bài cụ thể mà giáo viên có những phương
án phù hợp để hướng dẫn cho học sinh lĩnh hội kiến thức và hình thành nên kĩ năng kĩ xảo từ đó có thể
độc lập sáng tạo giải quyết các bài tập khác liên quan đến chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau
b d
Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
19 21
Bài 3: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a) x y z và 5x + y – 2z = 28; b) ; và 2x + 3y – z = 186;
3 4 y z
5 7
c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32; d) 2x 3y 4z và x + y + z = 49;
3 4 5
e) x 1 y 2 z 3 và 2x + 3y – z = 50;
Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng:
8 64 216
Bài 6: Tìm các số x; y; z biết rằng:
b c c a a b
3a 7b 3c 7d
a c
b d
b d
a) 5a 3b 5c 3d; b)
5a 3b 5c 3d
a b c
Bài 11: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a2 = a1.a3 và a3 = a2.a4
Chứng minh rằng: 13 32 33 1
c d cd
b d