Ứng dụng hình học xạ ảnh và giải và sáng tạo những bài toán afin

Ứng dụng hình học xạ ảnh và giải và sáng tạo những bài toán afin.

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN AFIN

THE APPLICATION OF PROJECTIVE GEOMETRY

TO SOLVE AND CREATE AFFINE PROBLEMS

SVTH: Bùi Thị Anh Đào

Lớp 07ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm

GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu

Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm

TÓM TẮT

Mục đích của đề tài này là trình bày mối quan hệ giữa các bài toán xạ ảnh phẳng và các bài toán afin phẳng Vận dụng mối quan hệ này để giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng

ABSTRACT

The aim of this topic is to present the relation between plane projective problems and plane affine problems Using this relation to solve and create plane affine problems

1 Mở đầu

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả nước Mục đích của môn học là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng Đồng thời, hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông

Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình học afin là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh để hiểu rõ và vận dụng trong công tác giảng dạy sau này

Hiện nay, trong các giáo trình Hình học xạ ảnh đã đề cập đến mối quan hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học afin tuy nhiên còn ở mức độ khiêm tốn, việc sáng tạo các bài toán mới cũng ít được quan tâm

Nhằm tìm hiểu sâu hơn về hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng nó vào chương trình phổ thông, tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học cho mình là: “Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin”

2 Các mô hình

2.1 Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh

Trong không gian afin A , ta bổ sung thêm các phần tử mới như sau: 3

- Mỗi đường thẳng bổ sung thêm một “điểm vô tận” sao cho hai đường thẳng song song cắt nhau tại “điểm vô tận” Đường thẳng bổ sung thêm “điểm vô tận” được gọi là đường thẳng mở rộng

- Tập hợp các “điểm vô tận” của mặt phẳng cùng nằm trên một “đường thẳng vô tận” Mặt phẳng được bổ sung thêm “đường thẳng vô tận” được gọi là mặt phẳng mở rộng Như vậy, trong mặt phẳng mở rộng ta có:

- Hai đường thẳng bất kì cùng thuộc một mặt phẳng thì luôn cắt nhau tại một điểm (hoặc là điểm afin thông thường, hoặc là điểm vô tận)

- Hai mặt phẳng phân biệt luôn có một đường thẳng chung

- Một đường thẳng bất kì không nằm trong mặt phẳng luôn cắt mặt phẳng tại một điểm

Xét một mặt phẳng afin A trong không gian afin mở rộng 2 A 3

Kí hiệu [V ] là tập hợp các không gian vectơ con một chiều của 2 V 2

Đặt P2 A2 V2 khi đó, P là không gian xạ ảnh hai chiều (Mặt phẳng xạ ảnh) 2 Mặt phẳng afin A có bổ sung thêm các điểm vô tận được gọi là mô hình afin của 2

mặt phẳng xạ ảnh

2.2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin

Xét mặt phẳng xạ ảnh P liên kết với không gian vectơ 2 V , chọn đường thẳng  3 làm đường thẳng vô tận Khi đó, tập hợp A2 P2 \ là mặt phẳng afin và được gọi là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin Trong mô hình này, các điểm thuộc  được gọi là các điểm vô tận, các điểm không thuộc  được gọi là các điểm thông thường

2.3 Sự liên hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng

Từ sự liên hệ giữa mặt phẳng afin và mặt phẳng xạ ảnh ta suy ra được nhận xét sau

về mối liên hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng:

- Từ bài toán afin

phẳng, bằng cách bổ sung

vào mặt phẳng afin một

đường thẳng vô tận sao cho

hai đường thẳng song song

cắt nhau tại một điểm nằm

trên đường thẳng vô tận ta

thu được một bài toán xạ

ảnh phẳng

- Ngược lại, từ một

bài toán xạ ảnh phẳng, bằng

cách cố định một đường

thẳng của mặt phẳng xạ ảnh

làm đường thẳng vô tận ta

thu được một bài toán afin

phẳng

Nói cách khác, ta có

thể dùng kiến thức của hình

I

P

N

M

C’

A’

'

B

B

C A

học xạ ảnh để giải các bài toán afin và ngược lại

Ví dụ: Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin để chứng minh định lý Desargues

Định lý Desargues Trong không gian xạ ảnh P , cho hai tam giác 2 ABC và tam giác A ' C B' ' Khi đó, các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng quy khi và chỉ khi giao điểm các cặp cạnh tương ứng cùng nằm trên một đường thẳng

Nhận xét: Nếu ta chọn đường thẳng chứa M, N, P làm đường thẳng vô tận khi đó

trong mô hình A2  P2 \MN các đường thẳng AB và A ' B'; ACvà A 'C'; BC và B 'C'

song song với nhau

Ta thu được bài toán afin như sau: Cho hai tam giác ABC và A ' C B' ' có các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng đồng quy tại một điểm Chứng minh rằng nếu hai cặp cạnh tương ứng của tam giác song song với nhau thì cặp cạnh còn lại cũng song song

3 Ứng dụng hình học xạ ảnh phẳng vào giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng

Vận dụng mối quan hệ giữa bài toán afin và bài toán xạ ảnh, ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán afin khác nhau từ một bài toán afin cho trước Thật vậy, sau khi đã chuyển một bài toán afin sang bài toán xạ ảnh, với cách chọn các đường thẳng khác nhau làm đường thẳng vô tận, ta lại thu được nhiều bài toán afin khác nhau Sau đây là một ví dụ minh họa

Xét bài toán afin. Trong A , cho hình bình hành 2 ABCD. Từ điểm M tuỳ ý trên cạnh AB , ta dựng đường thẳng a cắt cạnh BC tại N Từ điểm Q tuỳ ý trên cạnh AD, ta dựng đường thẳng b//a, cắt cạnh CD tại P Gọi O là giao điểm của MP và NQ Chứng minh rằng O, B, D thẳng hàng

3.1 Giải bài toán: Ta sẽ dùng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh để giải bài toán trên

Bổ sung thêm đường thẳng vô tận

 sao cho:

;

I BC

K

PQ

MN  với I, J, K

Ta thu được bài toán xạ ảnh như

sau: Trong P2, cho ba đường thẳng a, b, c

phân biệt thuộc chùm tâm I Trên a lấy

hai điểm J, K Trên c lấy hai điểm B, C

Gọi ;DJCb AJBb M, Q lần

lượt nằm trên AB và AD Gọi

;

BC

KM

NQ

MP

O  Chứng minh rằng B, O, D

thẳng hàng

Ta giải bài toán như sau:

Xét hai tam giác BMN và DPQ

J DP

P

O B

M

A

C

J K

Q D

K PQ

I QD

Theo định lý Desargue  MP NQ , BD đồng quy ,

Mà MPNQOOBD

Hay B, O, D thẳng hàng

3.2 Sáng tạo những bài toán mới

Chọn BD làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán sau

Bài toán 1: Trong mặt phẳng afin, cho hình thang MNIJ (MJ//NI) có các cạnh

bên cắt nhau tại K Trên hai cạnh đáy lấy hai điểm A, C AMJ,CNI sao cho

CJ

AI // Q là điểm bất kì thuộc AI , KQ cắt CJ tại P Chứng minh rằng MP // NQ Chọn BC làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán

Bài toán 2: Cho hình thang BOMJ BO // MJ có các cạnh bên cắt nhau tại P Lấy điểm A bất kì thuộc MJ Trên AD lấy điểm Q Đường thẳng qua M , song song với

OQ cắt PQ tại K Chứng minh rằng KJ // AD

Chọn BA làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán

Bài toán 3: Cho tứ giác KNQI , trên IQ lấy điểm D Qua D vẽ đường thẳng song

song với IN cắt NQ tại O Qua O vẽ đường thẳng song song với KN cắt KQ tại P

Chứng minh rằng DP // IK

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng song

song thì các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của chúng đồng quy

4 Kết luận

Đề tài “Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin” đã giải quyết được các vấn đề sau:

1 Xây dựng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin

2 Trình bày mối quan hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng

3 Ứng dụng hình học xạ ảnh phẳng vào giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng

4 Nội dung đề tài là một tài liệu tham khảo tốt dành cho sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh

Hình học xạ ảnh không những được ứng dụng để giải và sáng tạo các bài toán afin

mà còn nhiều ứng dụng khác trong hình học sơ cấp Hy vọng rằng nội dung đề tài còn tiếp tục được mở rộng và hoàn thiện hơn, nhằm phục vụ cho việc dạy và học toán thuộc chương trình phổ thông

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đô, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp, (tập2), Nhà

xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[2] Văn Như Cương (1999), Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[3] Văn Như Cương, Kiều Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội

[4] Văn Như Cương (chủ biên), Kiều Huy Luân, Hoàng Trọng Thái (2001), Hình học 2,

Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[5] Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[6] Nguyễn Mộng Hy (2008), Bài tập hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[7] Phạm Quý Mười (2006), Ứng dụng hình học xạ ảnh vào việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Đại học Đà Nẵng

[8] Nguyễn Cảnh Toàn (1979), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội