Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán 7

Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E... 2, Chứng minh rằng từ hệ thức.[r]

C©u 2 : (2 ®iÓm)

a) T×m x,y nguyªn biÕt : xy+3x-y=6

y x

z z

x

y y

z

x





















C©u 3 : (2 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng : Víi n nguyªn 234 ta cã

S=3n+2-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10

b) T×m sè tù nhiªn x,y biÕt : 7(x-2004)2 = 23-y2

C©u 4 : (3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC , AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B , bê lµ AC , kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC ; trªn Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM=AC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C , bê lµ AB , kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN=AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK=KP Chøng minh :

a) AC//BP

b) AK vu«ng gãc víi MN

C©u 5 : (1 ®iÓm) a , b , c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng : a2n + b2n c 2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0

nào biết:

3 2

x y y z Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:

a, ; xy=84

1+3y 1+5y 1+7y

b,



Câu 5: Tính tổng:

n 1

*

2

 

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngói tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC

a Chứng minh: DC = BE và DC BE

b Gọi N là trung điểm của DE Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM Chứng minh: AB = ME và AABCAAEMA

c Chứng minh: MA BC

b) Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500 sao cho chia nó cho 15, cho 35 3f5 các

số 23 theo thứ tự là 8 và 13

Bài 2

a) Tìm các số nguyên x, y sao cho:

( x + 1)(xy - 1) = 3 b) Tìm chữ số tận cùng của: 6666

Bài3.

a) Tìm x biết: 720 : 41 (2 x5)23.5

b) Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2007 3f5 không?

Bài 4.

a) Chứng tỏ rằng tổng sau không là số chính D 34

S = abcbcacab ( Với a, b, c là các chữ số khác 0 )

b) Rút gọn biểu thức:

.1, 4 2,5 : 2 4 0,1

1 70,5 528 : 7

2

P





Bài 5.

a) Cho góc vuông xOy, tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy

Tính hai góc xOy và yOz biết rằng : 1 1

4xOy5yOz b) Cho đoạn thẳng AB = 22008 cm Gọi M1 là trung điểm của đoạn AB; M2

là trung điểm của đoạn M1B; M3 là trung điểm của đoạn M2B; ; M2008 là trung

điểm của đoạn M2007B Tính độ dài đoạn AM2008

Câu 1: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

281 173 31 347 53 1997 141

Câu 2: Tìm ba số a, b, c biết a và b tỉ lệ thuận với 7 và 11; b và c tỉ lệ nghịch với 3 và 8 và 5a - 3b + 2c = 164

Câu 3: Trong 3 số x, y, z có 1 số 234 , một số âm và một số 0 Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết:

3 2

x y y z Câu 4: Cho biểu thức: A 8 x

x 3







a Tìm giá trị thích hợp của biến x?

b Với giá trị nào của x thì A > 0?

c Tính giá trị của A sao cho :

2



Câu 5: Cho tam giác ABC Dựng phía ngoài tam giác các tia Ax AB; Ay AC, Mz   

BC ( M là trung điểm của BC) Trên tia Ax, Ay, Mz lấy các điểm theo thứ tự D, E, O1 sao cho AD = AB; AE = AC; MO1 =MB Qua A kẻ 3H thẳng vuông góc với BC tại H và cắt

DE ở K Gọi O2, O3 là trung điểm của BD và CE Chứng minh rằng:

a K là trung điểm của DE

b Tam giác O2MO3 vuông cân

c CO2 và O1O3 bằng nhau và vuông góc với nhau Trên hình vẽ có những cặp đoạn thẳng nào có tính chất '34 tự cặp CO2 và O1O3 ?

đề 5

Câu 1: ( 5 điểm)

a Tìm các số nguyên x biết    2 

x 3 x 4 4

b Tìm x, y, z biết: x 1 y 2 x2 xz 0

Câu 2: (3 điểm)

Tìm các số a1, a2, ,a9 biết:

9



     

và a1 + a2 + + a9 = 90 Câu 3: (3 điểm) Tính:

n-1

a, 5 27 4 5

b, A = 1+2+5+ + n N

2



Câu 4: ( 3 điểm)

Cho các số a1, a2, ,an mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1 Biết rằng:

1 2 2 3 n 1

a a a a   a a 0

Hỏi n có thể bằng 2002 3f5 hay không?

Câu 5: ( 6 điểm)

Cho tam giác ABC có Â = 900 Vẽ phân giác BD và CE ( D thuộc AC, E thuộc AB) chúng cắt nhau tại O

a Tính số đo góc BOC?

b Trên BC lấy M, N sao cho BM = BA, CN = CA Chứng minh: EN // DM

c Gọi I là giao điểm của BD và AN Chứng minh: tam giác AIM vuông cân

đề 7

Bài 1 (4 điểm): Tỡm x  :

a)-4x(x-5)-2x(8-2x)=-3

b)2x+2x+1+2x+2+2x+3=120

Bài 2 (6 điểm) Cho !a "#

Q(x)=x. 2 21 321  3 12 4 23

2

x x x

x x x x

a)Tỡm %# #& !a "# Q(x)

b)Tớnh Q(- )

2 1 #"() minh *+() !a "# Q(x) (%( giỏ *- nguyờn 12 3 45 nguyờn x

Bài 3 (2 điểm).



















 











 











400

1

1 16

1 1 9

1 1 4

1

So sỏnh A 12

2 1



Bài 4 (8 điểm).

Cho tam giỏc cõn ABC (AB=AC);gúc A=1000.Tia phõn giỏc #& gúc B #< AC = D.Qua

A ?@ !AB() vuụng gúc 12 BD #< BC D I

"() minh BA=BI

b)Trờn tia !5 #& tia DB FG/ !H K sao cho >I>
"() minh tam giỏc AIK là tam giỏc !K.

c)Tớnh cỏc gúc #& tam giỏc BCK

đề 8

Câu 1 ( 2 điểm)

Thực hiện phép tính :

3

1 ( : 1 3

1 3 3

1

6

2

















































b-

 

3 2

2003 2

3

12

5 5 2

1 4

3 3 2



















































Câu 2 ( 2 điểm)

a- Tìm số nguyên a để là số nguyên

1

3

2







a

a a

b- Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0

Câu 3 ( 2 điểm)

a- Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d

d

c b

a 

khác 0

b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để 3f5 một số có ba chữ số giống nhau

Câu 4 ( 3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200 Trên tia đối của tia CB lấy

điểm D sao cho CD=2CB Tính góc ADE

Câu 5 ( 1điểm)

Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1

đề 9

Bài 1: (3 điểm): Tớnh

18 (0, 06 : 7 3 0, 38) : 19 2 4

Bài 2: (4 điểm): Cho a c b c

#"() minh *+()

a)

 

  



Bài 3:(4 điểm) Tỡm x 

a)

1

4 2

5

x   

b)

12x 7 5x 2

Bài 4: (3 điểm) LM 1% #./H( !M() trờn cỏc #=( hỡnh vuụng Trờn hai #=( !N 1%

#./H( !M() 12 1%( 5# 5m/s, trờn #=( " ba 12 1%( 5# 4m/s, trờn #=( " A 12 1%(

5# 3m/s PQ !M dài #=( hỡnh vuụng  *+() S() B gian 1% #./H( !M() trờn 5(

#=( là 59 giõy

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn = A cú A 0

A  20 , 1T tam giỏc !K DBC (D (+ trong tam giỏc ABC) Tia phõn giỏc #& gúc ABD #< AC = M "() minh:

a) Tia AD là phõn giỏc #& gúc BAC

b) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tỡm x y,  A  2 2

25 y  8(x 2009)

đề 10

Câu 1:

Tìm hai số hữu tỉ x và y sao cho các phân số đại diện có mẫu là 13, các tử là hai số nguyên lẻ liên tiếp và thoả mãn điều kiện: x < < y

5 4

Câu 2:

Cho các số hữu tỉ x = , y =

b

a

d c

CMR: x < y khi và chỉ khi bd(ad - bc) < 0

Câu 3:

Tìm x:

a) 2 , 8 1 , 75 : 0 , 05 235

35 , 0

2 75 , 0 7

3























2 64

31 62

30

12

5 10

4 8

3 6

2 4

1

















Câu 4:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) a(b - c) - b(a + c) + c(a - b) = - 2bc

b) a(b - x) + x(a + b) = b(a + x)

Câu 5:

Cho ABC với AB < AC và B < 90  0, trên 3H cao AH lấy một điểm M tuỳ ý; kéo dài BM cắt AC ở D CMR:

a) BM < CM;

b) MD < DH

đề 11

Bài 1:(4 điểm)

a) U# V( phộp tớnh:

A





b) "() minh *+() : X2 3 45 nguyờn RAY() n thỡ :

chia  cho 10

3n  2n  3n 2n

Bài 2:(4 điểm)

Tỡm x 

3, 2

b   1   11

x   x  

Bài 3: (4 điểm)

a) 65 A !AZ# chia thành 3 45 [ FV theo 2 3 1: : 8 *+() S() cỏc bỡnh ;AY() #& ba

5 4 6

45 !: +() 24309 Tỡm 45 A

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giỏc ABC cõn = A cú A 0, 1T tam giỏc !K DBC (D (+ trong tam giỏc

A  20 ABC) Tia phõn giỏc #& gúc ABD #< AC = M "() minh:

a) Tia AD là phõn giỏc #& gúc BAC

b) AM = BC

đề 12

Câu1) Tính :

1

2 1

1 1

1





2 1

1 1

1







b) B = (0,25)-1 (1 )2 +25[( )-2: ( )3] : ( )-3

4

1

3

4

4

5

3

2



c) C = 1+5 +52 +53+53+ + +549+550

Câu2)

a) Cho : B = +( )2 +( )3 +( )4 + + ( )98 +( )99

2

1 2

1

2

1

2

1

2

1

2 1

CMR: B 1

b) Cho a  c 3; b  c 2 ; CMR: a  b 5

Câu3) Tìm một số có 3 chữ số Biết số đó chia hết cho 4 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1,2,5

Câu4) a) Tìm n N để phân số  có giá trị lớn nhất

3 2

8 7





n n

c) Tìm các số a,b,c không âm sao cho : a+3c = 8, a+2b=9 và tổng

a+b+ c có giá trị lớn nhất

Câu5) Cho tam giác cân ABC có góc A bằng 1000.Tia phân giác của góc B

đề 13

Bài 1. Tìm giá trị n nguyên 234

a) 1.16 2 ; b) 27 < 3n < 243

8

n  n

Bài 2. Thực hiện phép tính:

( 1 1 1 1 )1 3 5 7 49

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

Bài 3. a) Tìm x biết: 2 x  3  x  2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một 3H thẳng

b) 27 < 3 < 243 => 3 < 3 < 3 => n = 4

Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

= 1 1( 1 1 1 1 1 1 1 ).2 (1 3 5 7 49)

     

= 1 1( 1 ).2 (12.50 25) 5.9.7.89 9

Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a) Tìm x biết: 2 x  3  x  2

Ta có: x + 2 0 => x - 2. 

+ Nếu x - thì  => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)

2

3

2 x 3 x

2   

+ Nếu - 2 x < - Thì  => - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn)

2

3

2 x 3 x

2   

3 5

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1

+ Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối

diện nhau trên một đường thẳng (4 điểm mỗi)

Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một

3H thẳng là giờ

11 4

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia

MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I

vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC (4

điểm mỗi)

3H thẳng AB cắt EI tại F

ABM = DCM vì: 

AM = DM (gt), MB = MC (gt),

AAMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID AC 

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung)   => IC = AC = AF (3)

và E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5)

Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB  

=>AE = BC

D B

A

H

I

F E

M

đề 14

Bài 1 (3 đ):

1, Tớnh: P =

2003 2004 2005 2002 2003 2004

2003 2004 2005 2002 2003 2004



2, 8 13 + 23 + + 103 = 3025

LM con Q #=/ trờn M con !AB() mà hai ;N( ba con !AB() bcng qua !e() #Q

và ! =( !AB() cũn F= !i qua !N FN/ B gian con Q #=/ trờn !e() #Q +() (f B gian #=/ qua !N FN/

PQ 1%( 5# #& con Q trờn ! =( !AB() nào F2( hYn ? Tớnh [ 45 1%( 5# #& con

Q trờn hai ! =( !AB() ?

Bài 4 (2 đ):

Cho h
8 (3( XT 1K phớa ngoài h
8 cỏc h !K ABD và ACE ^3 M là giao

!H #& BE và CD "() minh *+()

1, h
8] = h
>

120

Bài 5 (3 đ):

Cho ba !H B, H, C _() hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm ` H 1T tia

Hx vuụng gúc 12 !AB() _() BC iG/ A .M# tia Hx sao cho HA = 6 cm

1, h
8 là h gỡ ? "() minh !K !ú

2, Trờn tia HC FG/ !H D sao cho HD = HA ` D 1T !AB() _() song song 12

AH #< AC = E

"() minh: AE = AB

đề 15

Bài 1 (4 đ):

Cho cỏc !a "#

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3

2x   3 x 2 x

Bài 3 (4 đ):

Tỡm giỏ *- nguyờn #& m và n !H H "#

1, P = 2 cú giỏ *- F2( (G

6 m

2, Q = 8 cú giỏ *- nguyờn (Q (G

3

n n





Bài 4 (5 đ):

Cho tam giỏc ABC cú AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung !H #& BC ?@

!AB() vuụng gúc 12 !AB() phõn giỏc trong #& gúc A, #< cỏc !AB() _() AB, AC FN(

lAZ = D, E

1, "() minh BD = CE

2, Tớnh AD và BD theo b, c

Bài 5 (3 đ):

Cho h
8 cõn = A, A 0 D là !H .M# K( trong #& h
8 sao cho

100

BAC 

Tớnh gúc ADB ?

đề 16 Bài 1 (3 đ): Tớnh:

"() minh *+() ` V "# V "#

ab cd

b  d

Bài 3 (4 đ):

mM dài ba #=( #& tam giác [ FV 12 2; 3; 4 Ba #K cao tAYng "() 12 ba #=( !ó

[ FV 12 ba 45 nào ?

Bài 4 (3 đ):

XT !e - hàm 45

y = 2 ; 0







Bài 5 (3 đ):

"() Q *+()

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 là 45 chia  cho 100

Bài 6 (4 đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác #& góc B #< AC = D, tia phân giác #& góc C #< AB = E Các tia phân giác !ó #< nhau = I

"() minh: ID = IE

A = +

2

9 

7

6 5

4 3 2 ) 4 ( , 0







Bài 2 (3 đ):

Cho a,b,c R và a,b,c 0    p mãn b2 = ac "() minh *+()

=

c

a

2 2

) 2007 (

) 2007 (

c b

b a





Bài 3 (4 đ):

Ba !M công nhân làm 3 công 1V# có ?5 lAZ() nhA nhau B gian hoàn thành công 1V# #& !M r rr rrr FN( lAZ là 3, 5, 6 ngày Biêt !M rr (K hYn !M rrr là 2 ngAB

và ncng 4.G #& s công nhân là +() nhau PQ s !M có bao nhiêu công nhân ?

Câu 4 (6 đ):

Cho h
8 (3( XT 1K phía ngoài h
8 các h !K ABD và ACE

1, "() minh: BE = DC

2, ^3 H là giao !H #& BE và CD Tính 45 !o góc BHC

Bài 5 (2 đ):

Cho m, n N và p là  45 nguyên 5  p mãn: =

1



m

p

p

n

m

"() minh *+() : p2 = n + 2

Câu 2: (2 điểm)

Trên quãng 3H AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận tốc

An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng 3H mỗi 3H đi tới lúc gặp nhau ?

Câu 3:

a) Cho f x ax2 bxc với a, b, c là các số hữu tỉ

) ( Chứng tỏ rằng: f(  2 ).f( 3 )  0 Biết rằng 13ab 2c 0

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị lớn nhất

x

A



 6 2

Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB

a) Chứng minh rằng: ABF = ACE

b) FB  EC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm chữ số tận cùng của

9 9 0

8

9 5

2



A