Về tính ổn định và ổn định hóa của hệ phân thứ caputo lồi đa diện

Tính ổn định và ổn định hóa củamột số lớp hệ phương trình vi phân lồi đa diện với bậc nguyên đã được nghiêncứu trong [17, 18, 19] bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov.. Đối vớilớp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGÔ THỊ LÝ

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA HỆ PHÂN THỨ CAPUTO LỒI ĐA DIỆN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Mai Viết Thuận

TS Li Chenglin

THÁI NGUYÊN - 2019

Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ tuyến tínhphân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 162.1 Tính ổn định của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện

có trễ 162.2 Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứCaputo lồi đa diện có trễ 23

LỜI NÓI ĐẦU

Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm phân thứ được phát triển chủyếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích chocác nhà toán học Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều nhà khoa học đãchỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô

tả tính chất của các vật liệu thực khác nhau và nhiều mô hình kỹ thuật khácnhau Ngoài ra, chúng còn được tìm thấy trong kỹ thuật vật liệu, hệ thốngkinh tế, hệ thống nhớt, hệ thống tài chính, phân cực điện cực [9]

Do nhiều lý do như quá trình xấp xỉ tuyến tính, mô hình không chính xác, lỗi

đo lường nên các yếu tố không chắc chắn thường xuất hiện trong các hệ độnglực trong thực tế Hệ phương trình vi phân và điều khiển lồi đa diện là mộttrong những lớp hệ động lực thuộc lớp này Tính ổn định và ổn định hóa củamột số lớp hệ phương trình vi phân lồi đa diện với bậc nguyên đã được nghiêncứu trong [17, 18, 19] bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov Đối vớilớp hệ phương trình vi phân phân thứ, đã có một số công trình quan trọngđược công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín (xem [3, 5, 8, 10, 11, 12, 15]).Luận văn tập trung trình bày một số kết quả về tính ổn định và ổn địnhhóa cho một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo lồi đa diện dựatrên việc tổng hợp và trình bày một cách có hệ thống một số bài báo đượcxuất bản trong những năm gần đây trên các tạp chí quốc tế có uy tín Luậnvăn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau đây:

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứnhư tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàmphân thứ Caputo Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lý tồn tại và duynhất nghiệm Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ Nội dung

chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [20, 21, 22].Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ chotính ổn định và ổn định hóa của một lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi

đa diện có trễ Nội dung của chương này được dự kiến viết bằng cách thamkhảo các tài liệu [3, 10] Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình bày

03 ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa Học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tôi xinđược bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa họccủa mình Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa Học - Đạihọc Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đãtham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiêncứu

Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn tới các thầy cô trong Ban giám hiệu và anh, chị,

em đồng nghiệp Trường THPT Chuyên Thái Nguyên đã luôn ủng hộ, tạo điềukiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu đã chăm sóc độngviên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Sau cùng tôi xin kính chúctoàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên thậtdồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình làtruyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau

Xin chân thành cảm ơn

Danh mục ký hiệu

Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A> ma trận chuyển vị của ma trận A

I ma trận đơn vị

λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = pλmax(A>A)

A ≥ 0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

ACm[a, b] không gian các hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b]

t 0Itα toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số

dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính

ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phươngtrình vi phân có trễ Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được

sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [7, 20, 21, 22]

1.1.1 Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phânthứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệmtích phân lặp thông thường

Định nghĩa 1.1 ([22]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0Itα := I với I là toán

tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với

0 < α < 1 được cho bởi định lý sau

Định lý 1.1 ([22]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi

đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t0Itαx cũng làmột hàm khả tích.

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản

1.1.2 Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville vàđạo hàm Caputo Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiềulĩnh vực

Định nghĩa 1.2 ([22]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R đượccho bởi

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàmtuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữacác hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

Z t a

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f0(t) = ϕ(t) hầu khắp nơitrên [a, b]

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau:

ACn[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b]



D = ddt

}

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b]

Mệnh đề 1.1 ([22]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạngnhư sau:

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phânthứ Riemann–Liouville

Định lý 1.2 ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ RLt

0 Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểudiễn dưới dạng sau

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

Hệ quả 1.1 ([22]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Z t

t 0

f0(s)ds(t − s)α



Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville làmột toán tử tuyến tính

Mệnh đề 1.2 ([21]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phânthứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

RL

t 0 Dαt [λf (t) + µg(t)] = λRLt0 Dtαf (t) + µRLt0 Dtαg(t)trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACn[a, b]

Định nghĩa 1.3 ([21]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

C

t 0Dtαx(t) := t0Itn−αDnx(t),trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxdnn làđạo hàm thông thường cấp n

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phân thứCaputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

C

t 0Dαtx(t) := Ct0Dtαx1(t), Ct0Dαtx2(t), , Ct0Dαtxd(t)
T Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm Caputo phânthứ cấp α

Định lý 1.3 ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ Caputo Ct0Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn nữa, ta có(i) Nếu α 6∈ N thì Ct 0Dαtx(t) biểu diễn dưới dạng sau:

Chứng minh Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo

Mệnh đề 1.4 ([21]) Cho trước một số thực dương α Nếu ξ là hằng số thì

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịchđảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây

Định lý 1.5 ([22]) Cho α > 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b] thì

k

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

t 0Itα Ct0Dαtf (t)
= f (t) − f (t0)

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau

Định lý 1.6 [22] Cho α > 0 và đặt n = dαe Với bất kì x ∈ ACn[a, b], chúng

(j)(t0)

!,

với hầu hết t ∈ [a, b]

trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) vàluôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình Bây giờ chotrước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn) là không gian các hàm liên tụcnhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau

kxk∞ := max

( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn)

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lý tồn tại và duy nhấtnghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

C

0Dαtx(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1)

với điều kiện ban đầu

x(0) = x0 ∈ Rn, (1.2)trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn

là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn.Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn) thỏa mãn (1.1) và(1.2)

Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của

hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân

Mệnh đề 1.5 [7] Xét bài toán (1.1) Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy

ý, một hàm ϕ(., x0) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân

ϕ(t, x0) = x0+ 1

Γ(α)

Z t 0

(t − s)α−1f (s, ϕ(s, x0)) ds, t ∈ [0, T ] (1.3)

Nhận xét 1.1 [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thờiđiểm hiện tại t > t0 Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết đượcϕ(t, x0) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0, t) (từ hiện tạitới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thờiđiểm trên đoạn [0, t0] (toàn bộ quá khứ) Đây chính là điểm khác biệt cơ bảngiữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ

Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phươngtrình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lý sau đây:

Định lý 1.7 ([7] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn

min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α}, trong trường hợp còn lại.

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T∗], Rn) là nghiệm của bài toán (1.1)với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2)

Định lý 1.8 ([2] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán(1.1), (1.2) Giả sử f : R+× Rn −→ Rn thỏa mãn

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk,

ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý

x0 ∈ Rn, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞)

phân phân thứ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler

Định nghĩa 1.4 [21] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số

Nhận xét 1.2 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

+∞

X

k=0

zkk! = e

z

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ

Định nghĩa 1.5 [21] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giátrị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã đượctrình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [22]

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệphương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễuphi tuyến Caputo Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

(1.4)

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1, x2, , xn)T ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 làthời điểm ban đầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x

Định nghĩa 1.6 ([24]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệphương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t,x) = 0

Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọiđiểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thểchuyển về gốc tọa độ 0 Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệphương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) Đặt y(t) = x(t) − x Khi đó hệ(1.4) trở thành

Định nghĩa 1.7 ([24]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)

có một điểm cân bằng x = 0 Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Lefflernếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn

Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả

để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến.Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y Li, Y Q Chen, và I Podlubny

đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệphương trình vi phân phân thứ

Định lý 1.9 ([13]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các sốdương α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điềukiện:

(i) α1kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2kx(t)kab,

(ii) Ct0DtαV (t, x(t)) ≤ −α3kx(t)kab,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏamãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0trong Rn Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)

là ổn định Mittag–Leffler toàn cục

Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, S Liu cùngcác cộng sự [14] đã đưa ra một phiên bản mới của Định lý Razumikhin cho hệphân thứ có trễ

Định lý 1.10 [14] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ

C

t 0Dtαx(t) = f (t, xt), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0], Rn), −τ ≤ θ ≤ 0, f :[t0, +∞) × C([t0− τ, t0], Rn) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏamãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0, +∞), xt = φ ∈ C([t0− τ, t0], Rn)

là điều kiện ban đầu Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1, a2, a3 và một hàmkhả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn

(i) a1kxk2 ≤ V (x) ≤ a2kxk2,

và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (.) thỏa mãn

(ii)Ct0DtαV (x(t)) ≤ −a3kxk2 khi mà V (x(t + s)) ≤ γV (x(t)), s ∈ [−τ, 0], với

Bổ đề 1.3 [20] Cho x(t) ∈ Rn là một hàm véc tơ khả vi liên tục, P ∈ Rn×n

là ma trận đối xứng xác định dương Khi đó

1

2D

α

t xT(t)P x(t)
≤xT(t)P Dtαx(t), ∀α ∈ (0, 1), ∀t ≥ 0

Bổ đề 1.4 ([16]) Cho Q là một ma trận đối xứng, xác định dương, một số

τ > 0 và một hàm véc tơ ω : [0, τ ] −→ Rn Khi đó ta có đánh giá sau đây

ω(s)ds



≤ τ

Z τ 0

ωT(s)Qω(s)ds

Chương 2

Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ

lồi đa diện có trễ

Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ hỗn hợp dưới đây

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ(2.1).

Định lý 2.1 ([10]) Hệ (2.1) ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đốixứng, xác định dương Pi ∈ Rn×n(i = 1, , p), một ma trận đối xứng, nửa xácđịnh dương S ∈ Rn×n và một số dương  > 1 sao cho các điều kiện dưới đâyđược thỏa mãn

x(s)ds

(2.4)