b Trường hợp thứ 2c.g.c: Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.. c Trường hợp thứ 3 g[r]
Trang 1Ngày soạn: / / 2011 Ngày giảng: / / 2011
Buổi 1 – Chuyên đề 1
I tiêu
1 Kiến thức
- Hs
2 Kĩ năng
- Rèn
3 Thái độ
- Rèn
II !
GV: Nghiên $+ /6 giáo án
HS: Ôn
III
1 * +! , -
2 /01 tra bài 3 ( Không )
3 Bài 1:
I Lý ("
* = >? 6 pháp 1: >? 6 pháp &B2 vào E3( F2 G H .
' 8 hàm f(x) sao cho:
* y = M – [g(x)]2n , n Z+ y M
Do V ymax = M g(x) = 0
* y = m + [h(x)]2n , n Z+ y m
Do V ymin = m h(x) = 0
* >? 6 pháp 2: IB2 vào J +K 6 - Côsi:
* Ghi nhớ:
Ta có: a + b ³ 2 ab a, b là hai không âm) $%& ' xãy ra khi a = b
a 1 + a 2 + a 3 + + a n n 1 2 3 0 a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a n
n
n a a a a
³
không âm) $%& ' xãy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = = a n
2*
34& a.b = k (không 56" thì: Min(a + b) = 2 k (khi và 9 khi a = b).
34& a + b = k (không 56" thì: Max(a.b) = (khi và 9 khi a = b).
4
2
k
:4 ;&< trên còn 5?@ !A +B 0 n không âm.
Trang 2Bài 1: Cho x > 0; y> 0 Tìm giá
2
1 1
1
y x
y
x
_ `E
Vì: x > 0; y > 0 nên 1 0 ;1 0 ; x 0 ; y 0
y x
)_ 2 ta có: Suy ra:
y x
1
;
1
y x y
x
1 1 2
1 1
1
4 4
1 1
xy
ta
y
x ;
A = x y 2 x y 2 4 4&U"+ “=” xãy ra x = y = 4 ).
DA4E MinA = 4 (khi và d khi x = y = 4)
* Lưu ý phương pháp giải:
Trong
cách )A ! >
y x
1 1
2
b a
2
1 1 1
y
)
y
x
theo f+ a + b 2 ab xy 4
Biện pháp : M5 khi +0 tìm B #! O2 1P 0 - ta Q = R tìm B #!
O2 bình = >? 6 O2 0 - +S
:0
Cách 1:
có
3
7 3
5
x
A2 = (3x – 5) + (7 – 3x) + 2 ( 3x 5 ).( 7 x) = 2 + 2 ( 3x 5 ).( 7 3x)
A2 2 + (3x – 5) + (7 – 3x) = 4( U"+ “=” xãy ra 3x – 5 = 7 – 3x x = 2).
DA4E maxA2 = 4 maxA = 2( khi và d khi x =2)
Cách 2:
Theo 'n Bunhiacopski ta có: 2 2 2 2 2
ab cd (a c )(b d )
U"+ “=”.:4 ra khi ad = bc
Trang 3npJnE .
3
7 3
5 x
1 3x 5 1 7 3x 1 1 3x 5 7 3x 2
maxA = 2 Khi:
II Bài G= CG & 6
Bài 1: Tìm giá
3
34 6
x
x x
R
npJnE x 0
3
25 3
3
25
32
x
x x
x
& "+ “=” :4 ra 4)
3
25
x x
DA4 min M = 10 (khi và d khi x = 4)
Bài 2: Cho x > 1, tìm giá
1
25 4
x x
R
1
25 1 4 2 4 1
25 1
x
x x
x
& "+ “=” :4 ra )
2
7 1
25 1
x x
DA4 min A = 24 (khi và d khi )
2
7
x
a)
Bài 3: Cho x, y, z là các xyz 12
Tìm giá
x
z z
y y
R
P2 =
y
x z x
z y z
y x x
z z
y
y
Áp
x yz
z y x x z
z
y x z
y x y
x
4
4 4
2 2 2
y xz
x z y y x
x
z y x
z y z
y
4
4 4
2 2 2
z yx
y x z z y
y
x z y
x z x
z
4
4 4
2 2 2
Trang 4Do V P2 4xyz x yz 3 xyz
P2 3.12 = 36 & "+ “=” :4 ra x = y = z = 4)
DA4 min P = 6 (khi và d khi x = y = z = 4)
Bài 4: Cho x, y, z là các x yz a
z
a y
a x
a
1 1
1
R
;
x
yz x x
yz x
x
z y x
x
x
;
y
xz y y
xz y
y
z x y y y
;
z
yx z z
yx z
z
y x z z z
Do V Q & "+ “=” :4 ra x = y = z = )
64
64 4 4
xyz
xyz
3
a
DA4 min Q = 64 (khi và d khi x = y = z = )
3
a
Bài 5: Cho x, y, z 0 xyz a
z y
R
2
2
2
y
x
2
2 2
z y
2
2 2
x z
;
2 2 2
z y x zx yz
x y z xy yz zx
zx yz
3A 2 ; A & "+ “=” :4 ra x = y = z = )
a
3
2
a
3
a
DA4 max A = (khi và d khi x = y = z = )
3
2
a
3
a
b) B = x2 y2 z2 xyz2 2xy yzzx
B = a2 2xy yzzx
B min xy yzzx max (theo câu a)
3
2
a zx yz
Lúc V B = (khi và d khi x = y = z = )
3 3
2 2 2
3
a
4 >: 6 &V CW nhà
Trang 5Bài 6: Cho x > 0 ; y > 0 và x y 6 Tìm giá
y x y x
M@= án.
P =
y
y x
x y
y x x y
= 12 + 12 + 8 = 32 & "+ “=” :4 ra và )
x
3
y
y16
và )
x 2 y 4
DA4 min P = 32 (khi và d khi x 2; y 4)
Bài 7: Cho x > y và xy = 5, tìm giá
y x
y xy x
Q
2 1,2 2
M@= án.
8 16 2 16 2
, 3
2
y x y x y
x
xy y
x
y x y
x = 5 ; y = 1 và x = -1 ; y = -5) DA4 min Q = 8 (khi và d khi x = 5 ; y = 1 ;x x = -1 ; y = -5)
Trang 6Ngày soạn: / / 2011 Ngày giảng: / / 2011
Buổi 2 - Chuyên đề 2 + 3.
PHÉP CHIA
TRÌNH DIOPHANTE
I tiêu
1 Kiến thức
-
2 Kĩ năng
- Rèn
3 Thái độ
- Rèn
II !
GV: Nghiên $+ /6 giáo án
HS: Ôn
III
1 * +! , -
2 /01 tra bài 3
- < bài 2G 5) cho &6 hôm +? ?
3 Bài 1:
1 Các bài toán chia hết và phương hướng tìm lời giải :
1.1) IJ K minh A(n) chia 4 cho !B nguyên p, có J xét !M +?N @G 0O P? khi chia n cho p (0, 1, 2, …, p 1)
2
Ví PT : ($ minh 9 n(n2 + 1)(n2 + 4) 5 )_ < nguyên n
D_ r = 0 thì n 5 A(n) 5
D_ r = 1 thì (n2 + 4) = [(5k 1)2 + 4] = 25k2 10k + 5 5 A(n) 5
D_ r = 2 thì (n2 + 1) = [(5k 2)2 1] = 25k2 10k + 5 5 A(n) 5
1.2) IJ K minh A(n) chia 4 cho @G m, nói chung ta nên phân tích
m ra U # < V
m = p.q
34& p,q là nguyên hay (p,q) = 1 thì ta tìm cách K minh A(n) p và
Trang 7A(n) q U 5 suy ra A(n) pq = m.
Ví
+ 1)(n + 2)
Trong ba
cho 3
(lúc
Vì (2,3) = 1 nên A(n) = n(n + 1)(n + 2) 6
34& p và q không nguyên cùng nhau thì ta phân tích A(n) thành nhân V
X Y A(n) = B(n).C(n) và tìm cách K minh B(n) p và C(n) q Khi 5
A(n) = B(n)C(n) pq = m.
Ví
< :
A(n) = 2n(2n + 2)
Ta có 8 = 2.4 và A(n) = 2n(2n + 2) = 4.n(n + 1); n và n + 1 là hai nguyên
1.3) IJ K minh A(n) chia 4 cho m, ta có J 4 56 A(n) thành 6
\ O& Y và K minh !] Y chia 4 cho m.
Ví
13
< : Ta g $ minh : A(n) = n3 – 13n 6
Ta có A(n) = n3 – 13n = n3 – n – 12n = n(n2 – 1) – 12n = n(n – 1)(n + 1) – 12n
Vì n(n – 1)(n + 1) là tích
1.4) IJ K minh !B 6 nào 5 không chia 4 cho m, có J K minh !B Y nào 5 \ 6 không chia 4 cho m còn % < các Y còn
Y chia 4 cho m.
Ví PT : ($ minh 9 )_ < n 3 : n2 + 4n + 5 không chia
n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = (4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) + 5
= (4k2 + 4k) + (8k + 8) + 2 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2
Vì k(k + 1) 2 nên 4k(k + 1) 8 ; 8(k + 1) 8 và 2 không chia
n2 + 4n + 5 không chia
Trang 81.5) Có J K minh ' quy YG toán M :
quy
Z? 1 : :J! tra !` 5O 5a 0 n = 1 b n = n o )
Z? 2 : < V !` 5O 5a 0 n = k > 1 b k > n o ) ; (Ta M là < 4 quy YG"# de K minh !` 5O 5a 0 n = k + 1.
Z? 3 : :4 &2 !` 5O 5a 0 !M f nhiên n.
Ví PT : ($ minh 9 16n – 15n – 1 225.
< : D_ n = 1 thì 16n – 15n – 1 = 16 – 15 – 1 = 0 225 & vL
: 16k – 15k – 1 225
Ta $ minh : 16k+1 – 15(k + 1) – 1 225.
k+1 – 15(k + 1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1 = (15 + 1).16k – 15k – 15 –
1 =
= (16k – 15k – 1) + 15.16k – 15
Còn 15.16k – 15 = 15(16k – 1) = 15.(16 – 1).M 15.15.
DA4 16k+1 – 15(k + 1) – 1 225.
Bài tập áp dụng :
1) ($ minh 9 : A = 75(41975 + 41974 + 41973 + … + 42 + 5) + 25 chia
cho 41976
< : A = 25.3(41975 + 41974 + 41973 + … + 42 + 4 + 1) + 25
A = 25.(4 – 1) (41975 + 41974 + 41973 + … + 42 + 4 + 1) + 25
A = 25.(41976 – 1) + 25 = 254 1976 1 1 25.4 1976 4 1976
120 12 24 12 5
< : P =
x 10x 35x 50x 24x
120
Mà : x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 + 24x
= x(x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 24)
= x[(x4 + 5x3 + 4x2) + (5x3 + 25x2 + 20x) + (6x2 + 30x + 24)]
Trang 9= x[x2(x2 + 5x + 4) + 5x(x2 + 5x + 4) + 6(x2 + 5x + 4)]
= x(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6)
= x(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3)
Vì 120 = 3.5.8
minh : x(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3)
CHUYÊN Mc 3 :
TRÌNH DIOPHANTE
(Phương trình nghiệm nguyên)
I Mở đầu :
Có bài toán dân gian sau :
+g! trâu +g! h
Trâu 5K g g!
Trâu '! g ba,
iT T trâu già,
Ba con !B bó.
h có bao nhiêu trâu 5K bao nhiêu trâu '! bao nhiêu trâu già ?
< : < trâu $ là x, trâu là y, thì trâu già là : 100 – (x + y)
Ta có trình : 100 (x y)
3
Hay 7x + 4y = 100 (1)
5 :
x tùy ý
100 7x y
4
theo f toán thì x, y & trâu) : là nguyên nên ta : tìm 5 nguyên ^- trình (1)
8B G?j trình có O& k 0 % < các ` 5O& là nguyên, và ta G< tìm `! nguyên \ nó, 5?@ M là !B G?j trình Diophante.
(Diophante là tên
s trình Diophante nói chung là có f+ 5 nguyên, vì )A4 y
ta } < là G?j trình vô 5m.
II Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên đơn giản :
Trang 101 Phương trình ax + by = c (1) (a, b, c là các số nguyên)
34& (a,b) = 1 thì G?j trình (1) bao n có `! nguyên.
34& a, b có !B ? chung không G< là ? \ c thì G?j trình (1) không có `! nguyên.
8& tìm `! nguyên \ (1), ta G< tách 5?@ Go nguyên ra khi J& Pp x theo y b y theo x.
Ví dụ 1 : Tìm 5 nguyên ^- trình 3x + 4y = 29
: : Ta có x = 29 4y 9 y 2 y
O+ có x, y nguyên thì 2 y: nguyên hay 3 là _ ^- 2 – y
3
DA4 2 – y = 3t (t Z)
Khi V : y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7
DA4 : x 4t 7(t nguyên) là
y 2 3t
f+ /5 > x > 0 y > 0 Ta có :
7 t
2
t 3
Do V : 7 t 2 và t 1 = –1, t2 = 0
D_ t1 = –1 thì x = 3, y = 5 là 5 nguyên ^- trình \ cho
D_ t2 = 0 thì x = 2, y = 7 là 5 nguyên ^- trình \ cho
Ví dụ 2 : Tìm 5 nguyên ^- trình 7x + 23y = 120 (1)
: : Ta có x = 120 23y 17 3y 1 2y (2)
O+ có x, y nguyên thì 1 – 2y = 7t hay 2y = 1 – 7t (t nguyên)
h V : y = –3t + 1 t (3)
2
Vì y, t nguyên nên 1 – t = 2t1 (t1 nguyên) t = 1 – 2t1
Thay vào (3) ta có : y = –3(1 – 2t1) + t1 = 7t1 – 3
Thay vào (2) ta 1 – 3) + 1 – 2t1 = 27 – 23t1
DA4 x = 27 – 23t1 , y = 7t1 – 3 là 5 nguyên ^- trình (1) O+ có
5 nguyên ta : có :
Trang 111 1
1
1
27 t
t 7
Suy ra t1 = 1 và x = 4, y = 4 là
cho
2 Đưa về phương trình tích :
Ta có J 4 56 !B 04 \ G?j trình là tích các J& K nguyên \ k còn 04 kia là
!B nguyên Z' cách phân tích nguyên này thành các U nguyên ta
có J xét !M +?N @G có J (<* ra +e U 5 tính ra `! nguyên \
G?j trình.
Ví
: : (1) xy – 4x + 5y – 20 = 15
hay ( x + 5)(y – 4) = 15 = 15.1 = 5.3
Vì x, y
Suy ra : x = 10, y = 5
trình \ cho
3 Phương pháp loại trừ :
U G?j trình 5) cho tìm ra !B 5O& ` Y Po q giá +m
\ k 5J tìm ra `!
Ví dụ 4 : Tìm 5 nguyên ^- trình x2 – 6xy + 13y2 = 100 (1)
< : (1) x 2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 hay (x – 3y)2 = 4(25 – y2) 0
DA4 2 là chính 0
y 5 và 25 y
D_ y = 1 ;x y = 2 thì 25 – y2 không là chính &3;IL
D_ y = 3 ta có :
(x 9) 4.16
D_ y = 4 ta có :
(x 12) 36
x 12 6 x 6
D_ y = 5 ta có :
Trang 12(x – 15)2 = 0 x = 15
DA4 các 5 nguyên ^- trình \ cho là :
(1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5)
III Bài tập áp dụng :
1) Tìm 5 nguyên ^- trình : x + y = xy
2) Tìm 5 nguyên ^- trình : (x + y)2 = (x – 1)(y + 1)
3) Tìm 5 nguyên ^- trình : 6x2 + 5y2 = 74
4 Hướng dẫn về nhà
Bài G= 1 ($ minh 9 :
a) A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)….(3n) 3 n
b) B= 7.52n 12.6 19n
< : [K minh ' quy YG
a) D_ n = 1, ta có : A = 2.3 3
Ak = (k + 1)(k + 2)(k + 3)…(3k) 3 k (1)
Ta hãy xét : Ak + 1 = (k + 2)(k + 3)(k + 4)…[3(k + 1)] 3 k + 1
Ak + 1 = 3(k + 1)(k + 2)(k + 3)…(3k)(3k + 1)(3k + 2)
= 3Ak(3k + 1)(3k + 2)
theo (1) thì Ak 3 k DA4 Ak + 1 = 3Ak(3k + 1)(3k + 2) 3 k + 1
b) D_ n = 0, ta có : B = 7 + 12 = 19 19
Bk = 7.52k + 12.6k 19 (1)
Ta hãy xét : Bk + 1 = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6k.6
= (6 + 19)7.52k + 12.6k.6
= 6(7.52k + 12.6k) + 19.7.52k
= 6Bk + 19.7.52k
theo (1) thì Bk 19 DA4 Bk + 1 = 6Bk + 19.7.52k 19
Trang 13Ngày soạn: / / 2011 Ngày giảng: / / 2011
Buổi 3 - Chuyên đề 4.
RÚT
I tiêu
1 Kiến thức
- Hs
thức Vi-ét vào rút gọn các biểu thức số có dạng S 2 P ”
2 Kĩ năng
- Rèn
3 Thái độ
- Rèn
II !
GV: Nghiên $+ /6 giáo án
HS: Ôn
III
1 * +! , -
2 /01 tra bài 3
- < bài 2G 5) cho &6 hôm +? ?
3 Bài 1:
1 –
Iq S 2 P
1 2
b
a c
a
2
+) x1 x2 x1 x2
+) x1 x2 x1 x2 (x 1. >x 2 )
+) x1 x2 x2 x1 (x 1. <x 2 )
Trang 142 -
1) Ví & 1 : Rút 6w 4 2 3
Ta
theo cách
2
4 2 3 ( 3 1 ) 3 1
2) Ví & 2 : Rút 6w 5 2 6
Ta
theo cách
2
5 2 6 ( 3 2 ) 3 2
3) Ví & 3 : Rút 6w 11 6 2
Ta đưa về dạng S 2 P
11 6 2 11 2 18
Ta
2
11 6 2 11 2 18 (3 2 ) 3 2 3 2 (vì 3> 2)
4) Ví & 4 : Rút 6w 33 20 2
Ta đưa về dạng S 2 P
33 20 2 33 2 200
Ta tìm 8 hai
do
2
33 20 2 33 2 200 (5 2 2 ) 5 2 2 5 2 2
5) Ví & 5 : Rút 6w 4 2 3
Trang 15Ta 4 2 3
2
3 1
2 3 1
2 2
6) Ví & 6 : Rút 6w A = 5 3 29 12 5
Ta " +, >? 6 B > cách 6R trên ta " +, +>y 5 3 29 12 5
5 6 2 5
2
= 1
3 Bài G= CG & 6
Bài 1 Rút < A = 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
Bài 2 Cho A 11 96 và 2 2
B
Không dùng : hay máy tính [ túi, hãy so sánh A và B
Bài 3 Rút
A = 13 30 2 9 4 2
Bài 4 Rút
Trang 16B = 14 2 13 12 2 11 44 52
Bài 5 Rút
a) A = 3 2 5 29 12 5
b) B = 3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
c) C = 13 160 53 4 90
Bài 6 Rút
A = 11 6 2 3 5 7 3 5 2
2 3 14 5 3
4 Hướng dẫn về nhà
10 2
2 5
Bài 3 Rút
a A = 2 3 1 3;
b B = 3 2 2 6 4 2 ;
Trang 17Ngày soạn: / / 2011 Ngày giảng: / / 2011
Buổi 4 – Chuyên đề 5
PHÁP TAM GIÁC Mz Iq
TRONG
I tiêu
1 Kiến thức
- Hs
2 Kĩ năng
-
vi,,
3 Thái độ
- Rèn
toán hình
II !
GV: Nghiên $+ /6 giáo án
HS: Ôn
^- hai tam giác
III
1 * +! , -
2 /01 tra bài 3
- [q bài 2G hôm +?
3 Bài 1:
Q I
1 M lý Talet trong tam giác.
MN // BC
2 Khái ~1 tam giác + 6 &' 6 B
A
C
Trang 18Tam giác A’B’C’ < là z I )_ tam giác ABC +E
+ AA' AA ; AB' AB; CA 'CA
' ' ' ' ' '
3 Các #> 6 y= + 6 &' 6 O2 tam giác:
a)
z I0
b)
c)
V z I0
d) Các
+ Tam giác vuông này có
thì hai tam giác V z I0
+ Tam giác vuông này có hai
tam giác vuông kia thì hai tam giác V z I0
+
I góc vuông ^- tam giác vuông kia thì hai tam giác V z I0
II CÁC
-+ Ví & minh w2A
Bài 36 – 79 – SGK (có hình ) ~L
ABCD là h.thang (AB // CD)
A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm
=
A
D C R
...k +1< /small> – 15 (k + 1) – = 16 .16 k – 15 k – 15 – = (15 + 1) .16 k – 15 k – 15 –
1 =
= (16 k – 15 k – 1) + 15 .16 k – 15
Còn... 15 .16 k – 15
Còn 15 .16 k – 15 = 15 (16 k – 1) = 15 . (16 – 1) .M 15 .15 .
DA4 16 k +1< /small> – 15 (k + 1) – 225.
Bài... 25.3(4 19 7 5 + 4 19 7 4 + 4 19 7 3 + … + 42 + + 1) + 25
A = 25.(4 – 1) (4 19 7 5 + 4 19 7 4 + 4 19 7 3