Cao học - Bài tập/Bài giải động lực học công trình

Tổng quan tính dao động của khung phẳng - Phương pháp năng lượng RayLeigh - Phương pháp Sigalov - Phương pháp phần tử hữu hạn - Phương pháp sai phân hữu hạn - Phương pháp thay thế khối lượng

Khoa x©y dùng d©n dông & c«ng nghiÖp

Phần Lý THUYếT

Đề tài :Tổng quan về tính dao động của hệ khung phẳng

Có nhiều phương pháp tính dao động hệ kết cấu chịu tác dụng của tải trọng động

nhằm thực hiện được các nhiệm vụ của bài toán dao động:

• Xác định quy luật chuyển động của các khối lượng trên hệ kết cấu để kiểm tra

điều kiện bền

• Xác định chuyển vị động trong hệ để kiểm tra điều kiện cứng

• Xác định tần số dao động riêng để kiểm tra khả năng xảy ra hiện tượng cộng

Phương pháp tĩnh được xây dựng theo các nguyên tắc cân bằng tĩnh học trong

đó cần bổ sung lực quán tính đặt tại các khối lượng trên hệ và được xác định trên cơ

sở nguyên lý D.Alembert

Phương pháp năng lượng được xây dựng trên cơ sở nguyên lý bảo toàn năng

lượng: Trong quá trình dao động, tổng động năng K của các khối lượng trên hệ và thế

năng U của hệ là một đại lượng không đổi Trong vận dụng phương pháp năng lượng

thường được xây dựng tên cơ sở nguyên lý công khả dĩ

Khung phẳng được xem như hệ có cấu tạo từ hai loại phần tử dầm (phần

nén uốn (khi có tải ngang), liên kết giữa dầm và cột thường ở dạng nút cứng Trước

đây ta đT nghiên cứu phương pháp chính xác tính tần số dao động riêng của các phân

tử

Phương pháp chính xác: Khi xem khối lượng của các thanh phân bố theo

chiều dài thì dao dộng của hệ khung được tính toán như dao động của hệ có bậc tự do

bằng vô cùng, đồng thời quá trình tính toán được thực hiện theo sơ đồ biến dạng của

hệ và có kể đến các dạng lực quán tính

Việc áp dụng trực tiếp các nghiên cứu đó để tính hệ khung là rất phức tạp và

thực tế không áp dụng đối với hệ khung nhiều tầng của công trình thực tế Vì vậy ta sẽ

nghiên cứu các phương pháp đơn giản hơn để xác định các tần số cơ bản của khung,

kể cả những khung phức tạp Ta sẽ xuất phát từ các phương pháp tính khung chịu tải

trọng tĩnh trong CHHKC: phương pháp lực & phương pháp chuyển vị

Khi hệ có số bậc tự do lớn hơn 3 bài toán tính dao động bằng phương

pháp tính chính xác theo phương trình vi phân của dao động sẽ trở nên công kềnh,

phức tạp Do vậy với bài toán có số bậc tự do lớn hơn 3 ta sẽ sử dụng các phương pháp

gần đúng mà kết quả không sai khác nhiều so với phương pháp tính chính xác Trong

phạm vi bài thu hoạch em xin trình bày một số phương pháp gần đúng tính dao dộng

cho hệ thanh sau:

Các phương pháp này cho kết quả tương đối chính xác đối với các tần số cơ bản ωi

Xét dao động của hệ khung chịu lực kích thích thay đổi theo thời gian P(t)

Do thanh có khối lượng phân bố theo chiều dài thanh nên bài toán dao động của hệ

khung có số bậc tự do bằng vô cùng Dùng phương pháp thay thế khối lượng để đưa

về bài toán tính dao động hệ khung có số bậc tự do hữu hạn

Phương pháp thay thế khối lượng: Thay thế khối lượng phân bố bằng một số khối

lượng tập trung Chia thanh đó thành nhiều đoạn rồi thay thế khối lượng phân bố trên

đoạn đó bằng khối lượng tập trung theo một trong hai cách sau:

• Tập trung khối lượng về trọng tâm khoảng chia

• Tập trung khối lượng về thành 2 khối lượng tập trung đặt ở 2 đầu đoạn chia.(

Hay dùng theo cách này vì một số khối lượng được đặt vào vị trí đặc biệt

không tham gia dao động làm giảm số bậc tự do của hệ.)

Việc sử dụng phương pháp thay thế khối lượng cho kết quả sai khác với cách tính

chính xác 1%-2% khi xác định ω 1 (Tần số dao động cơ bản) và sai số tăng nhanh khi

xác định các tần số riêng bậc cao

Khi tính dao động cưỡng bức theo sơ đồ khối lượng thay thế nếu có tần số của lực

kích thich θ < ω (tần số dao động riêng của hệ) thì sai số khá nhỏ

Như vậy ta chấp nhận một sai số cho phép để đưa bài toán tính dao động của hệ

khung có bậc tự do n bằng vô cùng về bài toán tính gần đúng dao động của hệ có số

) (

) (

) (

2 2 1

1

2 22

2 21

1

1 12

2 11

1

=

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

i nn n n

n

n n i

n n i

u m

m m

m u

m m

m m

u m

δ δ

δ

δ δ

δ

δ δ

δ

Trong đó:

• m k: khối lượng tập trung trên hệ, k=1, 2, , n

• δki: Chuyển vị tại khối lượng m k do lực Z i = 1 tác dụng tĩnh tại vị trí của khối

lượng m i gây ra

•

o

k k

m

m

mư = ;

o

ki ki

δ

δ

δ =

ư

là các hệ số không thứ nguyên; m o, δo là các giá trị chọn bất kỳ

.

1

i o o i

m

u

ω δ

=

Dùng phương pháp lực để xác định các δki:

- Tại vị trí m i đặt lực Z i = 1

- Vẽ biểu đồ mômen uốn Mưido Z i = 1 gây ra trong hệ bằng phương pháp lực

(Chọn hệ cơ bản bằng cách thay các liên kết siêu tĩnh bằng các lực X1, X2,… Xj

với j là bậc siêu tĩnh của hệ.)

- Tại vị trí m k đặt lực P k = 1

- Vẽ biểu đồ mômen uốn Mưk do K k = 1 gây ra trong hệ bằng phương pháp lực

(Chọn hệ cơ bản bằng cách thay các liên kết siêu tĩnh bằng các lực X1, X2,… Xj

với j là bậc siêu tĩnh của hệ.)

- Kết quả δki=(Mưk ).(Mưi)

Khai triển định thức (2.9) để giải phương trình tìm ui để xác định ωi

Đối với hệ có bậc tự do bằng n ta luôn tìm được n giá trị tần số dao động riêng ứng

với mỗi tần số dao động riêng ωi có một dạng chính của dao động xác địhn bằng các

chuyển vị y1i,y2i ,y ni của các khối lượng

Để xác định các chuyển vị y1i,y2i ,y ni của các khối lượng ta thay kết quả các giá trị

ui đT tìm được vào phương trình (2.8)

0 ).

(

.

0

) ( 0

) ( 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2 1 21 1 1 2 12 2 1 11 1 = ư = ư = ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ni i nn n i n i n ni n n i i i ni n n i i i y u m y m y m y m y u m y m y m y m y u m δ δ δ δ δ δ δ δ δ Ta có hệ n ẩn số là các chuyển vị, có (n-1) phương trình ( vì một phương trình phụ thuộc) Cho nên phải chọn một giá trị ban đầu để xác định các chuyển vị còn lại b. Phương pháp chuyển vị tính dao động hệ khung Ta có phương trình tần số (2.9): 0 ) (

) (

) ( 2 2 1 1 2 22 2 21 1 1 12 2 11 1 = ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư ư i nn n n n n n i n n i u m m m m u m m m m u m δ δ δ δ δ δ δ δ δ

Dùng phương pháp chuyển vị để xác định các δki:

- Tại vị trí m i đặt lực Z i = 1

- Vẽ biểu đồ mômen uốn Mưido Z i = 1 gây ra trong hệ bằng phương pháp chuyển

vị (Chọn hệ cơ bản bằng cách thêm vào hệ các liên kết phụ để ngăn cản

chuyển vị xoay, chuyển vị thẳng của các nút )

- Tại vị trí m k đặt lực P k = 1

- Kết quả δki=(Mưk ).(Mưi)

Khai triển định thức (2.9) để giải phương trình tìm ui để xác định ωi

Sau đó tiếp tục thực hiện các yêu cầu còn lại của bài toán như đT trình bày ở phần a

Nhận xét:

Việc khai triển định thức (2.9) và giải hệ phương trình tìm tần số dao động riêng,

tìm các chuyển vị là phức tạp khi hệ có số bậc tự do lớn Bên cạnh đó sử dụng phương

pháp lực và phương pháp vhuyển vị để vẽ biểu đồ mô men, nhân biểu đồ cũng sẽ cồng

- Tại vị trí cân bằng khối lượng đạt động năng lớn nhất Kmax và thế năng U=0

Theo định luật bảo toàn năng lượng: K+U=const

max max 0 0 K

Động năng :K m z v z.dz

2

).

( 2

max =∑ ∫ ; v z = y•i(z,t) = y i(z) ωi cos ωi t

Kết quả:

dz z y z m

dz i

EI

i i

z y

) ( ).

(

''

Biết được qui luật phân bố khối lượng m(z) trên các phần tử thanh thực hiện tính tích

phân với dạng dao động đT chọn ta tìm được tần số dao động riêng của hệ

Nhận xét:

Phương pháp năng lượng Rayleigh tính toán không phụ thuộc số bậc tự do của hệ mà

phụ thuộc vào việc chọn dạng dao động riêng Việc chọn dạng dao động riêng phụ

thuộc vào dạng đường đàn hồi do các tải trọng tập trung, tải trọng phân bố đều hay tải

trọng phân bố hình thang,…tác dụng lên hệ khung

d. Phương pháp Sigalov

Phương pháp Sigalov giả thiết sàn cứng, cùng chuyển vị ngang với hệ khung

Dao động của khung không gian cho bởi mặt bằng khung được thay bằng khung

phẳng tương đương, độ cứng của khung phẳng tương đương:

• Độ cứng cột EI c =∑EI ci/ 1 tầng

• Độ cứng dầm EI d =∑EIi / 1 tầng

Khi chuyển vị xem góc xoay tại các nút trên phạm vi tầng là như nhau

Trình tự các bước xác định gần đúng tần số dao động của hệ khung:

- Buớc 1: Xác địhn độ cứng đơn vị dầm, cột trên từng tầng:

•

i

di k di k l

S

- Buớc 3: Xác định chuyển vị ngang tương đối của tầng thứ k do P=1 đặt tại tầng

thứ k gây ra Ck:

+

k

k k k

k k

r

h h S

h C

S r

h h S

h C

4

) (

12 1

33 , 0 4

) (

12 1

2 1 2

1 1

2 2 1 1

2 1 1

- Buớc 3: Xác định chuyển vị ngang tầng trên cùng

1 1 1

) (

k

k k

r

G Q

C y

Qk: tổng lực cắt trong các cột thuộc tầng thứ k =∑

n i

Q

1

- Buớc 4: Xác định tần số dao động riêng

Đối với hệ khung nhiều tầng nhiều nhịp dạng biến dạng có thể xem là do một hệ lực

nào đó gây ra

Khi khung dao động khối lượng của các câu kiện cột, dầm, sàn được tập trung về nút

khung do đó hệ tải trọng tập trung P1, P2,…, Pn xem là những lực quán tính tương ứng

Lực quán tính tác dụng ở cao độ sàn Z(t) được phân tích thành lực quán tính phân bố

trên cao độ tầng

Theo các giả thiết trên phương pháp Sigalov đưa ra công thức xác định tần số dao

đổng riêng ứng với 3 dạng dao động riêng chính:

•

n y

1

3 , 2 3

, 2

Nhận xét: Phương pháp Sigalov cho phép xác định gần đúng các tần số dao động

riêng đầu tiên của khung một cách thuận lợi trong phân tích và tính toán kết cấu công

Phương trình vi phân biểu thị dao động tự do của thanh mang khối lượng phân bố

đều m, chiều dài l và tiếi diện không đổi EI có dạng:

0 ) ( )

với

EI

l m k

2 4

ξ

Phương trình sai phân cho điểm chia thứ i:

0

4 ).

6 (

4 4 1

Như vậy với mỗi điểm chia ta được một phương trình đại số tuyến tính Khi chia

hệ thành n đoạn ta sẽ có (n-1) phương trình sai phân với (n+1) ẩn số, do đó cần bổ

sung thêm hai điều kiện biên để có được hệ kín

Để tồn tại dao động thì định thức các hệ số của hệ phương trình bằng không, khai

triển định thức giải phương trình với ẩn số là k Sau khi tìm được k ta xác định tần

EI l

k

2

2

= ω

Nhận xét: Độ chính xác của bài toán phụ thuộc vào số điểm chia, nếu số điểm

chia càng nhiều thì kết quả càng chính xác song số phương trình đại số tuyến tính

cũng sẽ tăng đưa đến khối lượng tính toán càng lớn

+Vẽ biểu đồ momen : Mj

Hệ siêu tĩnh bậc 1 Dùng phương pháp lực để vẽ biểu đồ Momen Mj :

11xX1 1p 0

l X

Biểu đồ Momen Mj:

*Xét dao dạng dao động phản xứng :

+Vẽ biểu đồ momen : Mj

Hệ tính định : δkq = δ11 = (M1).(M1)

1.5625 0.6

d K

ω θ

ω ω

Hệ siêu tĩnh bậc 1 Dùng phương pháp lực để vẽ biểu đồ Momen Mj :

11xX1 1p 0

2 5

q l X

Bài làm:

a, Xác định tần số dao động riêng ωωω:

*Xét dao dạng dao động đối xứng :

Nhận xét : -Hệ bậc tự do bằng 1

+Vẽ biểu đồ momen : Mj

Nhận xét : -Hệ siêu tĩnh bậc 2 Dùng phương pháp lực để vẽ biểu đồ Momen Mj :

m EI

ω

δ

*Xét dao dạng dao động phản xứng :

Nhận xét : -Hệ bậc tự do bằng 2 +Vẽ biểu đồ momen : Mj

δ = δ = ; m0=m ta cã:

11

0

3 22

3 0

3 21

3 0

.

1

12 2 11

m

m ui

m

δ δ

δ δ

ω

δ

2 3 3

2.76 4

1

.

21

0 1 2 12 1

.

1

11

p J

m

u J

p J J

m

u

θ θ

δ

δ

δ δ

3 0

3 2

3 0

Bµi 3: Cho hÖ kÕt cÊu chÞu lùc kÝch thÝch

P(t)=P0sinθt nh− h×nh vÏ:

1

9

-Hệ bậc tự do bằng 2 +Vẽ biểu đồ momen : Mj

Nhận xét : -Hệ siêu tĩnh bậc 4 Dùng phương pháp lực để vẽ biểu đồ Momen Mj :

3

8 2 3

2 4

l l

l l

EI

3 2

6

5 3

2 2

EI

3 2 1

δ

EI

l l

1

23

2 2

2 2

1

33

3 2

1

34

2 2

EI

2 1

1

1

2 2

( )

EI

l l

EI

p

2 2

l

EI

p

2 2

EI

p

2

3 2

1

4

2 2 2

+

= + + + +

= + + + +

= + + +

+

0 2

3 4 2 3 2 2

1

2

3

0 2

4 2

1 3 3

3 4 2

3 3 6

5 2

X

l

l X X l X

X

l

l X X l X

X

l

l X X l X

6 3 41 2 41

9 1

l X

X

l X X

Biểu đồ mômen trong hệ siêu tĩnh khi tải trọng đơn vị đặt tại m1:

Khi tải trọng đơn vị đặt tại m2 ta có biểu đồ mômen:

( )

EI

l l

EI

p

2

2

+

= + + +

+

= + + + +

= + + +

+

0 4 2 3 2 2

1

2

3

0 2

4 2

1 3 3

3 3 6

5 2

X

l

l X X l X

X

l

l X X l X

X

l

l X X l X

54 3 41

9 2 41

42 1

l X X

l X X

Biểu đồ mômen trong hệ siêu tĩnh khi tải trọng đơn vị đặt tại m2:

m ui

m

δ δ

δ δ

( 1)( 1) 3

112 11

( )

0 339

0 113

142 339

793 339

3 3

094 , 3 82

113

1 1

EI

l m u

246 , 0 82

113

1 2

EI

l m u

.

21

0 1 2 12 1

.

1

11

p J m

u J

p J J

m

u

θ θ

δ

δ

δ δ

82 3 81 0

094 3 81 0

1

81 , 0 0 0

1

m m

u

ω δ

0 226

0 142 2 339

0 2 113

J

P J J

.

0

2

0 046

.

0

1

P J

P J

p J

b = 0,22 (m)

h = 0,60 (m)

E = 2,4 106 (t/m2) I*E = 9504 (tm2 )

c Tiến hành chia hệ thành hai hệ đối xứng

u4 - 29.96u3 + 89.8894u2 - 62.238528u + 10.05515472 = 0

Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta ®−îc c¸c nghiÖm ui ⇒ ωi

u1 = 0,2353 ⇒ ω1 = 1 /( δ0m0u1)= 8 (1/s)

u2 = 0,6753⇒ ω2 = 1 /( δ0m0u2)= 4,73 (1/s)

u3 = 2,3719⇒ ω3 = 1 /( δ0m0u3)= 2,52 (1/s)

u4 = 26,6774⇒ ω4 = 1 /( δ m u )= 0,75 (1/s)

f Dạng giao động của hệ tương ứng với ui, ωi

3,1047y 3, 96y 8, 22y 2,84

3, 96y 5,8847y 1 3, 72y 3

2, 6647y 3, 96y 8, 22y 2,84

3, 96y 5, 4447y 13, 72y 3

u3 = 2.372; chọn y13 = 1;

Hệ phương trình (1) trở về hệ ba ẩn:

23 33 43

1, 42y 1 , 5y 3, 06y 0, 3719

0, 968y 3, 96y 8, 22y 2,84

3, 96y 3, 748y 13, 72y 3

23, 3374y 3, 96y 8, 22y 2,84

3, 96y 20, 5574y 13, 72y 3

g Dạng dao động của hệ tương ứng với ui, ωi

g1) Dao động cơ bản ứng với ωmin:

Công thức xác định lực động đất lên khối lượng mk trong dạng dao động

thứ i :

Zki = k * A * Gk * ηki * βi Trong đó :

k = k1 * k2 * kψ

k1-Hệ số cho phép trong công trình được phép xuất hiện những hư

hỏng giới hạn, thông thường lấy k trong khoảng 0,12-0,25

Trong trường hợp này ta chọn k1 = 0,12

k2-Hệ số kể đến những đặc điểm về giải pháp kết cấu công trình (nhà khung, nhà xây, nhà tấm, số lượng tầng) thông thường lấy

k2 trong khoảng 0,5-1,5 Trong trường hợp này ta chọn

k2 = 0,5

kψ-Hệ số kể đến sự giảm ảnh hưởng của lực cản, thông thường lấy

kψtrong khoảng 1-1,5 Trong trường hợp này ta chọn

kψ = 1

⇒ k = 0,12 * 0,5 * 1 = 0,06 A- Hệ số kể phụ thuộc cấp động đất, thông thường lấy Atrong khoảng 0,1- 0,25- 0,4 ứng với cấp động đất 7-8-9 độ Richer

Trong trường hợp này ta chọn A = 0,1

2 ji j

n 1 j ji j ki ki

y m

y m y η

βi – Hệ số động đất kể đến sự phụ thuộc của gia tốc và lực động

đất vào chu kỳ Ti của dao động riêng, thông thường lấy βi trong khoảng 0,8 < βi = a/Ti ≤ βmax

a- Hệ số phụ thuộc vào loại đất nền dưới móng Với đất loại III thì

a=1,5 g4) Với ω1, T1:

2 j1 j

4 1 j j1 j 11 11

y m

y m y

2 j1 j

4 1 j j1 j 21 21

y m

y m y

2 j1 j

4 1 j

j1 j 31 31

y m

y m y

2 j1 j

4 1 j j1 j 41 41

y m

y m y

Z41 = -0,06 * 0,1 * 1,91*G4 * 0,0181 = -4,15 * G * 10-4Với G = m = 10 (t) thay số vào ta có:

Z11 = 0,0091 (t)

Z21 = -0,0132 (t)

Z31 = 0,0115 (t)

Z41 = -0,00415 (t)

2 j2 j

4 1 j

j2 j 12 12

y m

y m y

2 j2 j

4 1 j

j2 j 22 22

y m

y m y

2 j2 j

4 1 j j2 j 32 32

y m

y m y

2 j2 j

4 1 j

j2 j 42 42

y m

y m y

Z42 = 0,06 * 0,1 * 1,13*G4 * 0,11 = 1,49 * G * 10-3Víi G = 2m = 20 (t) thay sè vµo ta cã:

Z12 = 0,0339 (t)

Z22 = -0,00929 (t)

Z32 = 0,0214 (t)

Z42 = -0,0149 (t) g6) Víi ω3, T3:

2 j3 j

4 1 j j3 j 13 13

y m

y m y

2 j3 j

4 1 j j3 j 23 23

y m

y m y

2 j3 j

4 1 j

j3 j 33 33

y m

y m y

2 j3 j

4 1 j j3 j 43 43

y m

y m y

2 j4 j

4 1 j

j4 j 14 14

y m

y m y

2 j4 j

4 1 j

j4 j 24 24

y m

y m y

2 j4 j

4 1 j

j4 j 34 34

y m

y m y

2 j4 j

4 1 j

j4 j 44 44

y m

y m y