Về tính chẵn lẻ của số nhân tử bất khả quy modulo p của đa thức hệ số nguyên

172.4 T÷ìng tü cõa ành lþ Stickelberger cho a thùc thüc.. ành lþ Stickelberger v luªt thuªn nghàch bªc hai 213.1 Kþ hi»u Legendre.. 213.2 ành lþ Stickelberger v luªt thuªn nghàch bªc hai

Möc löc

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 31.1 K¸t thùc cõa hai a thùc 31.2 Bi»t thùc cõa a thùc 61.3 Tü çng c§u Frobenius 10Ch÷ìng 2 ành lþ Stickelberger 122.1 Nghi»m cõa a thùc b§t kh£ quy trong Fp[x] 122.2 ành lþ Stickelberger 142.3 a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguy¶n tè 172.4 T÷ìng tü cõa ành lþ Stickelberger cho a thùc thüc 19Ch÷ìng 3 ành lþ Stickelberger v  luªt thuªn nghàch bªc hai 213.1 Kþ hi»u Legendre 213.2 ành lþ Stickelberger v  luªt thuªn nghàch bªc hai 223.3 ành lþ Stickelberger modulo 2 26

Mð ¦u

Cho f (x) ∈ Z[x] l  mët a thùc chu©n (monic) h» sè nguy¶n bªc n

v  khæng câ nghi»m phùc k²p Gåi D(f ) l  bi»t thùc cõa f Cho p l mët sè nguy¶n tè l´ v  gåi Fp = Z/pZ l  tr÷íng húu h¤n câ p ph¦n tû.Gåi f (x) ∈¯ Fp[x] l  a thùc nhªn ÷ñc tø f b¬ng c¡ch thu gån h» sèmodulo p Gåi r l  sè nh¥n tû b§t kh£ quy cõa f¯ Khi â mët ành lþ cõaStickelberger kh¯ng ành r¬ng r v  n câ còng t½nh ch®n l´, tùc l  r ≡ n(mod 2), khi v  ch¿ khi D(f ) l  b¼nh ph÷ìng modulo p

Möc ti¶u cõa luªn v«n l  t¼m hiºu v· chùng minh cõa ành lþ berger n y công nh÷ ùng döng cõa nâ trong chùng minh luªt thuªn nghàchbªc hai

Stickel-Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v  T i li»u tham kh£o, bè cöc cõa luªnv«n ÷ñc chia l m ba ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thùc,bi»t thùc cõa a thùc v  çng c§u Frobenius

Ch÷ìng 2 ành lþ Stickelberger

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· ành lþ Stickelberger, mët sè v½ dö minh håa,

v  mët t÷ìng tü cõa ành lþ n y cho a thùc thüc

Ch÷ìng 3 ành lþ Stickelberger v  luªt thuªn nghàch bªc haiCh÷ìng n y tr¼nh b y v· kþ hi»u Legendre, luªt thuªn nghàch bªc hai

v  mët chùng minh cõa luªt n y sû döng ành lþ Stickelberger

Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh v o th¡ng 5 n«m 2019 t¤itr÷íng ¤i håc Khoa håc- ¤i håc Th¡i Nguy¶n Qua ¥y, t¡c gi£ xin b y

tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS Nguy¹n Duy T¥n, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îngd¨n trong suèt qu¡ tr¼nh l m vi»c º ho n th nh luªn v«n n y T¡c gi£xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n Khoa To¡n-Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoahåc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, ¢ t¤o måi i·u ki»n º gióp t¡c gi£ håc tªp

v  ho n th nh luªn v«n công nh÷ ch÷ìng tr¼nh th¤c s¾ T¡c gi£ công xingûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp cao håc K11D, khâa 05/2017 - 05/2019 ¢

ëng vi¶n gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n

n y çng thíi t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u v  c¡c çngnghi»p t¤i tr÷íng THCS H÷ng ¤o, æng Tri·u, Qu£ng Ninh ¢ t¤o i·uki»n cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n.Xin ch¥n th nh c£m ìn.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2019X¡c nhªn cõa ng÷íi h÷îng d¨n Ng÷íi vi¸t luªn v«n

TS Nguy¹n Duy T¥n  m Thà Ngåc T¥m

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n

thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thùc,bi»t thùc cõa a thùc v  çng c§u Frobenius T i li»u tham kh£o sû döngcho ch÷ìng n y l  t i li»u [2, Section 6.6] v  [3, Chapter 15]

1.1 K¸t thùc cõa hai a thùc

Gi£ sû f, g l  hai a thùc bi¸n x vîi c¡c h» sè trong mët tr÷íng F.Gi£ sû K l  mët tr÷íng âng ¤i sè chùa F Gåi α1, , αn l  t§t c£ c¡cnghi»m (kº c£ bëi) cõa f trong K, tùc l 

f (x) = a(x − α1)(x − α2) (x − αn), vîi a ∈ K n o â

T÷ìng tü, gåi β1, , βm l  t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa g trong K,tùc l 

g(x) = b(x − β1)(x − β2) (x − βm), vîi b ∈ K n o â

Ta câ i·u ph£i chùng minh

T½nh ch§t 1.1.2 R(f, g) = 0 n¸u f v  g câ mët nh¥n tû chung bªcd÷ìng

Chùng minh N¸u f v  g câ mët nh¥n tû chung l  h(x) ∈ F [x] Khi â gåi

α ∈ K mët nghi»m cõa h trong K Nh÷ vªy tçn t¤i i, j sao cho αi = α v 

βj = α Ta suy ra trong t½ch ành ngh¾a R(f, g) câ nh¥n tû αi − βj = 0

V¼ αi l  nghi»m cõa cõa f, n¶n f (αi) = 0 v  do vªy f (αi)q(αi) + r(αi) =r(α) Do â ta câ

tû cõa tr÷íng F m°c dò nâ ÷ñc ành ngh¾a düa theo c¡c ph¦n tû trongtr÷íng lîn hìn K

T½nh ch§t 1.1.6 Ta câ R(f, g) n¬m trong F

Chùng minh Ta chùng minh b¬ng quy n¤p theo deg f N¸u g = b l h¬ng sè thuëc F Th¼ theo T½nh ch§t 1.1.1 v  1.1.5, R(f, g) = R(b, f ) =R(f, b) = bn thuëc F

Gi£ sû kh¯ng ành ¢ óng vîi måi måi a thùc f v g vîi f câ bªc nhähìn ho°c b¬ng n − 1 X²t f v  g l  hai a thùc tòy þ vîi deg f = n ≥ 1.Khi â theo thuªt to¡n chia a thùc, tçn t¤i hai a thùc q v  r trong F [x]

sao cho

g = f q + r,

vîi r = 0 ho°c deg r < deg f = n Theo T½nh ch§t 1.1.4, T½nh ch§t 1.1.1

v  theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f ) thuëc F Ta

câ i·u ph£i chùng minh

ð ¥y f0 l  ¤o h m cõa f v  n = deg f.

Theo T½nh ch§t 1.1.2, ta câ D(f ) 6= 0 n¸u v  ch¿ n¸u f v  f0 khæng câthøa sè chung

Chóng ta câ thº t½nh to¡n D(f ) b¬ng c¡ch sû döng thuªt to¡n Euclidtr¶n f v  f0 D÷îi ¥y l  mët sè v½ dö

V½ dö 1.2.1 X²t f (x) = x − a Khi â f0(x) = 1, v¼ vªy

V½ dö 1.2.3 Cho f (x) = x3 + qx + r Th¼ f0(x) = 3x2 + q v  thüc hi»nthuªt to¡n Euclid, ta câ

2

R(2qx

3 + r, q +

27r24q2 )

= −4q2(q + 27r

2

4q2 ) = −4q3 − 27r2

V½ dö 1.2.4 X²t f (x) = xn − 1 ∈ F [x] Ta i t½nh bi»t thùc cõa f (x).Gåi α1, , αn l  n nghi»m trong K (mët tr÷íng âng ¤i sè chùaF) cõa

cõa nâ trong tr÷íng âng ¤i sè K Khi â

(−1) ta câ i·u ph£i chùng minh

V½ dö 1.2.6 Ta i t½nh bi»t thùc cõa a thùc monic bªc 2 v  bªc 3 sûdöng cæng thùc t½nh bi»t thùc trong m»nh · tr÷îc

(a) X²t f (x) = x2 + ax + b ∈ F [x] Gåi α1, α2 l  hai nghi»m cõa f

(trong mët tr÷íng âng ¤i sè n o â chùa F) Khi â bi»t thùc cõa f l 

D(f ) = (α1 − α2)2 = (α1 + α2)2 − 4α1α2 = a2 − 4b

(b) X²t a thùc f (x) = x3+qx+r ∈ F [x] Gåiα1, α2, α3 l  c¡c nghi»mcõa f Khi â bi»t thùc cõa f l 

D(f ) = (α2 − α1)2(α3 − α1)2(α3 − α2)2

Ta câ

x3 + qx + r = (x − α1)(x − α2)(x − α3)

L§y ¤o h m hai v¸ theo x, ta suy ra

3x2 + q = (x − α1)(x − α2) + (x − α1)(x − α3) + (x − α2)(x − α3)

Do vªy, thay x = α1, α2 v  α3 ta ÷ñc

3α21 + q = (α1 − α2)(α1 − α3),3α22 + q = (α2 − α1)(α2 − α3),3α23 + q = (α3 − α1)(α3 − α2)

tr÷íng câ p ph¦n tû l  c¡c sè nguy¶n modulo p Gåi K l  mët tr÷íng b§t

ký chùa Fp X²t φp: K → K l  ¡nh x¤ cho bði φp(a) = ap, vîi måia ∈ K

!

ap−kbk+ bp = ap+ bp = φp(a) + φp(b)

(Ð ¥y ta ¢ sû döng nhªn x²t r¬ng p | pk
.) Nh÷ vªy φp l  tü çng c§ucõa tr÷íng K nh x¤ φp nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  tü çng c§u Frobenius cõa

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû φp(a) = a Ta suy ra a ∈ K l  nghi»m cõa a thùc

xp− x Theo ành lþ Fermat nhä p ph¦n tû trong Fp ·u l  nghi»m cõa

a thùc xp− x V¼ xp− x câ bªc b¬ng pn¶n pph¦n tû cõa Fp ch½nh l  t§tc£ c¡c nghi»m cõa xp− x Do a l  mët trong c¡c nghi»m n y n¶n a thuëc

Ch÷ìng 2 ành lþ

Stickelberger

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· ành lþ Stickelberger, mët sè v½ dö minh håa,

v  mët t÷ìng tü cõa ành lþ n y cho a thùc thüc T i li»u tham kh£o sûdöng cho ch÷ìng n y l  [3, Chapter 15] v  [2, Section 6.6]

Cho f (x) ∈ Z[x] l  mët a thùc chu©n (monic) h» sè nguy¶n bªc n

v  gåi D(f ) l  bi»t thùc cõa f Cho p l  mët sè nguy¶n tè l´ v  gi£ sû

p - D(f ) Gåi f (x) ∈¯ Fp[x] l  a thùc nhªn ÷ñc tø f b¬ng c¡ch thugån h» sè modulo p Gåi r l  sè nh¥n tû b§t kh£ quy cõa f¯ Khi â

ành lþ Stickelberger kh¯ng ành r¬ng r v  n câ còng t½nh ch®n l´, tùc l 

r ≡ n (mod 2), khi v  ch¿ khi D(f ) l  b¼nh ph÷ìng modulop ành lþ n yn¬m trong mët k¸t qu£ cõa Stickelberger [4] Nâ công ÷ñc chùng minhbði Skolem (1952), Phi¶n b£n èi vîi p = 2 cõa ành lþ Stickelberger(s³ ÷ñc tr¼nh b y ð Ch÷ìng 3, möc 3) công n¬m trong mët k¸t qu£cõa Stickelberger, v  nâ công ÷ñc chùng minh bði Carlitz (1953), Dalen(1955), Swan (1962), Berlekamp (1968)

2.1 Nghi»m cõa a thùc b§t kh£ quy trong Fp[x]

Bê · 2.1.1 Gi£ sû α ∈ K l  mët nghi»m cõa a thùc f (x) ∈ Fp[x] Khi

â αp công l  nghi»m cõa f (x)

Chùng minh Ta vi¸t f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ Fp Khi

M»nh · 2.1.2 Cho f (x) l  mët a thùc monic b§t kh£ quy trong Fp[x]

vîi bªc d Cho K l  mët tr÷íng chùa Fp, v  α ∈ K l  mët nghi»m cõa

f (x) Khi â trong K[x], ta câ

f (x) = (x − α)(x − αp)(x − αp2) (x − αpd−1)

Chùng minh Theo bê · tr÷îc, ta câ α, αp, αp2, ·u l  nghi»m cõa

f (x) V¼ a thùc f (x) ch¿ câ húu h¤n nghi»m trong K, n¶n tçn t¤i hai sènguy¶n khæng ¥m ph¥n bi»tk < l sao cho αpk = αpl Ta câ0 = αpl−αp k

=(αpl−k − α)p k

Suy ra αpl−k = α Nh÷ vªy tçn t¤i sè tü nhi¶n nhä nh§t r

sao cho αpr = α

Ta câ α, αp, αp2 , αpr−1 ·u ph¥n bi»t (n¸u khæng gi£ sû apk = αph

vîi h, k, 1 ≤ k < h < r n o â; th¼ nh÷ lªp luªn tr÷îc αph−k = α, m¥uthu¨n vîi t½nh nhä nh§t cõa r) V¼ vªy f câ ½t nh§t r nghi»m ph¥n bi»ttrong K Do â r ph£i nhä hìn ho°c b¬ng bªc cõa f, tùc l  r ≤ d

Nh÷ vªy a thùc h câ ½t nh§t r nghi»m ph¥n bi»t α, αp, , αpr−1 Do â

h ph£i l  a thùc 0 v  do vªy f (x) = g(x)q(x) V¼ f (x) l  b§t kh£ quy v monic n¶n f (x) = g(x) v  r = d Ta câ i·u ph£i chùng minh

2.2 ành lþ Stickelberger

ành lþ 2.2.1 Cho p l  mët sè nguy¶n tè l´, f (x) l  mët a thùc monicbªc m vîi c¡c h» sè trong Fp Gi£ sû D(f ) 6= 0 Gåi r l  sè c¡c nh¥n tûb§t kh£ quy cõa f (x) trong Fp[x] Khi â r ≡ m (mod 2) khi v  ch¿ khi

Theo M»nh · 1.2.8, ta câ

D(f ) = D(f1f2 fr) = D(f1)D(f2) D(fr)R2,

vîi R n o â thuëc Fp Do â, trong K ta câ

δ(f ) = δ(f1)δ(f2) δ(fr)S,

vîi S = ±R ∈ Fp Theo tr÷íng hñp r = 1, vîi måi i = 1, , r, ta câ

φp(δ(fi)) = (−1)di −1δ(fi), ð nìi di = deg fi Do â

Ta câ i·u ph£i chùng minh

Chùng minh ành lþ Stickelberger ÷a ra ð tr¶n l  chùng minh (vîisûa êi th½ch hñp) cõa Swan(1962) v  Berlekamp (1968)

V½ dö 2.2.2 X²t f (x) = x2 + x + 1 ∈ F2[x] câ bªc d = 2 V¼ f (0) =

f (1) = 1 6= 0 trong F2 n¶n f (x) khæng câ nghi»m trong F2 v  do vªy

f (x) ∈ F2[x] l  b§t kh£ quy Trong tr÷íng hñp n y sè nh¥n tû b§t kh£quy monic cõa f (x) l  r = 1

M°t kh¡c bi»t thùc cõa f (x) l  D = 1 − 4 · 1 = 1l  b¼nh ph÷ìng trong

Np(f ) = (0 ho°c 3 n¸u D l  b¼nh ph÷ìng trong Fp

1 n¸u D khæng l  b¼nh ph÷ìng trong Fp

Chùng minh Gåi r l  sè nh¥n tû b§t kh£ quy monic cõa f (x) tr¶n Fp Rã

r ng r ch¿ câ thº nhªn c¡c gi¡ trà

1 r = 1, tùc l  f b§t kh£ quy tr¶n Fp v  Np(f ) = 0,

2 r = 2, tùc l  f câ duy nh§t mët nghi»m tr¶n Fp v  Np(f ) = 1,

3 ho°c r = 3, tùc l  f câ 3 nghi»m ph¥n bi»t tr¶n Fp v  Np(f ) = 3

ành lþ Stickelberger nâi r¬ng

D l  b¼nh ph÷ìng trong Fp

⇔ r ≡ deg f (mod 2) ⇔ r = 1 ho°c 3 ⇔ Np(f ) = 0 ho°c 3

Ta câ i·u ph£i chùng minh

V½ dö 2.2.4 X²t a thùc f (x) = x3 − x − 1 Bi»t thùc cõa f l 

D = −4q3 − 27r2 = −23

Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np(f ) = 0 ho°c 3 Thüc t¸ x3− x − 1 l  b§t kh£quy modulo 3

• N¸u p = 5 th¼ D = −23 khæng l  b¼nh ph÷ìng modulo 5 Theo h» qu£tr¶n th¼ Np(f ) = 1 Thüc t¸ x = 2 l  nghi»m duy nh§t cõa x3− x − 1

modulo 5 v  ph¥n ta câ ph¥n t½ch

(x3 − x − 1) = (x − 2)(x2 + 2x + 3) (mod 5)

7 Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np(f ) = 1 Thüc t¸ x = 5 l  nghi»m duy nh§tcõa x3 − x − 1 modulo 7 v  ph¥n ta câ ph¥n t½ch

• N¸u p = 13 th¼ D = −23 ≡ 3 = 42 (mod 13) l  b¼nh ph÷ìng modulo

13 Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np(f ) = 0 ho°c 3 Thüc t¸ x3 − x − 1 b§tkh£ quy modulo 13

• N¸up = 59 th¼D = −23 ≡ 36 = 62 (mod 59) l  b¼nh ph÷ìng modulo

59 Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np(f ) = 0 ho°c 3 Thüc t¸ x3 − x − 1 câ 3nghi»m ph¥n bi»t modulo 59 v  ta câ ph¥n t½ch

x3 − x − 1 = (x − 4)(x − 13)(x − 42) (mod 59)

2.3 a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguy¶n

tè

K¸t qu£ sau l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ Stickelberger

H» qu£ 2.3.1 Cho f (x) l  mët a thùc monic bªc ch®n h» sè nguy¶n.Gi£ sû bi»t thùc D cõa f l  mët sè ch½nh ph÷ìng kh¡c 0 Khi â vîi måi

p nguy¶n tè l´ v  khæng l  ÷îc cõa D th¼ f (x) l  kh£ quy modulo p

Chùng minh Gåi r l  sè nh¥n tû b§t kh£ quy monic modulo p cõa f (x)

Rã r ngD l  sè ch½nh ph÷ìng modulop Do vªy theo ành lþ Stickelberger,

r ≡ deg f mod 2 Do vªy r l  sè ch®n Nâi ri¶ng r 6= 1 v  f (x) l  kh£quy modulo p

Bê · 2.3.2 Cho f (x) = x4+ ax2 + b ∈ F [x] Khi â bi»t thùc cõa f l 

D = 16b(a2 − 4b)2

Chùng minh Gåi α, −α v  β, −β l  4 nghi»m cõa a thùc f (x) (trongmët tr÷íng âng ¤i sè K n o â chùa F) Ta câ α2 = u, β2 = v l  hainghi»m cõa x2 + ax + b

Chùng minh Bi»t thùc cõa x4 + 1 l  D = 16 · 42 l  mët sè ch½nh ph÷ìng

Do vªy theo h» qu£ tr¶n th¼ x4+ 1 l  kh£ quy modulo p vîi måi p nguy¶n

tè m  p 6= 2 Ta câ x4+ 1 = (x + 1)4 (mod 2) Nh÷ vªy x4+ 1 l  kh£ quymodulo p vîi måi p nguy¶n tè

Ta chùng minh x4 + 1 b§t kh£ quy tr¶n Z Thªt vªy, gi£ sû x4 + 1 l kh£ quy tr¶n Z Khi â

(x4 + 1) = (x2 + ax + c)(x2 + bx + d),

vîi a, b, c, d ∈Z n o â Ta câ

(x2+ ax + c)(x2+ bx + d) = x4+ (a + b)x3+ (ab + c + d)x2+ (ad + bc)x + cd

Do vªy a + b = 0, ab + c + d = 0, ad + bc = 0 v  cd = 1 Tø cd = 1 tasuy ra c = d = −1 ho°c c = d = 1 Suy ra ab = −(c + d) = ±2 Do vªy

a2 = ±2, ph÷ìng tr¼nh n y khæng câ nghi»m nguy¶n

M»nh · 2.3.4 a thùc x4+ 3x2+ 1 l  b§t kh£ quy tr¶n Z nh÷ng l  kh£quy modulo p vîi måi sè nguy¶n tè p

Chùng minh Bi»t thùc cõa x4 + 3x2 + 1 l  D = 16 · 52 l  mët sè ch½nhph÷ìng Do vªy theo h» qu£ tr¶n th¼ x4 + x2 + 1 l  kh£ quy modulo p

vîi måi p nguy¶n tè m  p 6= 2 v  p 6= 5 Ta câ x4 + 3x2 + 1 = (x + 1)4(mod 2) v 

x4 + 3x2 + 1 = (x − 1)2(x − 1)2 (mod 5)

Nh÷ vªy x4 + 1 l  kh£ quy modulo p vîi måi p nguy¶n tè

Ta chùng minh x4 + 3x2 + 1 b§t kh£ quy tr¶n Z Thªt vªy, gi£ sû

x4 + 3x2 + 1 l  kh£ quy tr¶n Z Khi â

4 b§t kh£ quy tr¶n Z nh÷ng kh£ quy modulo p vîi måi p nguy¶n tè B¤n

åc câ thº tham kh£o [1] cho nghi¶n cùu ¦y õ hìn v· chõ · n y

º ¡p döng ành lþ Stickelberger chóng ta c¦n câ kh£ n«ng kiºmtra xem D(f ) l  mët b¼nh ph÷ìng mod p hay khæng Chóng ta câ mëtph÷ìng ph¡p húu hi»u º l m i·u n y b¬ng c¡ch sû döng luªt thuªnnghàch bªc hai Mët i·u thó và r¬ng, ta câ thº chùng minh luªt thuªnnghàch bªc hai b¬ng c¡ch sû döng ành lþ Stickelberger Nhúng i·u n ys³ ÷ñc tr¼nh b y ð ch÷ìng sau

2.4 T÷ìng tü cõa ành lþ Stickelberger cho a thùc thüc

ành lþ 2.4.1 Cho f (x) l  a thùc chu©n (monic) h» sè thüc vîi bªc d

v  bi»t thùc D(f ) 6= 0 Gåi r l  sè nh¥n tû monic b§t kh£ quy thüc cõa f.Khi â

d ≡ r (mod 2) ⇔ D(f ) > 0

Chùng minh Gi£ sû f (x) = f1(x) · · · fm(x)fm+1(x) · · · fn(x) l  ph¥n t½chcõaf th nh t½ch c¡c a thùc monic b§t kh£ quy thüc, trong âf1(x), , fm(x)

Ta câ i·u ph£i chùng minh.

H» qu£ 2.4.2 Cho f (x) l  a thùc chu©n (monic) h» sè thüc vîi bªc d

v  bi»t thùc D(f ) 6= 0 Khi â

(a) N¸u D(f ) > 0 th¼ f câ d − 4k nghi»m thüc, vîi k ≥ 0 n o â;

(b) N¸u D(f ) < 0 th¼ f câ d − 2 − 4k nghi»m thüc, vîi k ≥ 0 n o â.Chùng minh Gåi m l  sè c°p nghi»m phùc (khæng thüc) cõa f v  gåi n

l  sè nghi»m thüc cõa f Khi â theo ành lþ tr¶n

D(f ) > 0 ⇔ m ≡ 0 (mod 2)

Gi£ sû D(f ) > 0 Khi â m l  sè ch®n Vi¸t m = 2k vîi k ≥ 0 n o â.Khi â, sè nghi»m thüc cõa f l  d − 2m = d − 4k

Gi£ sû D(f ) < 0 Khi â m l  sè l´ Vi¸t m = 2k + 1 vîi k ≥ 0 n o

â Khi â, sè nghi»m thüc cõa f l  d − 2m = d − 2 − 4k

Ch÷ìng 3 ành lþ

Stickelberger v  luªt

thuªn nghàch bªc hai

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· kþ hi»u Legendre, luªt thuªn nghàch bªc hai

v  mët chùng minh luªt n y b¬ng c¡ch sû döng ành lþ Stickelberger T ili»u tham kh£o sû döng cho ch÷ìng n y l  t i li»u [3, Chapter 16] v  [2,Section 6.7]



÷ñc ành ngh¾a nh÷sau



ap

 

bp



4 N¸u a ≡ b (mod p) th¼



ap



=



bp

.5



=



837



=



237

 

437



=



237



= −1

ành lþ 3.1.3 (Luªt thuªn nghàch bªc hai Gauss) Gi£ sû p v  q l  c¡c

sè nguy¶n tè l´ ph¥n bi»t Khi â



pq



=



qp

trø khi p ≡ q ≡ 3 (mod 4)th¼

.V½ dö 3.1.4 T½nh lþ hi»u Legendre



1234199

.Líi gi£i



1234199



=



40199



=



2199

 

5199

 

4199



= (−1)



1995



= (−1)



45