Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở tiểu học

Nguyễn Văn Hào đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học”.. Một số dạng toán sử dụ

Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2019

Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo môi trường học tập tốt nhất để em được rèn luyện và đạt kết quả đến thời gian hiện tại

Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình

chỉ bảo, hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Ứng

dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học”

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp của một số các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện như hiện tại

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, 10 tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu của khóa luận là kết quả nghiên cứu của

bản thân em dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào Các tài liệu tham

khảo trích dẫn trong khóa luận được chỉ rõ nguồn gốc trung thực

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Tập hợp 3

1.1.1 Khái niệm tập hợp 3

1.1.2 Các phép toán về tập hợp 4

1.1.2.1 Hiệu của hai tập hợp 4

1.1.2.2 Hợp của các tập hợp 5

1.1.2.3 Giao của các tập hợp 6

1.1.2.4 Hiệu đối xứng của hai tập hợp 6

1.1.3 Tích Descartes của các tập hợp 7

1.2 Quan hệ tương đương 9

1.2.1 Quan hệ hai ngôi 9

1.2.2 Quan hệ tương đương 9

1.3 Bản chất của phân số 12

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC 13

2.1 Một số dạng toán sử dụng quan hệ tương đương trên tập hợp số hữu tỉ ở Tiểu học 13

2.1.1 Dạng 1 Một số bài toán về cấu tạo phân số 13

2.1.2 Dạng 2 Một số bài tập về so sánh phân số 16

2.1.3 Dạng 3 Thực hành các phép tính trên phân số 19

2.1.4 Dạng 4 Một số bài toán điển hình về phân số 23

2.2 Một số bài toán dạng mở rộng 28

KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, cấp độ của học sinh tiểu học là sự

khởi đầu sự phát triển trí tuệ cho trẻ Ở cấp học này, các em học sinh đã được làm quen với các khái niệm, công thức toán học thông qua các bài toán ở dạng đơn giản, dễ hiểu

Tuy nhiên, sinh viên được đào tạo ngành Giáo dục Tiểu học thường suy nghĩ các kiến thức toán học cao cấp không có nhiều ứng dụng trong việc dạy và học toán bậc Tiểu học Thực chất, những công thức, khái niệm đó được lấy từ các kiến thức toán học cao cấp được đào tạo cho sinh viên chuyên ngành Giáo dục Tiểu học trong nhà trường

Để minh chứng cho việc suy nghĩ không chuẩn xác đó, được sự định hướng của người hướng dẫn, em muốn giới thiệu về quan hệ tương đương và ứng dụng của lý thuyết này trong việc dạy học phân số ở Tiểu học, để hoàn thành

khóa luận chuyên ngành Toán và phương pháp dạy học Toán với đề tài: “Ứng

dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học” với hai mục

đích:

( )i Sử dụng lý thuyết này trong việc định hướng tìm lời giải của một số

dạng bài tập về phân số ở Tiểu học

( )ii Từ cơ sở định hướng ở phần trên, em đưa ra một số phương pháp

hướng dẫn giải phù hợp với nhận thức của học sinh ở cấp độ này

2 Mục đích nghiên cứu Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân

số ở Tiểu học để giúp giáo viên hiểu được bản chất khái niệm phân số, đưa ra cách giải các bài tập một cách hữu hiệu

Đồng thời, giúp học sinh rèn luyện tư duy, khả năng sáng tạo, phát hiện và giải quyết vấn đề trong khi giải các dạng toán thuộc dạng này

3 Đối tượng nghiên cứu Lý thuyết về quan hệ tương đương và một số bài

tập về phân số ứng dụng quan hệ tương đương ở Tiểu học

4 Giả thuyết khoa học Đề tài giúp giáo viên có định hướng và đưa ra được

những cách giải toán hiệu quả nhất đối với học sinh khi ứng dụng quan hệ tương đương, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học

Nghiên cứu việc ứng dụng của quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học

5 Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng của quan hệ tương đương trong dạy học

phân số ở Tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Phương pháp phân tích, tổng hợp

7 Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,

khóa luận gồm có 2 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp

1.1.1 Khái niệm tập hợp Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta gặp rất

nhiều tập hợp khác nhau: tập hợp các sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học, tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 100, tập hợp các chữ cái,.…Như vậy, ta có thể

hiểu những đối tượng có chung một số tính chất nào đó được gọi là tập hợp

Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp Người ta thường dùng các chữ cái in hoa , , , , A B X Y để ký hiệu tập hợp Người ta

thường dùng các chữ thường a b x y , , , , để ký hiệu các phần tử của tập hợp Tập hợp X gồm các phần tử x y , ,z, được kí hiệu là

{ , , , }x y z X

Phần tử x nằm trong tập hợp X được ký hiệu là: x X

Phần tử a không thuộc tập hợp X được ký hiệu là a X

Ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau và được kí hiệu là A B nếu mọi phần tử thuộc A đều thuộc B và ngược lại Trường hợp, có những phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B và có những phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A thì ta nói hai tập hợp A và B khác nhau và ký hiệu là A B

Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B, được kí hiệu là A B

nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B Khi đó, ta nói B chứa

Ví dụ 1 Một số tập hợp số trong chương trình toán đã nghiên cứu

- là tập hợp số tự nhiên gồm các chữ số được viết như sau

1.1.2.1 Hiệu của hai tập hợp

Định nghĩa Giả sử A và B là hai tập hợp tùy ý Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B, ký hiệu là A B hoặc được viết dưới dạng ký hiệu toán học là \

Nếu tập hợp B là tập hợp con của tập hợp A thì hiệu A B được gọi là phần \

bù của B trong A và được ký hiệu là C B A

Ví dụ A là tập hợp học sinh giỏi Toán lớp 4A1: A {Hoa, Lan, Anh, Tú, Hoàng} B là tập hợp học sinh giỏi Tiếng Việt lớp 4A1: B {Lan, Tú, Hoàng, Thúy, Quỳnh}

1.1.2.4 Hiệu đối xứng của hai tập hợp

Định nghĩa Cho hai tập hợp A và B Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và

B là một tập hợp gồm những phần tử chỉ thuộc tập hợp A hoặc chỉ thuộc tập hợp B và không đồng thời thuộc cả hai tập hợp A và B, đƣợc ký hiệu là

A B

Đặc biệt, nếu X1 X2 X n X thì ta viết n

Ví dụ 2 Tìm tất cả các số có hai chữ số chia hết cho 2 và 5

Các số có hai chữ số được viết dưới dạng ab Để tìm được số có hai chữ số

thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hai chữ số a và b được lấy lần lượt trong các tập hợp sau

1.2 Quan hệ tương đương

1.2.1 Quan hệ hai ngôi Một tập con S nào đó của tích Descartes X Y

được gọi là quan hệ hai ngôi trên X Y

Một phần tử ( ; )x y S ta nói x có quan hệ hai ngôi S với y và từ đây ta viết xSy thay cho cách viết là ( ; )x y S Khi Y X để đơn giản ta nói S

là quan hệ hai ngôi trên X thay cho cách nói S là quan hệ hai ngôi trên

1.2.2 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1 Một quan hệ hai ngôi S trên tập hợp X được gọi là quan hệ tương đương nếu thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau

( )i Phản xạ: ới mọi x X thì xSx

( )ii Đối xứng: ới mọi x y , X mà xSy thì ySx

( )iii ắc cầu: ới mọi x y z , , X mà xSy và ySz thì xSz

Khi quan hệ hai ngôi S là quan hệ tương đương, người ta thường thay S

bằng ký hiệu " " và nếu a b thì đọc là “a t ng ng v i b”

Ví dụ 1 Cho n là một số nguyên dương Ta xác định quan hệ hai ngôi R

trên như sau: với hai số nguyên a b , ta nói a quan hệ R với b nếu (a b )chia hết cho n Khi đó, R là quan hệ tương đương trên

ậy bRa (R có tính chất đối xứng)

( )iii ới mọi a b c , , mà aRb và bRc Khi đó, theo cách xác định quan hệ

ậy aRc (R có tính chất bắc cầu)

Đây là quan hệ đồng dư modul n và được viết a b (mod )n thay vì aRb

Ví dụ 2 Quan hệ R đồng dư modul 3 trên xác định các lớp tương đương sau

Chứng minh Xét lớp tương đương bất kỳ C x Đầu tiên, ta thấy rằng ( ).

x x nên x C x , nghĩa là ( )( ) C x Để chứng minh tiếp, giả sử rằng hai lớp tương đương C a và ( )( ) C b mà ( ) C a C b( ) , ta chỉ cần chứng minh C a( ) C b Chọn một phần tử bất kỳ ( ) x C a( ) C b Khi đó, bởi vì ( )

Định nghĩa 2 Tập hợp mà mỗi phần tử là một lớp tương đương của tập hợp

X theo quan hệ tương đương gọi là tập thương của X theo quan hệ ,

{ ( ), ( )}

1.3 Bản chất của phân số

Cho là tập hợp số tự nhiên và * / {0} Mỗi cặp số sắp thứ tự ( ; )a b ,

với a và b *, ta gọi là một phân số Tập hợp tất cả phân số, ta kí hiệu là P Vậy P *

P và được kí hiệu là (tập các số hữu tỉ không âm) Khái niệm phân

số hình thành trong nhà trường Tiểu học cũng đồng nhất với khái niệm phân

số trong giáo trình này Cách hình thành phân số như trên là nền tảng để xây dựng tập số hữu tỉ Mỗi số hữu tỉ là một lớp đương đương gồm các phân

số tương đương nhau.[3]

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN

SỐ Ở TIỂU HỌC

Trong chương trình Toán ở Tiểu học, phân số được hình thành dựa trên quan

hệ tương đương ì vậy, ta có thể hiểu các bài toán về phân số một cách dễ dàng và giảng dạy cho các em học sinh khi nắm rõ lí thuyết về quan hệ tương đương Chúng tôi xin minh hoạ điều đó qua một số bài toán dưới đây

2.1 Một số dạng toán sử dụng quan hệ tương đương trên tập hợp số hữu

tỉ ở Tiểu học

2.1.1 Dạng 1 Một số bài toán về cấu tạo phân số

Bài toán 1 Tìm x để có các phân số bằng nhau ([1], Bài 153, trang 19)

c

x

2)

x

Hướng dẫn giải

Cách 1 Giáo viên gợi ý cho học sinh sử dụng tính chất hai phân số bằng nhau

để giải bài toán này

Cách 2 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán trên dựa trên lý thuyết về

quan hệ tương đương

Dựa vào tính chất này, ta có thể hướng dẫn học sinh giải như sau

308)880

65065

b

Hướng dẫn giải Ở dạng bài này, giáo viên cần yêu cầu học sinh học thuộc và

ứng dụng tốt bảng nhân chia trong quá trình làm bài, đồng thời cần kiểm tra thường xuyên và điều chỉnh cho học sinh

Hướng dẫn giải Đối với bài tập này, trước tiên giáo viên phải gợi cho học

sinh nhớ lại số tự nhiên có thể được viết dưới dạng phân số có mẫu số bằng 1

66

1

Sau đó, ta quy đồng mẫu số phân số 6

1 để tìm các phân số mới thỏa mãn yêu cầu bài toán

Một số bài toán tương tự

Bài toán 1 Viết số thích hợp vào ô trống

Cách 2 Quy đồng tử số hai phân số, nghĩa là biến hai phân số ban đầu thành

hai phân số mới có tử số bằng nhau Ở cách này, giáo viên cần lưu ý học sinh khi so sánh hai phân số cùng tử số (phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)

Hướng dẫn giải Trong bài toán này, giáo viên cần chỉ rõ muốn sắp xếp được

các phân số ta phải đưa các phân số đó thành các phân số có cùng mẫu số

hoặc tử số hoặc so sánh với số trung gian

nên

3 4 6 )

c Do các phân số có cùng tử số nên phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn Do đó, ta có

Một số bài toán tương tự

Bài toán 1 So sánh hai phân số

Bài toán 2 Rút gọn rồi so sánh hai phân số

Bài toán 3 Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn

Hướng dẫn giải Giáo viên gợi ý cho học sinh sử dụng tính chất giao hoán,

kết hợp của phép cộng để giải bài toán trên

Bài toán 2 Tính nhanh

d

Hướng dẫn giải Để điền được dấu thích hợp vào chỗ chấm trước hết ta phải

thực hiện các phép tính, khi đó giáo viên cần gợi nhớ cho học sinh các quy tắc

có liên quan đến bài toán và có thể áp dụng các cách tính nhanh

Một số bài toán tương tự

Bài toán 1 Tính nhanh

2.1.4 Dạng 4 Một số bài toán điển hình về phân số

Bài toán 1 Trung bình cộng của ba phân số là 13

36 Trung bình cộng của phân

số thứ nhất với phân số thứ hai là 7

24 Trung bình cộng của phân số thứ hai và

Bài toán 2 Bạn Hoàng đƣợc mẹ cho 366000 đồng để mua đồ dùng học tập

1

6 6 (tổng số tiền) Hoàng còn lại số tiền là

1

Đáp số: 61000 đồng

Bài toán 3 Tổng số tuổi của 3 bố con là 100 tuổi Tuổi của con trai bằng 5

11

tuổi của mẹ, tuổi của con gái bằng 4

5 tuổi con gái Tính tuổi của từng người

Tuổi con trai

Tuổi con gái

Tuổi của bố là

100 : (11 5 4) 11 55 (tuổi) Tuổi con trai là

5

11 (tuổi) Tuổi con gái là

4

5 (tuổi) Đáp số: Bố: 55 tuổi; Con trai: 25 tuổi; Con gái: 20 tuổi

4 5 4

5 11 11 (tuổi bố) Phân số chỉ tổng số tuổi của 3 bố con là

1

11 11 11 (tuổi bố) Tuổi của bố là

20

11 (tuổi) Tuổi con trai là

5

11 (tuổi) Tuổi con gái là

4

5 (tuổi) Đáp số: Bố: 55 tuổi; Con trai: 25 tuổi; Con gái: 20 tuổi

Bài toán 4 Một giá sách có ba ngăn: số sách ở ngăn thứ hai bằng 3

4 số sách ở

ngăn thứ nhất, số sách ở ngăn thứ ba bằng 3

2 số sách ở ngăn thứ nhất Biết rằng ngăn thứ ba nhiều hơn ngăn thứ hai 96 quyển sách Hỏi mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách?

Đáp số: 128 quyển sách; 96 quyển sách; 192 quyển sách

Bài toán 5 Một cửa hàng có 4

5 số ổi bằng

3

2 số táo Tính tỉ số giữa số ổi và

số táo trong cửa hàng

Một số bài toán tương tự

Bài toán 1 Một người bán vải lần thứ nhất bán được 4

7 tấm vải Lần thứ hai

người đó bán được 4

5 số vải còn lại Tính phân số chỉ số vải người đó đã bán

sau hai lần ([10], Bài 239, trang 85)

Bài toán 2 Một người bán hoa quả lần thứ nhất bán được 3

5 số xoài, lần thứ

hai bán được số xoài bằng 3

5 số xoài bán lần thứ nhất Tìm phân số chỉ số xoài còn lại

Bài toán 3 Một người bán hoa bán lần thứ nhất được 5

2.2 Một số bài toán dạng mở rộng

Bài toán 1 Cho phân số 11

16 Cần thêm vào cả tử số và mẫu số của phân số đó

với cùng một số là bao nhiêu để được phân số mới có giá trị là 4

5 ? ( [1], Bài

157, trang 19)

Hướng dẫn giải

Hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số 11

Vậy số cần tìm là 9

Bài toán 2 Cần bớt cả tử số và mẫu số của phân số 3

5 bao nhiêu đơn vị để

59 31 90 3

91 31 60 2 Vậy số cần tìm là 31

Bài toán 4 Khi bớt đi ở tử số và đồng thời thêm vào mẫu số của phân số 79

Bài toán 1 Cần thêm vào tử số và mẫu số của phân số 13

19 bao nhiêu đơn vị

Bài toán 3 Cho phân số 19

4 Hỏi cùng phải bớt ở tử số và mẫu số cùng một

số tự nhiên là bao nhiêu để đƣợc phân số bằng 1

6

Bài toán 4 Cho phân số 5

11 Hỏi phải bớt ở tử số và đồng thời thêm vào mẫu

số bao nhiêu để đƣợc phân số mới bằng 1

.7

Bài toán 5 Cho phân số 7

13 Hỏi phải thêm vào tử số và đồng thời bớt đi ở mẫu số bao nhiêu để đƣợc phân số mới bằng