Bổ đề schwarz trên biên của hình cầu đơn vị trong cn và một số ứng dụng

52 Bổ đề Schwarz trên biên của hình cầu đơn vị 2.1 Tổng quát bổ đề Schwarz cổ điển cho các ánh xạ chỉnh hình trên hình cầu đơn vị trong Cn.. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, Bổ đề

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN HUỆ MINH

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sựhưỡng dẫn của TS Trần Huệ Minh Em không sao chép từ bất kì công trìnhnào khác

Các tài liệu trong luận văn là trung thực, em kế thừa và phát huy cácthành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020

Người viết luận văn

Trần Thị Thùy Linh

Xác nhận củaKhoa chuyên môn

Xác nhận củaNgười hướng dẫn khoa học

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huệ Minh, người đã tận tình hướng dẫn vàtruyền đạt những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học để em có thểhoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo - Bộphận Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã giảng dạy vàtạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứukhoa học

Do vốn kiến thức và khả năng nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luậnvăn của em không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy em rất mong nhậnđược sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luậnvăn này được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020

Người viết luận văn

Trần Thị Thùy Linh

hình trên đĩa đơn vị 5

2 Bổ đề Schwarz trên biên của hình cầu đơn vị

2.1 Tổng quát bổ đề Schwarz cổ điển cho các ánh xạ chỉnh

hình trên hình cầu đơn vị trong Cn 142.2 Bổ đề Schwarz tại biên đối với ánh xạ đa thức thuần

nhất chỉnh hình 272.3 Một số áp dụng của Bổ đề Schwarz tại biên 32

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, Bổ đề Schwarz trên biên đóng vai trò quan trọngtrong giải tích phức cổ điển, nó đã trở thành một chủ đề nghiên cứu theonhiều hướng của các nhà toán học trên thế giới như S Krantz [6], D Chelst[2], R Osserman [12], M Jeong [5], Dựa trên Bổ đề Schwarz tại biên,T.Liu, G.Ren, S Gong và W Zhang đã đạt được các kết quả nghiên cứuđột phá về các ánh xạ lồi song chỉnh hình chuẩn tắc hoặc các ánh xạ tựalồi trên các miền khác nhau ([4], [8]) Việc tổng quát hóa Bổ đề Schwarztrên biên lên trường hợp nhiều chiều và áp dụng nó để có được các kết quảmới trong lý thuyết hàm hình học nhiều biến phức cũng thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà toán học, chẳng hạn năm 2015, T.Liu, J Wang,

X Tang đã tổng quát hóa Bổ đề Schwarz trên biên của hình cầu đơn vịtrong Cn [9],

Mục đích của luận văn là nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày lại một sốkết quả về Bổ đề Schwarz trên biên và một số ứng dụng của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lại các kết quả về Bổ đề Schwarz tại một điểm biên của đĩađơn vị và tại một điểm biên của hình cầu đơn vị trong Cn cùng với một sốứng dụng của nó

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kết hợp các phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết,phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết

5 Bố cục của luận văn

Luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [5], [9], [10], [11] gồm

38 trang trong đó có phần mở đầu, 2 chương nội dung, phần kết luận vàtài liệu tham khảo Cụ thể là:

- Chương 1: Trình bày lại Bổ đề Schwarz và Bổ đề Schwarz tại một điểmbiên của đĩa đơn vị và một số bất đẳng thức tại một điểm biên cho cácdạng khác nhau của các hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị Từ đó tìmcác điều kiện để đạt được dấu đẳng thức

- Chương 2: Bổ đề Schwarz trên biên của hình cầu đơn vị trong Cn vàứng dụng Phần đầu của chương trình bày các kết quả là tổng quáthóa Bổ đề Schwarz trên biên cổ điển cho các ánh xạ chỉnh hình f trênhình cầu đơn vị trong Cn tại một điểm biên z0 mà f (z0) = z0 và tạiđiểm biên z0 mà f (z0) = ω0 ∈ ∂Bn; ω0 6= z0 Phần tiếp sau trình bàytổng quát hóa Bổ đề Schwarz trên biên đối với ánh xạ đa thức thuầnnhất chỉnh hình trên hình cầu đơn vị trong Cn Phần cuối trình bày

áp dụng của Bổ đề Schwarz trên biên để chứng minh các kết quả vềđịnh lý biến dạng tổng quát cho các ánh xạ hình sao song chỉnh hìnhchuẩn tắc trên hình cầu đơn vị trong Cn

- Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được vàdanh mục tài liệu tham khảo

Chương 1

Bổ đề Schwarz tại một điểm biên

của đĩa đơn vị

1.1 Bổ đề Schwarz và Bổ đề Schwarz trên biên

f (z) = zg (z) = cz.

Nếu đẳng thức trong (ii) đạt được với z 6= 0, thì |g (z)| = 1 và do đó(1.4) cho ta thấy |g| đạt cực đại trong ∆ tại z Do đó g là hằng số và (iii)đạt được như trên

Định lý 1.1.2 [12] (Bổ đề Schwarz trên biên)

Chof : ∆ → ∆ là một hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị∆ = {z ∈C : |z| < 1}.Giả sử rằng f (0) = 0 và tại điểm z0 tùy ý mà |z0| = 1, f thác triển liêntục tới z0, |f (z0)| = 1 và f0(z0) tồn tại Thế thì

|f0(z0)| ≥ 2

Để chứng minh định lý này, trước tiên ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.3 Cho f : ∆ → ∆ là hàm chỉnh hình thỏa mãn f (0) = 0 Khiđó

và 0 ≤ a < 1 Khi đó bất đẳng thức trên tương ứng với

|g (ζ)| ≤ 1+a|ζ||ζ|+a , với |ζ| < 1

Ta có thể suy ra khẳng định này từ Bổ đề Schwarz Rõ ràng g ánh xạmỗi đĩa ∆ (0, r),0 < r < 1 vào một đĩa có đường kính là đoạn

h

a−r 1−ar,1+ara+r

i.Khi |ξ| = r, thì

g (ζ) ≤ 1+ara+r = 1+a|ζ||ζ|+aVậy khẳng định trên được chứng minh, do đó bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 1.1.4 Ta có

lim

ζj→z 0

f (ζ j )−c

|ζ j |−|z 0 |

≥ lim

ζj→z 0

1−|f (ζ j )|

1−|ζ j | ≥ 1+|f20 (0)|.Chứng minh Rõ ràng

f (ζ)−c

|ζ|−|z 0 |

f (z)0Jf (z) α

#

Ta có định nghĩa không gian tiếp xúc của biên của hình cầu đơn vị trong

Cn tại một điểm như sau:

Định nghĩa 2.1.5 Giả sử z0 ∈ ∂Bn Không gian tiếp xúc Tz0(∂Bn) của

∂Bn tại z0 được định nghĩa bởi

Tz0(∂Bn) = {ω ∈Cn : <z0ω = 0} Không gian tiếp xúc phức Tz(1,0)0 (∂Bn) của ∂Bn tại z0 được định nghĩa bởi

Kết quả sau đây là tổng quát hóa Định lý 2.1.1 cho các ánh xạ chỉnhhình trên hình cầu đơn vị trong Cn Ta có định lý sau

Định lý 2.1.6 [9] Cho f : Bn → Bn là một ánh xạ chỉnh hình Nếu f làchỉnh hình tại z0 ∈ ∂Bn và f (z0) = z0 thì với các giá trị riêng λ, µ2, , µn

Khi n = 1 và z0 = 1 Định lý 2.1.6 chính là Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.6

là mở rộng của Bổ đề Schwarz trên biên tới số chiều cao hơn

Chứng minh Chứng minh định lý này được chia thành 5 bước

Bước 1: Giả sửf chỉnh hình trong một lân cậnV củaz0.Khi đóf (∂Bn ∩ V )

và ∂Bn là tiếp xúc tại z0 Điều này nghĩa là không gian tiếp xúc và khônggian tiếp xúc chỉnh hình với f (∂Bn ∩ V ) tại f (z0) = z0 tương ứng bị chứatrong Tz0(∂Bn) và Tz(1,0)0 (∂Bn) Chú ý rằng với bất kỳ

α ∈ Tz0(∂Bn) , Jf (z0) α là véctơ tiếp xúc của f (∂Bn ∩ V ) tại f (z0) = z0

Vì vậy

Jf (z0) α ∈ Tz0(∂Bn)

Điều này suy ra

<z00Jf (z0) α = 0với bất kỳ α ∈ Tz0(∂Bn) Vì vậy tồn tại λ ∈ R sao cho z00Jf (z0) = λz00.Tức là

z00Jf (z0) = λz00 (2.3)

Do vậy, từ (2.2) và (2.3) ta có

−2λt + O t2

≤ −2t + t2.Suy ra

λ + O t

2

t ≥ 1 − t

2.Cho t → 0 thì λ ≥ 1

Trường hợp 2 Giả sử a = f (0) 6= 0

Theo Bổ đề 2.1.4, ϕa(z0) ∈ ∂Bn Suy ra tồn tại một ma trận unita Ucấp n sao cho

U ϕa(z0) = z0.Lấy g = U ϕa ◦ f Khi đó g : Bn → Bn là một ánh xạ chỉnh hình và g làchỉnh hình tại z0 với

g (0) = 0, g (z0) = z0

Do vậy, từ (2) và trường hợp 1 ở trên, tồn tại một số thực µ ∈ R sao cho

Vậy (1) được chứng minh.

Bước 3 Vì với bất kỳ α ∈ Tz(1,0)0 (∂Bn) , ta có

Jf (z0) α ∈ Tz(1,0)0 (∂Bn)

Do vậy, Jf (z0) là một biến đổi tuyến tính trên không gian phức tuyến tính(n−1) chiềuTz(1,0)0 (∂Bn) Suy ra, tồn tạiµ2, ,µn ∈ C sao choµ2, ,µn là tất

cả các giá trị riêng của một biến đổi tuyến tính Jf (z0) trên Tz(1,0)0 (∂Bn)

Vì vậy, tồn tại các véctơ riêng αj ∈ Tz(1,0)0 (∂Bn) ∩ ∂Bn sao cho

Jf (z0) αj = µjαj, j = 2, , n (2.6)Vậy (4) được chứng minh

Với bất kỳ t ∈ (0; 1) , đặt z = tz0 ∈ Bn Theo Bổ đề 2.1.3, với αj ∈

kJf (tz0) αjk2

1 − kf (tz0)k2 +

f (tz0)0Jf (tz0) αj

kJf (tz0) αjk2 = |µj|2 + O (|t − 1|) ,

f (tz0)0Jf (tz0) αj

... data-page="19">

Chương 2

Bổ đề Schwarz biên hình< /h2>

2.1 Tổng quát bổ đề Schwarz cổ điển cho ánh

xạ chỉnh hình hình cầu đơn vị Cn

Ký...

chỉnh hình đĩa đơn vị< /h3>

Trong phần ta trình bày số bất đẳng thức điểm biêncho dạng khác hàm chỉnh hình tìm điều kiện đểđạt dấu đẳng thức

Gọi f hàm chỉnh hình đĩa đơn vị thỏa... rộng Bổ đề Schwarz biên tới số chiều cao

Chứng minh Chứng minh định lý chia thành bước

Bước 1: Giả sửf chỉnh hình lân cậnV củaz0.Khi đóf (∂Bn ∩ V )

và