Đề tài Rèn kĩ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8

 Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các dạng phương trình phương pháp giải cho từng dạng, rèn kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong việc vận dụng các hằng đ[r]

Nội dung đề tài Trang

Phần 1 : MỞ ĐẦU 1

1-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

3- ĐỐI TƯỢNG PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2

4-NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

5- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

Phần 2 : NỘI DUNG 2

1-CƠ SỞ LÍ LUẬN 2

2- CƠ SỞ THỰC TIỄN 3

3-NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 4

4- BIỆN PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN 13

Phần 3 : KẾT LUẬN 16

*TÀI LIỆU THAM KHẢO: 20

Phần 1 : Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Cùng với sự phát triển của đất nước ta, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi

mới Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của các em

học sinh, trong quá trình giảng dạy mỗi người giáo viên phải biết chắt lọc những nội

dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ , phải đi từ dễ đến khó,

từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển rút ra những nội dung kiến thức chính trong bài

học giúp học sinh có thể nắm được nội dung chính trong bài học đồng thời có thể gợi

mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các

bài tập toán học một cách chặt chẽ, rõ ràng có hệ thống, đồng thời giúp cho các em

nhận ra các dạng bài toán đã học một cách nhanh nhất

Trong chửụng trỡnh ẹaùi soỏ lụựp 8, thỡ daùng baứi taọp veà giaỷi phửụng trỡnh laứ noọi

dung quan troùng cuỷa chửụng trỡnh , vieọc aựp duùng cuỷa daùng toaựn naứy raỏt phong

phuự, ủa daùng vaứ phửực taùp Vỡ vaọy ủeồ giuựp hoùc sinh naộm ủửụùc cách giải phửụng

trỡnh, giaỷi thaứnh thaùo caực daùng phửụng trỡnh laứ yeõu caàu heỏt sửực caàn thieỏt ủoỏi vụựi

ngửụứi giaựo vieõn Qua thửùc teỏ giaỷng daùy nhieàu naờm, cuừng nhử qua vieọc theo doừi

keỏt quaỷ baứi kieồm tra, baứi thi cuỷa hoùc sinh,tôi nhận thấy vaón coứn nhieàu hoùc sinh

maộc phaỷi caực sai laàm khoõng ủaựng coự, giaỷi phửụng trỡnh coứn nhieàu sai soựt, raọp

khuoõn maựy moực hoaởc chửa laứm ủửụùc, do chửa naộm vửừng chaộc caực caựch giaỷi, vaọn

duùng kyừ naờng bieỏn ủoồi chửa linh hoaùt vaứo tửứng daùng toaựn veà phửụng trỡnh

Nhaốm giuựp hoùc sinh thaựo gụừ vaứ giaỷi quyeỏt nhửừng khoự khaờn, vửụựng maộc trong hoùc

taọp ủoàng thụứi nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải

phương trình tôi nhận thấy việc rèn kĩ năng giải phương trình cho học sinh trong quá

trình giải toán là rất cần thiết nên trong quá trình giảng dạy tôi đã lưu tâm đến vấn

đề này.Tôi xin được trình bày một vài kinh nghiệm được rút ra trong quá trình giảng

dạy với tên đề tài “Rèn kĩ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8 ”

2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh lớp 8 có kỹ năng giải phương trình Cũng từ đó mà phát triển tư duy

lôgic cho học sinh, phát triển năng lực giải toán cho các em, giúp cho bài giải của

các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn và giúp các em tự tin hơn trong học tập

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu:

+ Đối tượng nghiên cứu: Reứn kyừ naờng giaỷi phửụng trỡnh cho hoùc sinh lớp 8

+ Phạm vi nghiên cứu:

- Hoùc sinh lụựp 8B trửụứng THCS Bắc Kạn naờm hoùc 2009 - 2010

- Các bài toán giải phương trình không vượt quá chương trình toán lớp 8

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Xaõy dửùng caực phửụng phaựp giaỷi cụ baỷn theo tửứng daùng phửụng trỡnh

- Sửỷa chửừa caực sai laàm thửụứng gaởp cuỷa hoùc sinh trong giaỷi toaựn

- Cuỷng coỏ caực pheựp bieỏn ủoồi vaứ hoaứn thieọn caực kyừ naờng giaỷi phửụng trỡnh

5 Các phương pháp nghiên cứu:

- Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo…

- Trao đổi với bạn bè , đồng nghiệp

- Nghieõn cửựu qua thửùc teỏ giaỷi baứi taọp cuỷa hoùc sinh , kết quả caực baứi kieồm tra

I.Cơ sở lý luận: Vụựi sửù phaựt trieồn maùnh meừ neàn kinh teỏ tri thửực khoa hoùc hieọn

ủaùi, buứng noồ coõng ngheọ thoõng tin, ủaồy maùnh ửựng duùng coõng ngheọ thoõng tin trong

daùy hoùc vaứ quaỷn lyự giaựo duùc, toaứn caàu hoựa nhử hieọn nay, ủaừ vaứ ủang taùo ủieàu

kieọn thuaọn lụùi cho neàn giaựo duùc vaứ ủaứo taùo cuỷa nửụực ta trửụực nhửừng thụứi cụ vaứ

thaựch thửực mụựi ẹeồ ủaựp ửựng ủửụùc muùc tieõu giaựo duùc moọt caựch toaứn dieọn cho hoùc

sinh, con ủửụứng duy nhaỏt laứ naõng cao hieọu quaỷ chaỏt lửụùng hoùc taọp cuỷa hoùc sinh

ngay tửứ nha ứtrửụứng pho ồthoõng Muoỏn vaọy trửụực heỏt giaựo vieõn laứngửụứi ủũnh hửụựng

vaứ giuựp ủụừ hoùc sinhcuỷa mỡnh lúnh hoọi kieỏn thửực moọt caựch chuỷ ủoọng, reứn luyeọn tớnh

tự học, tính cần cù, siêng năng, chịu khó, … tạo điều kiện khơi dạy lòng ham học,

yêu thích bộ môn, phát huy tư duy sáng tạo của học sinh Môn toán là mét trong

nh÷ng môn học cã thĨ đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó

Học toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những bài

tập hoặc những cách giải do thầy, cô đưa ra mà là quá trình nghiên cứu đào sâu

suy nghĩ, tìm tßi,ø rút ra được những cách giải hay Do đó dạng toán giải phương

trình của môn đại số 8 là nền tảng, làm cơ sở để các em học tiếp các chương

trình như giải bất phương trình, chương trình lớp 9 sau này Vấn đề đặt ra là làm

thế nào để học sinh giải được các dạng phương trình một cách nhanh chóng và

chính xác Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học

sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ năng phân

tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phương trình, kỹ năng vận dụng vào thực

tiễn Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để

giúp học sinh học tập tốt bộ môn

II C¬ së thùc tiƠn :

Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát, nhận dạng

phương trình , thực hành giải toán còn yếu , do rçng kiến thức căn bản ở các lớp

dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do lười học ,

ỷ lại, chưa nỗ lực học tập các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để

tham khảo, nên khi gặp bài tập thường lúng túng, không tìm được hướng giải

thích hợp

Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen

học tập và lòng yêu thích môn học, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng

đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin

Veà phuù huynh: Chửa thaọt sửù quan taõm ủuựng mửực ủeỏn vieọc hoùc taọp cuỷa con em

mỡnh nhử theo doừi, kieồm tra, ủoõn ủoỏc nhaộc nhụỷ sửù hoùc taọp ụỷ nhaứ, vieọc theo doừi

naộm baột thoõng tin keỏt quaỷ hoùc taọp cuỷa con em haàu nhử khoõng coự

III Nội dung và phương pháp tiến hành :

Vì khaỷ naờng nhaọn thửực cuỷa hoùc sinh ủaùi traứ neõn ủeà taứi chổ ủeà caọp ủeỏn ba daùng

phửụng trỡnh vaứ caực phửụng phaựp giaỷi thoõng qua caực vớ duù cuù theồ

1 Cuỷng coỏ kieỏn thửực cụ baỷn veà phửụng trỡnh ẹoỏi vụựi hoùc sinh yeỏu, keựm:

+ Phửụng phaựp giaỷi phửụng trỡnh ủửa ủửụùc veà daùng ax + b = 0

+ Phửụng phaựp giaỷi phửụng trỡnh tớch

+ Phửụng phaựp giaỷi phửụng trỡnh chửựa aồn ụỷ maóu

2 Phaựt trieồn tử duy vaứ kyừ naờng giải phương trỡnh ẹoỏi vụựi hoùc sinh ủaùi traứ:

+ Phaựt trieồn kyừ naờng giaỷi caực daùng phửụng trỡnh, khai thaực baứi toaựn (naõng cao)

+ ẹửa ra caựch giaỷi hay, saựng taùo, cho caực daùng phửụng trỡnh

A Cuỷng coỏ kieỏn thửực cụ baỷn veà phửụng trỡnh

 Phửụng trỡnh ủửa ủửụùc veà daùng ax + b = 0

 Daùng1: Phửụng trỡnh chửựa daỏu ngoaởc:

Phửụng phaựp chung:

- Thửùc hieọn boỷ daỏu ngoaởc

- Thửùc hieọn pheựp tớnh ụỷ hai veỏ vaứ chuyeồn veỏ ủửa phửụng trỡnh veà daùng ax = c

 Chuự yự: Neỏu a 0, phửụng trỡnh coự nghieọm x =  c

a

Neỏu a = 0, c 0, phửụng trỡnh voõ nghieọm

Neỏu a = 0, c = 0, phửụng trỡnh coự voõ soỏ nghieọm

Vớ duù 1: Giaỷi phửụng trỡnh: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (1 ) (BT-17f)-SGK-tr14)

Gụùi yự: Boỷ daỏu ngoaởc, chuyeồn veỏ, thu goùn, tỡm nghieọm.

Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ ngoặc sai)



x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)

 –2x = 7 (sai từ trên)



x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)



Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:

Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc

Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế

Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái

Lời giải đúng: (2) x – 1 – 2x + 1 = 9 – x x – 2x + x = 9 0x = 7   

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:

Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và

chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình

 Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:

Phương pháp chung:

- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1

- Thực hiện cách giải như dạng 1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 1 1 2 (2) (ví dụ 4 Sgk-tr12)

x x x

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Lời giải sai: 1 1 1 2

x  x x 

(sai ở hạng tử thứ ba)

 3( 1) 2( 1) 1 12

x  x  x 

(sai từ trên)

 3(x  1) 2(x    1) x 1 12

(sai từ trên)

 4x 18

(sai từ trên)

 x 4,5

Sai lầm của học ở đây là : đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.

Lời giải đúng: 1 1 1 2

x  x x 

 3( 1) 2( 1) ( 1) 12

x  x  x



Vậy: S =

 3x  3 2x    2 x 1 12  4x 16  x 4   4

Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách quy đồng mẫu, cách

chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân

thức là những đa thức

 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:

Cách 1: (2)  ( 1) 1 1 1 2

2 3 6

x    

 ( 1)4 2

6

 x  1 3 x = 4  Vậy: S =   4

Cách 2: Đặt t = x -1

2 3 6

t   t t

 3t   2t t 2.6  t 3

x = 4

3

t  x  1 3  Vậy: S =   4

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 0,5 1 2 0, 25 (3) (BT-18b)-SGK-tr14)

x

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Cách giải 1: (3)  4(2  x) 20 0,5  x 5(1 2 ) 20 0, 25  x  

 8 4  x 10x  5 10x 5  4x = 2  x = 0,5 Vậy: S =  0,5 

 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:

Cách 2: Chuyển phương trình về phân số

x





Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân

(3)  0, 2 (2   x) 0,5x 0, 25 (1 2 ) 0, 25   x 

 0, 4 0, 2  x 0,5x 0,5 0,5  x  0, 2x 0,1

 Phương trình tích

Phương pháp chung:

Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.

Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0

 Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0 Ta thường biến đổi như sau:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích

- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.

- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.

Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.

Ví dụ 4: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5)= 0 (4) (BT- 21a)-Sgk-tr17)

Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

3x = 2 hoặc 4x = – 5 x = hoặc x =

3

5 4



Vậy S = ; 2 5

 Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:

(3x – 2)(4x + 5)= 0  3 2 0

x x

 









ky ùhiệu thay cho chư õhoặc)

* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta

phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích

Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – x = –2x + 2 (5) (BT-23b)-Sgk-tr17)

- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:

(5) x 2 – x + 2x – 2 = 0 x 2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển

về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém Vì vậy giáo viên

cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý

Ví dụ 6: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 (6) (BT-28f)-Sgk-tr7)

- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển

vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình

(6) –4x 2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0

–5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương



trình tích Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý

Giải: (6)  (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2) 2  (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2) 2 = 0

2

2 0

1

5

x x

 



 

1

2 ; 5

Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:

Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm

Cách 1: (5)  x 2 – x + 2x – 2 = 0

x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

 (x – 1)(x + 2) = 0





Vậy S =  1 ; 2  

Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế

Cách 2: (5)  x(x – 1) = – 2(x – 1)

x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

 (x – 1)(x + 2) = 0





Vậy S =  1 ; 2  

Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình

và đặt ngay nhân tử chung ấy

Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta

sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử

Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên

rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử

 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp chung

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trì tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa

mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 7: Giải phương trình 2 1 2 (7) (BT 52b)-Sgk-tr33)

x

  

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:

Lời giải sai: ĐKXĐ: x 2 ; x 0 

  



x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu là không chính xác)

x2 + 2x – x + 2 = 2



x2 + x = 0 x(x + 1) = 0



 

không kiểm chứng với điều kiện) Vậy S =  0 ; 1   (kết luận dư nghiệm)

Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “ ”không chính xác

Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện

Lời giải đúng: ĐKXĐ: x 2 ; x 0 

x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (7’) x2 + 2x – x + 2 = 2

x2 + x = 0 x(x + 1) = 0

x = 0 x = 0 (Không thỏa mãn điều kiện)

HoỈc (x + 1) = 0 x = -1 (Thỏa mãn điều kiện)Vậy S =   1  

Giáo viên cần củng cố cho học sinh :

- Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho,

nên ta dùng ký hiệu “ ” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (8’) 

chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (8)

- Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận

Ví dụ 8: Giải phương trình 1 3 3 (8) (BT 30a)-Sgk-tr23)

x



 

- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức

chung của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ

- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm

Giải: ĐKXĐ: x 2 (8)   1 3( 2) 3

   

1 + 3(x – 2) = 3 – x 1 + 3x – 6 = 3 – x   4x = 8 x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)  Vậy phương trình vô nghiệm

Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình:

* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0 (Cho các mẫu thức khác 0)

* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó (Cho các mẫu thức

bằng 0)

- Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình

nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là

điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình

- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng

về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi

dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước

B Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trình

Ví dụ 9:

5

x

- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.

Lần 1: Mẫu chung là 15

Lần 2: Mẫu chung là 10

Hướng dẫn: (9)  3 4 15 9 3 15 15

x   x   x

(học sinh giải tiếp)

 10x 2(3x 4)   5(9 3 ) 150  x 

 Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:

Ví dụ 10:

Giải phương trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = 8 (10) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)

Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8