Một số chuyên đề lý thuyết số đại số giải tích và phần mềm geogebra

Mët sè chùc n«ng ch½nh.. Mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra trong sè håc v lþ thuy¸t sè.. Geogebra vîi Gi£i t½ch.. Ph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè... T½nh t½ch ph¥n tr¶n Geogebra... C

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG

THÁI NGUYÊN - 2019

Möc löc

Ch÷ìng 1 MËT SÈ L›NH

CÌ BƒN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC,

1.1 C i °t v  sû döng ph¦n m·m Geogebra 5

1.1.1 Giîi thi»u ph¦n m·mGeogebra 5

1.1.2 C i °t ph¦n m·m 6

1.1.3 Mët sè chùc n«ng ch½nh 7

1.1.4 Mët sè h m to¡n håc trong Geogebra 8

1.2 Mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra trong sè håc v  lþ thuy¸t sè 9 1.2.1 C¡c l»nh li¶n quan ¸n sè nguy¶n tè 9

1.2.2 C¡c l»nh li¶n quan ¸n ph²p chia v  sè d÷ 11

1.2.3 C¡c l»nh v· ¤i l÷ñng trung b¼nh 21

1.2.4 C¡c c¥u l»nh Lægic 22

1.2.5 Geogebra vîi ¤i sè 23

1.2.6 Geogebra vîi Gi£i t½ch 33

Ch÷ìng 2 SÛ DÖNG GEOGEBRA TRONG MËT SÈ CHUY–N — LÞ THUY˜T SÈ, „I SÈ, GIƒI TCH 40 2.1 Ph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè 40

2.1.1 T¼m sè nguy¶n tè d¤ng 1000 01 40

2.1.2 Kiºm tra sè nguy¶n tè Mersenne d¤ng 2p− 1 51

2.1.3 Kiºm tra sè nguy¶n tè Fermat d¤ng 22n+ 1 55

2.1.4 Ph¥n t½ch c¡c sè d¤ng An = p2p3 pn − 2 ra thøa sè nguy¶n tè 57

2.2 Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû 60

2.3 V³ ç thà h m sè 67

2.4 T½nh t½ch ph¥n 83

2.4.1 T½nh t½ch ph¥n tr¶n Geogebra 83

2.4.2 V· mët ph÷ìng ¡n d¤y t½ch ph¥n x¡c ành 91

LÍI NÂI †U

Do nhúng ÷u iºm v÷ñt trëi (mi¹n ph½, câ c i °t ti¸ng Vi»t, phõ h¦uh¸t ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng v  ¤i håc, giao di»n th¥n thi»n, ), Geoge-bra trong kho£ng 10 n«m trð l¤i ¥y ¢ ÷ñc phê bi¸n t¤i Vi»t Nam Nhi·ugi¡o vi¶n ¢ sû döng Geogebra trong thi¸t k¸ b i gi£ng, vi¸t c¡c s¡ng ki¸nkinh nghi»m v  c¡c chuy¶n · Tuy nhi¶n, ch÷a câ mët cuèn s¡ch n o vi¸tv· Geogebra, c¡c t i li»u tr¶n m¤ng th÷íng tªp trung v o h÷îng d¨n sû döngGeogebra, ch÷a câ nhi·u b i vi¸t v  t i li»u mang t½nh chuy¶n s¥u

Möc ½ch cõa Luªn v«n n y l  thuy¸t minh t½nh hi»u qu£ cõa Geogebra tronggi£i quy¸t mët sè v§n · cõa Sè håc v  L½ thuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch.Luªn v«n gçm hai Ch÷ìng

Ch÷ìng 1 tªp hñp mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra trong Sè håc v  L½ thuy¸t

sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch, nh¬m thuªn ti»n cho Ch÷ìng 2 M°c dò ch÷a li»t k¶

¦y õ c¡c l»nh v  ch÷a minh håa h¸t c¡c kh£ n«ng sû döng Geogebra trong

Sè håc v  L½ thuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch, chóng tæi công hi vång Ch÷ìng 1 l 

t i li»u câ ½ch v  thuªn ti»n cho nhúng ai mîi b­t ¦u l m quen vîi Geogebra.Ch÷ìng 2 gçm bèn chuy¶n ·

Chuy¶n · 1 minh håa kh£ n«ng sû döng ch¿ mët l»nh ifactor cõa Geogebratrong t¼m hiºu v  gi£i quy¸t mët sè gi£ thuy¸t v· sè nguy¶n tè

Chuy¶n · 2 minh håa kh£ n«ng sû döng ch¿ mët l»nh factor cõa Geogebratrong ph¥n t½ch a thùc ra thøa sè

Câ thº coi Geogebra nh÷ mët cæng cö th½ nghi»m º t¼m ra quy luªt trongph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè ho°c ph¥n t½ch mët a thùc ra thøa sè.Chuy¶n · 3 minh håa kh£ n«ng sû döng Geogebra trong d¤y v  håc ph¦n

H m sè v  ç thà, mët ph¦n quan trång trong Ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng.Chuy¶n · 4 minh håa kh£ n«ng t½nh c¡c t½ch ph¥n khâ ch¿ b¬ng mët l»nh

TichPh¥n cõa Geogebra çng thíi chóng tæi công n¶u kh£ n«ng khai th¡cGeogebra v  Maple trong d¤y kh¡i ni»m t½ch ph¥n x¡c ành.

Trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n, tæi ¢nhªn ÷ñc nhi·u sü gióp ï cõa c¡c th¦y cæ, c¡c anh chà v  gia ¼nh Vîi t§t c£t§m láng ch¥n th nh, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi PGS TS T¤ DuyPh÷ñng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï, ch¿ b£o, h÷îng d¨n tæi thüc hi»n nghi¶ncùu, gâp þ v  sûa chúa º tæi ho n thi»n luªn v«n n y

Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn c¡c Th¦y, Cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc Khoa håc

-¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t cho tæi ki¸n thùc trong suèt hain«m håc tªp, l  n·n t£ng cho tæi trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu luªn v«n, l  h nhtrang quþ b¡u theo tæi trong suèt cuëc íi

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c nh§t ¸n gia ¼nh th¥n y¶u cõa tæi,nhúng ng÷íi ¢ luæn ð b¶n tæi, õng hë ëng vi¶n v  l  ché düa vúng ch­c ºtæi y¶n t¥m håc tªp ho n th nh khâa håc n y

Cuèi còng tæi xin k½nh chóc quþ Th¦y, Cæ, Anh, Chà v  gia ¼nh dçi d osùc khäe, th nh cæng trong sü nghi»p!

Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn!

1.1.1 Giîi thi»u ph¦n m·mGeogebra

Geogebra l  ph¦n m·m ­c lüc trñ gióp gi£ng d¤y, håc tªp v  nghi¶n cùuto¡n håc Geogebra câ thº thüc hi»n ÷ñc h¦u h¸t c¡c t½nh to¡n to¡n håc trongch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng v  ¤i håc (sè håc, ¤i sè, gi£i t½ch, h¼nh håc,to¡n thèng k¶, .), do â r§t ti»n dòng trong gi£ng d¤y v  håc tªp, °c bi»ttrong gi£ng d¤y v  håc tªp theo ch÷ìng tr¼nh v  s¡ch gi¡o khoa mîi vîi ànhh÷îng ph¡t triºn n«ng lüc, khuy¸n kh½ch håc sinh tü håc, tü nghi¶n cùu.Mët trong nhúng ÷u iºm nêi trëi cõa Geogebra l  ph¦n m·m mi¹n ph½, v  câthº chuyºn êi ngæn ngú, th½ dö, tø ti¸ng Anh sang ti¸ng Vi»t ho°c ng÷ñc l¤i,

c i °t v  thao t¡c ìn gi£n, thuªn ti»n Câ thº l¶n m¤ng t£i Geogebra, t¼mhiºu c i °t v  sû döng qua c¡c b i vi¸t (ti¸ng Vi»t ho°c ti¸ng Anh) ho°c quac¡c t i li»u tr½ch d¨n ð cuèi luªn v«n

Geogebra ¢ ÷ñc giîi thi»u ð Vi»t Nam kho£ng 10 n«m trð l¤i ¥y, v  ¢ ÷ñcnhi·u gi¡o vi¶n (tø lîp 6 ¸n lîp 12 v  ¤i håc) sû döng trong b i gi£ng, trong

thüc hi»n c¡c s¡ng ki¸n kinh nghi»m gi£ng d¤y, ¤t hi»u qu£ tèt Câ thº sûdöng Geogebra º v³ h¼nh ëng, v³ ç thà, t½nh to¡n ho°c thüc hi»n c¡c thaot¡c to¡n håc phùc t¤p (ph¥n t½ch mët sè ra thøa sè nguy¶n tè, ph¥n t½ch athùc ra thøa sè, ìn gi£n biºu thùc, t½nh ¤o h m, t½ch ph¥n, lªp b£ng thèngk¶, .) m  khæng m§t nhi·u thíi gian.

Geogebra công ¢ ÷ñc ÷a v o Ch÷ìng tr¼nh Tin håc Trung håc Cì sð.Vîi Geogebra, câ thº h÷îng d¨n håc sinh l m c¡c nghi¶n cùu nhä nh÷ t¼m hiºumët sè gi£ thuy¸t v· sè nguy¶n tè, ho°c c¡c tr£i nghi»m quan h» giúa to¡n håc

v  thüc t¸ Th½ dö, câ thº sû döng gâi l»nh thèng k¶ º kh£o s¡t tr¼nh ë håctªp cõa håc sinh mët tr÷íng, ë tuêi trung b¼nh cõa d¥n sè mët x¢, vîinhúng dú li»u thüc v  b£ng dú li»u lîn,

1.1.2 C i °t ph¦n m·m

• V o http://www.geogebra.org/download º t£i ph¦n m·m v· m¡y.Sau khi c i °t, chån Run, GeoGebra s³ khði ëng ch÷ìng tr¼nh v  hi»n giaodi»n nh÷ h¼nh d÷îi

• Chuyºn sang ngæn ngú kh¡c, v½ dö, tø ti¸ng Anh sang ti¸ng Vi»t: nh¡y

v o Options tr¶n thanh cæng cö (menu), chån Language, chån R-Z, chånVietnamese/Ti¸ng Vi»t ÷ñc giao di»n ti¸ng Vi»t nh÷ h¼nh d÷îi

1.1.3 Mët sè chùc n«ng ch½nh

• Chån mæi tr÷íng l m vi»c: Khi khði ëng ch÷ìng tr¼nh s³ xu§t hi»nb£ng phèi c£nh dòng º lüa chån mæi tr÷íng l m vi»c gçm: ¤i sè v  çthà; H¼nh håc; V³ ç håa 3D; X¡c su§t thèng k¶, Mæi tr÷íng l m vi»c

÷ñc m°c ành trong luªn v«n l  ¤i sè v  ç thà Ta câ thº cho ©n/hi»n b£ngphèi c£nh b¬ng c¡ch click chuët v o biºu t÷ñng môi t¶n ð c¤nh ph£i cõa cûa

sê º chån l¤i mët mæi tr÷íng l m vi»c kh¡c Trong ch¸ ë ¤i sè v  ç thà

câ thanh Nhªp l»nh ð d÷îi còng cõa cûa sê dòng º nhªp l»nh trüc ti¸p khiv³ h¼nh, t½nh to¡n (H¼nh d÷îi)

Geogebra câ thº l m ÷ñc kh¡ nhi·u vi»c: sè håc, gi£i t½ch, h¼nh håc, thèng k¶

v  x¡c su§t °c bi»t, ÷u iºm nêi trëi cõa Geogebra l  vai trá cõa nâ trongtrñ gióp gi£ng d¤y h¼nh håc mët c¡ch trüc quan, h¼nh håc ëng, cho ph²p v³h¼nh, v³ thi¸t di»n v  xoay, t¼m quÿ t½ch,

Luªn v«n tªp trung tr¼nh b y c¡c l»nh cì b£n cõa Geogebra trong Sè håc, Lþthuy¸t sè, ¤i sè v  Gi£i t½ch Sû döng Geogebra trong h¼nh håc ho°c x¡c su§tthèng k¶ câ thº xem trong c¡c t i li»u tr½ch d¨n ð cuèi luªn v«n

1.1.4 Mët sè h m to¡n håc trong Geogebra

1 sqrt(x) : C«n bªc hai cõa x (√x)

2 abs(x) : Trà tuy»t èi cõa x (|x|)

3 floor(x) : H m s n, h m ph¦n nguy¶n (sè nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡

7a lg(x) : lægarit thªp ph¥n (l  log10x )

7b ln(x) : Lægarit tü nhi¶n (l  lægarit cì sè e)

8 H m sè l÷ñng gi¡c: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)

Nhªn x²t: N¸u dòng l»nh

ifactor (123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654433)th¼ Geogebra khæng ph¥n t½ch ÷ñc do sè qu¡ lîn Nh÷ng Geogebra v¨n t¼m

÷ñc sè nguy¶n tè ùng sau nâ

c Kiºm tra mët sè câ l  sè nguy¶n tè khæng

C¥u l»nh: CâPh£iNguy¶nTè(<Sè>) ho°c Isprime(<number>)

V½ dö 1.4: Sû döng l»nh CâPh£iNguy¶nTè(<Sè>) kiºm tra sè 290324022019

câ ph£i l  sè nguy¶n tè khæng

Sû döng l»nh ifactor ta ÷ñc:

V½ dö 1.5 : Sû döng l»nh Isprime(<number>) kiºm tra sè 121499449 câ

ph£i l  sè nguy¶n tè khæng

V½ dö 1.6: Sû döng l»nh Isprime(<number>) kiºm tra sè 290324022019

câ ph£i l  sè nguy¶n tè khæng

1.2.2 C¡c l»nh li¶n quan ¸n ph²p chia v  sè d÷

a T¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia mët sè a cho mët sè b

C¥u l»nh: Ph²pChia(<Sè bà chia>,<Sè chia>) ho°c division(,).V½ dö 1.7: Sû döng l»nh division(,) t¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia sè

Vªy th÷ìng v  ph¦n d÷ cõa ph²p chia 2017201820192020 cho sè 2021 l 

998120643340 v  1880

V½ dö 1.9 : Sû döng l»nh Ph²pChia(<Sè bà chia>,<Sè chia>) t¼mth÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia sè 1000000001 cho sè 11

Vªy 1000000001 chia h¸t cho 11, ÷ñc th÷ìng l  90909091

b T¼m sè d÷ khi chia mët sè a cho mët sè b

C¥u l»nh: SoDu(<Sè bà chia>,<Sè chia>)

V½ dö 1.10 : Sû döng l»nh SoDu(<Sè bà chia>,<×îc sè>) t¼m sè d÷cõa ph²p chia sè 2017201820192020 cho sè 2021

Vªy sè d÷ cõa ph²p chia sè 2017201820192020 cho sè 2021 l  1880

c1 ×îc sè

C¥u l»nh: UocSo(<Sè>)

L»nh UocSo(<Sè>) cho ph²p t½nh t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa sè ¢ cho

V½ dö 1.11: Sû döng l»nh UocSo(<Sè>) t¼m sè ÷îc sè cõa sè 1000000001

L»nh Têng×îcSè(<Sè>) cho t§t c£ c¡c têng cõa ×îc sè ¢ cho.

V½ dö 1.13: Sû döng l»nh Têng×îcSè( <Sè> ) t¼m têng ÷îc sè cõa sè

C¡ch 2:

Muèn kiºm tra k¸t qu£ tr¶n, ta t½nh

Hai sè 24101995 v  01091995 câ USCLN=1.

Muèn kiºm tra k¸t qu£, ta ph¥n t½ch ra thøa sè:

Muèn t¼m USCLN cõa ba sè 2000, 1975, 1910 ta câ thº t¼m USCLN cõa hai sè

2000, 1975 b¬ng 25 sau â t¼m USCLN cõa 25 v  1910

Muèn kiºm tra k¸t qu£, ta t½nh:

V½ dö 1.19: Sû döng l»nh gcd(,) t¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa hai sè

24101995, 01091995

V½ dö 1.20: Sû döng l»nh gcd(,) t¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa ba sè

2000, 1975, 1910

f M¨u sè chung cõa hai biºu thùc

C¥u l»nh:MauSoChung( <Biºu thùc>, <Biºu thùc> )

V½ dö 1.21: Sû döng l»nh MauSoChung( <Biºu thùc>, <Biºu thùc>) t¼m m¨u sè chung cõa hai biºu thùc 1

Ð ¥y,"<Sè d¤ng v«n b£n>" l  biºu di¹n cõa sè trong h» cì sè ¢ cho, <Cìsè> l  cì sè m  sè d¤ng v«n b£n ÷ñc vi¸t, k¸t qu£ l  sè trong h» thªp ph¥n.V½ dö 1.22: Sû döng l»nh ChuyºnSangH»ThªpPh¥n( "<Sè d¤ng v«nb£n>",<Cì sè>) chuyºn sè 1000001 tø h» cì sè 2 sang h» thªp ph¥n

Muèn kiºm tra k¸t qu£ ta l m nh÷ sau:

10000012 = 1.26+ 0.25+ 0.24+ 0.23+ 0.22+ 0.21+ 1.20

M¡y °t d§u ? v¼ trong h» cì sè 3 khæng câ sè 10004.

g2 Chuyºn biºu di¹n cõa mët sè trong h» thªp ph¥n sang h» cì sè bC¥u l»nh: ChuyºnH»¸m(<Sè>,<Cì sè>)

Ð ¥y, <Sè> l  biºu cõa sè trong h» thªp ph¥n, <Cì sè> l  cì sè m  ta c¦nchuyºn sè ¢ cho sang

V½ dö 1.25: Sû döng l»nh ChuyºnH»¸m(<Sè>,<Cì sè>) chuyºn

sè 10001 tø h» cì sè 10 sang h» cì sè 2

√

x1, x2 xnC¥u l»nh: TrungBinhHinhHoc(<Danh s¡ch c¡c sè>)

V½ dö 1.29: Sû döng l»nh TrungBinhHinhHoc(<Danh s¡ch c¡c sè>)t¼m trung b¼nh nh¥n cõa c¡c sè 15, 17, 19, 21

Kiºm tra tr¶n Casio fx-580VNX:

Kiºm tra tr¶n Geogebra:

L÷u þ r¬ng ¡p sè câ thº ch¿ l  g¦n óng

b Trung b¼nh i·u háa

ành ngh¾a: Trung b¼nh i·u háa cõa n sè thüc kh¡c khæng x1, x2, , xn

V½ dö 1.30: Sû döng l»nh TrungBinhDieuHoa(<Danh s¡ch c¡c sè>)t¼m trung b¼nh i·u háa cõa c¡c sè 14, 17, 29, 56

Kiºm tra tr¶n Casio fx-580VNX:

Kiºm tra tr¶n Geogebra:

c Trung b¼nh c«n thùc

C¥u l»nh: TrungBinhCanThuc(<Danh s¡ch c¡c sè>)

V½ dö 1.31: Sû döng l»nh TrungBinhCanThuc(<Danh s¡ch c¡c sè>)t¼m trung b¼nh c«n thùc cõa hai sè 1 v  3

1.2.4 C¡c c¥u l»nh Lægic

Hai èi t÷ñng câ b¬ng nhau khæng

C¥u l»nh: B¬ngNhauKhæng(<èi t÷ñng>,<èi t÷ñng>)

L»nh B¬ngNhauKhæng cho ph²p so s¡nh hai èi t÷ñng câ b¬ng nhau haykhæng

V½ dö 1.32: Sû döng l»nh B¬ngNhauKhæng(<èi t÷ñng>,<èi t÷ñng>)

so s¡nh 3, 14 v  π

b ìn gi£n biºu thùc

C¥u l»nh: simplify ho°c RótGån( <H m sè> )

V½ dö 1.35 (Thi tuyºn sinh v o lîp 10 THPT chuy¶n V¾nh Phóc, 2016 2017)

-Sû döng l»nh simplify rót gån biºu thùc sau:

2√

x −

√x2

2√

x −

√x2

2

= −4√x

x − 1 .

(1 − x)24x

= 1 − x√x

= (1 − x)

√x

Vªy A = (1 − x)

√x

√

x − 1 − √ 1

x + 1

x − 1 − √ 1

x + 1

= (a − b)(a + b)(a + b)(a2− ab + b2).

V½ dö 1.37:

V½ dö 1.38: Sû döng l»nh DaThuc(<H m sè>,<Bi¸n sè>) s­p x¸p

h m sè x2+ y3 theo bi¸n y

x + 1 .

L»nh TachHamPhanThuc r§t ti»n dòng trong t¼m ti»m cªn xi¶n cõa h mbªc hai tr¶n bªc nh§t, ti»m cªn cong (parabol) cõa h m bªc ba tr¶n bªc nh§t.V½ dö 1.41: Sû döng l»nh TachHamPhanThuc(<H m sè>,<Bi¸n sè>)t¡ch h m ph¥n thùc x2y + 1

y theo bi¸n y

V½ dö 1.42: Sû döng l»nh TachHamPhanThuc(<H m sè>,<Bi¸n sè>)t¡ch h m ph¥n thùc x2y + 1

y theo bi¸n x

e C¡c l»nh li¶n quan ¸n th÷ìng v  d÷

e1 T¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia mët a thùc cho mët a thùcC¥u l»nh: Ph²pChia(<a thùc bà chia>,<a thùc chia h¸t>)V½ dö 1.43:

Sû döng l»nh Ph²pChia(<a thùc bà chia>,<a thùc chia h¸t>) t¼mth÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia a thùc x3+ 1 cho a thùc x2+ 1 :

Vªy th÷ìng v  ph¦n d÷ cõa ph²p chia a thùc x3+ 1 cho a thùc x2+ 1 l  x

v  −x + 1

Kiºm tra: x3+ 1 = (x2+ 1)x − x + 1

e2 T¼m ph¦n d÷ khi chia mët a thùc cho mët a thùc

C¥u l»nh: SoDu(<a thùc bà chia>,<a thùc chia>)

V½ dö 1.44:

Sû döng l»nh (<a thùc bà chia>,<a thùc chia>) t¼m sè d÷ cõa ph²pchia a thùc x3+ 1 cho a thùc x2+ 1.

Vªy ph¦n d÷ cõa ph²p chia a thùc x3+ 1 cho a thùc x2+ 1 l  −x + 1

f T¼m bëi chung nhä nh§t cõa hai a thùc mët bi¸n

Sû döng l»nh factor kiºm tra

Hai a thùc khæng câ ÷îc chung Vªy BSCNN

(x5− 5x + 4, x3− 3x2) = (x − 1)2× (x3+ 2x2+ 3x + 4) × (x2− 2x − 2).V½ dö 1.46: Sû döng l»nh BSCNN(<danh s¡ch c¡c a thùc>) t¼m bëichung nhä nh§t cõa c¡c a thùc x3+ x2, x + 1, x2

N¸u ta dòng l»nh BSCNN(, ,) th¼ Geogebra b¡o gi¡ trà nhªp v o khæng hñpl», l m nh÷ sau: T¼m BCNN cõa ba a thùc x3 + x2, x + 1, x2, nh÷ l  BCNNcõa BCNN cõa hai a thùc vîi a thùc thù ba:

Sû döng l»nh factor kiºm tra:

V½ dö 1.49(Thi OLYMPIC truy·n thèng 30/4 l¦n XXIV, 2018, tr÷íng THPTchuy¶n Huýnh M¨n ¤t - Ki¶n Giang) Gi£i ph÷ìng tr¼nh:

D¹ th§y: 8(x2 + xy + y2) + 6 > 0 n¶n x = y Thay v o (1)

Ta câ: 6y = 8x3+√

3 hay 4x3− 3x = −

√32Vªy ph÷ìng tr¼nh câ 3 nghi»m l  x = cos5π

= lim

x→0

1cos2x− 1

1 − cos x

= lim

x→0

1 − cos2x(1 − cos x) cos2x

= lim

x→0

(1 − cos x)(1 + cos x)(1 − cos x) cos2x

= 1 + cos xcos2x =

L»nh DaoHam(<Biºu thùc>,<Bi¸n sè>) s³ ÷u ti¶n coi f l  h m cõa bi¸n

sè, cán c¡c k½ hi»u kh¡c coi l  tham sè (h¬ng sè)

V½ dö 1.55 Sû döng l»nh DaoHam(<Biºu thùc>,<Bi¸n sè>) t½nh ¤o

h m cõa h m sè f(x) = x3y

L»nh DaoHam(<Biºu thùc>,<Bi¸n sè>,<Bi¸n sè>) cho ph²p t½nh ¤o

h m

V½ dö 1.57 Sû döng l»nh DaoHam(<Biºu thùc>,<Bi¸n sè>,<Bi¸nsè>) t½nh ¤o h m bªc hai cõa h m sè f(x, y) = x3y

Trong b£ng tr¶n, ¦u ti¶n l§y ¤o h m theo x ∂

∂x Sau â l§y ¤o h m theo y

T½chPh¥nGiúaHaiH mSè(<H m sè>,<H m sè>,<Bi¸n>,<Cªn x>,<Cªn tr¶n-x>)

Z

0

cos5xdx −

π 2

Z

0

cos5xdx =

π 2

1 0

15.

I2 =

π 2

Z

0

(1 + cos 2x)dx

= 12

π 2

π2

0

= π

4.

3 0

2× t

3 2

3 2

25 16

= 61

Vªy I = I1+ I2 = 27 + 61 = 88

V½ dö 1.60: Sû döng l»nh T½chPh¥n(<H m sè>) t½nh nguy¶n h m

I =Z(2x − 1) sinxdx

L»nh T½chPh¥n(<H m sè>,<Bi¸n>) coi f l  h m cõa bi¸n x.

= (1 − 2x) cosx + 2

Zcos xdx

Z3x2ydx = x2+ x3y + c

Z3x2ydy = 2xy + 3

2x

2y2+ c

I =Z(2x 1) sinxdx

Lằnh TẵchPhƠn(<Hm số& gt;,<Bián>)