Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán

Caâu 3: 2 ñieåm Giaûi phöông trình sau.. Chứng minh rằng..[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008- 2009

Môn Thi: Toán- Thời gian 90 phút

-Câu 1:( 2 điểm )

Cho a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng

a1b 1 192

Câu 2: ( 2 điểm )

Cho x, y, z là ba số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

      

Câu 3: ( 2 điểm )

Giải phương trình sau

3x 6x12 5x 10x   9 3 4x2x

Câu 4: ( 2 điểm )

Cho  ABC, trên ba cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho AD,

BE, CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng :

CF

CH BE

BH AD

AH







HF

CH HE

BH HD

AH

+ +

Câu 5: ( 2 điểm )

Cho  ABC vuông tại A có AC=b, AB=c và đường phân giác trong của góc A là

AD =d Chứng minh rằng

c

1 b

1 d

2 +

=

ĐÁP ÁN

Câu 1:

Vì a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên  2và

a k

 2

b k

  2 

Vì k k 1 và k1k2 là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên mỗi tích

chia hết cho 2    2  (1)

k k k  mà k k 1k là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 62

(2)

 k k 1k 2 3   2 

Từ (1) và (2)    2 

16k k 1 k 2 192

0.25đ 0.5đ

0.5đ 0.5đ 0.25đ

Câu 2

Ta có 1 1 1 x x y z x y z

Tương tự 1 1 x z





  Nên 1 11 11 1 8

x  y  z  

y z z x x y

x y y z z x xyz

Aùp dụng BĐT Côsi cho ba số dương x, y, z ta có

x yyzzx2 xy.2 yz.2 zx 8xyz

suy ra (1) đúng Do đó 1 1 1 1 1 1 8

      

0.5đ 0.5đ

1đ

Câu 3: Ta có

 

2

2

3 2 5

VT

3 4 x2x  5 2 x1  5 VP5

Mà VT = VP nên dấu “=” trong mỗi vế phải xãy ra   x 1

Vậy PT đã cho có một nghiệm duy nhất là x 1

1đ

1đ

Câu 4:

Câu a) Kẻ đường cao BK của  ABD , Xét  ABD và  ABH có chung

d

D

E

A

đường cao BK nên

ADC AHC

ABD

ABH

S

S S

S AD

AH





ABC

AHC ABH

ADC ABD

AHC ABH

S

S S

S S

S S

AD







ABC

AHB BHC

S

S S

BE

ABC

BHC AHC

S

S S

CF

S

S 2 CF

CH BE

BH AD AH

ABC ABC 









Câu b) Ta có

CHD AHC

BHD

ABH

S

S S

S HD

AH





(4)



BHC

AHC ABH

CHD BHD

AHC ABH

S

S S

S S

S S

HD







Tương tự

HCA

HBC ABH

S

S S

HE

HAB

HCA HBC

S

S S

HC

Từ (4,5,6)

HAB HBC

HBC HAB

HAB HCA

HCA HAB

HCA HBC

HBC

HCA

S

S S

S S

S S

S S

S S

S HF

CH HE

BH HD

AH



















≥ 2 + 2 + 2=6 ( Bất Đẳng Thức Côsi)

Dấu ‘ =’ xảy ra khi SHBC = SHCA = SHAB

H trùng với trọng tâm của  ABC



0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ

0.25đ 0.25đ 0.25đ

0.25đ

Câu 5

Trên tia đối của tia AC lấy E sao cho

AB=AE , khi đó  AEB vuông cân tại

A có EB= 2 c

và AEB =CAD A A =450 mà AEBA và

ở vị trí so le trong nên EB ║ AD

A

CAD

  ACD   ECB (G-G)



CE

AC

EB

AD

= ↔

c b

b c 2

d

+

c

1

b

1

d

2

+

=

0.5đ

0.5đ 0.5đ 0.5đ

K

F

H A

D E