- Học sinh nắm vững các quy tắc nhân, chia số hữu tỉ - Có kĩ năng làm các phép tính cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỉ nhanh, đúng - Học sinh nắm được luỹ thừa với số mũ tự nhiên - luỹ [r]
Trang 1Buæi 1+2: Chủ đề 1: ¤n tËp vÒ c¸c phÐp to¸n trong Q
Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ- Luỹ thừa - Tỉ lệ thức- Dãy số bằng nhau
A Mục tiêu:
- Học sinh nắm vững các quy tắc cộng, trừ số hữu tỉ, biết quy tắc “chuyển vế” trong Q
- Học sinh nắm vững các quy tắc nhân, chia số hữu tỉ
- Có kĩ năng làm các phép tính cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỉ nhanh, đúng
- Học sinh nắm được luỹ thừa với số mũ tự nhiên - luỹ thừa của luỹ thừa
- Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số
- Luỹ thừa của một tích - thương
- Nắm vững hai tính chất của tỉ lệ thức Thế nào là tỉ lệ thức Các hạng tử của tỉ lệ thức
- Bước đầu biết vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức vào giải bài tập
- Rèn kĩ năng áp dụng các quy tắc về luỹ thừa để tính giá trị của biểu thức luỹ thừa, so sánh
- Nắm vững tính chất của tỉ lệ thức, nhận biết được tỉ lệ thức và các số hạng của tỉ lệ thức
- Vận dụng vào giải toán
- Nắm vững tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C Bài tập:
Buæi 1:
Bài 1: Cho hai số hữu tỉ và (b > 0; d > 0) chứng minh rằng:
b
a d c
a Nếu thì a.b < b.c
d
c
b a
b Nếu a.d < b.c thì
d
c b
a
Giải: Ta có:
bd
bc d
c bd
ad b
a ;
a Mẫu chung b.d > 0 (do b > 0; d > 0) nên nếu: thì da < bc
bd
bc bd
ad
b Ngược lại nếu a.d < b.c thì
d
c b
a bd
bc bd
Ta có thể viết: ad bc
d
c b
Bài 2:
a Chứng tỏ rằng nếu (b > 0; d > 0) thì
d
c b
a
d
c d b
c a b
b Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa và
3
1
4 1
Trang 2Giải: a Theo bài 1 ta có: ad bc (1)
d
c b
Thêm a.b vào 2 vế của (1) ta có:
a.b + a.d < b.c + a.b a(b + d) < b(c + a) (2)
d b
c a b
a
Thêm c.d vào 2 vế của (1): a.d + c.d < b.c + c.d
d(a + c) < c(b + d) (3)
d
c d b
c a
Từ (2) và (3) ta có:
d
c d b
c a b
b Theo câu a ta lần lượt có:
4
1 7
2 3
1 4
1 3
1
7
2 10
3 3
1 7
2 3
1
10
3 13
4 3
1 10
3 3
1
Vậy
4
1 7
2 10
3 13
4 3
Bài 2: Tìm 5 số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ và
2004
1
2003 1
Ta có:
2003
1 2003 2004
1 1 2004
1 2003
1 2004
4007
2 6011
3 2004
1 4007
2 2004
6011
3 8013
4 2004
1 6011
3 2004
1
8013
4 10017
5 2004
1 8013
4 2004
10017
5 12021
6 2004
1 10017
5 2004
Vậy các số cần tìm là:
12021
6
; 10017
5
; 8013
4
; 6011
3
; 4007 2
Bài 3: Tìm tập hợp các số nguyên x biết rằng
2
1 21 : 45
31 1 5 , 4 2 , 3 : 5
1 3 7
18
5 2 : 9
5
Ta có: - 5 < x < 0,4 (x Z)
Nên các số cần tìm: x 4 ; 3 ; 2 ; 1
Bài 4: Tính nhanh giá trị của biểu thức
Trang 3P = =
13
11 7
11 5
11 4
3 7
3 5
3 4 3
3
11 7
11 2 , 2 75 , 2
13
3 7
3 6 , 0 75 , 0
11 3 13
1 7
1 5
1 4
1 11
13
1 7
1 5
1 4
1 3
Bài 5: Tính
2
9 25
2001 4002
11 2001
7 : 34
33 17
193 386
3 193 2
2
9 50
11 25
7 : 34
33 34
3 17 2
50
225 11 14 : 34
33 3
Bài 6: Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết
a + b = a b = a : b
Giải: Ta có a + b = a b a = a b = b(a - 1) (1)
1
1
a
b a
Ta lại có: a : b = a + b (2) Kết hợp (1) với (2) ta có: b = - 1 Q; có x = Q
2 1
Vậy hai số cần tìm là: a = ; b = - 1
2 1
Bài 7: Tìm x biết:
2003
1 2004
9
x
2004
1 9
5
x
2004
9
2003 1
2004
1 9
5
1338004
5341
4014012 16023
6012
3337
18036 10011
Bài 8: Số nằm chính giữa và là số nào?
3
1 5 1
Ta có: vậy số cần tìm là
15
8 5
1 3
1
15 4
Bài 9: Tìm x Q biết
a
3
2 5
2
12
20
3
x
b
7
5 5
2 :
4
1
4
c 0 2 và x <
3
2
x
3
2
Bài 10: Chứng minh các đẳng thức
Trang 4a ; b
1
1 1 ) 1 (
1
a
1 )
1 (
1 )
2 )(
1 (
2
a a
1
1 1 )
1
(
1
a
a
a a a
a
a a
a
) 1 (
1 )
1 ( ) 1 ( 1
b
) 2 )(
1 (
1 )
1 (
1 )
2 )(
1
(
2
a
a
a a a a
a a
a a
a a
) 2 )(
1 (
2 )
2 )(
1 ( ) 2 )(
1 (
2
Bài 11: Thực hiện phép tính:
2002
) 2002 2001
( 2003 1
2003 2002
2001 2003 2002
2002
2002 2002
2003
1
Buæi 2:
Bài 1: Viết số 25 dưới dạng luỹ thừa Tìm tất cả các cách viết.
Ta có: 25 = 251 = 52 = (- 5)2
Bài 2: Tìm x biết
a = 0
2
2
1
x
2
1
x
b (2x - 1)3 = - 8 = (- 2)3
2x - 1 = - 2
2x = - 1
x = -
2
1
2
4
1 16
1 2
4
3 4
1 2 1
4
1 4
1 2 1
x x
x x
Bài 3: So sánh 2225 và 3150
Ta có: 2225 = (23)75 = 875; 3150 = (32)75 = 975
Vì 875 < 975 nên 2225 < 3150
Bài 4: Tính
a 3-2
6
1 3
2 2
3 3
1 2
1 1 3
2
3
3 4
4 2
3 4
Trang 5b 3 4 2
2
2 4 3
4 2 4 3
5
1 10
1 50 54
24 4
5 10
1 50 1
1 5
2 5 4
1 10
.
50
=
100
50 50
1 10
1
.
50 3 2 2
11 3 4
10 7 25 10
11.3 4
4 3
10
11 4
1 3
4 4 4 1
4
10
1
2
1
3
4
4
1
4 4
4 4 4
3 2
4
Bài 5:
a Hiệu của hai số 4 và là:
3
1
4
1
10000
1
7114
1
5184 17
4
3
1
4
1
5184
17 64
1 81
3 8 5
5
1 : 5
1
5
1
5
5
1
5
1
5
1
5 5
5
1 5
1
Vậy A đúng
Bài 6: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các đẳng thức sau:
a 7 (- 28) = (- 49) 4 b 0,36 4,25 = 0,9 1,7
28
4 49
7
7 , 1 9 , 0
36 , 0
7
1
7
1
17 9
36
Bài 7: Chứng minh rằng từ đẳng thức a d = b.c (c, d 0) ta có tỉ lệ thức
d
b c
a
Giải:
Chia cả hai vế của đẳng thức ad = bc cho cd (c.d 0) ta được
d
b c
a d c
c b d c
d a
.
Bài 8: Cho a, b, c, d 0, từ tỉ lệ thức hãy suy ra tỉ lệ thức
d
c b
a
c
d c a
b
a
Giải:
Trang 6Đặt = k thì a = b.k; c = d.k
d
c b
a
k
k bk
k b bk
b k b a
b
(2)
k
k dk
k d dk
d k d c
d
c ( 1 ) 1
Từ (1) và (2) suy ra:
c
d c a
b
a
Bài 9: Chứng minh rằng: Từ tỉ lệ thức (b + d 0) ta suy ra
d
c b
d b
c a b
a
Giải:
Từ a.d = b.c nhân vào hai vế với a.b
d
c b
Ta có: a.b + a.d = a.b + b.c a(b + d) = b(a + c)
d b
c a b
a
Bài 10: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a : 0 , 2 : 0 , 3
8
3 148
4
2
3
2 2 : 18
5 83
30
7
6
5 5 : 25 , 1 21 : 5 , 2 14
3 3
5
3
Giải:
a 0,2x = 4 0 , 3 : 0 , 2 6 , 5625
8
35 3
, 0 8
18
5 83 30
7 85 3
8
3
1 293 08
, 0 : 3 4 45
88 3
4 45
88 08
,
6
5 5 5 , 2 14
3 3 5
3 6 25
,
1
21
x
6
35 2
5 70
27 3 75
,
19 x 19 , 75x 49 , 375 x 2 , 5
Bài 11: Tìm x biết
a
2 10
5 4 2
5
3
2
x
x x
x
(2x + 3)(10x + 2) = (5x + 2)(4x + 5)
2x2 + 4x + 30x + 6 = 20x2 + 25x + 8x + 10
34x + 6 = 33x + 10 x = 4
Trang 7b
34 5
3 25 5
40
1
3
x
x x
x
(3x - 1)(5x - 34) = (40 - 5x)(25 - 3x)
15x2 - 102x - 5x + 34 = 1000 - 120x - 125x + 15x
15x2 - 107x + 34 = 1000 - 245x + 15x2
138x = 996
x = 7
Bài 12: Tìm hai số x và y biết và x + y = - 2
5 2
y
x
7
21 5
2 5
y x y
x
6 3
2x x
15 3
5y y
Bài 13: So sánh các số a, b và c biết rằng
a
c c
b b
a
a c b
c b a a
c c
b b
a
Bài 14: Tìm các số a, b, c biết rằng và a + 2b - 3c = - 20
4 3 2
c b
a
4
20 12
6 2
3 2 12
3 6
2
a
a = 10; b = 15; c = 20
Bài 15: Tìm các số a, b, c biết rằng và a2 - b2 + 2c2 = 108
4 3 2
c b
a
16 9 4 4 3 2
2 2
a c b
27
108 32
9 4
2 32
9 4
2 2 2 2 2 2
Từ đó ta tìm được: a1 = 4; b1 = 6; c1 = 8
A2 = - 4; b2 = - 6; c2 = - 8
Bài 16: Chứng minh rằng nếu a2= bc (với a b, a c) thì
a c
a c b a
b a
Giải: từ a2 = bc
a c
a c b a
b a a c
b a a c
b a a
b c
a
Tiết 17:
Bài 18: Người ta trả thù lao cho cả ba người thợ là 3.280.000 đồng Người thứ nhất làm
được 96 nông cụ, người thứ hai làm được 120 nông cụ, người thứ ba làm được 112 nông
cụ Hỏi mỗi người nhận được bao nhiêu tiền? Biết rằng số tiền được chia tỉ lệ với số nông
cụ mà mỗi người làm được
Trang 8Giải: Gọi số tiền mà người thứ nhất, thứ hai, thứ ba được nhận lần lượt là x, y, z (đồng)
Vì số tiền mà mỗi người được nhận tỉ lệ với số nông cụ của người đó làm được nên ta có:
10000 328
3280000 112
120 96 112
120
x
Vậy x = 960.000 (đồng)
y = 1.200.000 (đồng)
z = 1.120.000 (đồng)
Người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba lần lượt nhận được là: 960.000 (đồng); 1.200.000 (đồng); 11.120.000 (đồng)
Bài 19: Tổng kết học kỳ lớp 7A có 11 học sinh giỏi, 14 học sinh khá và 25 học sinh trùng
bình, không có học sinh kém Hãy tính tỉ lệ phần trăm mỗi loại học sinh của lớp
Giải: Số học sinh của lớp 7A là: 11 + 14 + 25 = 50 (học sinh)
Số học sinh giỏi chiếm: 11 : 50 100% = 22%
Số học sinh khá chiếm: 14 : 50 100% = 28%
Số học sinh trung bình chiếm: 25 : 50 100% = 50%
Bài 20: Tìm x biết
2 10
5 4 2
5
3
x x x
x x
x x
x
10 8 25 20
6 30 4
4 10
33 6
x
x x
x
3 25 5 40 34 5 1 3 34 5
3 25 5
40
1
3
2
7 966
Bài 21: Ba số a, b, c khác nhau và khác số 0 thoả mãn điều kiện
b a
c c a
b c b
a
Tính giá trị của biểu thức P =
c
b a b
c a a
c
b
Giải:
Theo đề bài ta có: thêm 1 vào mỗi phân số ta có:
b a
c c a
b c b
a
b a
c b a c a
c b a c b
c b a b
a
c c
a
b c
b
a
b a c b a c a c b a c b c b a
Vì a, b, c là ba số khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào P ta được
b c a
a c b
c b a c
b
Trang 9P = =
c
b a b
c a a
c
b
3 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
c
c b
b a a
Vậy P = - 3
Bài 22: Tỡm x biết
84
25 44 63
10 45 : 31 9
1 1 3
1 2 : 4
3
160
13 10 4 7 4
7 13 310
9 28 9
217 4
13 9
310 : 252
217 4
13 31 9
1 1 3
1 2 : 84
25 44 63
10 45
4
3
x
160
13
x
Bài 23: Tỉ số chiều dài và chiều rộng của một hỡnh chữ nhật bằng Nếu chiều dài hỡnh
2 3
chữ nhật tăng thờm 3 (đơn vị) thỡ chiều rộng của hỡnh chữ nhật phải tăng lờn mấy đơn vị để
tỉ số của hai cạnh khụng đổi
Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của hỡnh chữ nhật lần lượt là a, b Khi đú ta cú
b a b
a
3 2 2
3
Gọi x (đơn vị) phải thờm vào chiều rộng thỡ
x b a
x b
a
3 3 6 2 2
3 3
mà 2a = 3b 3b + 6 = 3b + 3x x = 2 Vậy khi thờm vào chiều dài 3 (đơn vị) thỡ phải thờm vào chiều rộng 2 (đơn vị) thỡ tỉ
số giữa chiều dài và chiều rộng vẫn là
2 3
Buổi 3: Chủ đề 2: Ôn tập về hàm số và đồ thị.
Một số bài toỏn về đại lượng tỉ lệ nghịch, tỉ lệ thuận- Đồ thị hàm số y=ax
A Mục tiờu:
- Hiểu được cụng thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ nghịch
- Biết vận dụng cỏc cụng thức và tớnh chất để giải được cỏc bài toỏn cơ bản về hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch
- Biết cách vễ đồ thị các hàm số dạng y = ax
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C Bài tập:
Bài 1:
a Biết tỉ lệ thuõn với x theo hệ số tỉ lệ k, x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ m (k 0; m
0) Hỏi z cú tỉ lệ thuận với y khụng? Hệ số tỉ lệ?
Trang 10b Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 và chu vi của nó là 45cm Tính các cạnh của tam giác đó
Giải:
a y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ
k
1
nên x = y (1)
k
1
x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ m thì x tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ nên z =
m
1
x (2)
m
1
Từ (1) và (2) suy ra: z = y = nên z tỉ lệ thuận với y, hệ số tỉ lệ là
m
1
k
1
y mk
1
mk
1
b Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c
Theo đề bài ra ta có: và a + b + c = 45cm
4 3 2
c b
a
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
5 9
45 4 3 2 4 3
b c a b c
a
20 5 4 5
4
; 15 5 3 5
3
; 10 5 2 5
a
Vậy chiều dài của các cạnh lần lượt là 10cm, 15cm, 20cm
Bài 2: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng nửa chiều dài Viết công thức biểu thị sự phụ
thuộc giữa chu vi C của hình chữ nhật và chiều rộng x của nó
Giải: Chiều dài hình chữ nhật là 2x
Chu vi hình chữ nhật là: C = (x + 2x) 2 = 6x
Do đó trong trường hợp này chu vi hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều rộng của nó
Bài 3: Học sinh của 3 lớp 6 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây bàng Lớp 6A có 32 học
sinh; Lớp 6B có 28 học sinh; Lớp 6C có 36 học sinh Hỏi mỗi lớp cần phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây bàng, biết rằng số cây bàng tỉ lệ với số học sinh
Giải:
Gọi số cây bàng phải trồng và chăm sóc của lớp 6A; 6B; 6C lần lượt là x, y, z
Vậy x, y, z tỉ lệ thuận với 32, 28, 36 nên ta có:
4
1 96
24 36 28 32 36 28
x
Do đó số cây bàng mỗi lớp phải trồng và chăm sóc là:
Lớp 6A: 32 8 (cây)
4
1
x
Lớp 6B: 28 7 (cây)
4
y
Trang 11Lớp 6C: 36 9 (cây)
4
z
Bài 4: Lớp 7A 1giờ 20 phút trồng được 80 cây Hỏi sau 2 giờ lớp 7A trồng được bao nhiêu
cây
Giải:
Biết 1giờ 20 phút = 80 phút trồng được 80 cây
2 giờ = 120 phút do đó 120 phút trồng được x cây
80
120 80
Vậy sau 2 giờ lớp 7A trồng được 120 cây
Bài 5: Tìm số coá ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1 :
2 : 3
Giải:
Gọi a, b, c là các chữ số của số có 3 chữ số phải tìm Vì mỗi chữ số a, b, c không vượt quá 9 và 3 chữ số a, b, c không thể đồng thời bằng 0
Nên 1 a + b + c 27
Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên
A + b + c = 9 hoặc 18 hoặc 27
Theo giả thiết ta có:
6 3
2 1
c b a c b
a
Như vậy a + b + c 6
Do đó: a + b + c = 18
Suy ra: a = 3; b = 6; c = 9
Lại vì số chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn
Vậy các số phải tìm là: 396; 936
Bài 6:
a Biết y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ là 3
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 15, Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
b Biết y tỉ lệ nghich với x, hệ số tỉ lệ là a, x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 6 Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
Giải:
a y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ là 3 nên: y = 3x (1)
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 15 nên x z = 15 x = (2)
z
15
Từ (1) và (2) suy ra: y = Vậy y tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 45
z
45
b y tỉ lệ nghịch với x, hệ số tỉ lệ là a nên y = (1)
x a
Trang 12x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là b nên x = (2)
z b
Từ (1) và (2) suy ra y = x
b
a
.
Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ
b a
Bài 7:
a Biết x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 5 và x y = 1500 Tìm các số x và y
b Tìm hai số x và y biết x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 2 và tổng bình phương của hai số đó
là 325
Giải:
15
1 5
1
; 3 1 5
1 3
y
15
1 k2 k2 k
Với k = 150 thì 150 50 và
3
1
5
1
y
Với k = - 150 thì .( 150 ) 50 và
3
1
3
1
y
2
1
; 3 1 2
1 3
x2 + y2 = mà x2 + y2 = 325
36
13 4 9
2 2
13
36 325 325
36
k
2
1 2
1
; 10 30 3
1 3
1k y k
2
1 2
1
; 10 ) 30 (
3
1 3
1k y k
Bài 8: Học sinh lớp 9A chở vật liệu để xây trường Nếu mỗi chuyến xe bò chở 4,5 tạ thì
phải đi 20 chuyến, nếu mỗi chuyến chở 6 ta thì phải đi bao nhiêu chuyến? Số vật liệu cần chở là bao nhiêu?
Giải:
Khối lượng mỗi chuyến xe bò phải chở và số chuyến là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (nếu khối lượng vật liệu cần chuyên chở là không đổi)