Điều khiển tách kênh hệ tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

Điều khiển tách kênh hệ tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

-

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH

BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH

Ngành : TỰ ĐỘNG HOÁ

Mã số:23.04.3898

Học Viên: HOÀNG ĐỨC QUỲNH

Người HD Khoa học : PGS.TS NGUYỄN DOÃN PHƯỚC

THÁI NGUYÊN - 2009

ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH

BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO

Mục lục

Lời mở đầu

Mục lục 1 Chương 1 Tổng quan về bộ điều khiển tách kênh

1.1 Nội dung bài toán điều khiển tách kênh 3 1.2 Hai phương pháp tách kênh cơ

bản

4

Chương 2 Điều khiển tách kênh trong miền tần số và nhược điểm của nó

2.1 Mô hình ma trận hàm truyền 6 2.2 Đánh giá sự tương tác các kênh 11 Chương 3 Điều khiển tách kênh bằng phản hồi trạng thái

3.1 Điều khiển phản hồi trạng thái 12 3.2 Thuật toán tìm các bộ điều khiển của bài toán tách kênh 14 Chương 4 Quan sát trạng thái

4.1 Bộ quan sát Luenberger 25 4.1.1 Phân tích tính quan sát được 25

4.1.1.1 Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn 25 4.1.1.2 Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính 26 4.1.1.3 Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của

hệ tham số hằng 32 4.1.2 Bộ quan sát Luenberger 35 4.1.2.1 Phương pháp thiết kế 35 4.1.2.2 Các phương pháp khác nhau phục vụ bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực 38

a Phương pháp Ackermann 38

b Phương pháp Roppenecker 40

d Bài toán điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu

Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương 50

4.2 Các bộ quan sát trạng thái tuyến tính khác 58

4.2.1 Bộ quan sát Kalman 58

4.2.2 Bộ điều khiển tối ưu phản hồi đầu ra LQG 61

4.3 Kết luận về chất lượng hệ kín: NGUYÊN LÝ TÁCH 63

Chương 5 Nghiên cứu khả năng ghép chung bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái 5.1 Mô phỏng hệ MIMO tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra 65

5.1.1 Đối tượng thứ nhất 65

5.1.2 Đối tượng thứ hai 70

5.2 Mô phỏng bộ điều khiển tách kênh cho đối tượng MIMO tuyến tính 75

5.2.1 Đối tượng thứ nhất 75

5.2.2 Đối tượng thứ hai 83

5.3 Mô phỏng bộ quan sát Luenberger cho đối tượng MIMO tuyến tính

91 5.3.1 Đối tượng thứ nhất 91

5.3.2 Đối tượng thứ hai 99

5.4 Nghiên cứu mô phỏng khả năng ghép chung bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái 105

5.4.1 Đối tượng thứ nhất 105

5.4.2 Đối tượng thứ hai 112

Kết luận 119 Danh mục tài liệu tham khảo

Danh mục các hình vẽ, đồ thị sử dụng trong luận văn

Tóm tắt luận văn

LỜI MỞ ĐẦU

Điều khiển hệ thống là bài toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để

hiệu chỉnh, để biến đổi sao cho nó có chất lượng mong muốn Kết quả của bài

toán điều khiển có thể là một tín hiệu điều khiển thích hợp hoặc một bộ điều

khiển tạo tín hiệu điều khiển thích hợp cho đối tượng Các bộ điều khiển bao

gồm các cấu trúc: Điều khiển hở, điều khiển phản hồi trạng thái, điều khiển phản hồi tín hiệu ra

Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho

hệ SISO (ví dụ: bộ điều khiển PID) Để sử dụng các bộ điều khiển đó cho hệ

MIMO, ta phải can thiệp sơ bộ trước vào hệ MIMO, biến một hệ thống

MIMO thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu

đầu vào

Bộ điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn định chất lượng

mong muốn cho đối tượng dù trong qúa trình điều khiển luôn có những tác

động nhiễu Để ứng dụng tốt bộ điều khiển trạng thái trong việc điều khiển hệ

thống MIMO, cần sử dụng kết hợp với bộ Quan sát trạng thái để có thể lấy

chính xác và đầy đủ nhất các thông tin về chất lượng động học của đối tượng Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết phải nghiên cứu trên, tác giả muốn đóng

góp một phần nhỏ vào việc nghiên cứu khả năng kết hợp giữa bộ quan sát

trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh hệ MIMO tuyến

tính để có được bộ điều khiển tách kênh phản hồi đầu ra

Được sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy PGS.TS Nguyễn Doãn Phước – Trưởng bộ môn Điều khiển tự động Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

tôi đã tiến hành nghiên cứu đề tài:

ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH BẰNG PHẢN HỒI

ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH

Đề tài nghiên cứu thành công sẽ chứng minh khả năng kết hợp giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh hệ M M tuyến tính Nói cách khác, nó sẽ chứng minh được nguyên lý tách cũng đúng trong điều khiển tách kênh

Dựa trên lý thuyết được nghiên cứu của đề tài sẽ thiết kế được bộ điều khiển cho một số đối tượng tuyến tính trong thực tế và hướng ứng dụng kết quả nghiên cứu vào thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh cho các đối tượng tuyến tính trong các hệ thống tự động điều khiển quá trình sản xuất, đặc biệt là với các quá trình chưng cất

Sau một thời gian học tập và nghiên cứu đến nay bản luận văn của tôi đã được hoàn thành Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Doãn Phước - Thầy giáo hướng dẫn trực tiếp, người đã đưa ra hướng nghiên cứu tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nâng cao trình độ kiến thức

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình vừa qua

Vì điều kiện về thời và khả năng của bản thân có hạn nên bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong các thầy cô cùng các bạn đồng nghiệp góp ý sửa đổi, bổ xung thêm để bản luận văn thêm hoàn thiện

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi, có sự hỗ trợ từ

Thầy hướng dẫn và những người tôi đã cảm ơn Các nội dung nghiên cứu và kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ công trình nào

Thái nguyên, ngày 25 tháng 07 năm 2009

Tác giả

Hoàng Đức Quỳnh

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ BỘ ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH

1.1 Nội dung bài toán điều khiển tách kênh

Hệ thống điều khiển nhiều chiều là hệ có nhiều đại lượng điều chỉnh và nhiều đại lượng được điều chỉnh tức là có nhiều đại lượng đầu vào và nhiều đại lượng đầu ra (MIMO) Các đại lượng này không độc lập mà liên quan chặt chẽ tác động qua lại lẫn nhau Chỉ cần một sự thay đổi nhỏ của đại lượng nào

đó cũng gây ra sự thay đổi của đại lượng khác làm mất cân bằng hệ thống Vì vậy nó là hệ thống khó điều khiển

Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho hệ SISO, bộ điều khiển PID là một ví dụ điển hình Vì mong muốn

sử dụng các bộ điều khiển đó cho hệ MIMO, người ta nghĩ đến việc can thiệp

sơ bộ trước vào hệ MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra yi (t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi (t)

Ta nói rằng hệ thống đã được phân ly, tín hiệu ra của 1 kênh bất biến với tác động điều khiển của các kênh khác

1.2 Hai phương pháp tách kênh cơ bản

Phương pháp 1: Phương pháp Falb – Wolovich

Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u1, u2,…um và cũng có m đầu

ra y1, y2,…,ym mô tả bởi:

u B x A dt

x

d

Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình trên mô

tả, sao cho đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi(t) với i = 1,2, , m Sự phụ thuộc đó được mô tả trong miền thời gian bởi phương trình

+ 1

hệ kín có ma trận truyền đạt dạng đường chéo:

Phương pháp 2: Phương pháp Smith - McMillan

Phép biến đổi Smith – McMilan trình bày sau đây cho phép thiết kế các

bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S (s) của đối tượng, không cần phải vuông, tức là không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng:

Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh

Phép biến đổi Smith – McMilan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột của

ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương đương)

Chương 2 ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH TRONG MIỀN TẦN SỐ

VÀ NHƯỢC ĐIỂM CỦA NÓ

2.1 Mô hình ma trận hàm truyền

Phép biến đổi Smith – McMilan trình bày sau đây cho phép thiết kế các

bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S (s) của đối tượng, không cần phải vuông, tức là không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng:

Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh

Phép biến đổi Smith – McMilan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột của

ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương đương) Chúng bao gồm:

- Hoán đổi vị trí véctơ hàng thứ i với hàng thứ k của S (s) Việc này tương ứng phép nhân Iik với S (s), trong đó Iik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và k (hoặc hai cột) Ví dụ:

suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ ik bằng phần tử c Ví dụ:

d(s)

( ) ( )

k k

Như vậy phép biến đổi Smith – McMillan không cần có giả thiết S (s) phải là

ma trận vuông và có E không suy biến Ma trận G (s) được tạo thành là tương đương với S (s) theo nghĩa:

G(s) = ST(s)S(s)SP(s)

Trong đó ST(s) và SP(s) là những ma trận không suy biến (với phần lớn các giá trị s), được sinh ra từ những phép biến đổi hàng cột của S (s) Chúng chính là hai bộ điều khiển tách kênh đối tượng S (s) như mô tả ở hình vẽ trên

( )

P

G(s)

H×nh 2.1:ThiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh

theo Smith - McMillan

2.2 Đánh giá sự tương tác các kênh

Tương tác được hiểu là tác động qua lại hoặc ảnh hưởng lẫn nhau giữa các đối tượng tham gia tương tác Trong hệ MIMO, sự tương tác được thể hiện qua sự thay đổi của một biến sẽ ảnh hưởng tới các biến còn lại với các mức độ khác nhau

Giữa hai biến xi và xj trong hệ thống có thể có các quan hệ: tương tác 2 chiều (sự thay đổi của bất kỳ biến nào cũng sẽ ảnh hưởng tới biến còn lại); tương tác 1 chiều, chẳng hạn từ xi sang xj (chỉ sự thay đổi của xi mới ảnh hưởng tới

xj còn thay đổi xj không ảnh hưởng tới xi ); hoặc giữa 2 biến không có tương tác

Mức độ tương tác giữa các biến được thể hiện qua hệ số tương tác Hệ số tương tác tĩnh giữa biến vào ui và biến ra yj ký hiệu là ji được định nghĩa là

tỷ số giữa hệ số khuếch đại vòng hở (khi chưa có điều khiển) và hệ số khuếch đại vòng kín (khi đã có điều khiển) Khi ji= 1: yj chỉ phụ thuộc vào riêng ui,

ji

 = 0 : giữa ui và yj không có quan hệ gì, ji< 1: thể hiện hệ số khuếch đại từ

ui sang yj sẽ giảm khi khép mạch và ngược lại

Giả sử hệ thống có n biến vào điều khiển n biến ra và ma trận truyền đạt: G(s) = [gij]nxn

Các hệ số tương tác jitương ứng với các phần tử của ma trận có hệ số khuếch đại tương đối ký hiệu là G được xác định theo công thức:

G = G(s) x (G(s)-1)T = [ji(s)]nxn

ý nghĩa của hệ số tương tác ji: Đánh giá mức độ tương tác giữa các biến trong hệ thống và trợ giúp việc cặp đôi các biến điều khiển và biến được điều

khiển trong trường hợp sử dụng cấu trúc điều khiển phi tập trung, khi ji 1

sẽ dùng uj để điều khiển yi Tuyệt đối tránh trường hợp cặp đôi uj và yi mà

ji

 <0 Một trong những nhiệm vụ quan trọng khi điều khiển hệ MIMO là giảm thiểu hoặc khử t -¬ng t¸c gi÷a c¸c ®Çu ra

Chương 3 ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH BẰNG PHẢN HỒI TRẠNG THÁI

3.1 Điều khiển phản hồi trạng thái

ở đối tượng điều khiển, các tín hiệu trạng thái x1(t), x2(t), , xn(t) được viết chung dạng véctơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xn(t))T , là thành phần chứa đựng đầy

đủ nhất các thông tin chất lượng động học hệ thống Nó phản ánh nhanh nhất

sự ảnh hưởng của những tác động bên ngoài vào hệ thống, kể cả những tác động nhiễu không mong muốn Bởi vậy, để có thể tạo ra được cho đối tượng một chất lượng mong muốn, ổn định với các tác động nhiễu, cần phải có được một tín hiệu áp đặt ở đầu vào là u (t) phản ứng kịp theo những thay đổi trạng thái của đối tượng

Bé ®iÒu khiÓn

Hình vẽ trên biểu diễn nguyên tắc điều khiển phản hồi trạng thái Bộ điều khiển sử dụng tín hiệu trạng thái x(t) của đối tượng để tạo ra được tín hiệu đầu vào u (t) cho đối tượng Vị trí của bộ điều khiển có thể là ở mạch truyền thẳng (hình 3.1a) hoặc ở mạch hồi tiếp (hình 3.1b)

Hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn định chất lượng mong muốn cho đối tượng, mặc dù trong quá trình điều khiển luôn có những tác động nhiễu Xét phản ứng của người lái xe làm ví dụ, trong đó người lái xe được xem như là bộ điều khiển và chiếc xe là đối tượng điều khiển Nhiệm vụ của bộ điều khiển là giữ ổn định tốc độ xe và vị trí của xe phải luôn nằm trong phần đường bên phải của vạch phân cách Như vậy người lái xe (bộ điều khiển) đã:

- Dựa vào khoảng cách của xe với vạch phân cách (trạng thái của đối tượng điều khiển) để đưa ra quyết định phải đánh tay lái sang phải mạnh hay nhẹ

- Dựa vào tình trạng của mặt đường như lên dốc hay xuống dốc (tác động của tín hiệu nhiễu tới chất lượng hệ thống) để điều chỉnh số và bàn đạp ga

Bé ®iÒu khiÓn

3.2 Thuật toán tìm các bộ điều khiển của bài toán tách kênh

Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u1, u2,…um và cũng có m đầu

ra y1, y2,…,ym mô tả bởi:

u B x A dt

x

d

Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình trên mô

tả, sao cho đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi(t) với i =

1,2, , m Sự phụ thuộc đó được mô tả trong miền thời gian bởi phương trình

hệ kín có ma trận truyền đạt dạng đường chéo:

Để xác định ri cho riêng kênh thứ i ta sử dụng khái niệm bậc tương đối tối thiểu được định nghĩa:

Bậc tương đối tối thiểu r =n-m của hệ SISO có hàm truyền đạt

tương ứng của nó bằng công thức sau:

T

T s

( ) ( ) ( )

m m

Sau đây ta sẽ xét bài toán cho hệ MIMO có m tín hiệu vào u1(t), , um(t) và

m tín hiệu ra y1(t), , ym(t) với mô hình trạng thái dạng hợp thức chặt:

A(s) = a 0 +a 1 s+ +a n s n = det(sI-A)

B(s) = b 0 +b 1 s+ +b m s m = det( )

T adj

với A adj là ma trận bù của ma trận (sI-A)

Hàm truyền đạt G (s) luôn hợp thức và nếu mô hình trạng thái

T

dx

Ax bu dt

sX(s) = aX(s) +bU(s) X(s) = (sI-A)-1bU(s)

Tương tự, ảnh Laplace của phương trình thứ hai là:

Y(s) = cTX(s)+dU(s)

Với hai kết quả trên ta suy ra được điều phải chứng minh thứ nhất:

Y(s) = [cT(sI-A)-1b+d]U(s)

Với A adj là ma trận có các phần tử a ij   ( 1)i j detA ji, trong đó ma trận A ji thu được từ (sI-A) bằng cách bỏ đi hàng thứ j và cột thứ i (bỏ đi hàng và cột chứa phần tử đối xứng với aiJ ), nên:

T adj T

và đó là điều phải chứng minh thứ hai

Cuối cùng, do A adjcó các phần tử là định thức của ma trận (n-1) hàng (n-1) cột lấy từ (sI-A), tức là đa thức có bậc không quá n -1, nên T

adj

c A b có bậc cao nhất cũng chỉ là n -1 Bởi vậy từ (3.4) ta suy ra điều phải chứng minh thứ ba

Tương tự như hàm truyền đạt cho hệ SISO, ta định nghĩa: ma trận truyền đạt

G (s) cho hệ MIMO là loại ma trận thoả mãn:

Y(s) = G(s)U(s)

Trong đó U(s) là ký hiệu chỉ ảnh Laplace của véctơ tín hiệu vào u(t) và Y(s)

là ảnh Laplace của véctơ tín hiệu ra y(t) khi hệ có tất cả các trạng thái đầu vào bằng 0, thì ma trận G (s) cũng được xác định từ mô hình trạng thái của nó như sau:

( ) ( ) ( )

m m

Khi đó, trong miền phức, các hệ này cùng có ma trận truyền đạt dạng véctơ hàng:

là bậc tương đối tối thiểu của Hi, ta có thể thấy ngay rằng ri được xác định từ

mô hình trạng thái (3.6) của Hi như sau:

Suy ra điều phải chứng minh (Định lý 3.1)

Vậy từ đây ta sẽ có từ phương trình mô hình trạng thái với đầu ra thứ i:

yi = ci

T

x

các quan hệ sau:

1 1

1

0 1

0 1

1 1

0 1

m

mk m k

0 1

1 1

0

i

i

m m

m

mk m k

k

r

T k T r m

mk m k

1 1

E phải là ma trận không suy biến

Vậy thuật toán tìm các bộ điều khiển R và M cho bài toán tách kênh sẽ như sau:

1 Xác định véctơ bậc tương đối tối thiểu (r1, ,rm) của đối tượng

với si1, si2, , s i r,i là các điểm cực chọn trước cho kênh thứ i

b Chọn bi = ai0 để kênh thứ i không có sai lệch tĩnh

3 Lập các ma trận E, F, L rồi tính M, R theo các công thøc (3.9) vµ (3.10)

Chương 4 QUAN SÁT TRẠNG THÁI 4.1.Bộ quan sát Luenberger

4.1.1 Phân tích tính quan sát được

4.1.1.1 Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn

Trong bài toán điều khiển, người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi các tín hiệu trạng thái hoặc các tín hiệu ra Vấn đề muốn nói ở đây không phải là sự cần thiết của việc phản hồi mà phải làm thế nào để thực hiện được việc phản hồi những tín hiệu đó Tất nhiên rằng ta phải đo chúng, phải xác định được giá trị của các tín hiệu cần phản hồi

Thông thường, việc xác định giá trị tín hiệu một cách đơn giản nhất là đo trực tiếp nhờ các thiết bị cảm biến (sensor) Song không phải mọi tín hiệu đều có thể đo được một cách trực tiếp Rất nhiều các tín hiệu chỉ có thể được đo một cách gián tiếp thông qua những tín hiệu đo được khác Chẳng hạn:

- Gia tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc độ trong một khoảng thời gian

- Giá trị công suất có được nhờ việc đo dòng điện và điện áp

Để thống nhất chung, người ta sử dụng khái niệm quan sát một tín hiệu để chỉ công việc xác định tín hiệu một cách gián tiếp thông qua các tín hiệu đo được khác (thường là các tín hiệu vào /ra)

Định nghĩa 4.1: Một hệ thống có tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) được gọi là:

a Quan sát được tại thời điểm t 0 , nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn T >t 0 để điểm trạng thái x(t 0 )=x 0 , xác định được một cách chính xác thông qua vectơ các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t 0 ,T]

b Quan sát được hoàn toàn tại thời điểm t 0 , nếu với mọi T >t 0 , điểm trạng thái x 0 =x(t 0 ) luôn xác định được một cách chính xác từ véctơ các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t 0 ,T]

Chú ý: Yêu cầu phải đo trong khoảng thời gian hữu hạn là rất quan trọng Khoảng thời gian quan sát càng ngắn sẽ càng tốt cho công việc điều khiển sau này Nếu thời gian quan sát quá lớn, điểm trạng thái x0 vừa xác định được sẽ

mất ý nghĩa ứng dụng cho bài toán điều khiển, ví dụ khi có được x0 thì có thể

hệ đã chuyển đến một điểm trạng thái mới cách rất xa điểm trạng thái x0

4.1.1.2 Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính

Một cách tổng quát, sau đây ta sẽ xét hệ tuyến tính có thể không dừng với:

0

0

0 0

0 0

0

0 0

b Quan sát được hoàn toàn tại t 0 khi và chỉ khi với mọi giá trị T >t 0 , các véctơ cột của ma trận C (t) (t-t 0 ) độc lập tuyến tính trong khoảng t0t <T

t

t

x t C t  t t x    t  B  u d

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

0 0

0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

quan sát được tại t0 nếu tồn tại một

khoảng thời gian hữu hạn [t0,T] để x(t0)=x0 xác định được từ u(t) và y(t) khi

có t0 t<T Điều này đồng nghĩa với việc phương trình (4.1) có nghiệm x0

0

0 0

 

0

0 0

0

1 ( ) ( ) (1,1 1) ( 1) 1

0 1

1 ( 1) 1

quan sát được tại thời điểm t0 nếu tồn

tại T1>t0 hữu hạn sao cho các véctơ cột của C  (t t0) không phụ thuộc tuyến tính trên toàn khoảng [t0, T1] Vì C là ma trận hằng nên   (t t0 )là thành phần duy nhất phụ thuộc t trong tích C  (t t0)

(Giả sử đầu tiên ta xét đối tượng

Trong đó

( ) 0

( ) 0

0

) ( ) ( )

( ) 0

( ) 0

Giống như mô hình

quan sát được tại thời

điểm t 0 thì nó cũng quan sát được tại mọi thời điểm t 0

quan sát được tại t0 thì sẽ tồn tại một giá trị hữu

hạn T >t0 để các véctơ cột của ma trận C (t)   (t t0) độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian t0 t<T

Xét tại một thời điểm t1 0 bất kỳ, từ định lý 4.4 về tính chất của  ( )t , ta có:

1

( ) ( )

C t  t t cũng vì thế mà độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian t1 t<T Bởi vậy theo định lý 4.2, hệ quan sát được tại thời điểm t1 suy ra điều phải chứng minh

4.1.1.3 Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số hằng

Cho hệ tuyến tính tham số hằng mô tả bởi:

Được gọi là hệ đối ngẫu với hệ đã cho

Có thể thấy ngay được là từ ma trận truyền đạt của hệ (4.3):

là độc lập tuyến tính Vậy theo định lý 4.2, hệ