Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không trơn Đọc thêm Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không tr

Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không trơn Đọc thêm Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không tr

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MAI HUY TOÀN

NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MAI HUY TOÀN

NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS ĐỖ VĂN LƯU

none

Mục lục

Chương 1 Điều kiện tồn tại nhân tử Lagrange và điểm

1.1 Các kiến thức bổ trợ 61.2 Sự tồn tại nhân tử Lagrange cho nghiệm hữu

hiệu chính thường 181.3 Các định lí điểm Yên ngựa và điểm Yên ngựa

Mở đầu

Lí thuyết các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lí thuyếttối ưu hoá Để dẫn các điều kiện cần tối ưu, người ta thường phát triểncác định lí luân phiên (theorems of the alternative) làm công cụ Cùng vớicác quy tắc nhân tử Lagrange, các định lí điểm yên ngựa trong tối ưu đamục tiêu với các hàm lồi và hàm lồi suy rộng được nhiều tác giả quan tâmnghiên cứu

Z F Li và S Y Wang [5] đã nghiên cứu các điều kiện tồn tại cácnhân tử Lagrange và các điểm yên ngựa yếu cho bài toán tối ưu đa mụctiêu với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều trên cơ sở phát triểnmột định lí luân phiên kiểu Gordan Mối quan hệ giữa nhân tử Lagrange và

điểm yên ngựa yếu, và sự tương đồng giữa nghiệm hữu hiệu chính thườngtheo nghĩa Benson và nghiệm hữu hiệu chính thường theo nghĩa Borweincũng được thiết lập

R Zeng và R J Caron [10] đã thiết lập các định lí luân phiên kiểuMotzkin với các hàm preconvexlike trong không gian tôpô tuyến tính Haus-dorff Từ đó các tác giả chứng minh các định lí nhân tử Lagrange và các

định lí điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón.Luận văn tập trung trình bày các kết quả về các định lí nhân tử La-grange và điểm yên ngựa của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón,mối quan hệ giữa nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa yếu, trên cơ sở pháttriển của các định lí luân phiên kiểu Gordan và Motzkin

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mụccác tài liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày các kết quả của Z F Li và S Y Wang [5] về các

điều kiện tồn tại nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa yếu của hàm Lagrangegiá trị véctơ của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, cùng vớimối quan hệ giữa nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa yếu Một điều kiện

đủ cho sự tương đương giữa các nghiệm hữu hiệu chính thường Benson vàBorwein cũng được trình bày trong chương này

Chương 2 trình bày các kết quả của R Zeng và R J Caron [10] vềcác định lí luân phiên kiểu Motzkin và các định lí nhân tử Lagrange chobài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón trong không gian tôpô tuyếntính Hausdorff Các định lí điểm yên ngựa và định lí vô hướng hoá cũng

được trình bày trong chương này

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS

Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản luậnvăn này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở Viện Toán học, Viện Côngnghệ thông tin Hà Nội, Khoa Công nghệ thông tin, Khoa Toán và Phòng

Đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đãhết lòng giảng dạy, truyền đạt cho em nhiều kiến thức khoa học trong suốtthời gian em học tập tại trường

Xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viêntrong lớp Cao học Toán K1 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ em trongsuốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu,

tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ

đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắcchắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định Em rất mong nhận được

sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoànthiện hơn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2009

Mai Huy Toàn

Chương 1

Điều kiện tồn tại nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa

Chương này trình bày các kết quả về sự tồn tại nhân tử Lagrange và

điểm yên ngựa yếu của hàm Lagrange giá trị véctơ của bài toán quy hoạch

đa mục tiêu, cùng với mối quan hệ giữa nghiệm hữu hiệu yếu (nghiệm hữuhiệu) và điểm yên ngựa yếu (điểm yên ngựa) của hàm Lagrange Sự tương

đương của nghiệm hữu hiệu Benson và nghiệm hữu hiệu Borwein cũng đượctrình bày trong chương này Kết quả chương 1 là của Z F Li và S Y Wang([5], 1994)

1.1 Các kiến thức bổ trợ

Giả sử D là một nón trong Rm Kí hiệu D0 = D ∪ {0} D được gọi lànhọn nếu

D0 ∩ (−D)0 = {0}

D được gọi là sắc nếu bao đóng của D là nhọn

Cho K là một nón lồi nhọn của Rm với int(K) 6= ∅, và cho S là tậpkhông rỗng của Rm Với y, z ∈ Rm, ta định nghĩa ba quan hệ thứ tự theo

K như sau:

y 5K z ⇔ z − y ∈ K;

y ≤K z ⇔ z − y ∈ K \ {0};

y <K z ⇔ z − y ∈ int(K)

Tập của tất cả các điểm K- cực tiểu và K- cực đại được định nghĩa tươngứng như sau:

M inKS = {¯y ∈ S | @y ∈ S sao cho y ≤K y},¯

M axKS = {¯y ∈ S | @y ∈ S sao cho y ≤¯ K y}

(1.1)

Tương tự, tập của tất cả các điểm K- cực tiểu yếu và K- cực đại yếu được

định nghĩa tương ứng như sau:

W − M inKS = {¯y ∈ S | @y ∈ S sao cho y <K y},¯

W − M axKS = {¯y ∈ S | @y ∈ S sao cho y <¯ K y}

Bổ đề 1.1 ([5])

(i)(S ì T )0 = S0 ì T0, nếu 0 ∈ S và 0 ∈ T;

(ii)S + int(S) ⊂ int(S), nếu S là nón với int(S) 6= ∅;

(iii) Nếu S là một nón với int(S) 6= ∅ thì yTy∗ > 0 với bất kì y ∈int(S) và y∗ ∈ S0\{0};

(iv) int(S0) = (clS)s0, nếuS là một nón sắc;

(v) int(S ì T ) = int(S) ì int(T )

Bài toán quy hoạch đa mục tiêu được xét trong luận văn này như sau:

K − minf (x),(V P ) g(x) 5Q 0,

x ∈ M0,

(1.5)

ở đây M0 là một tập con không rỗng của Rn, f : Rn → Rm, g : Rn → Rp,

K là một nón lồi đóng nhọn trong Rm với int(K) 6= ∅, và Q là một nón lồitrong Rp với int(Q) 6= ∅

x ∈ M được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VP) nếu f (¯x) ∈

W − M inKf (M ); x ∈ M¯ được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP)nếu f (¯x) ∈ M inKf (M )

trong đó T (S, y) là nón tiếp tuyến của S tại y ∈ clS và P (S) là nón chiếu

nếu với mọi x1, x2 ∈ M0 và mọi α ∈ (0, 1),

(i) Tồn tạix ∈ M0 sao cho −f (x) ∈ int(K);

(ii) Tồn tại η ∈ K0 \ {0} sao cho ηTf (x) > 0 với mọi x ∈ M0

Bổ đề sau đây là một đặc trưng mới của tính K-subconvexlike

Bổ đề 1.3

Các phát biểu sau đây là tương đương:

(i) f là K-subconvexlike trên M';

(ii)f (M0) + int(K) là lồi;

(iii) Với mọi η ∈ int(K), x1, x2 ∈ M0, và α ∈ (0, 1), tồn tại x3 ∈ M0

Theo định nghĩa của C, tồn tại x1, x2 ∈ M0 và k1, k2 ∈ int(K)thoả mãn

Do tínhK-subconvexlike củaf trênM0và định nghĩa 1.3, tồn tạiη ∈ int(K)

sao cho với mọi γ ∈ (0, 1), x, y ∈ M0, và ε > 0, ta có thể tìm được

Do đó,

αc1 + (1 − α)c2 ∈ C (1.20)

Vì vậy, C là lồi Điều đó chỉ ra rằng (i) ⇒ (ii)

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng (ii) ⇒ (iii) Lấy

Cuối cùng, để hoàn thành chứng minh, ta chỉ ra rằng (iii) ⇒ (i) Giả

sử rằng điều kiện (iii)thoả mãn và η¯là một điểm trong int(K) Đặt η = ε¯η.Với mọi ε > 0, η ∈ int(K) Do điều kiện (iii), với mọi ε > 0, x1, x2 ∈ M0,

và α ∈ (0, 1), tồn tại x3 ∈ M0 sao cho

(f, g) được gọi là K ì Q-convexlike (tương ứng,K ì Q-subconvexlike) trên

M0 nếu H là K ì Q-convexlike (tương ứng, K ì Q-subconvexlike) trên M0

Giả sử η0 ∈ int(K) cố định Như vậy, εη0 ∈ int(K), với mọi ε > 0 Bởi vì

f là K-subconvexlike trên M, theo bổ đề 1.3, với mọi ε > 0, λ ∈ (0, 1), và

x1, x2 ∈ M, tồn tại x3 := x(ε, λ, x1, x2) ∈ M sao cho

Cho t → +∞, ta nhận được

lim yt = f (¯x),lim βt(yt − f (¯x)) = y

Bài toán(Pη) có thể được xem như bài toán vô hướng hoá của bài toán

(V P ) Trong phần tiếp theo ta sẽ cho hai mối quan hệ giữa bài toán (V P )

Chøng minh

Gi¶ sö r»ngx¯lµ mét nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bµi to¸n (V P ) Nh­ vËykh«ng tån t¹i x ∈ M sao cho f (x) <K f (¯x) §Æt

F (x) = f (x) − f (¯x), x ∈ M0

Điều này suy trực tiếp từ bổ đề 1.5 và định nghĩa 1.2 2

Với kết quả này, ta có thể đồng nhất hai loại nghiệm hữu hiệu chínhthường nếu f làK-subconvexlike trên M Do đó, ta không cần phân biệt cácnghiệm hữu hiệu chính thường Benson và Borwein trong phần tiếp sau

Kí hiệu W E và P E, tương ứng là tập các nghiệm hữu hiệu yếu và cácnghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (V P ), và kí hiệuEη là tập tất cảcác nghiệm tối ưu của bài toán (Pη)

η∈K s0

Eη

§Þnh lÝ 1.2

Gi¶ sö r»ng bµi to¸n (V P ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chÝnh quy Slater, f

lµ K-subconvexlike trªn M, vµ (f, g) lµ K × Q-subconvexlike trªn M' NÕu

¯

x ∈ P E, th× tån t¹i m × p - ma trËn Λ¯ tho¶ m·n ΛQ ⊂ K¯ sao cho

f (¯x) ∈ M inK{f (x) + ¯Λg(x) | x ∈ M0},

¯Λg(¯x) = 0

( ¯α, ¯v) ∈ (R1+× Q)0 = (R1+)0 × Q0 = R1+× Q0

tho¶ m·n ( ¯α, ¯v) 6= 0 vµ

¯

α¯ηT(f (x) − f (¯x)) + ¯vTg(x) ≥ 0, víi mäi x ∈ M0 (1.48)

Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau

¯α¯ηf (x) + ¯vTg(x) ≥ ¯α¯ηTf (¯x), với mọi x ∈ M0 (1.49)

Ta chỉ ra rằng α 6= 0¯ Giả sử rằng điều này không đúng, tức là α = 0 Do

( ¯α, ¯v) 6= 0, ta có v 6= 0¯ Do điều kiện chính quy Slater, tồn tại x0 ∈ M0 saocho g(x0) <Q 0 Vì thế,v¯Tg(x0) < 0 Nhưng từ (1.49), v¯Tg(x0) ≥ 0 Điều đócho ta một mâu thuẫn Vì thế α 6= 0¯ Chia (1.49) cho α¯ và kí hiệu λ = ¯¯ v/ ¯α,

Điều đó mâu thuẫn với (1.50) Do đó,

ΛQ ⊂ K sao cho biểu diễn (1.45) đúng

Với nghiệm hữu hiệu yếu ta có định lí sau

không có nghiệm Bởi vì (f, g) là K ì Q-subconvexlike trên M0, H là

K ì Q-subconvexlike trên M0 Theo bổ đề 1.2, tồn tại (¯η, ¯λ) ∈ (K ì Q)0 =

K0 ì Q0, (¯η, ¯λ) 6= 0, sao cho

¯

ηTf (x) + ¯λTg(x) ≥ ¯ηTf (¯x), với mọi x ∈ M0 (1.58)

Vì g(¯x) 5Q 0 và λ ∈ Q¯ 0, ¯λTg(¯x) ≤ 0 Nhưng (1.58) dẫn đến λ¯Tg(¯x) ≥ 0.Vì thế,

Hiển nhiên,D1 là tập lồi khác rỗng trongRm Theo hệ quả 1 của định lí 2.3.8[1] tồn tại véc tơ η ∈ R¯ m, ¯η khác không sao cho

Nếu g(¯x) 65Q 0, thì tồn tạiλ ∈ Q¯ 0 sao cho λ¯Tg(¯x) > 0 Khi giả thiết ||¯λ|| là

đủ lớn và lấy Λ0 = e¯λT, với η¯Te = 1và e ∈ K, ta nhận được

Vì vậy, các điều kiện (i) - (ii) thoả mãn

Bây giờ ta chỉ ra rằng (¯x, ¯Λ) là một điểm yên ngựa yếu của hàm grange L nếu các điều kiện (i) - (iii) thoả mãn Giả sử rằng các điều kiện (i)

La (iii) thoả mãn Bởi vì g(¯x) 5Q 0, ta suy ra

Λg(¯x) 5K 0, với mọi Λ ∈ Γ (1.72)

Theo điều kiện (iii), Λg(¯¯ x) 6<K 0 Do đó,

f (¯x) + Λg(¯x) 6>K f (¯x) + ¯Λg(¯x), với mọi Λ ∈ Γ, (1.73)

Theo định lí trên và bổ đề 1.4(ii), ta có hệ quả sau đây.

Hệ quả 1.2

Giả sử rằng(f, g) là K ì Q-convexlike trên M' và điều kiện chính quySlater thoả mãn Nếux¯là nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán(V P ),thì tồn tại Λ ∈ Γ¯ sao cho (¯x, ¯Λ) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L

2.1 Các khái niệm và định nghĩa

Cho X là một không gian tôpô tuyến tính thực, cho X∗ là không giantôpô đối ngẫu của X Tập con X+ của X được gọi là nón lồi nếu

αx1 + βx2 ∈ X+, ∀x1, x2 ∈ X+, ∀α, β ≥ 0

Một nón dương là một nón lồi với đỉnh tại gốc

Không gian tôpô tuyến tính thực X với một nón lồi được gọi là mộtkhông gian tôpô tuyến tính được sắp Thứ tự bộ phận trên X được định nghĩanhư sau

Giả sử X là một tập khác rỗng, D là một tập con khác rỗng của X, và

Y là một không gian tôpô tuyến tính được sắp với nón dương Y+ Nhắc lại,hàm f : X −→ Y được gọi làY+ - lồi trênD nếu ∀x1, x2 ∈ D, ∀α ∈ (0, 1),

2.2 Các định lí luân phiên kiểu Motzkin suy rộng

Giả sử X, Y, Z, W là các không gian tôpô tuyến tính Hausdorff với cácnón dương tương ứngX+, Y+, Z+, W+có phần trong không rỗngX˚+, ˚Y+, ˚Z+, ˚W+

Do tÝnh låi cña Y+ vµ Z+, ta cã y0 ∈ Y+, z0 ∈ Z+ Tõ gi¶ thiÕt cña tÝnhpreconvexlike, ∃x3 ∈ D vµ τ > 0 sao cho

Bởi vì Y+ì Z+ là một nón lồi đóng, cho nên đỉnh O của nón (đỉnh đó chính

là điểm gốc) thuộc nón Vì vậy,

hf (x), (ξ, η)i ≥ 0, ∀x ∈ D,

tức là,

hF (x), ξi + hG(x), ηi ≥ 0, ∀x ∈ D (2.2)

Chứng minh

Giả sử (S1)không có nghiệm Cũng như trong chứng minh định lí 2.1,

ta có

∃(ξ, η) ∈ Y+∗ ì Z+∗, (ξ, η) 6= O sao choh(F (x), G(x), (ξ, η)i ≥ 0, ∀x ∈ D

(a) f = (F, G, H) lµ (Y+× Z+× {O}, Y × Z × {O})-preconvexliketrªn D.

(b) Điều kiện Slater:

(d) Điều kiện điểm trong:∀ lân cậnV của O trong Y, ∀lân cậnS của

O trong Z, ∃ một lân cậnT của O trong W sao cho T ⊂ H(U ), trong đó

U = {x ∈ D : F (x) ∈ F (˜x) + V − Y+, G(x) ∈ G(˜x) + S − Z+}

Khi đó, một và chỉ một trong các hệ (S1) và (S2) có nghiệm:

(S1) ∃x0 ∈ D sao cho F (x0) <Y˚

+ O, G(x0) ≤Z+ O, và H(x0) = O.(S2) ∃(ξ, η, ς) ∈ (Y+∗ \ {O}) ì Z+∗ ì W∗ sao cho

hF (x), ξi + hG(x), ηi + hH(x), ςi ≥ 0, ∀x ∈ D

Chứng minh

Nếu x và (ξ, η, ς) tương ứng là nghiệm của các hệ (S1) và (S2), thìtheo bổ đề 2.1 ta có,

0 ≤ hF (x), ξi + hG(x), ηi + hH(x), ςi ≤ h(F (x), ξ)i < 0

Điều này là vô lí Do đó, (S1) và (S2) loại trừ lẫn nhau Giả sử rằng (S1)

O là điểm gốc của W Trước hết, ta chỉ ra rằng C lồi Đặt

αt1 + (1 − α)t2

G(x1) + (1 − α)t2

αt1 + (1 − α)t2

G(x2),

Như vậy, ta đã chứng minh được C lồi

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng C 6= ∅˚ Từ điều kiện Slater (SC2), ∃˜x ∈ D

Mặt khác, nếu ta lấy y ∈ ˚¯ Y+ sao cho y − F (˜¯ x) ∈ ˚Y+, thì ∃ một lân cận V

của O trong Y sao cho (V + V cũng là một lân cận của điểm gốc trong Y)

y − F (x) + V ⊂ ˚Y+ (2.4)

Giả sử T có trong điều kiện (d) Khi đó, ta sẽ chứng minh rằng

(¯y + V ) ì S ì T ⊂ C

Thật vậy, ∀(y, z, w) ∈ (¯y + V ) ì S ì T ⊂ C, từ (d), ∃x ∈ U sao cho

w = H(x), trong đóU có trong điều kiện (d) Theo (c), tồn tại y1, z1 sao cho

với số t > 0 nào đó, y ∈ ˚ˆ Y+, ˆz ∈ Z+ Khi đó, ta có

F (x0) = −(1/t)ˆy <Y˚

G(x0) = −(1/t)ˆz ≤Z+ O,H(x0) = O

Điều này kéo theo x0 là một nghiệm của (S1), mâu thuẫn với giả thiết (S1)

không có nghiệm Do đó, C lồi, C 6= ∅˚ , và O 6∈ C

Theo định lí tách tập lồi của không gian tôpô tuyến tính,∃à = (ξ, η, ς) ∈

Y∗ ì Z∗ ì W∗ sao cho

ht(F (x), G(x), H(x)), ài + h(y, z, O), ài ≥ 0, (2.6)

với ∀x ∈ D, ∀(y, z, O) ∈ P = ˚Y+ ì Z+ ì {O}, ∀t > 0 Từ (2.6), ta thấyrằng à ∈ Y+∗ ì Z∗

do điều kiện Slater (SC2), G(˜x) ∈ ˚Z+, η ∈ Z+∗ Đây là một mâu thuẫn Vìvậy,ξ 6= O Như vậy, ta đã chứng minh được rằng, nếu(S1)không có nghiệm,

Định lí 2.4

Giả sử Y, Z, W là các không gian hữu hạn chiều, F : X −→ Y, G :

X −→ Z,H : X −→ W, vàf = (F, G, H)là(Y+ìZ+ìO)-preconvexliketrên D Xét các hệ sau đây:

(S1) ∃x0 ∈ D sao cho F (x0) <Y˚+ O, G(x0) ≤Z+ O, và H(x0) = O.(S2) ∃(ξ, η, ζ) ∈ (Y∗

+ì Z∗

+ ì W∗) \ {O} sao cho

hF (x), ξi + hG(x), ηi + hH(x), ςi ≥ 0, ∀x ∈ D

Khi đó, nếu (S1) không có nghiệm, thì (S2) có nghiệm Hơn nữa, nếu

điều kiện Slater (SC2) hoặc giả thiết chính quy sau đây thoả mãn:

(RH2){(η, ς) ∈ Z+∗ ì W∗ : hG(x), ηi + hH(x), ςi ≥ 0, ∀x ∈ D} = {O},

thì một và chỉ một trong các hệ (S1) và (S2) có nghiệm với ξ 6= 0

Chứng minh

Ta sử dụng các điều kiện (b), (c), (d) để nhận được C 6= ∅˚ trongchứng minh của định lí 2.3 để áp dụng được định lí tách cho không giantôpô Hausdorff Nhưng, với không gian hữu hạn chiều, ta không cần điềukiện C 6= ∅˚ để áp dụng định lý tách Tương tự chứng minh định lí 2.3,

∃(ξ, η, ς) ∈ (Y+∗ ì Z+∗ ì W∗) \ {O} sao cho

h(F (x), G(x), H(x)), (ξ, η, ς)i ≥ 0, ∀x ∈ D

Nếu điều kiện Slater(SC2)hoặc nếu giả thiết chính quy(RH2)thoả mãn thì

Định lí 2.5

Giả sử F : X −→ Y, G : X −→ Z, H : X −→ W là các ánh xạtuyến tính liên tục và H là ánh xạ mở, trong đó X, Y, Z là các không giantôpô tuyến tính Hausdorff Giả sử rằng điều kiện Slater (SC2)hoặc giả thiếtchính quy (RH2) thoả mãn Xét các hệ sau đây:

(S1) ∃x0 ∈ D sao cho F (x0) <˚Y

+ O, G(x0) ≤Z+ O, và H(x0) = O.(S2) ∃(ξ, η, ζ) ∈ ((Y+∗ \ {O}) ì Z+∗ ì W∗) sao cho

hF (x), ξi + hG(x), ηi + hH(x), ςi ≥ 0, ∀x ∈ D

Khi đó, nếu (S1) không có nghiệm, thì (S2) có nghiệm Hơn nữa, nếu

Do đó,

h(F (−x), G(x), H(x)), (ξ, η, ς)i = 0, ∀x ∈ D,