Định lí điểm bất động trên không gian kiểu metric

Bởi vậy nguyên lý ánh xạ co Banach được xem là khởi nguồn cho các nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động trong các không gian kiểu metric.. Các kết quả nghiên cứu về điểm bất động cũng nh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

OUTHONG PHONEPASEUTH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

OUTHONG PHONEPASEUTH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU METRIC

Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc

Tác giả

Outhong PHONEPASEUTH

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 06 năm 2018

Tác giả

1.3 Định lý Banach trong không gian kiểu metric 11

Chương 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN

2.1 Điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact

theo dãy

17

2.2 Điểm bất động trong không gian kiểu metric sắp thứ tự 28

2.3 Điểm bất động trong không gian metric nón 31 2.4 Điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ 33 2.5 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân 37

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như đã biết, nguyên lí về ánh xạ co đã được phát biểu và chứng minh trong công trình của Banach năm 1922 là một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích hàm cổ điển Về sau các nhà toán học đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ trên các không gian khác nhau, đặc biệt là các không gian kiểu metric Bởi vậy nguyên lý ánh xạ co Banach được xem là khởi nguồn cho các nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động trong các không gian kiểu metric Ý nghĩa của nó nằm ở chỗ nó có thể được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học Các kết quả nghiên cứu về điểm bất động cũng như điểm bất động chung của các ánh xạ thỏa mãn điều kiện co metric

đã biết thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học Trong những năm gần đây, một số tác giả đã đạt được nhiều kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung đối với các lớp ánh xạ khác nhau trên các không gian metric tổng quát như Bakhtin, Czerwik, Khamsi, Hussain, Edelstein, Suzuki… Ở đây chúng tôi sẽ tập trung vào một trong những không gian đó Cụ thể hơn, đó là không gian kiểu metric, hay còn gọi là không gian b metric

Do đó tôi chọn đề tài: “Định lý điểm bất động trên không gian kiểu metric “

Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về điểm bất động trên các không gian kiểu metric

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan và hệ thống một số kết quả về không gian metric, không gian kiểu metric và một số định lý điểm bất động trên các không gian

đó, bao gồm điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động trong không gian kiểu metric được sắp thứ tự, điểm bất động trong không gian metric nón, điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ Cuối cùng là áp dụng kết quả đạt được vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp của giải tích hàm

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [4], [8]

và [10], gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống một vài kết quả về không gian metric, không gian kiểu metric và một số định lý điểm bất động trên các không gian đó

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả nghiên cứu gần đây của M Cosentino, P Salimi và P Vetro về điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động trong không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động trong không gian metric nón, điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ Cuối cùng là áp dụng kết quả đạt được vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN KIỂU METRIC

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập hợp tùy ý d X X: là một hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:

cách giữa hai điểm x và y

Sau đây là một vài tính chất của metric:

điểm giới hạn của dãy { }x n được định nghĩa bởi

Không gian đối xứng ( , )X d được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu mỗi dãy

Cauchy của nó hội tụ về một phần tử x X

Định nghĩa 1.2.2 ChoX là một tập khác rỗng và K 1 là số thực cho trước Hàm số d X X: [0, ) được gọi là kiểu metric (hay b metric) nếu

và chỉ nếu với mọi , ,x y z X các điều kiện sau được thỏa mãn:

( , , )X d K gọi là compact theo dãy nếu với mọi dãy { }x n trong X , đều tồn tại

dãy con { }

k

n

x của { }x n , hội tụ đến một điểm x X

Sau đây là một vài ví dụ về không gian kiểu metric

Ví dụ 1.2.3 Cho X [0,1] và d X X: [0, ) được xác định bởi

d x y x y Khi đó ( , )X d là một không gian kiểu metric với K 2 1/p

Ví dụ 1.2.6 Giả sử ( , )X d là không gian metric Cho 1, 0,và

0, và với ,x y X đặt , J x y( , ) d x y( , ) d x y( , ) J không phải metric trên X Tuy nhiên ( , )X J là một không gian kiểu metric với

Bổ đề 1.2.7 Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric và { }x n là dãy trong

X sao cho x n x và x n y Khi đó x y

Chứng minh Giả sử d x y( , ) 0 Khi đó theo giả thiết x n x và

với mọi n n0 Điều này mâu thuẫn với d x y( , ) 0

Nói chung, một hàm kiểu metric d với k 1 không liên tục theo cả hai biến Sau đây là ví dụ về một hàm kiểu metric, không liên tục

2

D n

Nghĩa là, x n , nhưng D x( 2n,1) 2 D( ,1), khi n

Nói chung không gian kiểu metric không liên tục, nên ta cần bổ đề đơn giản sau đây về các dãy b hội tụ

Bổ đề 1.2.9 Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric và { }n 0

Chứng minh Cho m n, và m n Áp dụng bất đẳng thức kiểu tam giác

( )c vào bộ ba { ,y y m m 1, },{y n y m 1,y m 2, }, ,{y n y n 2,y n 1, }y ta thu được n

Định nghĩa 1.2.11 Cho X là tập khác rỗng Nếu ( , , )X d K là không gian kiểu metric và ( , )X là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, thì ( , , , )X d K được gọi là không gian kiểu metric sắp thứ tự

Hai phần tử ,x y X gọi là so sánh được nếu x y hoặc y x xảy ra Cho

( , )X là tập sắp thứ tự riêng Một ánh xạ f được gọi là bị trội hơn nếu

fx x với mọi x X và trội nếu x fx với mọi x X

Định nghĩa 1.2.12 Một không gian kiểu metric sắp thứ tự ( , , , )X d K có tính chất so sánh giới hạn theo dãy nếu với mỗi dãy giảm {x trong X sao cho n}

n

x x X , ta có x x n

Bây giờ ta nhắc lại định nghĩa của không gian metric nón và khái niệm hội tụ [6]

Định nghĩa 1.2.13 Cho E là không gian Banach thực với là phần tử không

và P E Tập con P được gọi là nón sắp thứ tự nếu nó có các tính chất

x y và x y , và viết x y nếu y x IntP Nón P được gọi là

chuẩn tắc nếu tồn tại K 1 sao cho với mọi ,x y E

0 x y || ||x K y || || (1.3)

Số K 1 bé nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là hằng số chuẩn tắc của P

Sau đây ta luôn giả sử E là không gian Banach thực và P là nón sắp thứ tự trong E với IntP và là quan hệ sắp thứ tự bộ phận đối với P

Định nghĩa 1.2.14 Cho X Giả sử rằng ánh xạ d X X: E thỏa

mãn các điều kiện sau đây:

( )i d x y( , ) với mọi ,x y X , và d x y( , ) x y;

( )ii d x y( , ) d y x( , ) với mọi ,x y X ;

( )iii d x y( , ) d x z( , ) d z y( , ), với mọi , ,x y z X

Khi đó d được gọi là metric nón trên X , và ( , )X d được gọi là không gian

tắc P Khi đó

( )i { }x n X hội tụ đến x X d x x( , )n khi n

( )ii {x là dãy Cauchy n} d x x( ,n m) khi n m,

( )iii Cho {x và { } n} y là hai dãy trong n X, ,x y X và ( , ) d x x n ,

( , )n

d y y khi n Khi đó d x y( , )n n d x y( , ) khi n

1.3 Định lý Banach trong không gian kiểu metric

Sau đây là định lí về điểm bất động hay còn gọi là nguyên lí ánh xạ co ([1])

Định lý 1.3.1 Giả sử ( , )X d là không gian metric đầy đủ và : f X X là ánh xạ thỏa mãn

d f x f y( ( ), ( )) kd x y( , ), k (0,1) (1.4) với mọi , x y X Khi đó tồn tại duy nhất x* X sao cho f x( )* x*

Nhận xét Ánh xạ f thỏa mãn điều kiện (1.4) còn gọi là ánh xạ co Dễ thấy rằng khi đó f là ánh xạ liên tục

Chứng minh Lấy x0 X tùy ý Đặt x1 f x( ), 0 , x n f x( n 1),

Cho n và sử dụng tính liên tục của f ta nhận được d x f x( , ( ))* * 0

Do đó f x( )* x* Vậy x* là điểm bất động của f

Bây giờ giả sử y* cũng là điểm bất động của f , tức là f y( )* y* Khi đó

f x hội tụ đến z

Chứng minh Lấy x0 X bất kì và kí hiệu y n f x Khi đó n 0

d y y( ,n n 1) d fy( n 1,fy n) d y( n 1, )y n (1.7) với mỗi n 1,2

Theo Bổ đề 1.2.9, { }y n là dãy Cauchy, và vì ( , , )X d K là không gian đầy đủ,

nên tồn tại z X sao cho y n z khi n Khi đó

d fz z( , ) K d fz fy( ( , n) d y( n 1, ))z

K d z y( ( , )n d y( n 1, ))z 0 (1.8) khi n Do đó, d fz z( , ) 0 và z là điểm bất động của f

Nếu z1 là điểm bất động khác của f , thì ta có

d z z( , )1 d fz fz( , 1) d z z( , )1

Điều này chỉ có thể xảy ra khi z z1

Định lý 1.3.3 Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric đầy đủ Cho

0

K Vì n 0 khi n , nên tồn tại n0 sao cho n với mỗi n n0 Khi đó

d f x f y( n , n ) d x y( , ) với mọi ,x y X khi n n0

Nói cách khác, với m n0 tùy ý, g f m thỏa mãn

d gx gy( , ) d x y( , ) với mọi ,x y X

Định lý 1.3.2 kéo theo g có điểm bất động duy nhất, gọi điểm đó là z Khi đó m

f z z, kéo theo f m 1z f m( )fz fz và fz là điểm bất động của m

g f Vì điểm bất động của g là duy nhất, nên suy ra fz z và z là điểm

m x x Hơn nữa tính liên tục của f kéo theo tính liên tục của g , do đó

* lim m lim m 1 lim ( )m ( )*

nên { ( )}g x m hội tụ đến x* với mọi x X Tuy nhiên, do tính liên tục của f ,

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU METRIC

Trong chương này chúng tôi trình bày các định lý về điểm bất động và điểm bất động chung của ánh xạ được xác định trên các không gian kiểu metric, không gian kiểu metric sắp thứ tự, không gian metric nón Áp dụng các kết quả đạt được vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

2.1 Điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact theo dãy

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các định lý điểm bất động kiểu Edelstein và kiểu Suzuki đối với ánh xạ trên các không gian kiểu metric compact theo dãy

Định lý 2.1.1 Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric compact theo dãy và

:

f X X sao cho:

d fx fy( , ) d x y( , ) d x fx( , ) d y fy( , ) d x fy( , ) Ld y fx( , )

và f liên tục, thì f có điểm bất động Hơn nữa, nếu L 1

điểm bất động của f là duy nhất

Chứng minh Cho x0 X là một điểm tùy ý, và x n là dãy Picard với điểm ban đầu x0, x n f x n 0 fx n 1 Nếu x n x n 1 với n nào đó, thì x n là

điều đó là mâu thuẫn, do đó d 0, suy ra x fx

Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất của điểm bất động Giả sử rằng z X

là điểm bất động của f , khác với x Điều này có nghĩa là d z x( , ) 0 Lấy

Ví dụ 2.1.2 Cho X [0,1] và :d X X [0, ) được xác định bởi

f x

x Ta có ( , ,2)X d là không gian kiểu metric compact theo

dãy Vì

Hệ quả 2.1.3 Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric compact theo dãy và

Hệ quả 2.1.4 Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric compact theo dãy và

L , thì điểm bất động của f là duy nhất

Định lý sau đây là kết quả kiểu Suzuki [13] trong không gian kiểu metric

Định lý 2.1.5 Cho ( , , )X d K là không gian kiểu metric compact theo dãy và

với mọi , x y X Nếu d liên tục, thì f có điểm bất động duy nhất

Chứng minh Đặt r inf { ( , ) :d x fx x X} Chọn dãy { }x n sao cho

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của r Như vậy r 0 và do đó u v

Bây giờ, bằng phản chứng, ta sẽ chứng minh f có điểm bất động Giả sử ngược lại f không có điểm bất động Vì

d u ffx( , n) K d u fx( , n) d fx ffx( n, n) K d u fx( , n) d x fx( ,n n) Cho n , ta được f x2 n u, lưu ý là fx n u Bây giờ, giả sử tồn tại

1 1

( , ) ( , ) ( , )

2d x fx n n 2d x fx n n d x fx n n Điều này là mâu thuẫn Do đó, với mỗi n , ta có

đều có u là điểm bất động của f Bây giờ, ta chứng minh f có điểm bất

động duy nhất Bằng phản chứng, giả sử ,z w X là các điểm bất động của

f với z w Áp dụng điều kiện (2.4) với x z và y w, ta được

d z w( , ) d fz fw( , ) d z w( , ),

Định lý 2.1.5 là sự mở rộng kết quả gần đây của Hussain [7]

Định lý 2.1.6 ([7], Định lý 4) Cho( , , )X d K là không gian kiểu metric compact, trong đó hàm số d là liên tục T X: X là ánh xạ thỏa mãn điều kiện: với mọi , x y X , x y

1 1

1 K d x Tx d x y d Tx Ty K d x y

Khi đó T có điểm bất động duy nhất trong X

Ví dụ 2.1.7 Cho X [0,1] và d X X: [0, ) được xác định bởi

với mọi x y, X Như vậy tất cả giả thiết của Định lý 2.1.5 được thỏa mãn,

do đó f có điểm bất động duy nhất Lưu ý rằng nếu a 1 / K , ta không

thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) là nửa liên tục trên từ bên phải;

(2) ( , 0)t t với mọi t 0

Cho ( , ,X d K là không gian kiểu metric Ta kí hiệu ) L là tập hợp tất cả các hàm số L :X X [0, ) thỏa mãn các điều kiện sau:

( 1) nếu {x và { } n} y là hai dãy trong n ( , , )X d K sao cho x n x và

với mọi , x y X Nếu d liên tục , thì f có điểm bất động

Chứng minh Đặt r inf ( , ) :d x fx x X Chọn dãy { }x n sao cho

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của r Như vậy r 0 và do đó u v

Bây giờ, bằng phản chứng, ta sẽ chứng minh f có điểm bất động Giả sử ngược lại f không có điểm bất động Vì