§å thÞ Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị + Nêu tính đối xứng của đồ thị + Tìm các điểm mà đồ thị đi qua đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trôc Ox;[r]
Trang 1Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
PhầnI: Một số kiến thức cần nhớ:
I- Đạo hàm và các ứng dụng
1)Các quy tắc đạo hàm:
+ Quy tắc cộng, trừ: u(x)v(x)w(x) u(x)v(x)w(x)
(Đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm).
+ Quy tắc nhân: u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
2
) (
) ( ).
( ) ( ).
( )
(
) (
x v
x u x v x v x u x
v
x
2) Bảng đạo hàm cơ bản.
Trong đó: u là hàm hợp của x
1
.
2
)
(
x
)
( 1
x
x ) cos
(sin (sin u ) u cos u
x
x ) sin
(cos (cos u ) u . sin u
u’
2
1 (tan )
cos
x
x
cos
u
u
x
sin
1 )
(cot
u
sin
1 )
(cot
x
x
e
e )
a a
ax) x ln
( ( au) u au ln a
x
x ) 1
(ln
u
u
) (ln
3) Tính đơn điệu của hàm số
* Định lí:
Cho hàm y=f(x) có đạo hàm trên K
+ Nếu f’(x)>0
+ Nếu f’(x)<0
* Quy tắc tìm khoảng đơn điệu
+ Tìm tập xác định
+ Tính f’(x), xết dấu của nó rồi dựa vào đó kết luận
4) Cực đại,cực tiểu
* Quy tắc tìm cực trị
a) Quy tắc1:
+ Tìm tập xác định
+ Tính f’(x), tìm các điểm tại đó f’(x)=0 hoặc không xác định rồi xết dấu của
nó rồi dựa vào đó kết luận
Trang 2b) Quy tắc2:
+ Tìm tập xác định
+ Tính f’(x), tìm các điểm tại đó f’(x)=0,giả sử là xi
+ Thay mội nghiệm xi vào f’’(x) ta có:
- "# f”(x0) > 0 thỡ x0 là
!"# f”(x0) < 0 thỡ x0 là
5) Giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất
a) Cỏch tỡm GTLN-GTNN trờn (a,b)
+ +
b)Cỏch tỡm GTLN-GTNN trờn [a,b].
+ Tìm các điểm tại đó f’(x)=0 hoặc không xác định giả sử là x1,x2, ,
xn thuộc [a,b]
+ Tớnh f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)
+ Tỡm ; M và C ; m trong cỏc trờn
[ , ] [ , ]
a b
a b
M f x m f x
II- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số- bài toán liên quan
1)Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x)
1.Tìm tập xác định
2 Sự biến thiên của hàm số
a) Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y’
+ Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y’ rồi suy ra chiều biến thiên của hàm số
b) Tìm cực trị
c) Tìm giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận nếu có
d) Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả đã tìm đ ở trên)
3 Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị
+ Nêu tính đối xứng của đồ thị
+ Tìm các điểm mà đồ thị đi qua đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trục Ox; Oy
+ Tính y’’, dựa vào đó tìm toạ độ điểm uốn của đồ thị nếu có
2)Bài toán biện luận theo m số nghiệm
Dựng
+
+
Trang 3+
trình
3)
Kiến thức cần nhớ:
+ Hai
trỡnh
cú
) ( ' ) ( '
) ( ) (
x g x f
x g x f
* Yờu cầu học sinh nắm được cỏc bước trỡnh bày bài giải cỏc dạng bài toỏn sau:
Bài toỏn 1:
tại M0(x0;y0) (C).
_I 1: Nờu :, 2 pttt : y – y0 = f’(x0)xx0 hay y – y0 = k(x – x0) (*)
0, y0, f’(x0) thay vào (*).Rỳt 2 ta cú P#
d 1
Bài toỏn 2:
HD: Từ giả thiết bài toán ta biết hệ số góc k của tiếp tuyến => f’(x0) = k Giải PT
0 => y0 trở về bài toán1
PhầnIi: Bài tập áp dụng.
Bài1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( x2 2 1x ) h) y = 44x – 1
e
i) y = 32x + 5 e-x + 1 j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y =
3x
2 1
4x
x
Bài2:CMR
a) Cho hàm số y=e2x CMR: y'' – 4y' + 29y = 0
b) Cho hàm số y = 2e-xcosx CMR : 2y + 2y’ + y’’ = 0
c) Cho hàm số y=x.sinx CMR: xy – 2(y’ – sinx) + xy’’ = 0
d) Cho hàm số y = esinx CMR : y.sinx – y’cosx + y’’ = 0
Bài3:Tỡm giỏ
a) y = x3 - 3x2 +5 trên [1;3] , [-2;-1)
b) y ln x2 trên [1;e2]
x
2 4
Trang 4d) 3 2 trên
2
e) 4 trên
1 2
x
1; 2
f)y x cos2 x trên ]
2
; 0
Bài 4:Tỡm giỏ
a) 3 2 trờn [-2;-1/2] ; [1,3)
y x x
b) y x 4x2
c) 4 3 trờn (, ?%6h@ (TN-THPT %X!%eg(
2 s inx- sin
3
d)y 2 os2x+4sinxc x?%6hg@ (TN-THPT %!%g(
e) 2 trờn (, [-10,10]
y x x
f) 2 trên
.ln
Bài 5: Cho hàm : y = x3-3mx2 + 3(2m-1)x+1
a) 1 sỏt hàm và vẽ đồ thị (C) khi m=1
b) Xỏc
c) Xỏc (9 m () hàm có cực trị
Bài 6: Cho hàm số y= x3 - 3x (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
x3 - 3x + m = 0
Bài 7: Cho hàm số y = x3 -3x2 + 3mx + 3m +4 (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Xác định m để hàm số có cực trị
c) Xác định m để (Cm) nhận điểm I(1;2) là tâm đối xứng
d) Xác định m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành
Bài 8: Cho hàm số y = 2x2 - x4 (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
x4 - 2x2 - m = 0
thẳng
d: y = -24x +3
Bài 9:Cho hàm số y = 1/2x4+x2-3/2 (C)
Trang 5c) Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên [ -1; 1]
Bài10: Cho hàm số 2 1( )
1
x
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
1
c) Tìm những điểm có toạ độ nguyên thuộc (C)
Bài11:Cho hàm số 2 2
1
x
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox,Oy
c) Tìm các điểm có toạ độ nguyên thuộc (C)
d) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) Tìm điểm M trên (C) sao cho IM ngắn nhất
Bài 12: Cho hàm 3
( ) 1
x
x
a) 1 sỏt và k (G 9 hàm
b) Tỡm cỏc
c)
d) Tỡm
chỳng bộ ;
Bài13: Cho hàm y = (x-1)2(4-x) (C)
c)Tỡm m () (IR 2 S 2 y=3/4.x +m o (C) theo hai (, 0n 2 nhau
d)Tỡm m
x x x m
Trang 6Phương trình ,Bất phương trình mũ và lô ga Rit
PhầnI: Một số kiến thức cần nhớ:
1) Các tính chất của luỹ thừa
;
n m
n
m
a
a
n
m a a
;
m n m n n m
a a
n
b
a b
b
a
b
* Luỹ thừa mũ nguyên âm:
n a
1
a 1
* m,n là số nguyên thì a,b bất kỳ
* m,n là hữu tỉ thì a,b>0
a>1 thì an am n m
0<a<1 thì a n a m nm
2) Lôgarit:
a) Định nghĩa:
(a ,b>0 ,a#1)
b a
b
log
b.Tính chất:
log 1 0; log 1
b m
a
a
logabn n logab ;
c Các quy tắc:
*Tích: log ( ) loga b c a bloga c
loga b loga b loga c
d.Công thức đổi cơ số:
log
log 1 log
log
b
b
a
c
c
c
a
lnxloge x logxlog10 x
3)Phương trỡnh mũlogarit
a YIJ 2 trỡnh t:
+ 0<a1: a f(x) =a g(x) (1) f(x)=g(x)
+ 0<a1: a f(x) = b
b x
f
b
a
log 0
QL v /VK Ta cú ) (L t=a x (t>0),
-I ý l 2 L/ 29 (1 IK (2 3), (7 4 3),… "# trong 8 /IJ 2 trỡnh cú 2x ;b 2x ;axbx} ta cú ) chia hai # cho b2x L a 2x) x
L t=(b/a) x
YIJ 2 phỏp logarit húa: a f(x) =b g(x) f(x).log c a=g(x).log c b
Trang 7b PIJ 2 trỡnh logarit:
+loga f(x)=g(x) g x
a x
+loga f(x)= log a g(x)
x g x f
x
QL v /V
1 Bất phương trỡnh mũlogarit
a Bất phương trỡnh mũ:
* "# a>1 thỡ: a f(x) >a g(x) f(x)>g(x) ; a f(x) a g(x) f(x)g(x)
* "# 0<a<1 thỡ: af(x) >a g(x) f(x) g(x); a f(x) a g(x) f(x)g(x)
b Bất phương trỡnh logarit:
+ "# a >1 thỡ: loga f(x)>log a g(x) ;
0
x g
x g x f
+ "# 0<a<1 thỡ: log a f(x)>log a g(x)
0
x f
x g x f
PhầnIi: Bài tập áp dụng.
Bài1: Rút gọn biểu thức:
3
1 log log 2 5
D = log 6 log 9 log 23 8 6 E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 73 4 5 6 8
4
log 30
log 30
5 625
log 3 log 3
log 24 log 192 log 2 log 2
3 log 7 2 log 49 log 27 loga b logb a
Bài 2:Tìm tập xác định của các hàm số:
3 log
1 log 1
x x
5
log ( 2)
x x
2
log
1
x
x
1 log x 4x 5
2
1 log x 1
a) 2x2 x 8 41 3x 0 b) 2x+2x-1+2x-2=3x-3x-1+3x-2
c) 34x+8-4.32x+5+27=0 d) x x
2 3 2 3 4 0
Trang 8e) 5.4x+2.25x-7.10x=0 g) 9x 3x 2 3x 9
§¸p ¸n: a) -3;-2 b) 2 c) -3/2;-1 d) -1;1 e) 0;1 g) 2
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d)
1
5 x 5 x 20 4 15 x 4 15x 2
a) log2(x-3) + log2(x-1) = 3 b) 1log2(x1) logx14
c) 2 1 d) log2x - logx3 + 2 = 0
8
2 log (x 2) 6 log 3x 5
e) log2(4x+1) = log2(22x+3- 6) + log22x f) 3 log x log 3x 1 03 3
log (2x x 1) log (2x 1) 4
§¸p ¸n: a) 5 b) 3;5/4 c) 3 d) 10; 10 2 e) 0 f) 3; 81 g) 2;5/4
a) 2 b) c) 5.4 d)
6
3
3
3 2.25 7.10 0
x x
x
9 3 3
9x x2 x
3
1
9
3
1 2
9 3 2 3
9x x x
§¸p ¸n: a) x<-3;-2<x<1 b) 1 x 10 c) 0 x 1 d) x>2 e) -1<x<0
f) x 0;x log 2 3
Bµi7: Gi¶i c¸c BPT sau:
3
1
x
x
) 1 ( log 1 ) 3 ( log2 x 2 x log (x2 x 2 5x 6) 1 c) 2 d)
log 4 144 4 log 2 1 log 2 1 (B2006)
e) x f) logx(log3(9x-72)) 1 (A2002)
3
x 1
1 log (9 3 )
Trang 9§¸p ¸n: a) 2 3 ; 1<x<5 b) 0<x<1/2; 1<x<2;3<x<6 c)
2
4
f)log 9 73<x2
Bµi8: Gi¶i c¸c BPT sau:
a) log2 2 + log2x } 0 b) log1/3x > logx3 – 5/2
1 logx logx
2
1
x
log (3 1).log ( )
x
Trang 10Nguyªn hµm ,TÝch ph©n vµ øng dông
PhÇnI: Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí:
A- Nguyªn hµm
1) Định nghĩa :
f x dx F x C
2) Tính chất:
a.TC1: kf x dx k f x dx ; k0
b.TC2: f x g x dx f x dx g x dx
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ a, b A a 0:
dx x C
ln
dx
ax b C
1
1
x
sinxdx cosx C
a
cosxdx sinx C
sinaxdx cosax C
a
cos
dx
x
1 cosaxdx sinax C
a
2
sin
dx
x C x k
1
2
cos
dx
a ax
0
dx
sin
dx
ax C x k a
ax
Trang 11B- Tích phân
1) Định nghĩa: b b
a a
f x dxF x F b F a
2) Tớnh chất:
f x dx f x dx
kf x dx k f x dx k
f x g x dx f x dx g x dx
d TC4: b c b (a<c<b)
f x dx f x dx f x dx
3) Các
Cho f(x) liên tục trên [a,b] Tính b
a
dx x f
- Các bước đổi biến số dạng 1
1 Đặt x = u(t), u(t) có đạo hàm liên tục trên [, ]
2 Biến đổi f(x)dx theo t và dt , giả sử là g(t)dt
3 Đổi cận ,
)
(t
G dt t g dx x f b
a
Ví dụ: a a dx x ta đặt x = atgt, với t
0
2
2
; 2
2 ta đặt x = asint , với t
0 2 2
a
x a
dx
2
; 2
- Các bước đổi biến số dạng 2
1 Đặt t = v(x), v(x) có đạo hàm liên tục
2 Biến đổi f(x)dx theo t và dt , giả sử là g(t)dt
) (
) (
) (
) ( v v b a
b
a
b v
a v
t G dt t g dx x
Trang 12Ví dụ: 1 x xdx ta đặt t =
0
2
4 ta đặt t = sinx
0
3
cos sin
xdx x
b
a
b
a
b
uv udv
Với u = u(x), v = v(x) , dv = v’(x)dx , du = u’(x)dx
Ví dụ: Tính I =1 xe x dx
0
2
Đặt u = 2x du 2dx
x x I =
e v dx e
0
1
0 2
2xe x e x dx
4) ứng dụng
a)Hình phẳng giới hạn bởi các
có diện tích là
) (
) (
0
) (
b a b
x
a
x
Ox truc y
x f y
) 1 ( )
( dx x f S
b
a
+ Nếu f(x)= 0 có nghiệm c a; b tức là a<c<b thì CT (1)
c
c
a
b
c
c
a
dx x f dx x f dx x f dx
x
f
+ Diện tích hình phẳng
) (
) (
x g y
x f y
là:
=>
) 2 ( ) ( ) ( )
( )
b b
a
dx x g x f dx x g x
f
b b
a
x g x f x g x f
S ( ) ( ) ( ) ( )
Chỉ khi trên a; b
b
a b
a
dx x g x f dx x g
x
f( ) ( ) ( ) ( )
Trang 13b) ThÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi h×nh thang cong:
) (
0
) (
b a b x
a x
Ox truc y
x f y
2
( )
b
a
V f x dx
PhÇnIi: Bµi tËp ¸p dông.
2
2 4sin
F x x x f x cos2x
a m 2 minh 5n 2 F x là nguyên hàm f x
b Tìm nguyên hàm G x 0
4
G
cos sin
f x
Tìm nguyên hàm F x f x F
1
sin cos
x
F x
x
các giá x f x f x 0
Bài 4: Cho hàm y xe x
a Tính yvà y 2
b Tìm nguyên hàm f x x2007e x
Bài 5: Cho hàm xsin m 2 minh 5n 2 hàm là
nguyên hàm 2 f x
Bài 6: Tìm nguyên hàm F x 3 23 2 3 1
f x
(Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
1
1
3
Bµi7: TÝnh
b) c) d)
dx x
x
8
0
0
2 cos
2
0 1 cos sin
dx x
x
2 1 2
x x dx
Trang 14e) 1 f) g) h)
0
1 x dx
x x
dx
0
2 cos sin
x x
dx
dx x
x
1 2 2 2
2 1
Đáp án:
a) 100/3 b) c) ln2 d) ln(4/3) e) 4/15 f) g)
8 2
6
2
2
6
h)
4
1
Bài8: Tính
a)4 b) c) d)
1
2 dx
x
x
e
1
ln 1
dx x x
2 0
2
4
0
2 4
e) f) g) h)
2
0
x
x
e
e
dx
2 0
4 ) sin 1 ( cos
x
xdx
0
5 4 3
) 1 (x dx
0
2 cos 3 sin
x xdx
Đáp án:
a) 5/2 b) ( 2 2 1 ) c) 5 d) 8/3 e) f) 7/24 g)
-3
2
12
1/24
Bài9: Tính
a) ln2 b) c) d) e )
0
dx
x
x
2 1 2
ln
xdx x
0
2
1
2 ln ) (
0
2x 1 sinxdx
f) Đ án: a) b) 1/2 1/2ln2 c) d)
4
2
0 cos
xdx
x
4
2
36
13 4 9
2 3 2
e
e
a) y = x2- 2x , y= -x2 + 4x ; Đáp án: a) 9
b) y = x2- 3x +2 , x-y = 1 , x= 0 , x = 2; b) 2
c) y = x2 + 2x, y = x+2 c) 9/2
d) y2= x+2, y = x d)9/2
e) y = xex , y = 0, x = -1, x = 2; e) e 2
2
2 e
f) y = 2+ sinx, y = 1+ cos x với 2 x 0 ; f) 2
2
Bài11:Cho hàm số y = x3-3x +2 (C) Tính diện tích hình phẳng :
1 của (C) tại điểm có hoành độ x=2.
b) Giới hạn bởi (C), tiếp tuyến d1 , tiếp tuyến d2 của (C) tại điểm uốn
Trang 15§¸p ¸n: a)7/4 b) 4/3
Bµi12:
1) y = 0 , y= 2x – x2 quay xung quanh bëi trôc
a) 0x b) 0y
2) y = xex , y = 0 , x = 1 víi x 0 ; 1, quay quanh trôc Ox
3) y = cosx, y = 0 , x = 0, x =
4
§¸p ¸n:1) 2) 3)
15
16 )
a
3
8 )
4
2
e
8
Bµi13:
1) y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (§S : 16)
2) y=x2 ; x=y2 quanh Ox
3) y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox (§S : )
5
16
4) y=-x2+4x ; trôc Ox :
a) Quanh Ox (§S : )
15
512
b) Quanh Oy (§S : )
3
128
5) y=(x-2)2 ;y=4
a) Quanh Ox (§S : )
5
256
b) Quanh Oy (§S : )
3
128
6) y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2
a) Quanh Ox (§S : )
15
206
b) Quanh Oy (§S : 12)
Trang 16Sè phøc
PhÇnI: Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí:
1)§N: Sè phøc z = a+bi (a b, R) vµ i2=-1 cè phÇn thùc lµ a, phÇn ¶o lµ b
+Sè phøc z = a+bi biĨu diƠn bëi ®iĨm M(a;b) trªn mỈt ph¼ng Oxy
+ z a bi a2 b2 lµ m« ®un cđa sè phøc z
+ Sè phøc liªn hỵp cđa z = a+bi lµ z = a-bi
2)Mét sè phÐp to¸n
(a+bi) + (c+di) = (a+c) +(b+d)i
(a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
2 2
a bi a bi c di
2+bx+c= 0 nÕu = b2-4ac<0 PTcã nghiƯm lµ 1,2
2
b i x
a
PhÇnIi: Bµi tËp ¸p dơng
2
Bai1: Xác định phần thực và phần ảo của số phức sau :
a) i + (2 4i) (3 5i) b) ( 2 5i) c) (2 + 3i)(2 3i) d) i(2 i)(3+i)
Đs : a) 1 2i b) 23+10 2i c) 20 d) 1 7i
Bµi2:
a 1 i 1 i b Đáp số : a 0 b
1 i 1 i
7 3 6 14 3 3
i
c)1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20
10 + (210 + 1)i d) ( 2 + 5i )2 + ( 2 - 5i )2
e) i(3 i)(3 i)
f)2 3 i (5 i )(6 i )
Bµi3:
A = (1 i) B = (2 + 4i) D = (1+ i) 13i E =
(1 i)(4 3i)
Bµi4 :Tìm x và y ()K
a (x + 2y)2 = yi b (x – 2i)2 = 3x + yi
Đáp số: a x 2; x 2 b
;
Trang 17Bµi5:Tìm các * x và y () cho hai /m sau 0n 2 nhau:
a) z1 = (x + 2y) + 4i vµ z2 = 5 + (2x +y)i.
b) z1 = (x – 10) + 2(y + 10)i vµ z2 = y + ( x + 17)i.
Bài 6: TÝnh c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau:
4 2
Bµi7
a 2z2 + 3z + 5 = 0 b) 2 c)
4 20 0
d) 2 e z4 – 3z2 + 4 = 0 f)
3z z 5 0
Bµi8:
a) x 2 – x + 2 = 0 b) x 2 – ( 5 -14i)x – 2(5i +12) = 0
c) ( 1- i)x 2 – 2x – (11 + 3i) = 0 d) ( 1+i)x 2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0
a z2 + 2z + 2 = 0 b z2 - 5z + 9 = 0
c -2z2 + 3z - 1 = 0 d (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0
e (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 f
2
Bµi8: Trong
e) z 2 f)1 z 2 g) z 2và
MỘT SỐ ĐỀ THI c¸c NĂM TRƯỚC
Câu 1 : ( Qu TN 2008, phân ban b I )
Tính giá P (1 3 ) i 2 (1 3 ) i 2
Câu 2 : ( Qu TN 2006, phân ban )
2
2 x 5 x 4 0
Câu 3 : ( Qu TN 2007, phân ban L2)
2
x x
Câu 4 ( Qu TN 2008, phân ban L2)
2
x x
... data-page="8">e) 5.4x+2.25x-7 .10x=0 g) 9x 3x 2 3x
Đáp án: a) -3 ;-2 b) c) -3 /2 ;-1 d) -1 ;1... 3 23 2
f x
(Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
1
3
Bµi7: TÝnh... 0 b) 2x+2x-1+2x-2=3x-3 x-1+3x-2
c) 34x+8-4 .32x+5+27=0 d)