Chuyên đề: Dãy số viết theo qui luật - Dãy các phân số viết theo qui luật

Tình cờ, ta lại có kết quả của bài toán tổng quát : tính tổng bình phương của các số tự nhiên chẵn liên tiếp, bắt đầu từ 2.. Bài toán chỉ có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tín[r]

Chuyên đề 1

Dãy Số viết theo qui luật - Dãy các phân số

viết theo qui luật

I Dóy   theo qui 

1) Dóy

1.1) Xột cỏc dóy  sau:

a) Dóy  ' nhiờn: 0; 1; 2; 3; 4; (1)

b) Dóy  0 1; 3; 5; 7; (2)

d) Dóy cỏc  ' nhiờn 5 6 1 chia cho 3 %7 1: 4; 7; 10; 13; (4) Trong 4 dóy

+) F @6 D là 1 H dóy (1)

+) F @6 D là 2 H dóy (1) và (2)

+) F @6 D là 3 H dóy (4)

Khi

1.2) Cụng

- Xột dóy a a a a a1, 2, 3, 4, 5, ,a n trong @B a2  a1 d Ta cú:

3 1 2

a  a d a4  a1 3d

8P quỏt: a n   a1 (n 1)d (I)

Trong

d Q & hai  < liờn R 8? (I) ta cú: a n a1 1 (II)

n d



Cụng

1

1.3) a a a a a1, 2, 3, 4, 5, ,a n Ta 









Nờn 2S (a1a n) ( a2a n1)  (a n1a2) ( a na1)(a1a n n)

Do @B ( 1 ) (III)

2

n

a a

S 

Chỳ ý:

1 2 3 4

2

n n

B- BÀI 8\] ÁP _V`

Bài 1: Tỡm

0 1; 3; 5; 7;

Bài 2: a) Tớnh

b) Tớnh

c) Tớnh: S     1 3 5  2n1 5 (nN)

d) Tớnh: S     2 4 6  2n 5 *

(nN )

Bài 3: Cú

1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;      

Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng: ( 1)

2

n n

Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4 Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6

Bài 4: a)

b) Kf g 7 trờn   ? 1 @ 1000000

H

làm thay

thành 50

18

b) T76ng ' US: 27000001

Bài 5: Cho

1 2 3 4

1 2,

3 4 5,

6 7 8 9,

10 11 12 13 14,

S

S

S

S

 

  

   

Tớnh S100 ?

US: S100 = 515100

Bài 6: Khi phõn tớch ra

Bài 7: Tớnh

a) 1.6; 2.7; 3.8;

b) 1.4; 4.7; 7.10;

3 : 2

B

Tớnh BA

Bài 9: Tớnh cỏc P sau:

2 3 2007

2 3

2 4 2008

3 5 2007

n

n

n

a A

b B

c C

d D

e E

Bài 10:

b)   2 4 6  2n, 5 (   )

Bìa 11: Cho 2 3 99 100 K  minh 9c

3

B

A

Bài 12: Tính giá

50

200

a A

b B





ch÷ sè

ch÷ sè

(NCPTT6T1)

tìm thêm cách

lên trong

Bài toán 1 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và B =

A.3 Tính giá

Lời giải 1 : Theo @A bài ta có :

B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990

= 330

Bây

trong

thành tích ba  ' nhiên liên R Ta % dàng ~ 5 = j sau :

Các

Bây X ta tìm X j khác cho bài toán

Lời giải 2 :

B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 +

92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6

Ta

Q 5 X j 1, ta có :

(12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay

(12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6

Hoàn toàn TR lí khi ta ~ ngay @ bài toán P quát :

Bài toán 2 : Tính P :

P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2

 j : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6

…< bài toán sau là  = j liên quan @ bài toán 1 và bài toán 2

Bài toán 3 : Tính P :

Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2

Bài toán 4 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và C = A

+ 10.11 Tính giá

= 10.11.12/3

Tình

Bài toán 5 : K  minh 9c :

22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6

Bài toán 6 :

Tính P : 202 + 222 + … + 482 + 502

Bài toán 7 : Cho n

n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2

bài toán 5 và cách j bài toán 3

Bài toán

Bài toán 8 : K  minh 9c :

12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6

Lời giải 1 :

Xét

12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2)

= [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6

= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6

Lời giải 2 : Ta có :

13 = 13

23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + 1 )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13

……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13

13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … +

n2) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + (n + 1)

=> (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + (n + 1)

=> 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 – 3(1 + 2 + 3 + … + n) – (n + 1)

= (n + 1)2.(n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1)

= (n + 1)[2(n + 1)2 – 3n + 2]/2

= (n + 1).n.(2n + 1)/2

=> 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6

Bài toán 9 : Tính giá

A = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202

Lời giải : U76 nhiên, ta có > tách A = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …+

192) ; tính

còn có cách j khác 7 sau :

A = (22 -12) + (42 – 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + … + (20 + 19)(20 – 19) = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 =

210

trong nhóm

Bài toán 10 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 +

8.9.10

Lời giải :

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) +

… + 8.9.10.(11 – 7)] : 4 = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : 4 = 8.9.10.11/4 = 1980

Bài toán 11 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).

Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI

Các

& các bài toán

suy ~ nhé

II- Dãy các phân số viết theo qui luật:

* Các công thức cần nhớ đến khi giải các bài toán về dãy các phân số viết theo qui luật:

n n  n n

k

k

n n k k n n k

k

n n k n n k

n n n  n n

(Trong đó: n k,  N, n1)

8Œ x8 BÀI TOÁN TÍNH 8V`

Chúng ta cùng

Bài toán A :

Tính P :

Lời giải :

Vì 1 2 = 2 ; 2 3 = 6 ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó 6 chút xíu

Bài 1 : Tính P :

Và

Bài 2 : Tìm x

h6 & ta có :

ta có bài toán

Bài 3 : K  minh 9c :

Do : cho ta bài toán “tưởng như khó”

Bài 4 : K  g 9c P :

không Rj là  nguyên

nhau thì

Giúp ta @ 5 bài toán Hay và Khó sau :

Bài 5 : Tìm các  ' nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho

Ta còn có các bài toán  f‘ 5 bài toán 5 7 sau :

Bài 6 : Cho 44  ' nhiên a1 ; a2 ; ; a44 g& mãn

K  minh 9c: trong 44  này, Š < hai  /c nhau

Bài 7 : Tìm các  ' nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45g& mãn a1 < a2 a3 < < a44 <

a45 và

Các

Bài toán 2: Tính nhanh:

a) 1 12 13 14 17 18 .

A      

b) 1 12 13 14 20071 20081 .

C        nN

Bài toán 3: (Bài toán

Tính nhanh: S 1 12 13 14 1n 1 1n ; ( n N ; a 0).





Bài toán 3: Tính

a) 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; b)

H 75 %i b) Ta ‡ 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…

Do

Bài toán 4: Tính P





Bài toán 5: Tính giá

1

A







B







H 75 %i

a) Z @P  /D chia:

b) Z @P  chia:



.

1 100

B

Bài toán 6: Tìm tích

1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;

H

; ; ; ; ;

Hay

Do @ó  <  98 có %<

2

99 98.100

Ta