BÀI GIẢNG lý THUYẾT đồ THỊ CHƯƠNG 1,2 và 3 (lý THUYẾT đồ THỊ SLIDE)

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ29 Các thuật ngữ Graph Terminology Chúng ta cần các thuật ngữ liên quan đến mối quan hệ giữa các đỉnh và các cạnh của đồ thị sau: • Kề nhau, nối, đầu mút, bậc, bắt đầu,

Trang 2

Phần 2 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

2

Nội dung

Chương 1 Các khái niệm cơ bản

– Đồ thị vô hướng và có hướng

– Các thuật ngữ cơ bản

– Một số dạng đồ thị vô hướng đặc biệt

Chương 2 Biểu diễn đồ thị

– Ma trận kề, ma trận trọng số, Ma trận liên thuộc đỉnh cạnh

– Danh sách cạnh, Danh sách kề

Chương 3 Duyệt đồ thị

– Tìm kiếm theo chiều sâu; Tìm kiếm theo chiều rộng

– Tìm đường đi và kiểm tra tính liên thông

Trang 3

3

Nội dung

Chương 4 Cây và cây khung của đồ thị

– Cây và các tính chất của cây

– Cây khung của đồ thị

– Bài toán cây khung nhỏ nhất

Chương 5 Bài toán đường đi ngắn nhất

– Phát biểu bài toán

– Đường đi ngắn nhất xuất phát từ một đỉnh (Thuật toán Dijkstra, Ford-Bellman)– Đường đi ngắn nhất trên đồ thị không có chu trình

– Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh (Thuật toán Floyd)

Chương 6 Bài toán luồng cực đại trong mạng

– Mạng, luồng và bài toán luồng cực đại

– Định lý Ford-Fulkerson

– Thuật toán Ford-Fulkerson

– Một số ứng dụng

Trang 6

6

• Trong toán học đời thường hiểu là:

Bản vẽ hay Sơ đồ biểu diễn dữ liệu nhờ sử dụng hệ thống toạ độ.

• Trong toán rời rạc:

Đây là cấu trúc rời rạc có tính trực quan cao, rất tiện ích để biểu diễn các quan hệ.

Đồ thị là gì?

Không phải cái ta muốn đề cập

Không phải cái này

Trang 7

7

Các ứng dụng thực tế của đồ thị

• Có tiềm năng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực (Đồ thị có thể dùng để biểu diễn các quan

hệ Nghiên cứu quan hệ giữa các đối tượng là mục tiêu của nhiều lĩnh vực khác nhau)

• Ứng dụng trong mạng máy tính, mạng giao thông, mạng cung cấp nước, mạng điện,…) lập lịch, tối ưu hoá luồng, thiết kế mạch, quy hoạch phát triển

• Các ứng dụng khác: Phân tích gen, trò chơi máy tính, chương trình dịch, thiết kế hướng đối tượng, …

Trang 8

8

Mối liên hệ giữa các môn học

321 143

142

322

326 341

370

378

401

421 Đỉnh = môn học

Cạnh có hướng = đk tiên quyết

Trang 9

E

B

E

Trang 11

Thoạt nghĩ:

Loại Biểu thức con chung:

y*z tính hai lần

Trang 13

13

Truyền thông trong mạng máy tính

(Information Transmission in a Computer Network)

Hà nội

New York

Bắc kinh Tokyo

Sydney

Seoul

Đỉnh = máy tính Cạnh = tốc độ truyền thông

128

140

181 30

16 56

Trang 14

14

Luồng giao thông trên xa lộ

(Traffic Flow on Highways)

Đỉnh = thành phố Cạnh = lượng xe cộ trên tuyến đường cao tốc kết nối giữa các thành phố

UW

Trang 15

15

Mạng xe buýt

Trang 16

16

Mạng tàu điện ngầm

Trang 17

17

Sơ đồ đường phố

Trang 18

18

Trang 19

19

Trang 20

20

Trang 23

f

h

Trang 26

• Ví dụ: Đơn đồ thị có hướng G3= (V3, E3), trong đó

d

f

h

Trang 28

28

Các loại đồ thị: Tóm tắt

– Một dạng đồ thị ít sử dụng hơn, đó là giả đồ thị Giả đồ thị là đa đồ thị mà trong đó có các

khuyên (cạnh nối 1 đỉnh với chính nó).

– Cách phân loại đồ thị dùng ở đây chưa chắc đã được chấp nhận trong các tài liệu khác

Khuyên (loop)

Trang 29

29

Các thuật ngữ

Graph Terminology

Chúng ta cần các thuật ngữ liên quan đến mối quan hệ giữa các đỉnh và các cạnh của đồ thị sau:

• Kề nhau, nối, đầu mút, bậc, bắt đầu, kết thúc, bán bậc vào, bán bậc ra,…

u

v v

u

Cạnh vô hướng e=(u,v) Cạnh có hướng (cung) e=(u,v)

Trang 30

30

Kề (Adjacency)

Cho G là đồ thị vô hướng với tập cạnh E Giả sử e∈E là cặp (u,v) Khi đó ta nói:

• u, v là kề nhau/lân cận/nối với nhau (adjacent / neighbors / connected).

• Cạnh e là liên thuộc với hai đỉnh u và v.

• Cạnh e nối (connect) u và v.

• Các đỉnh u và v là các đầu mút (endpoints) của cạnh e.

v u

e

Trang 31

– e đi ra khỏi u, e đi vào v.

– e nối u với v, e đi từ u tới v

– Đỉnh đầu (initial vertex) của e là u

– Đỉnh cuối (terminal vertex) của e là v

u

v

e

Trang 33

33

Bậc của đỉnh (Degree of a Vertex)

• Giả sử G là đồ thị vô hướng, v∈V là một đỉnh nào đó

• Bậc của đỉnh v, deg(v), là số cạnh kề với nó

• Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập (isolated).

• Đỉnh bậc 1 được gọi là đỉnh treo (pendant).

• Các ký hiệu thường dùng:

δ(G) = min {deg(v): v ∈ V},

∆(G) = max {deg(v): v ∈ V}.

Trang 35

35

Định lý về các cái bắt tay

(Handshaking Theorem)

• Định lý Giả sử G là đồ thị vô hướng (đơn hoặc đa) với tập đỉnh V và tập cạnh E Khi đó

CM: Trong tổng ở vế trái mỗi cạnh e=(u,v)∈E được tính hai lần: trong deg(u) và deg(v).

• Hệ quả: Trong một đồ thị vô hướng bất kỳ, số lượng đỉnh bậc lẻ (đỉnh có bậc là số lẻ) bao giờ

cũng là số chẵn

E

v V

v

2 )

∑

∈

Trang 37

37

Bậc của đỉnh của đồ thị có hướng

– Bán bậc vào (in-degree) của v, deg − (v) , là số cạnh đi vào v.

– Bán bậc ra (out-degree) của v, deg + (v) , là số cạnh đi ra khỏi v.

– Bậc của v, deg(v): ≡ deg − (v)+deg + (v) , là tổng của bán bậc vào và bán bậc ra của v.

Trang 38

38

Ví dụ

f a

e d

deg-(d) = 2 deg+(d)= 1

deg-(f) = 0 deg+(f)= 0

e – đỉnh đích (target)

Trang 39

39

Định lý về các cái bắt tay có hướng

Directed Handshaking Theorem

• Định lý Giả sử G là đồ thị có hướng (có thể là đơn hoặc đa) với tập đỉnh V và tập cạnh E Khi

đó:

• Chú ý là khái niệm bậc của đỉnh là không thay đổi cho dù ta xét đồ thị vô hướng hay có hướng

E v

v

V v V

v V

( deg )

( deg

Trang 42

Ví dụ

Definition.

A graph H is a subgraph of a graph G if

V(H) ⊆ V(G) and E(H) ⊆ E(G) (denote H ⊆ G).

Trang 43

Định nghĩa Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng.

Giả sử S ⊆ V, S ≠ ∅ Đồ thị con cảm sinh bởi S là đồ thị con cực đại của G với tập đỉnh là S (thường ký hiệu là <S>)

Đồ thị con H của đồ thị G được gọi là đồ thị con cảm sinh đỉnh (vertex-induced subgraph) của G nếu tìm được S ⊆ V sao cho H=<S>.

Trang 44

Loại bỏ đỉnh

The deletion of vertices

tất cả các đỉnh trong S cùng các cạnh kề với chúng

• Như vậy nếu ký hiệu đồ thị thu được là G−S, ta có G−S = <V−S>.

Nếu S={v}, thì để đơn giản ta viết G−v.

Trang 45

Định nghĩa Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng.

Giả sử X ⊆ E, X ≠ ∅ Đồ thị con cảm sinh bởi X là đồ thị con nhỏ nhất của G với tập cạnh là X (ký hiệu bởi <X>)

Đồ thị con H của G được gọi là đồ thị con cảm sinh cạnh (edge-induced subgraph) nếu H=<X> đối với một tập con nào đó X ⊆ E.

Trang 46

Ví dụ Cho G=(V,E) là đồ thị vô hướng.

Nếu H=<E(G)>, thì có thể suy ra H=<V(G)> được không?

Trang 47

Định nghĩa.

Đồ thị con H ⊆ G được gọi là đồ thị con bao trùm của G nếu tập đỉnh của H là tập đỉnh của G: V(H) =

V(G).

Định nghĩa.

Ta viết H = G + {(u,v), (u,w)} hiểu là

E(H) = E(G) ∪ {(u,v), (u,w)}, trong đó (u,v), (u,w)∉E(G).

Đồ thị con bao trùm

Spanning Subgraph

Trang 49

Hợp của các đồ thị

Nếu S1, S2, S3, S4, S5, S6 là các hình vuông, khi đó Q3 là hợp của các diện của nó: Q3 = S1∪S2∪S3∪S4∪S5∪S6

Trang 51

• f là hàm đặt tên lại các đỉnh để cho hai đồ thị là đồng nhất.

• Có thể tổng quát định nghĩa này cho các loại đồ thị còn lại

Trang 52

52

Bất biến đối với đẳng cấu

Điều kiện cần nhưng không phải là đủ để G1=(V1, E1) là đẳng cấu với G2=(V2, E2) :

– Ta phải có |V1|=|V2| , và |E1|=|E2|

– Số lượng đỉnh bậc k ở hai đồ thị là như nhau.

Trang 53

c

Trang 54

• Khác số lượng đỉnh bậc 2

(1 < >3)

Trang 56

Phần 2 Lí THUYẾT ĐỒ THỊ

56

Đường đi, Chu trỡnh

• Định nghĩa Đ ờng đi P độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số

nguyên d ơng, trên đồ thị G=(V,E) là dãy

P:x0, x1, , xn-1, xn

trong đó u = x0, v = xn, (xi, xi+1) ∈ E, i = 0, 1, 2, , n-1.

Đ ờng đi nói trên còn có thể biểu diễn d ới dạng dãy các cạnh:

(x0, x1), (x1, x2), , (xn-1, xn).

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đ ờng đi.

Trang 57

57

Đường đi, Chu trình

• Đường đi gọi là đường đi đơn nếu không có đỉnh nào bị lặp lại trên nó.

• Đường đi gọi là đường đi cơ bản nếu không có cạnh nào bị lặp lại trên nó.

• Nếu có đường đi từ u đến v thì ta nói đỉnh v đạt đến được từ đỉnh u Ta quan

niệm rằng một đỉnh v luôn đạt đến được từ chính nó

Trang 58

Đường đi (Path)

Trang 59

59

P1

Ví dụ (cont.)

• P1=(1,b,2,h,3) là đường đi đơn

• P2=(4,c,5,e,2,g,6,f,5,d,1) là đường đi

f

g

h

P2

Trang 60

60

P1

Ví dụ (cont.)

• P1=(1, b, 2, h, 3) là đường đi đơn

• P2=(4,c, 5 ,e,2,g,6,f, 5 ,d,1) là đường đi

f

g

h

P2

Trang 61

61

Chu trình

được gọi là chu trình

• Chu trình được gọi là đơn nếu như ngoại trừ đỉnh đầu trùng

với đỉnh cuối, không có đỉnh nào bị lặp lại

Trang 62

e

Chu trình (Cycle)

Trang 63

63

Ví dụ: Chu trình trên đồ thị vô hướng

• C1=(V,b,X,g,Y,f,W,c,U,a,V) là chu trình đơn

• C2=(U,c,W,e,X,g,Y,f,W,d,V,a,U) là chu trình nhưng không là chu trình đơn

C1

X U

f

g h

C2

Trang 64

64

Ví dụ: Chu trình trên đồ thị có hướng

• C1=(V,b,X,g,Y,f,W,c,U,a,V) là chu trình đơn

• C2=(U,c,W,e,X,g,Y,f,W,d,V,a,U) là chu trình nhưng không là chu trình đơn

C1

X U

f

g h

C2

Trang 66

66

Tính liên thông (Connectedness)

• Đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu luôn tìm được đường đi nối hai đỉnh bất kỳ của nó.

• Ví dụ

• G1 và G2 là các đồ thị liên thông

• Đồ thị G bao gồm G1 và G2 không là đồ thị liên thông

f i

G1

G2

Trang 67

67

• Mệnh đề: Luôn tìm được đường đi đơn nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị vô hướng liên thông.

• Chứng minh.

Theo định nghĩa, luôn tìm được đường đi nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị liên thông Gọi P là đường đi ngắn nhất nối hai đỉnh u và v Rõ ràng P phải là đường đi đơn.

Trang 68

68

• Thành phần liên thông (Connected component): Đồ thị con liên thông cực đại của đồ thị vô hướng G được gọi là thành phần liên thông của nó.

g

f i

G3

G2

Trang 69

• E(v) – tập các cạnh có ít nhất một đầu mút trong V(v).

Khi đó G(v) = (V(v), E(v)) là đồ thị liên thông và được gọi là thành phần liên thông sinh bởi đỉnh v Dễ thấy G(v) là thành phần liên thông sinh bởi mọi đỉnh u∈V(v).

g

f i

G3 ≡G(i)

G2 ≡G(f)

Trang 70

Ví dụ: Cho G là đồ thị vô hướng n ≥ 2 đỉnh Biết rằng

δ(G) = min{deg(v): v ∈V} ≥ (n-1)/2 Chứng minh rằng G liên thông.

Trang 71

71

Đỉnh rẽ nhánh và cầu (Connectedness)

• Đỉnh rẽ nhánh (cut vertex): là đỉnh mà việc loại bỏ nó làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị

• Cầu (bridge): Cạnh mà việc loại bỏ nó làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị

g

e là đỉnh rẽ nhánh

Trang 72

Mệnh đề Cạnh e của đồ thị liên thông G là cầu iff e không thuộc bất cứ chu trình nào trên G.

Chứng minh

( ⇒) Cho e là cầu của G

Giả sử e = (u,v), và giả sử ngược lại là e nằm trên chu trình

C ： u, v, w, …, x, u.

： Khi đó

C − e ： v, w, …, x, u

là đường đi từ u đến v trên đồ thị G − e.

Ta sẽ chứng minh: G − e là là liên thông.

(Điều đó sẽ mâu thuẫn với giả thiết e là cầu)

Ví dụ

Trang 73

Thực vậy, giả sử u1, v1 ∈ V(G−e)=V(G)

Do G là liên thông, nên ∃ đường đi P: u1→v1 trên G.

Nếu e ∉ P, thì P cũng là đường đi trên G−e

⇒ ∃ đường đi u1→v1 trên G−e

Nếu e ∈ P, thì

(P ∪C)−e là đường đi u1→v1 trên G−e (xem hình)

Vậy luôn tìm được đường đi u1→v1 trên G−e

Trang 74

(⇐) Giả sử e=(u,v) là cạnh không nằm trên bất cứ chu trình nào của G Khi đó G−e không chứa đường

đi u→v.

Trái lại, nếu P là đường đi u→v trên G−e, thì P∪{(u,v)} là chu trình trên G chứa e ?!

Chứng minh mệnh đề (cont)

Trang 75

Không phải tất cả các đồ thị liên thông là đồng giá trị!

Q: Hãy đánh giá xem đồ thị nào dưới đây là sơ đồ nối mạng máy tính có giá trị hơn:

Trang 76

k-Connectivity

A: Ta muốn mạng máy tính vẫn là thông suốt ngay cả khi có một máy bị hỏng:

1) 2nd best Vẫn có một điểm

yếu— “cut vertex”

2) 3rd best Thông suốt

nhưng mỗi máy đều là điểm “yếu”

Trang 79

79

Tính liên thông của Đồ thị có hướng

• Đồ thị có hướng được gọi là liên thông mạnh (strongly connected) nếu như luôn tìm

được đường đi nối hai đỉnh bất kỳ của nó

• Đồ thị có hướng được gọi là liên thông yếu (weakly connected ) nếu như đồ thị vô

hướng thu được từ nó bởi việc bỏ qua hướng của tất cả các cạnh của nó là đồ thị vô hướng liên thông

• Dễ thấy là nếu G là liên thông mạnh thì nó cũng là liên thông yếu, nhưng điều ngược

lại không luôn đúng

Trang 80

f a

e d

f

a

e d

f

Trang 82

82

Một số dạng đơn đồ thị vô hướng đặc biệt

• Đồ thị đầy đủ (Complete graphs) Kn

• Chu trình (Cycles) Cn

• Bánh xe (Wheels) Wn

• n-Cubes Qn

• Đồ thị hai phía (Bipartite graphs)

• Đồ thị hai phía đầy đủ (Complete bipartite graphs) Km,n

• Đồ thị chính qui

• Cây và rừng

• Đồ thị phẳng

Trang 83

83

Đồ thị đầy đủ

Complete Graphs

• Với n∈N, đồ thị đầy đủ n đỉnh, Kn , là đơn đồ thị vô hướng với n đỉnh trong đó giữa hai đỉnh bất

kỳ luôn có cạnh nối: ∀u,v∈V: u≠v ↔ (u,v)∈E

1 1

n

i

Trang 84

Complete Graphs

K25

84

Trang 85

Complete Graphs

Trang 89

89

Siêu cúp

(n-cubes /hypercubes)

• Với n∈N, siêu cúp Qn là đơn đồ thị vô hướng gồm hai bản sao của Qn-1 trong đó các đỉnh tương

ứng được nối với nhau Q0 gồm duy nhất 1 đỉnh

Trang 90

90

Siêu cúp Q4

Trang 91

– Với mọi n∈N, nếu Qn=(V,E), trong đó V={v1,…,va} và E={e1,…,eb}, thì Qn+1=(V∪{v1´,

…,va´}, E∪{e1´,…,eb´}∪{(v1,v1´),(v2,v2´),…,(va,va´)})

• Nghĩa là siêu cúp Qn+1 thu được từ hai siêu cúp Qn và Q ’

n bằng việc nối các cặp đỉnh

tương ứng.

Trang 92

• Bằng lời: Có thể phân hoạch

tập đỉnh thành hai tập sao cho

mỗi cạnh nối hai đỉnh thuộc

hai tập khác nhau

Đồ thị hai phía (Bipartite Graphs)

Định nghĩa này là chung cho cả đơn lẫn

đa đồ thị vô hướng, có hướng.

Trang 93

93

Đồ thị hai phía đầy đủ

(Complete Bipartite Graphs)

• Với m, n∈N, đồ thị hai phía đầy đủ Km,n là đồ thị hai phía trong đó |V1| = m, |V2| = n, và

E = {(v1,v2)|v1∈V1 và v2∈V2}

• Km,n có m đỉnh ở tập bên trái, n đỉnh ở tập bên phải, và mỗi đỉnh ở phần bên trái được nối với

mỗi đỉnh ở phần bên phải

K4,3

Km,n có _ đỉnh

và _ cạnh.

Trang 94

• Định nghĩa Đồ thị G được gọi là đồ thị chính qui bậc r nếu tất cả các đỉnh của nó có bậc bằng r

Đồ thị chính qui bậc 3

Trang 95

Octahedron Bát diện

Dodecahedron Thập nhị diện

Icosahedron Thập bát diện

Trang 97

97

Cây và rừng (Tree and Forest)

• Định nghĩa Ta gọi cây là đồ thị vô hướng liên thông không có chu trình Đồ thị không có chu trình được gọi là

Trang 98

98

VÍ DỤ

G1, G2 là cây G3, G4 không là cây

Trang 99

99

Các tính chất cơ bản của cây

• Định lý Giả sử T=(V,E) là đồ thị vô hướng n đỉnh Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương:

(2) T không chứa chu trình và có n-1 cạnh;

(3) T liên thông và có n-1 cạnh;

(4) T liên thông và mỗi cạnh của nó đều là cầu;

(5) Hai đỉnh bất kỳ của T được nối với nhau bởi đúng một đường đi đơn;

(6) T không chứa chu trình nhưng hễ cứ thêm vào nó một cạnh ta thu được đúng một chu trình.

Trang 100

100

Đồ thị phẳng

(Planar Graphs)

• Định nghĩa Đồ thị vô hướng G được gọi là đồ thị phẳng nếu như có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao

cho không có hai cạnh nào cắt nhau ngoài ở đỉnh

• Ví dụ: K4 là đồ thị phẳng?

K4 là đồ thị phẳng!

Trang 101

Các đồ thị Platonic đều phẳng

• Tất cả 5 đồ thị Platonic đều là đồ thị phẳng

101

Trang 102

102

3-Cube là đồ thị phẳng

Trang 103

4-Cube có là đồ thị phẳng không?

Có vẻ phẳng, nhưng chứng minh bằng cách nào?

Trang 105

Khảo sát đồ thị phẳng

• Để khảo sát đồ thị phẳng ta có thể chỉ hạn chế ở đơn đồ thị Bởi vì:

• Nếu đồ thị phẳng có cạnh lặp hay là khuyên (loop)

– Chập các cạnh lặp lại thành một cạnh đơn

– Loại bỏ tất cả các khuyên

• Vẽ đơn đồ thị thu được sao cho không có vết cắt

• Sau đó chèn vào các khuyên và cạnh lặp

105

Định dạng
Số trang	275
Dung lượng	3,11 MB