Bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội

khóa luận, luận văn, thạc sĩ, tiến sĩ, cao học, đề tài

Tˆoi xin cam d¯oan nh˜u.ng kˆe´t qua˙’ d¯u.o. c tr`ınh b`ay trong luˆa.n ´an l`am´o.i, d¯˜a d¯u.o. c cˆong bˆo´ trˆen c´ac ta.p ch´ı To´an ho.c quˆo´c tˆe´ C´ac kˆe´t qua˙’ viˆe´tchung v´o.i GS TSKH Ho`ang Xuˆan Ph´u v`a PGS TS Phan Th`anh An d¯˜a

d¯u.o. c su d. ¯ˆ`ng ´o y cu˙’a c´ac d¯ˆ`ng t´o ac gia˙’ khi d¯u.a v`ao luˆa.n ´an C´ac kˆe´t qua˙’

nˆeu trong luˆa.n ´an l`a trung thu c v`. a chu.a t`u.ng d¯u.o. c ai cˆong bˆo´ trong bˆa´tk`y cˆong tr`ınh n`ao kh´ac tru.´o.c d¯´o

Nghiˆen c´u.u sinh

L `OI CA˙’ M O.N

Luˆa.n ´an d¯u.o c ho`an th`anh du.´o.i su hu.´o.ng dˆa˜n, chı˙’ ba˙’o cu˙’a GS TSKH.Ho`ang Xuˆan Ph´u v`a PGS TS Phan Thanh An T´ac gia˙’ chˆan th`anh ca˙’mo.n su. gi´up d¯˜o mo.i mˇa.t m`a c´ac Thˆa` y d¯˜a d`anh cho T´ac gia˙’ b`ay to˙’ l`ongbiˆe´t o.n sˆau sˇa´c v`a chˆan th`anh t´o.i GS TSKH Ho`ang Xuˆan Ph´u, Thˆ` y d¯˜a aquan tˆam, hu.´o.ng dˆa˜n tˆa.n t`ınh, nghiˆem khˇa´c v`a ta.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe˙’ t´acgia˙’ c´o thˆe˙’ ho`an th`anh nh˜u.ng mu.c tiˆeu d¯ˇa.t ra cho luˆa.n ´an T´ac gia˙’ xinb`ay to˙’ l`ong biˆe´t o.n d¯ˆe´n GS TSKH Nguyˆ˜n De - ˆong Yˆen, PGS TS Ta DuyPhu.o. ng, PGS TS Nguyˆe˜n Nˇang Tˆam v`a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p thuˆo.c Ph`ongGia˙’i t´ıch sˆo´ v`a T´ınh to´an Khoa ho.c Viˆe.n To´an ho.c v`ı d¯˜a c´o nh˜u.ng ´y kiˆe´nqu´y b´au cho t´ac gia˙’ trong qu´a tr`ınh nghiˆen c´u.u

T´ac gia˙’ xin d¯u.o. c b`ay to˙’ l`ong ca˙’m o.n d¯ˆe´n Ban chu˙’ nhiˆe.m Khoa CˆongNghˆe thˆong tin, Ph`ong Sau d¯a.i ho.c v`a Ban Gi´am d¯ˆo´c Ho.c viˆe.n K˜y thuˆa.tQuˆan su. d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe˙’ t´ac gia˙’ c´o nhiˆe` u th`o.i gian thu. chiˆe.n luˆa.n ´an

T´ac gia˙’ c˜ung b`ay to˙’ l`ong biˆe´t o.n d¯ˆe´n PGS TS D- `ao Thanh T˜ınh,PGS TS Nguyˆe˜n D- ´u.c Hiˆe´u, PGS TS Nguyˆe˜n Thiˆe.n Luˆa.n, PGS TS

Tˆo Vˇan Ban, TS Nguyˆe˜n Nam Hˆo`ng, TS Nguyˆe˜n H˜u.u Mˆo.ng, TS V˜uThanh H`a, TS Nguyˆ˜n Ma.nh H`ung, TS Nguyˆe˜n Tro.ng To`an, TS NgˆoeH˜u.u Ph´uc, TS Tˆo´ng Minh D- ´u.c, TS Lˆe D- `ınh So.n, TS Trˆa` n Nguyˆen Ngo.cv`a tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ˆ`ng nghiˆe.p trong Khoa Cˆong Nghˆe thˆong tin, HVKTQS,o

d¯˜a d¯ˆo.ng viˆen, kh´ıch lˆe v`a c´o nh˜u.ng trao d¯ˆo˙’i h˜u.u ´ıch trong suˆo´t th`o.i giannghiˆen c´u.u v`a cˆong t´ac

T´ac gia˙’ ca˙’m o.n sˆau sˇa´c GS TSKH Pha.m Thˆe´ Long, Gi´am d¯ˆo´c Ho.cViˆe.n KTQS, ngu.`o.i d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆe`u kiˆe.n vˆe` mˇa.t thu˙’ tu.c c˜ung nhu chuyˆen

mˆon d¯ˆe˙’ t´ac gia˙’ c´o thˆe˙’ ho`an th`anh luˆa.n ´an n`ay

Cuˆo´i c`ung t´ac gia˙’ gu.˙’ i l`o.i c´am o.n t´o.i vo. v`a c´ac con, nh˜u.ng ngu.`o.i d¯˜a

d¯ˆo.ng viˆen, chˇam s´oc v`a ta.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n cho t´ac gia˙’ trong qu´a tr`ınh l`amluˆa.n ´an

L`o.i cam d¯oan 1

1 B`ai to´an quy hoa.ch lˆo` i, quy hoa.ch to`an phu.o.ng v`a h`am lˆo` i

1.1 B`ai to´an quy hoa.ch lˆo`i, quy hoa.ch to`an phu.o.ng 9

1.2 H`am lˆ`i suy rˆo o.ng thˆo 12

1.3 H`am γ-lˆ`i ngo`o ai 13

1.4 H`am Γ-lˆ`i ngo`o ai 15

1.5 H`am γ-lˆ`i trong o 17 2 D- iˆe˙’m infimum to`an cu c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ) 20 2.1 T´ınh γ-lˆ`i ngo`o ai cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u 20

2.2 D- iˆe˙’m cu c tiˆe˙’u to`an cu.c v`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c 27

2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu˙’a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c 28

2.4 T´ınh chˆa´t tu a v`a d¯iˆe` u kiˆe.n tˆo´i u.u 33

3 T´ınh Γ-lˆ` i ngo`o ai cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u v`a d¯iˆe˙’m infimum to`an

3

3.1 T´ınh Γ-lˆ`i ngo`o ai cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u 43

3.2 D- iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a b`ai to´an nhiˆe˜u 52

3.3 T´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c 55

3.4 Du.´o.i vi phˆan suy rˆo.ng thˆo v`a d¯iˆe` u kiˆe.n tˆo´i u.u 58

4 D- iˆe˙’m supremum cu˙’a B`ai to´an ( ˜Q) 64 4.1 T´ınh γ-lˆ`i trong cu˙’a h`o am bi nhiˆe˜u 64

4.2 D- iˆe˙’m supremum to`an cu.c cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u 66

4.3 T´ınh chˆa´t cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`an cu.c 73

4.4 T´ınh chˆa´t cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum d¯i.a phu.o.ng 86

Danh mu c cˆong tr`ınh cu˙’a t´ac gia˙’ liˆen quan d¯ˆe´n luˆa.n ´an 96

• IRn : Khˆong gian Euclide n chiˆ` ue

• k · k : Chuˆa˙’n Euclide trong IRn

• hx, yi : T´ıch vˆo hu.´o.ng cu˙’a v´ec to x, y

• B(x, r) := {y | ky − xk < r} : H`ınh cˆ` u mo.a ˙’ b´an k´ınh r tˆam x

• ¯B(x, r) := {y | ky − xk ≤ r} : H`ınh cˆ` u d¯´a ong b´an k´ınh r tˆam x

• A ∈ IRn×n, A  0 : Ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng x´ac d¯i.nh du.o.ng

• AT : Ma trˆa.n chuyˆe˙’n vi cu˙’a ma trˆa.n A

• λmin, (λmax) : Gi´a tri riˆeng nho˙’ nhˆa´t (l´o.n nhˆa´t) cu˙’a ma trˆa.n A

• λ(A) : Tˆa.p c´ac gi´a tri riˆeng cu˙’a ma trˆa.n A

• kAk = {√max λ | λ ∈ λ(ATA)} : Chuˆa˙’n cu˙’a ma trˆa.n A trong IRn×n

• f (x) = hAx, xi + hb, xi : H`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t

• p(x), supx∈D|p(x)| ≤ s v´o.i s ∈ [0, +∞[ : H`am nhiˆ˜u gi´o.i nˆo.ie

• ˜f = f + p : H`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i

• f (x) := hAx, xi + hb, xi → inf, x ∈ D : B`ai to´an quy hoa.ch to`anphu.o.ng (P )

• f (x) := hAx, xi + hb, xi → sup, x ∈ D : B`ai to´an quy hoa.ch to`anphu.o.ng (Q)

• f (x) := hAx, xi + hb, xi + p(x) → inf, x ∈ D : B`ai to´an quy hoa.chto`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜u ( ˜P )

• f (x) := hAx, xi + hb, xi + p(x) → sup, x ∈ D : B`ai to´an quy hoa.chto`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜u ( ˜Q)

• ∂g(x∗) : Du.´o.i vi phˆan cu˙’a g ta.i d¯iˆe˙’m x∗

• aff D : Bao aphin cu˙’a tˆa.p D

• ext D : Tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m cu c biˆ. en cu˙’a tˆa.p lˆo`i d¯a diˆe.n D

• JD(x∗) := ext D \ {x∗}, x∗ ∈ ext D

• d(x, D) := infy∈Dkx − yk : Khoa˙’ng c´ach t`u x d¯ˆe´n D

• conv D : Bao lˆ`i cu˙’a tˆo a.p D

• dD := minx∗ ∈ext D{d x∗, conv JD(x∗)
}

• D(x∗, β) := {x ∈ D | x = (1 − α)x∗ + αy, y ∈ D, 0 ≤ α ≤ 1 − β},

x∗ ∈ ext D, β ∈ [0, 1]

• C0(D) := {p : D → IR | kpkC0 := supx∈D|p(x)| < +∞}

• ¯BC0(0, r) : H`ınh cˆ` u d¯´a ong b´an k´ınh r tˆam 0 trong C0(D)

MO˙’ D. - ˆA` UB`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng truyˆe` n thˆo´ng c´o da.ng

f (x) := hAx, xi + hb, xi → inf, x ∈ D

trong d¯´o A ∈ IRn×n l`a ma trˆa.n vuˆong, b ∈ IRn l`a v´ec to v`a D ⊂ IRn l`a tˆa.p

lˆ`i.o

C`ung v´o.i b`ai to´an quy hoa.ch lˆo`i, b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng

d¯u.o. c nhiˆ` u nh`e a to´an ho.c Viˆe.t nam v`a quˆo´c tˆe´ nghiˆen c´u.u, v´ı du nhu H

W Kuhn v`a A W Tucker [22], B Bank v`a R Hasel [5], E Blum v`a W.Oettli [7], B C Eaves [12], M Frank v`a P Wolfe [13], O L Magasarian[26], G M Lee, N N Tam v`a N D Yen [31], H X Phu [45], H X Phuv`a N D Yen [53], M Schweighofer [57], H Tuy [63], [64], [72], H H Vuiv`a P T Son [66]

C´ac kˆe´t qua˙’ quan tro.ng d¯˜a thu d¯u.o c khi nghiˆen c´u.u c´ac b`ai to´anquy hoa.ch to`an phu.o.ng cu˙’a c´ac nh`a to´an ho.c l`a vˆe` su tˆo`n ta.i nghiˆe.m tˆo´iu.u, d¯iˆ` u kiˆe.n cˆae ` n tˆo´i u.u, d¯iˆ` u kiˆe.n d¯u˙’ tˆo´i u.u, thuˆa.t to´an t`ım nghiˆe.m tˆo´ieu.u, t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a nghiˆe.m tˆo´i u.u khi c´ac b`ai to´an trˆen bi t´ac d¯ˆo.ng bo.˙’inhiˆe˜u Nhiˆe` u kˆe´t qua˙’ nghiˆen c´u.u vˆ` b`e ai to´an trˆen d¯˜a d¯u.o. c ´u.ng du.ng d¯ˆe˙’gia˙’i c´ac b`ai to´an trong kinh tˆe´ v`a k˜y thuˆa.t, nhu b`ai to´an lu a cho.n d¯ˆa`u tu.(portfolio selection) ([27], [28]), b`ai to´an ph´at d¯iˆe.n tˆo´i u.u (economic powerdispatch) ([6], [11], [69]), b`ai to´an kinh tˆe´ d¯ˆo´i s´anh (matching economic),([17]), b`ai to´an m´ay hˆo˜ tro v´ec to (support vector machine) ([29]) .Khi A l`a nu.˙’ a x´ac d¯i.nh du.o.ng hoˇa.c nu.˙’a x´ac d¯i.nh ˆam th`ı b`ai to´an trˆenc´o thˆe˙’ phˆan r˜a th`anh hai b`ai to´an kh´ac nhau sau:

v`a

Luˆa.n ´an n`ay nghiˆen c´u.u c´ac b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng lˆo`i ngˇa.tv´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i sau:

˜

f (x) := hAx, xi + hb, xi + p(x) → inf, x ∈ D ( ˜P )v`a

˜

f (x) := hAx, xi + hb, xi + p(x) → sup, x ∈ D, ( ˜Q)trong d¯´o p : D → IR tho˙’a m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n supe x∈D|p(x)| ≤ s v´o.i gi´a tri

s ∈ [0, +∞[ v`a A trong c´ac b`ai to´an (P ), (Q), ( ˜P ) v`a ( ˜Q) d¯u.o. c gia˙’ thiˆe´t l`a

ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng x´ac d¯i.nh du.o.ng

V`ı sao c´ac b`ai to´an trˆen d¯u.o. c cho.n d¯ˆe˙’ nghiˆen c´u.u? R˜o r`ang, khi s = 0th`ı c´ac b`ai to´an ( ˜P ) v`a ( ˜Q) ch´ınh l`a c´ac b`ai to´an (P ) v`a (Q), hay n´oi c´achkh´ac c´ac b`ai to´an (P ) v`a (Q) l`a c´ac tru.`o.ng ho. p riˆeng cu˙’a c´ac b`ai to´an ( ˜P )v`a ( ˜Q) D- ˆay l`a l´y do d¯ˆe˙’ tiˆe´n h`anh nghiˆen c´u.u c´ac b`ai to´an trˆen, tˆo´i thiˆe˙’ut`u quan d¯iˆe˙’m l´y thuyˆe´t Tuy nhiˆen, c`on mˆo.t sˆo´ l´y do thu c tˆ. e´ kh´ac du.´o.i

d¯ˆay, cho thˆa´y viˆe.c nghiˆen c´u.u c´ac b`ai to´an ( ˜P ), ( ˜Q) l`a thu. c su cˆ. ` n.a

L´y do th´u nhˆa´t: f (x) = hAx, xi + hb, xi l`a h`am mu.c tiˆeu ban d¯ˆa` u v`a

p l`a h`am nhiˆe˜u n`ao d¯´o H`am nhiˆe˜u p c´o thˆe˙’ bao gˆo`m c´ac t´ac d¯ˆo.ng bˆo˙’ sung(tˆa´t d¯i.nh hoˇa.c ngˆa˜u nhiˆen) lˆen h`am mu.c tiˆeu v`a c´ac lˆo˜i gˆay ra trong qu´atr`ınh mˆo h`ınh h´oa, d¯o d¯a.c, t´ınh to´an D- iˆe˙’m d¯ˇa.c biˆe.t l`a o.˙’ chˆo˜, ch´ung

ta ha.n chˆe´ chı˙’ x´et nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i Ha.n chˆe´ n`ay l`a khˆong qu´a ngˇa.t, c´o thˆe˙’

d¯u.o. c tho˙’a m˜an trong nhiˆ` u b`e ai to´an thu. c tˆe´, chˇa˙’ng ha.n nhu trong hai v´ı

du minh ho.a sau d¯ˆay

Mˆo.t trong nh˜u.ng ´u.ng du.ng nˆo˙’i bˆa.t cu˙’a quy hoa.ch to`an phu.o.ng l`ab`ai to´an lu. a cho.n d¯ˆ` u tu (H M Markowitz [27], [28]) B`a ai to´an ph´atbiˆe˙’u nhu sau: Phˆan phˆo´i vˆo´n qua n ch´u.ng kho´an (asset) c´o sˇa˜n d¯ˆe˙’c´o thˆe˙’ gia˙’m thiˆe˙’u ru˙’i ro v`a tˆo´i d¯a lo. i nhuˆa.n, t´u.c l`a t`ım v´ec to tı˙’ lˆe

x ∈ D, D := {x = (x1, x2, , xn) | Pn

j=1xj = 1} d¯ˆe˙’ f (x) = ωxTΣx − ρTx

d¯a.t gi´a tri nho˙’ nhˆa´t, trong d¯´o xj, j = 1, , n, l`a ty˙’ lˆe ch´u.ng kho´an th´u

j trong danh mu.c d¯ˆa` u tu., ω l`a tham sˆo´ ru˙’i ro, Σ ∈ IRn×n l`a ma trˆa.nhiˆe.p phu.o.ng sai, ρ ∈ IRn l`a v´ec to lo. i nhuˆa.n k`y vo.ng V`ı Σ v`a ρ thu.`o.ng

khˆong d¯u.o. c x´ac d¯i.nh ch´ınh x´ac m`a chı˙’ xˆa´p xı˙’ bo˙’ i ˜. Σ v`a ˜ρ, do d¯´o ch´ung

ta pha˙’i cu. c tiˆe˙’u h´oa h`am ˜f (x) = ωxTΣx − ˜˜ ρTx = f (x) + p(x), trong d¯´op(x) = ωxT( ˜Σ − Σ)x − ( ˜ρ − ρ)Tx Khi quy d¯i.nh, khˆong d¯u.o c b´an khˆo´ng,t´u.c l`a xj ≥ 0, j = 1, , n, th`ı tˆa.p chˆa´p nhˆa.n d¯u.o c D l`a gi´o.i nˆo.i V`ı vˆa.ynhiˆe˜u p c˜ung gi´o.i nˆo.i trˆen D N´oi mˆo.t c´ach tˆo˙’ng qu´at, t´ınh gi´o.i nˆo.i cu˙’anhiˆe˜u luˆon d¯u.o c d¯a˙’m ba˙’o khi D gi´o.i nˆo.i v`a p liˆen tu.c trˆen D Gia˙’ thiˆe´tn`ay c˜ung ph`u ho. p v´o.i nhiˆ` u b`e ai to´an thu. c tˆe´

Mˆo.t v´ı du n˜u.a cho thˆa´y l`a nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i luˆon xuˆa´t hiˆe.n khi gia˙’i mˆo.tb`ai to´an tˆo´i u.u (P ) hoˇa.c (Q) n`ao d¯´o bˇa`ng m´ay t´ınh Do phˆa` n l´o.n c´ac sˆo´thu. c khˆong thˆe˙’ biˆe˙’u diˆ˜n ch´ınh x´ac bˇa`ng m´ay t´ınh, nˆen d¯ˆo´i v´o.i hˆae ` u hˆe´t

x ∈ D ta khˆong thˆe˙’ t´ınh ch´ınh x´ac d¯a.i lu.o ng f(x) = hAx, xi + hb, xi m`achı˙’ c´o thˆe˙’ xˆa´p xı˙’ f (x) bo.˙’ i mˆo.t sˆo´ dˆa´u chˆa´m d¯ˆo.ng ˜f (x) n`ao d¯´o H`am ˜fkhˆong lˆ`i, khˆo ong to`an phu.o.ng v`a thˆa.m ch´ı l`a khˆong liˆen tu.c trˆen D Khi

d¯´o h`am p := ˜f − f mˆo ta˙’ c´ac lˆo˜i t´ınh to´an C´ac lˆo˜i d¯´o bi chˇa.n bo.˙’i mˆo.t cˆa.ntrˆen s ∈ [0, +∞[ n`ao d¯´o c´o thˆe˙’ u.´o.c lu.o. ng d¯u.o. c, t´u.c l`a supx∈D|p(x)| ≤ s.Ngo`ai ra, bˇa`ng c´ach su.˙’ du.ng c´ac sˆo´ dˆa´u chˆa´m d¯ˆo.ng d`ai ho.n v`a/hoˇa.c c´acthuˆa.t to´an tˆo´t ho.n, ta c´o thˆe˙’ gia˙’m cˆa.n trˆen s

L´y do th´u hai: ˜f l`a h`am mu.c tiˆeu d¯´ıch thu c v`. a f l`a h`am mu.c tiˆeu

d¯u.o. c l´y tu.o.˙’ ng h´oa hoˇa.c l`a h`am mu.c tiˆeu thay thˆe´ Trong thu c tˆ. e´, nhiˆ` ueh`am thˆe˙’ hiˆe.n mˆo.t sˆo´ mu.c tiˆeu thu c tiˆ. ˜n d¯u.o c gia˙’ d¯i.nh l`a lˆo`i, hoˇa.c to`anephu.o.ng, hoˇa.c c´o mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t thuˆa.n tiˆe.n d¯˜a d¯u.o c nghiˆen c´u.u k˜y, hoˇa.c

dˆ˜ nghiˆen c´e u.u, nhu.ng thu. c ra th`ı khˆong pha˙’i l`a nhu vˆa.y D- iˆe` u n`ay d¯˜a d¯u.o. c

H X Phu, H G Bock v`a S Pickenhain d¯ˆ` cˆe a.p d¯ˆe´n trong [48] Trong bˆo´ica˙’nh d¯´o, p = ˜f − f l`a h`am hiˆe.u chı˙’nh C´o thˆe˙’ gia˙’ thiˆe´t p l`a gi´o.i nˆo.i (tˆo´ithiˆe˙’u trˆen tˆa.p chˆa´p nhˆa.n d¯u.o c) bo.˙’i mˆo.t sˆo´ du.o.ng kh´a b´e s, v`ı nˆe´u |p(x)|qu´a l´o.n th`ı su. thay thˆe´ khˆong c`on ph`u ho. p n˜u.a

D- ˆe˙’ gia˙’i th´ıch d¯iˆe` u n`ay, ta d¯ˆ` cˆe a.p d¯ˆe´n vˆa´n d¯ˆe` thu.`o.ng d¯u.o. c nghiˆen c´u.ucu˙’a ph´at d¯iˆe.n tˆo´i u.u, t´u.c l`a b`ai to´an phˆan bˆo´ lu.o ng d¯iˆe.n nˇang cho t`u.ng

tˆo˙’ m´ay ph´at nhiˆe.t d¯iˆe.n sao cho tˆo˙’ng chi ph´ı (gi´a th`anh) l`a cu c tiˆ. e˙’u, d¯ˆ`ngoth`o.i vˆa˜n d¯´ap ´u.ng d¯u.o. c nhu cˆ` u lu.o.a ng d¯iˆe.n nˇang v`a thoa˙’ m˜an r`ang buˆo.c

vˆ` cˆe ong suˆa´t ph´at ra cu˙’a mˆo˜i tˆo˙’ m´ay Ngu.`o.i ta thu.`o.ng gia˙’ thiˆe´t (xem[6], [11], [69], ) h`am chi ph´ı tˆo˙’ng cˆo.ng (bao gˆo`m c´ac chi ph´ı nhiˆen liˆe.u(fuel cost), chi ph´ı ta˙’i sau (load-following cost), chi ph´ı du. ph`ong quay(sprinning-reserve cost), chi ph´ı du. ph`ong bˆo˙’ sung (supplemental-reservecost), chi ph´ı tˆo˙’n thˆa´t ph´at v`a truyˆ` n dˆe a˜n d¯iˆe.n nˇang) l`a h`am to`an phu.o.ng,

lˆ`i ngˇo a.t v`a c´o da.ng

D˜ı nhiˆen, gia˙’ thiˆe´t to`an phu.o.ng, lˆ`i ngˇo a.t cu˙’a h`am mu.c tiˆeu l`a qu´a l´ytu.o.˙’ ng Chi ph´ı thu. c tˆe´ c´o thˆe˙’ khˆong l`a h`am to`an phu.o.ng v`a c˜ung khˆongl`a h`am lˆ`i ngˇo a.t Nhu vˆa.y, d¯ˆe˙’ gia˙’ thiˆe´t vˆe` t´ınh to`an phu.o.ng v`a lˆo`i ngˇa.tcu˙’a h`am mu.c tiˆeu d¯u.o c tho˙’a m˜an, cˆa`n h`am gi´o.i nˆo.i p hiˆe.u chı˙’nh h`am chiph´ı thu. c tˆe´ D- ˇa.c biˆe.t (xem [62], [6], [11], [69], ), nˆe´u hiˆe.u ´u.ng d¯iˆe˙’m-van

d¯u.o. c x´et d¯ˆe´n th`ı h`am chi ph´ı to`an phu.o.ng pha˙’i d¯u.o. c hiˆe.u chı˙’nh bo˙’ i tˆ. o˙’ngh˜u.u ha.n c´ac h`am da.ng sin, t´u.c l`a

i=1|eisin(fi(Pi min− Pi))| l`a gi´o.i nˆo.i

D- ˆe˙’ ngˇa´n go.n, ta thu.`o.ng go.i p l`a h`am nhiˆe˜u (mˇa.c d`u n´o khˆong chı˙’

d¯´ong vai tr`o d¯´o nhu d¯˜a gia˙’i th´ıch o.˙’ trˆen), ˜f l`a h`am bi nhiˆe˜u v`a ( ˜P ) v`a( ˜Q) l`a c´ac b`ai to´an nhiˆ˜u Thˆa.t ra, ch´ung chı˙’ l`a c´ac thuˆa.t ng˜u vay mu.o n,ekhˆong pha˙’i l´uc n`ao c˜ung ch´ınh x´ac nhu thu.`o.ng lˆe

Nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆ` g`ı l`e a m´o.i cu˙’a c´ac b`ai to´an ( ˜P ) v`a ( ˜Q) cˆ` n d¯u.o.a c nghiˆenc´u.u? Cˆau ho˙’i n`ay l`a cˆ` n thiˆe´t, v`ı d¯˜a a c´o nh˜u.ng kˆe´t qua˙’ nghiˆen c´u.u d¯ˇa.c

sˇa´c theo c´ac kh´ıa ca.nh kh´ac nhau vˆe` t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a c´ac b`ai to´an nhiˆe˜u

lˆ`i v`o a/hoˇa.c nhiˆe˜u to`an phu.o.ng D- iˆe˙’m chung cu˙’a phˆa` n l´o.n c´ac cˆong tr`ınhnghiˆen c´u.u t`u tru.´o.c d¯ˆe´n nay l`a nhiˆe˜u khˆong l`am thay d¯ˆo˙’i nh˜u.ng thuˆo.ct´ınh tiˆeu biˆe˙’u cu˙’a b`ai to´an ban d¯ˆ` u V´ı du b`ai to´an lˆoa `i bi nhiˆe˜u vˆa˜n gi˜u.nguyˆen t´ınh lˆ`i (nhu trong c´o ac nghiˆen c´u.u cu˙’a M J Canovas [8], D Klatte[21], B Kumer [23] ) v`a c´ac b`ai to´an to`an phu.o.ng gi˜u d¯u.o. c t´ınh to`anphu.o.ng (nhu trong c´ac nghiˆen c´u.u cu˙’a J V Daniel [10], G M Lee, N N.Tam v`a N D Yen [31], K Mirnia v`a A Ghaffari-Hadigheh [30], H X Phu[45], H X Phu v`a N D Yen [53] ) D- iˆe` u kh´ac biˆe.t l`a, h`am mu.c tiˆeu ˜fcu˙’a c´ac b`ai to´an nhiˆe˜u trong luˆa.n ´an n`ay khˆong lˆo`i, khˆong to`an phu.o.ng

mˇa.c d`u h`am f l`a lˆo`i ngˇa.t v`a to`an phu.o.ng Ho.n n˜u.a, v`ı nhiˆe˜u p chı˙’ gia˙’thiˆe´t l`a gi´o.i nˆo.i, nˆen h`am bi nhiˆe˜u ˜f c´o thˆe˙’ khˆong liˆen tu.c ta.i bˆa´t c´u d¯iˆe˙’mn`ao V´o.i nh˜u.ng h`am mu.c tiˆeu nhu vˆa.y, du.`o.ng nhu s˜e khˆong thˆe˙’ thu d¯u.o c

kˆe´t qua˙’ g`ı d¯ˇa.c biˆe.t Mu.c tiˆeu cu˙’a luˆa.n ´an l`a chı˙’ ra d¯iˆe` u ngu.o. c la.i.

Luˆa.n ´an gˆo`m 4 chu.o.ng

Chu.o.ng 1 v´o.i tiˆeu d¯ˆ` “B`e ai to´an quy hoa ch lˆ`i, to`o an phu.o.ng v`a h`am

lˆ`i thˆo o” tr`ınh b`ay D- i.nh l´y Kuhn-Tucker cu˙’a b`ai to´an quy hoa.ch lˆo`i, D- i.nhl´y vˆ` d¯iˆee ` u kiˆe.n cu c tri cu˙’a b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng v`a mˆo.t sˆo´ loa.ih`am lˆ`i thˆo o nhu γ-lˆ`i ngo`o ai, Γ-lˆ`i ngo`o ai, γ-lˆ`i trong c`o ung mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t

tˆo´i u.u cu˙’a ch´ung

C´ac kh´ai niˆe.m, c´ac t´ınh chˆa´t, c´ac d¯i.nh l´y d¯u.o c dˆa˜n ra trong chu.o.ngn`ay s˜e d¯u.o. c su˙’ du.ng d¯ˆe˙’ nghiˆen c´u.u c´ac vˆa´n d¯ˆe. ` d¯ˇa.t ra trong c´ac chu.o.ngsau

Chu.o.ng 2 v´o.i tiˆeu d¯ˆ` “De - iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P )”nghiˆen c´u.u t´ınh γ-lˆ`i ngo`o ai cu˙’a h`am to`an phu.o.ng v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i, d¯iˆe˙’m

cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c, d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ), kha˙’o s´at t´ınhˆ

o˙’n d¯i.nh nghiˆe.m v`a mo˙’ rˆ. o.ng D- i.nh l´y Kuhn-Tucker cho b`ai to´an n`ay

Chu.o.ng 3 v´o.i tiˆeu d¯ˆ` “T´ınh Γ-lˆe `i ngo`o ai cu˙’a h`am mu c tiˆeu v`a d¯iˆe˙’minfimum to`an cu c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P )” nghiˆen c´u.u t´ınh Γ-lˆ`i ngo`o ai cu˙’a h`am

mu.c tiˆeu ˜f (theo c´ach tiˆe´p cˆa.n tˆo pˆo), qua d¯´o nhˆa.n d¯u.o c mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua˙’ma.nh ho.n nh˜u.ng kˆe´t qua˙’ nghiˆen c´u.u vˆe` d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c, d¯iˆe˙’minfimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ) d¯u.o. c chı˙’ ra trong Chu.o.ng 2.

Chu.o.ng 4 cu˙’a luˆa.n ´an c´o tiˆeu d¯ˆe` “D- iˆe˙’m supremum cu˙’a B`ai to´an ( ˜Q)”nghiˆen c´u.u t´ınh chˆa´t v`a t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`an cu.c v`a

d¯iˆe˙’m supremum d¯i.a phu.o.ng cu˙’a B`ai to´an ( ˜Q)

C´ac kˆe´t qua˙’ d¯a.t d¯u.o c trong luˆa.n ´an bao gˆo`m:

• Chı˙’ ra c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n d¯u˙’ d¯ˆe˙’ h`am bi nhiˆe˜u ˜e f = f + p l`a γ-lˆ`i ngo`o ai, Γ-lˆ`iongo`ai v`a γ-lˆ`i trong.o

• Ch´u.ng minh d¯u.o. c d¯u.`o.ng k´ınh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.ccu˙’a B`ai to´an ( ˜P ) khˆong vu.o. t qu´a γ∗ = 2p2s/λmin

• Chı˙’ ra t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh nghiˆe.m cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ) theo cˆa.n trˆen s cu˙’a h`amnhiˆe˜u

• Mo.˙’ rˆo.ng D- i.nh l´y Kuhn-Tucker cho B`ai to´an ( ˜P )

• Chı˙’ ra c´ac t´ınh chˆa´t (ma.nh ho.n c´ac t´ınh chˆa´t d¯˜a c´o) cu˙’a c´ac d¯iˆe˙’m

cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c v`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ) khi su.˙’du.ng t´ınh Γ-lˆo`i ngo`ai cu˙’a h`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i

˜

f = f + p

• Ch´u.ng minh d¯u.o. c su tˆ. `n ta.i v`a vi tr´ı cu˙’a c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`anocu.c trˆen miˆe` n D

• Khˇa˙’ng d¯i.nh t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`an cu.c khi

D l`a d¯a diˆe.n lˆo`i v`a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum d¯i.a phu.o.ng khi D l`a tˆa.p

lˆ`i d¯a diˆe.n cu˙’a B`ai to´an ( ˜o Q) theo nhiˆe˜u p

C´ac kˆe´t qua˙’ ch´ınh cu˙’a luˆa.n ´an d¯˜a d¯u.o c tr`ınh b`ay ta.i c´ac xemina

“Tˆo´i u.u h´oa v`a T´ınh to´an hiˆe.n d¯a.i” cu˙’a Khoa Cˆong nghˆe thˆong tin (Ho.cviˆe.n KTQS), “Tˆo´i u.u v`a T´ınh to´an khoa ho.c” cu˙’a Ph`ong Gia˙’i t´ıch sˆo´

v`a T´ınh to´an khoa ho.c (Viˆe.n To´an ho.c), Hˆo.i tha˙’o “Tˆo´i u.u v`a T´ınh to´anKhoa ho.c” (Ba V`ı, H`a Nˆo.i, th´ang 4 nˇam 2010) C´ac kˆe´t qua˙’ n`ay c˜ung

d¯˜a d¯u.o. c cˆong bˆo´ trˆen c´ac ta.p ch´ı Optimization, Mathematical Methods ofOperations Research v`a Journal of Optimization Theory and Applications.Ch´ung tˆoi d¯ang tiˆe´p tu.c nghiˆen c´u.u mˆo.t sˆo´ vˆa´n d¯ˆe` vˆe` l´y thuyˆe´t v`at´ınh to´an ´u.ng du.ng trong thu c tˆ. e´ cu˙’a c´ac b`ai to´an ( ˜P ) v`a ( ˜Q), hy vo.ng

rˇa`ng trong th`o.i gian t´o.i s˜e c´o thˆem mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua˙’ m´o.i

CHUONG 1

B `AI TO ´AN QUY HOA CH LO` I,ˆQUY HOA CH TOAN PHU` .O.NG V `A H `AM L ˆ` I TH ˆO O

Trong chu.o.ng n`ay, ch´ung tˆoi nhˇa´c la.i D- i.nh l´y Kuhn-Tucker cho b`aito´an quy hoa.ch lˆo`i, D- i.nh l´y vˆe` d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n cu. c tri cho b`ai to´an quy hoa.chto`an phu.o.ng D- ˆo`ng th`o.i ch´ung tˆoi c˜ung tr`ınh b`ay la.i mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m,t´ınh chˆa´t cu˙’a h`am lˆ`i thˆo o nhu γ-lˆ`i ngo`o ai, Γ-lˆ`i ngo`o ai v`a γ-lˆ`i trong.o

C´ac kh´ai niˆe.m, c´ac kˆe´t qua˙’ dˆa˜n ra o˙’ trong chu.o.ng n`. ay, s˜e d¯u.o. c su˙’.du.ng nhiˆe` u lˆ` n trong c´a ac chu.o.ng sau

Trong suˆo´t luˆa.n ´an n`ay, IRn l`a khˆong gian Euclide n-chiˆ` u, D ⊆ IRe n

l`a c´ac tˆa.p lˆo`i, v`a trong nhiˆ` u tru.`e o.ng ho. p D d¯u.o. c gia˙’ thiˆe´t l`a tˆa.p lˆo`i d¯adiˆe.n V´o.i x0, x1 ∈ IRn, λ ∈ IR, ta k´y hiˆe.u

xλ := (1 − λ)x0 + λx1,[x0, x1] := {xλ | 0 ≤ λ ≤ 1},]x0, x1] := [x0, x1] \ {x0}

C´ac tˆa.p ho p [x. 0, x1[ v`a ]x0, x1[ c˜ung d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa tu.o.ng tu

V´o.i r l`a sˆo´ thu. c du.o.ng, c´ac tˆa.p ho p

B(x, r) := {y | ky − xk < r},

¯B(x, r) := {y | ky − xk ≤ r},S(x, r) := {y | ky − xk = r},

lˆ` n lu.o.a t d¯u.o. c go.i l`a c´ac h`ınh cˆ` u mo.a ˙’ , h`ınh cˆ` u d¯´a ong v`a mˇa.t cˆa` u tˆam xb´an k´ınh r Ngo`ai ra, trong luˆa.n ´an n`ay ch´ung tˆoi luˆon k´y hiˆe.u:

8

• f l`a h`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t c´o da.ng

1.1 B` ai to´ an quy hoa.ch lˆo ` i, quy hoa.ch to`an phu .o.ng

Trong mu.c n`ay, ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay D- i.nh l´y Kuhn-Tucker cho b`ai to´anquy hoa.ch lˆo`i sau:

g0(x) → inf, x ∈ D

D = {x ∈ S | gi(x) ≤ 0, i = 1, , m}, (L1)trong d¯´o gi : IRn → IR, i = 0, , m, l`a c´ac h`am h`am lˆ`i, S ⊂ IRo n l`a tˆa.p

trong d¯´o µi, i = 0, 1, , m, nhˆa.n c´ac gi´a tri thu c, x ∈ D Nˆ. e´u tˆa.p D cu˙’aB`ai to´an (P ) tr`ung v´o.i tˆa.p D cu˙’a B`ai to´an (L1) th`ı h`am Lagrange cu˙’a B`aito´an (P ) c´o da.ng

L(x∗, µ0, , µm) = min

x∈S L(x, µ0, , µm) (1.1.5)v`a d¯iˆ` u kiˆe.n b`ue

µigi(x∗) = 0 v´o.i mo i i = 1, , m. (1.1.6)

Nˆe´u thˆem d¯iˆ` u kiˆe.n Slatere

∃z ∈ S : gi(z) < 0 v´o.i mo i i = 1, , m, (1.1.7)tho˙’a m˜an th`ı µ0 6= 0 v`a c´o thˆe˙’ coi µ0 = 1

(b) Nˆe´u tˆ`n ta.i xo ∗ tho˙’a m˜an (1.1.5), (1.1.6) v´o.i µ0 = 1 th`ı x∗ l`a nghiˆe.m

cu. c tiˆe˙’u cu˙’a B`ai to´an (L1)

Da.ng du.´o.i vi phˆan cu˙’a D- i.nh l´y Kuhn-Tucker d¯u.o c ph´at biˆe˙’u nhu sau:

D- i.nh l´y 1.1.2 (xem [74]) Gia˙’ thiˆe´t rˇa`ng gi : IRn → IR, i = 1, , m, l`ac´ac h`am lˆ`i, c`o ung liˆen tu c ´ıt nhˆa´t ta i mˆo t d¯iˆe˙’m cu˙’a tˆa p lˆ`i S ⊂ IRo n Cho

x∗ l`a mˆo t nghiˆe.m chˆa´p nhˆa.n d¯u.o c cu˙’a B`ai to´an (L1)

(a) Nˆe´u x∗ l`a nghiˆe.m cu c tiˆ. e˙’u cu˙’a b`ai to´an th`ı tˆ`n ta.i c´ac nhˆan tu.˙’oLagrange µi ≥ 0, i = 0, , m, sao cho ch´ung khˆong c`ung triˆe.t tiˆeu,tho˙’a m˜an phu.o.ng tr`ınh

µigi(x∗) = 0 v´o.i mo i i = 1, , m, (1.1.9)trong d¯´o tˆa p

∂gi(x∗) := {ξ | gi(x) − gi(x∗) ≥ hξ, x − x∗i ∀x ∈ IRn}l`a du.´o.i vi phˆan cu˙’a gi ta i x∗ v`a tˆa p

N (x∗|S) := {ξ | hξ, x − x∗i ≤ 0 ∀x ∈ S}

l`a n´on ph´ap tuyˆe´n cu˙’a S ta i x∗

Nˆe´u d¯iˆ` u kiˆe.n Slater (1.1.7) tho˙’a m˜an, th`ı µe 0 6= 0 v`a c´o thˆe˙’ coi µ0 = 1.(b) Nˆe´u tˆ`n ta.i xo ∗ tho˙’a m˜an (1.1.8), (1.1.9) v´o.i µ0 = 1 th`ı x∗ l`a nghiˆe.m

cu. c tiˆe˙’u cu˙’a B`ai to´an (L1)

Nhˆa.n x´et 1.1.1 Nˆe´u S = IRn th`ı khi d¯´o N (x∗|S) = {0}, nˆen biˆe˙’u th´u.c(1.1.8) d¯u.o. c thay bo˙’ i.

D- ˆo´i v´o.i b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng ta c´o d¯i.nh l´y sau:

D- i.nh l´y 1.1.3 (Xem [31]) X´et b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng

hM x, xi + hb, xi → inf, x ∈ D

D = {x ∈ IRn | hci, xi ≤ di, i = 1, , m}, (L2)trong d¯´o M ∈ IRn×n l`a ma trˆa n d¯ˆo´i x´u.ng, ci ∈ IRn, i = 1, , m Khi d¯´o,

nˆe´u x∗ l`a nghiˆe.m cu c tiˆ. e˙’u d¯i.a phu.o.ng th`ı tˆo`n ta.i c´ac nhˆan tu.˙’ Lagrange

µi ≥ 0, i = 1, , m, sao cho ch´ung tho˙’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.ne

D- i.nh l´y 1.1.4 (xem [31], trang 79) Cho D l`a tˆa.p lˆo`i d¯a diˆe.n, khi d¯´o(a) Nˆe´u M l`a ma trˆa n d¯ˆo´i x´u.ng x´ac d¯i.nh du.o.ng v`a D 6= ∅ th`ı B`ai to´an(L2) c´o d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c duy nhˆa´t.

(b) Nˆe´u M l`a ma trˆa n d¯ˆo´i x´u.ng x´ac d¯i.nh ˆam th`ı d¯iˆe˙’m cu c tiˆ. e˙’u d¯i.a phu.o.ngcu˙’a B`ai to´an (L2) (nˆe´u tˆ`n ta.i) l`a mˆo.t d¯iˆe˙’m cu c biˆen cu˙’a D.o

Nhˆa.n x´et 1.1.2 Kˆe´t luˆa.n (b) cu˙’a d¯i.nh l´y trˆen tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i ph´atbiˆe˙’u sau “Nˆe´u M d¯ˆo´i x´u.ng x´ac d¯i.nh du.o.ng th`ı d¯iˆe˙’m cu c d¯a.i d¯i.a phu.o.ngcu˙’a B`ai to´an (Q) l`a d¯iˆe˙’m cu. c biˆen cu˙’a D”

1.2 H` am lˆ ` i suy rˆ o o.ng thˆo

H`am g : D ⊂ IRn → IR d¯u.o. c go.i l`a lˆ`i, nˆe´u xo 0, x1 ∈ D, th`ı bˆa´t d¯ˇa˙’ngth´u.c

g(xλ) ≤ (1 − λ)g(x0) + λg(x1), (1.2.8)tho˙’a m˜an v´o.i mo.i d¯iˆe˙’m xλ ∈ [x0, x1] H`am lˆ`i c´o o nhiˆ` u t´ınh chˆe a´t th´u vi.khˆong nh˜u.ng vˆ` phu.o.ng diˆe.n gia˙’i t´ıch m`a c`on vˆee ` phu.o.ng diˆe.n tˆo´i u.u h´oanhu.: tˆa.p m´u.c du.´o.i cu˙’a h`am lˆo`i d¯ang x´et l`a lˆo`i; mˆo˜i d¯iˆe˙’m cu c tiˆe˙’u d¯i.aphu.o.ng cu˙’a h`am d¯ang x´et l`a d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c; mˆo˜i d¯iˆe˙’m d`u.ng cu˙’ah`am d¯ang x´et l`a d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c; nˆe´u h`am d¯ang x´et d¯a.t gi´a tri

cu. c d¯a.i trˆen miˆe` n lˆ`i compact th`ı c˜o ung d¯a.t gi´a tri cu c d. ¯a.i ta.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t

d¯iˆe˙’m cu. c biˆen Tuy nhiˆen trong nhiˆ` u b`e ai to´an thu. c tˆe´, h`am cˆ` n x´et c´a o

mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t trˆen nhu.ng khˆong pha˙’i l`a h`am lˆo`i Do d¯´o, d¯˜a xuˆa´t hiˆe.nnhiˆ` u loa.i h`am lˆoe `i suy rˆo.ng d¯u.o c d¯ˇa.c tru.ng bo.˙’i mˆo.t trong c´ac t´ınh chˆa´tcu˙’a h`am lˆ`i nhu.: h`o am tu. a lˆ`i [71], tu.o a lˆ`i hiˆe.n [18], [26], gia˙’ lˆoo `i [25], [72],

lˆ`i bˆo a´t biˆe´n [14]

T`u nˇam 1989 xuˆa´t hiˆe.n mˆo.t hu.´o.ng m´o.i mo.˙’ rˆo.ng kh´ai niˆe.m h`am lˆo`igo.i l`a h`am lˆo`i thˆo Mˆo.t h`am P -lˆo`i d¯u.o. c H X Phu go.i l`a lˆ`i thˆo o nˆe´u nhu.t´ınh chˆa´t P tho˙’a m˜an v´o.i mo.i x0, x1 ∈ D m`a kx0 − x1k ≥ γ, trong d¯´o γ

l`a mˆo.t sˆo´ du.o.ng cˆo´ d¯i.nh cho tru.´o.c H`am lˆo`i thˆo δ-lˆo`i, δ-tu a lˆo`i, δ-lˆo`i gi˜u.a

d¯u.o. c T C Hu, V Klee v`a D Larman [16] d¯u.a ra v`ao nˇam 1989 Tiˆe´p d¯´o

nˇam 1991 R Kl¨otzler d¯ˆ` xuˆe a´t kh´ai niˆe.m ρ-lˆo`i v`a d¯u.o. c nghiˆen c´u.u bo.˙’ i H.Hartwig [15] v`a B S¨ollner [73] C´ac h`am γ-lˆ`i, γ-tu.o a lˆ`i, γ-lˆo `i d¯ˆo o´i x´u.ng,γ-lˆ`i nhe., γ-lˆoo `i gi˜u.a d¯u.o. c d¯ˆ` xuˆe a´t v`a nghiˆen c´u.u bo.˙’ i H X Phu [34]–[37],

H X Phu v`a N N Hai [49] Trong luˆa.n ´an n`ay ch´ung tˆoi quan tˆam v`a

su.˙’ du.ng nhiˆe` u lˆ` n c´a ac t´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a c´ac h`am γ-lˆ`i ngo`o ai [47], Γ-lˆ`iongo`ai [44] v`a γ-lˆ`i trong [41]–[43] C´o ac l´o.p h`am n`ay d¯ˆ` u do H X Phu d¯ˆee `xuˆa´t v`a nghiˆen c´u.u

Tru.´o.c khi tr`ınh b`ay mu.c tiˆe´p theo, ch´ung tˆoi nhˇa´c la.i d¯i.nh ngh˜ıa vˆe`

d¯iˆe˙’m γ-cu. c biˆen, mˆo.t kh´ai niˆe.m d¯u.o c H X Phu gi´o.i thiˆe.u lˆa`n d¯ˆa`u tiˆenv`ao nˇam 1994 v`a nghiˆen c´u.u trong [35] Kh´ai niˆe.m n`ay s˜e d¯u.o c su.˙’ du.ngtrong Chu.o.ng 4 cu˙’a luˆa.n ´an

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.1 ([35]) Cho γ > 0 v`a D ⊂ X l`a tˆa.p lˆo`i trong khˆong giantuyˆe´n t´ınh d¯i.nh chuˆa˙’n X D- iˆe˙’m x ∈ D go.i l`a d¯iˆe˙’m γ-cu c biˆen (tu.o.ng ´u.ngγ-cu. c biˆen ngˇa t) cu˙’a D nˆe´u x0, x00 ∈ D tho˙’a m˜an x = 0.5(x0+ x00) th`ı suy

ra kx0− x00k ≤ 2γ (tu.o.ng ´u.ng kx0 − x00k < 2γ)

1.3 H` am γ-lˆ ` i ngo` o ai

Trong mu.c n`ay ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay vˆe` h`am γ-lˆ`i ngo`o ai ([46]) C´act´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a l´o.p h`am n`ay ch´ung tˆoi s˜e khai th´ac su.˙’ du.ng trongChu.o.ng 2

D- i.nh ngh˜ıa 1.3.2 ([46]) Cho γ > 0 H`am g : D ⊂ IRn → IR d¯u.o. c go i l`aγ-lˆ`i ngo`o ai (hoˇa c γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa t) v´o.i d¯ˆo thˆo γ, nˆe´u v´o.i mo i x0, x1 ∈ D

tˆ`n ta.i k ∈ IN v`ao

λi ∈ [0, 1], i = 0, 1, , k, λ0 = 0, λk = 1,

0 ≤ λi+1 − λi ≤ γ

kx0 − x1k khi i = 0, 1, , k − 1,

sao cho v´o.i xλi = (1 − λi)x0 + λix1, i = 0, 1, , k, th`ı

g(xλi) ≤ (1 − λi)g(x0) + λig(x1) v´o.i i = 0, 1, , k,(hoˇa c

kzi+1 − zik ≤ γ v´o.i i=0, 1, , k-1

D- i.nh l´y 1.3.6 ([46]) K´y hiˆe.u L(g, α) := {x ∈ D : g(x) ≤ α}, v´o.i α ∈ IRv`a go.i l`a tˆa.p m´u.c du.´o.i cu˙’a h`am g Khi d¯´o, nˆe´u g l`a h`am γ-lˆo`i ngo`ai th`ıL(g, α) l`a tˆa.p γ-lˆo`i ngo`ai

D- i.nh ngh˜ıa 1.3.4 (xem [1], [38]) x∗ ∈ D d¯u.o. c go i l`a

1) d¯iˆe˙’m γ-cu. c tiˆe˙’u cu˙’a g nˆe´u tˆ`n ta.i  > 0 sao cho g(xo ∗) ≤ g(x) v´o.i

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.3.1 ([1], [38]) x∗ l`a d¯iˆe˙’m γ-infimum cu˙’a g khi v`a chı˙’ khi

d¯iˆe˙’m n`ay l`a d¯iˆe˙’m γ-cu. c tiˆe˙’u cu˙’a lsc g

T´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a h`am γ-lˆ`i ngo`o ai d¯u.o. c chı˙’ ra bo˙’ i d¯i.nh l´y sau:.

D- i.nh l´y 1.3.7 ([1], [38]) Nˆe´u g l`a γ-lˆo`i ngo`ai th`ı c´o c´ac t´ınh chˆa´t

(Mγ) Mˆo˜i d¯iˆe˙’m γ-cu. c tiˆe˙’u x∗ cu˙’a g l`a d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c.

(Iγ) Mˆo˜i d¯iˆe˙’m γ-infimum x∗ cu˙’a g l`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu c.

Mˆe.nh d¯ˆe` sau nˆeu cho ta d¯u.`o.ng k´ınh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m cu c tiˆ. e˙’u to`ancu.c cu˙’a h`am γ-lˆo`i ngˇa.t

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.3.2 ([42]) Nˆe´u g : D ⊂ IRn → IR l`a h`am γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa t,th`ı d¯u.`o.ng k´ınh cu˙’a tˆa p c´ac d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c khˆong vu.o. t qu´a γ

D- ˆo´i v´o.i h`am lˆo`i ngˇa.t bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ta c´o mˆe.nh d¯ˆe` vˆe` t´ınh γ-lˆo`ingo`ai sau d¯ˆay

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.3.3 ([42]) Cho γ > 0, g : D ⊂ IRn → IR l`a h`am lˆ`i v`o a

|p(x)| ≤ h1(γ)/2 v´o.i mo i x ∈ Dth`ı h`am bi nhiˆe˜u ˜g = g + p l`a γ-lˆo`i ngo`ai v`a nˆe´u

|p(x)| < h1(γ)/2 v´o.i mo i x ∈ Dth`ı ˜g = g + p l`a γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa t.

1.4 H` am Γ-lˆ ` i ngo` o ai

Kh´ai niˆe.m h`am Γ-lˆo`i ngo`ai do H X Phu d¯ˆ` xuˆe a´t v`a nghiˆen c´u.u trong[44] Trong mu.c n`ay ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay la.i mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu˙’a l´o.p h`amΓ-lˆ`i ngo`o ai m`a H X Phu d¯˜a chı˙’ ra Mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a l´o.p h`amn`ay s˜e l`a co so.˙’ cho viˆe.c nghiˆen c´u.u B`ai to´an ( ˜P ) trong Chu.o.ng 3

D- i.nh ngh˜ıa 1.4.5 ([44]) Cho X l`a khˆong gian v´ec to trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c,

Γ l`a tˆa p cˆan trong X t´u.c l`a λΓ ⊂ Γ v´o.i mo i |λ| ≤ 1, v`a D l`a tˆa p lˆ`i trongo

X H`am g : D → IR d¯u.o. c go i l`a Γ-lˆ`i ngo`o ai nˆe´u v´o.i mo i x0, x1 ∈ D tˆ`no

ta i tˆa p d¯´ong Λ ⊂ [0, 1] v`a ch´u.a {0, 1} sao cho

[x0, x1] ⊂ {xλ | λ ∈ Λ} + 0.5Γ (1.4.9)v`a

∀λ ∈ Λ : g(xλ) ≤ (1 − λ)g(x0) + λg(x1) (1.4.10)

V´o.i d¯i.nh ngh˜ıa h`am Γ-lˆo`i ngo`ai nhu trˆen th`ı hˆ` u hˆe´t c´a ac h`am lˆ`i thˆo o

d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa o˙’ c´. ac mu.c trˆen nhu δ-lˆo`i, ρ-lˆo`i, γ-lˆo`i, γ-lˆo`i d¯ˆo´i x´u.ng l`a c´ac tru.`o.ng ho. p riˆeng cu˙’a l´o.p h`am n`ay

D- i.nh ngh˜ıa 1.4.6 ([44]) Tˆa.p S ⊂ X d¯u.o c go.i l`a Γ-lˆo`i ngo`ai nˆe´u v´o.i mo.i

x0, x1 ∈ S

[x0, x1] ⊂ ([x0, x1] ∩ S) + 0.5Γ,t´u.c l`a tˆ`n ta.i Λ ⊂ [0, 1] sao choo

{xλ | λ ∈ Λ} ⊂ S, [x0, x1] ⊂ {xλ | λ ∈ Λ} + 0.5Γ (1.4.11)V´ı du 1.4.1 ([44]) Gia˙’ su˙’ z. i

∈ IR, Z l`a tˆa.p c´ac sˆo´ nguyˆen, i ∈ Z tho˙’am˜an 0 < zi+1 − zi

≤ γ, i ∈ Z v`a g : IR → IR sao chog(x) ≥ g(zi) ∀x ∈ IR v`a i ∈ Z

Khi d¯´o g(x) l`a Γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i Γ = ¯B(0, γ)

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.4.4 ([44]) Tˆa p m´u.c du.´o.i cu˙’a h`am Γ-lˆ`i ngo`o ai l`a Γ-lˆ`i ngo`o ai

D- i.nh l´y 1.4.8 ([44]) Cho B l`a tˆa.p cˆan trong khˆong gian v´ec to X Khi

d¯´o g : D ⊂ X → IR l`a h`am Γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i Γ = B khi v`a chı˙’ khi epi g l`a

tˆa p Γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i Γ = B × IR

D- i.nh ngh˜ıa 1.4.7 ([44]) Cho g : D → IR D- iˆe˙’m x∗

∈ D go.i l`a d¯iˆe˙’mΓ-cu. c tiˆe˙’u cu˙’a g nˆe´u

g(x∗) = inf

x∈(x ∗ +Γ)∩Dg(x)

v`a go i l`a Γ-infimum cu˙’a g nˆe´u

D- i.nh ngh˜ıa 1.5.8 ([42]) H`am g : D ⊂ IRn

→ IR go.i l`a h`am γ-lˆo`i trong(hoˇa c γ-lˆ`i trong ngˇo a t) trˆen D v´o.i d¯ˆo thˆo γ > 0, nˆe´u tˆ`n ta.i d¯ˆo tinh cˆo´o

d¯i.nh ν ∈]0, 1] sao cho



≥ 0,(hoˇa c

sup

λ∈[2,1+1/ν]

g((1 − λ)x0 + λx1) − (1 − λ)g(x0) − λg(x1)



> 0)

nˆe´u νγ l`a h˜u.u ty˙’ th`ı g l`a h`am γ-lˆ`i trong v´o o.i γ > 0.

Nhˆa.n x´et 1.5.3 Khi ν = 1 th`ı h`am g l`a γ-lˆo`i trong (hoˇa c γ-lˆ`i trongongˇa t) nˆe´u v´o.i x0, x1 ∈ D tho˙’a m˜an kx0 − x1k = γ v`a −x0 + 2x1 ∈ D k´eotheo

−g(x0) + 2g(x1) ≤ g(−x0 + 2x1),(hoˇa c

−g(x0) + 2g(x1) < g(−x0 + 2x1))

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.5.5 ([41]) Gia˙’ su.˙’ g : D → IR l`a γ-lˆ`i trong v´o o.i d¯ˆo tinh ν.

Nˆe´u x1 ∈ D l`a d¯iˆe˙’m cu. c d¯a i cu˙’a g th`ı mo i d¯iˆe˙’m x0 tho˙’a m˜an

kx0 − x1k = νγ, x1+1/ν = −(1/ν)x0 + (1 + 1/ν)x1 ∈ D

c˜ung l`a d¯iˆe˙’m cu. c d¯a i cu˙’a g trˆen D

D- i.nh l´y 1.5.10 ([41]) Cho D ⊂ IRn l`a tˆa p lˆ`i, gi´o o.i nˆo i v`a g : D → IR l`ah`am γ-lˆ`i trong Nˆe´u g c´o o d¯iˆe˙’m cu. c d¯a i th`ı c´o ´ıt nhˆa´t mˆo t d¯iˆe˙’m cu. c d¯a il`a d¯iˆe˙’m γ-cu. c biˆen ngˇa t cu˙’a D.

D- i.nh l´y 1.5.11 ([41]) Cho g : D → IR l`a h`am γ-lˆo`i trong ngˇa.t Nˆe´u g

d¯a t cu c d. ¯a i trˆen D th`ı d¯iˆe˙’m cu. c d¯a i l`a d¯iˆe˙’m γ-cu. c biˆen ngˇa t cu˙’a D.

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.5.6 ([41]) Cho g : D → IR, D l`a tˆa p mo˙’ tu.o.ng d¯ˆ. o´i theo baoaphin cu˙’a D (k´y hiˆe.u l`a aff D) l`a h`am bi chˇa.n trˆen v`a γ-lˆo`i trong v´o.i d¯ˆo.tinh ν ∈ [0, 1] Nˆe´u x1 l`a d¯iˆe˙’m supremum cu˙’a g, th`ı v´o.i mo i x0 ∈ D tho˙’am˜an

kx0 − x1k = νγ, x1+1/ν = −(1/ν)x0 + (1 + 1/ν)x1 ∈ D

c˜ung l`a d¯iˆe˙’m supremum cu˙’a g

D- i.nh l´y 1.5.12 ([41]) Cho D ⊂ IRn l`a tˆa p mo˙’ tu.o.ng d¯ˆ. o´i theo aff D,

g : D → IR bi chˇa.n trˆen v`a γ-lˆo`i trong Nˆe´u g d¯a.t supremum trˆen D, th`ıc´o ´ıt nhˆa´t mˆo t d¯iˆe˙’m supremum l`a d¯iˆe˙’m γ-cu. c biˆen ngˇa t cu˙’a D.

Hˆe qua˙’ 1.5.1 Cho D ⊂ IRn l`a tˆa p compact, g : D → IR bi chˇa n trˆen v`a

lˆ`i trong Khi d¯´o o g c´o tˆo´i thiˆe˙’u mˆo t d¯iˆe˙’m supremum l`a d¯iˆe˙’m biˆen tu.o.ng

d¯ˆo´i cu˙’a D theo aff D hoˇa c l`a d¯iˆe˙’m γ-cu. c biˆen ngˇa t cu˙’a D.

D- ˆo´i v´o.i h`am lˆo`i ngˇa.t bi nhiˆe˜u, ta c´o mˆe.nh d¯ˆe` quan tro.ng vˆe` t´ınh γ-lˆ`iotrong sau d¯ˆay

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.5.7 ([42]) Cho λ > 0, g : D ⊂ IRn → IR l`a h`am lˆ`i v`o a

x0,x1∈D, kx0−x1k=γ,−x0+2x1∈D g(x0) − 2g(x1) + g(−x0 + 2x1)
> 0.Khi d¯´o, nˆe´u h`am nhiˆ˜u p tho˙’a m˜ane

|p(x)| ≤ h2(γ)/4 v´o.i mo i x ∈ Dth`ı h`am bi nhiˆe˜u ˜g = g + p l`a γ-lˆo`i trong v`a nˆe´u

|p(x)| < h2(γ)/4 v´o.i mo i x ∈ Dth`ı h`am bi nhiˆe˜u ˜g = g + p l`a γ-lˆo`i trong ngˇa t.

Kˆe´t luˆa.n: Trong chu.o.ng n`ay ch´ung tˆoi d¯˜a tr`ınh b`ay D- i.nh l´y Tucker cho b`ai to´an lˆ`i, d¯i.nh l´y vˆeo ` d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n cu. c tri cho b`ai to´an to`anphu.o.ng, tˆo˙’ng quan vˆ` c´e ac loa.i h`am lˆo`i thˆo v`a mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’ach´ung Nh˜u.ng kˆe´t qua˙’ d¯u.o. c tr´ıch dˆa˜n s˜e d¯u.o c su.˙’ du.ng nhiˆe` u lˆ` n trongac´ac chu.o.ng sau Vˆ` su.e tˆ`n ta.i nghiˆe.m v`a t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh nghiˆe.m cu˙’a b`aioto´an to`an phu.o.ng c´o thˆe˙’ t`ım thˆa´y trong [5], [7], [10], [13], [31] v`a vˆ` c´e acloa.i h`am lˆo`i thˆo c`ung c´ac t´ınh chˆa´t cu˙’a ch´ung c´o thˆe˙’ t`ım thˆa´y trong [1],[3], [38], [41], [42], [44], [46] v`a [49],

Kuhn-CHUONG 2

D- IˆE˙’M INFIMUM TO `AN CU C CU˙’ A B `AI TO ´AN ( ˜P )

Chu.o.ng n`ay chu˙’ yˆe´u nghiˆen c´u.u t´ınh γ-lˆ`i ngo`o ai cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u

˜

f = f + p; c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ); d¯u.`o.ng k´ınh cu˙’a

tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ); t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh nghiˆe.m tˆo´iu.u cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ); t´ınh chˆa´t tu. a v`a D- i.nh l´y Kuhn-Tucker suy rˆo.ng choB`ai to´an ( ˜P )

Ch´ung tˆoi nhˇa´c la.i, ˜f = f + p l`a h`am bi nhiˆe˜u, trong d¯´o f d¯u.o c cho

bo.˙’ i cˆong th´u.c (1.0.1), t´u.c l`a f (x) = hA, xi + hb, xi, A ∈ IRn×n l`a ma trˆa.n

d¯ˆo´i x´u.ng x´ac d¯i.nh du.o.ng v`a h`am nhiˆe˜u p tho˙’a m˜an (1.0.2), ngh˜ıa l`a

sup

x∈D

|p(x)| ≤ s < +∞

Ngo`ai ra, trong suˆo´t chu.o.ng n`ay ta k´y hiˆe.u γ∗ := 2p2s/λmin trong d¯´o

λmin l`a gi´a tri riˆeng nho˙’ nhˆa´t cu˙’a A

2.1 T´ınh γ-lˆ ` i ngo` o ai cu˙’a h` am bi nhiˆe˜u

Phˆ` n l´a o.n c´ac t´ınh chˆa´t d¯ˇa.c tru.ng cu˙’a c´ac h`am lˆo`i suy rˆo.ng khˆong c`on

d¯´ung khi bi nhiˆe˜u, trong khi nhiˆe` u ´u.ng du.ng thu c tˆ. e´ thu.`o.ng bi a˙’nh hu.o.˙’ng

bo.˙’ i nhiˆe˜u tuyˆe´n t´ınh hoˇa.c nhiˆe˜u phi tuyˆe´n C´ac t´ınh chˆa´t cu˙’a h`am γ-lˆo`ingo`ai v`a t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a l´o.p h`am n`ay theo t´ınh chˆa´t lˆo`i d¯ˇa.c tru.ng cu˙’an´o khi bi nhiˆe˜u tuyˆe´n t´ınh d¯˜a d¯u.o c nghiˆen c´u.u trong [47] Trong mu.c n`ay,ch´ung tˆoi nghiˆen c´u.u c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n d¯u˙’ d¯ˆe˙’ h`am bi nhiˆe˜u ˜e f = f + p l`a γ-lˆ`iongo`ai

20

Mˆe.nh d¯ˆe` sau cho ta gi´a tri cu thˆe˙’ cu˙’a h`am h1(γ), h`am n`ay d¯u.o. c d¯i.nhngh˜ıa trong Mˆe.nh d¯ˆe` 1.3.3 Chu.o.ng 1.

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.8 Cho f x´ac d¯i.nh theo cˆong th´u.c (1.0.1) v`a γ > 0 Khi d¯´o

Khi d¯´o

|A − λI| =

Phu.o.ng tr`ınh d¯ˇa.c tru.ng |A − λI| = 0 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i

|p(x)| ≤ λminγ2/8 v´o.i mo i x ∈ D. (2.1.6)Ch´u.ng minh Theo (2.1.1) th`ı λminγ2/8 ≤ h1(γ)/2, nˆen t`u gia˙’ thiˆe´t ta c´o

|p(x)| ≤ h1(γ)/2 v´o.i mo.i x ∈ D,t´u.c l`a h`am nhiˆe˜u p tho˙’a m˜an d¯iˆe` u kiˆe.n cu˙’a Mˆe.nh d¯ˆe` 1.3.3 ´Ap du.ng mˆe.nh

d¯ˆ` n`e ay ta suy ra ˜f = f + p l`a γ-lˆ`i ngo`o ai

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.10 Cho f x´ac d¯i.nh theo cˆong th´u.c (1.0.1), p : D ⊂ IRn →

IR l`a h`am nhiˆ˜u v`a γ > 0 Khi d¯´o h`am bi nhiˆe˜u ˜e f = f + p l`a γ-lˆ`i ngo`o aingˇa t nˆe´u h`am nhiˆe˜u p tho˙’a m˜an d¯iˆe` u kiˆe.n

T`u hai kˆe´t qua˙’ trˆen, suy ra h`am nhiˆ˜u p tho˙’a m˜an (2.1.6) cu˙’a Mˆe.nhe

d¯ˆ` 2.1.9 v`e a bˆa´t d¯ˇa˙’ng th´u.c (2.1.7) cu˙’a Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.10, do d¯´o ta nhˆa.n d¯u.o c

mˆe.nh d¯ˆe` quan tro.ng sau:

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.11 X´et h`am bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ˜f = f + p Khi d¯´o ˜f = f + pl`a γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i γ ≥ γ∗ v`a γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa t v´o.i γ > γ∗

V´ı du 2.1.4 du.´o.i d¯ˆay chı˙’ ra rˇa`ng γ∗ l`a gi´a tri nho˙’ nhˆa´t d¯ˆe˙’ mo.i h`amto`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t bi nhiˆe˜u l`a γ-lˆo`i ngo`ai

V´ı du 2.1.4 Lˆa´y γ < 2√

2, cho.n γ1 sao cho γ < γ1 < 2√

2 X´et c´ac h`am

f (x) = x2,p(x) =

(

1 nˆe´u x 6= γ1i, i = 0, ±1, ±2,

−1 nˆe´u x = γ1i, i = 0, ±1, ±2, V`ı supx∈IR|p(x)| = 1, λmin = 1 nˆen γ∗ = 2√

2 Theo Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.11th`ı ˜f = f + p l`a γ∗-lˆ`i ngo`o ai Ta c˜ung t´ınh d¯u.o. c f (x˜ 0) = −1 khi x0 = 0 v`a

˜

f (x1) = γ12 − 1 khi x1 = γ1 Mˇa.t kh´ac, v´o.i mo.i λ ∈ ] 0, 1[ th`ı

λ ˜f (x0) + (1 − λ) ˜f (x1) = −λ + (1 − λ)(γ12 − 1) = γ12 − 1 − λγ12v`a

γ12 − 2γ12λ + γ12λ2 + 1 > γ12 − 1 − λγ12tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i

γ12λ12 − γ12λ + 2 > 0

Bˆa´t d¯ˇa˙’ng th´u.c cuˆo´i c`ung l`a hiˆe˙’n nhiˆen, v`ı v´o.i γ1 < 2√

2, biˆe.t th´u.c

∆ = γ14 − 8γ12 = γ12(γ12 − 8) nhˆa.n gi´a tri ˆam

V´ı du sau cho thˆa´y h`am to`an phu.o.ng lˆo`i ngˇa.t bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i c´o thˆe˙’khˆong γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa.t khi γ = γ∗

V´ı du 2.1.5 Cho c´ac h`am

f (x) = x2,p(x) =

V`ı supx∈IR|p(x)| = 1, λmin = 1 nˆen γ∗ = 2√

2 Theo Mˆe.nh d¯ˆe`2.1.11 th`ı ˜f = f + p l`a γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i γ = γ∗ Ta dˆ˜ d`ang t´ınh d¯u.o ce

nˆen ˜f = f + p khˆong l`a h`am γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa.t v´o.i γ = γ∗

Mˆo.t trong nh˜u.ng t´ınh chˆa´t cu˙’a h`am lˆo`i l`a tˆa.p m´u.c du.´o.i cu˙’a h`am lˆo`i l`a

lˆ`i H X Phu d¯˜o a d¯u.a ra kh´ai niˆe.m tˆa.p γ-lˆo`i ngo`ai [47] (D- i.nh ngh˜ıa 1.3.4,Chu.o.ng 1) v`a chı˙’ ra t´ınh chˆa´t tu.o.ng tu. : Tˆa.p m´u.c du.´o.i cu˙’a h`am γ-lˆo`ingo`ai l`a tˆa.p γ-lˆo`i ngo`ai C´ac t´ınh chˆa´t cu˙’a tˆa.p γ-lˆo`i ngo`ai d¯u.o. c nghiˆenc´u.u v`a tr`ınh b`ay k˜y trong [1] v`a [47] D- ˆo´i v´o.i l´o.p h`am to`an phu.o.ng lˆo`ingˇa.t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i, ta c´o thˆem t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay cu˙’a tˆa.p m´u.c du.´o.i

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.12 Cho γ > 0, k´y hiˆe.u

Lα( ˜f ) := {x | x ∈ D, ˜f (x) ≤ α}

l`a tˆa p m´u.c du.´o.i cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ˜f = f + p Khi d¯´o, nˆe´u h`amnhiˆe˜u p tho˙’a m˜an d¯iˆe` u kiˆe.n

|p(x)| ≤ λminγ2/8 v´o.i mo i x ∈ D,th`ı tˆa p Lα( ˜f ) l`a γ-lˆ`i ngo`o ai

Ch´u.ng minh Gia˙’ thiˆe´t trˆen tho˙’a m˜an Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.9, nˆen suy ra ˜f = f + pl`a γ-lˆ`i ngo`o ai Theo D- i.nh l´y 1.3.6 (hoˇa.c Mˆe.nh d¯ˆe` 2.2 [47]) th`ı tˆa.p m´u.cdu.´o.i cu˙’a h`am γ-lˆ`i ngo`o ai l`a γ-lˆ`i ngo`o ai, do d¯´o Lα( ˜f ) l`a tˆa.p γ-lˆo`i ngo`ai

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.13 Tˆa p m´u.c du.´o.i Lα( ˜f ) cu˙’a h`am bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i

˜

f = f + p l`a tˆa p γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i γ ≥ γ∗

Ch´u.ng minh Theo Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.11 th`ı ˜f = f + p l`a h`am γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i

γ ≥ γ∗ nˆen theo Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.12 ta suy ra Lα( ˜f ) l`a tˆa.p γ-lˆo`i ngo`ai v´o.i

γ ≥ γ∗

2.2 D - iˆ e˙’m cu c tiˆ e˙’u to` an cu c v` a d ¯iˆ e˙’m infimum to` an cu c

Mˆe.nh d¯ˆe` du.´o.i d¯ˆay (d¯u.o. c suy ra t`u c´ac d¯i.nh l´y 1.3.7 Chu.o.ng 1 v`a Mˆe.nh

d¯ˆ` 2.1.11), cho ph´ep ta x´e ac d¯i.nh d¯iˆe˙’m cu c tiˆ. e˙’u to`an cu.c v`a d¯iˆe˙’m infimumto`an cu.c thˆong qua viˆe.c t`ım kiˆe´m c´ac d¯iˆe˙’m γ-cu c tiˆ. e˙’u v`a γ-infimum, cu˙’ah`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.2.14 X´et h`am bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ˜f = f + p Khi d¯´o

(a) Nˆe´u x∗ ∈ D l`a d¯iˆe˙’m γ- cu. c tiˆe˙’u cu˙’a ˜f = f + p v´o.i γ ≥ γ∗, th`ı x∗ ∈ Dl`a d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c cu˙’a f = f + p.˜

(b) Nˆe´u x∗ l`a d¯iˆe˙’m γ-infimum cu˙’a ˜f = f + p v´o.i γ ≥ γ∗ th`ı x∗ l`a d¯iˆe˙’minfimum to`an cu c cu˙’a f = f + p.˜

D- ˆo´i v´o.i h`am γ-lˆo`i ngo`ai, n´oi chung tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m cu c tiˆ. e˙’u to`an cu.c c´othˆe˙’ khˆong gi´o.i nˆo.i, d¯iˆe` u n`ay c´o thˆe˙’ thˆa´y r˜o qua h`am g(x) := x−[x], x ∈ IR,l`a h`am γ-lˆ`i ngo`o ai v´o.i γ = 1 v`a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m cu c tiˆ. e˙’u to`an cu.c l`a{i | i ∈ IN } Tuy nhiˆen, d¯ˆo´i v´o.i h`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜ugi´o.i nˆo.i ˜f = f + p ta c´o mˆe.nh d¯ˆe` sau:

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.2.15 K´y hiˆe.u arg min ˜f l`a tˆa p c´ac d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu ccu˙’a B`ai to´an ( ˜P ) Khi d¯´o

k˜x1 − ˜x2k ≤ γ∗ v´o.i mo i ˜x1, ˜x2 ∈ arg min ˜f ,t´u.c l`a

diam(arg min ˜f ) ≤ γ∗.Ch´u.ng minh Theo Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.11 th`ı ˜f = f + p l`a γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa.t khi

γ > γ∗ = 2p2s/λmin,

nˆen ˜f = f + p tho˙’a m˜an Mˆe.nh d¯ˆe` 1.3.2, v`ı vˆa.y

diam(arg min ˜f ) ≤ γ v´o.i mo.i γ > γ∗

Do d¯´o suy ra

diam(arg min ˜f ) ≤ γ∗

2.3 C´ ac t´ınh chˆ a´t cu˙’a d ¯iˆ e˙’m infimum to` an cu c

O˙’ mu.c tru.´o.c, trong Mˆe.nh d¯ˆe` 2.2.15 ch´ung tˆoi d¯˜a nghiˆen c´u.u d¯u.`o.ng.k´ınh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m cu c tiˆ. e˙’u to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an quy hoa.ch to`anphu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ( ˜P) Trong mu.c n`ay, ch´ung tˆoi nghiˆenc´u.u d¯u.`o.ng k´ınh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c v`a t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a

tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ) theo cˆa.n trˆen s cu˙’a h`amnhiˆe˜u p

Nghiˆen c´u.u c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c, trong mu.c n`ay ta su˙’ du.ng.h`am bao d¯´ong nu.˙’a liˆen tu.c du.´o.i (xem [54], trang 68-90) lsc ˜f (x) :=lim infy→x, y∈Df (y) v`˜ a c´o bˆo˙’ d¯ˆ` sau:e

Bˆo˙’ d¯ˆ` 2.3.1 X´et h`e am bi nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ˜f = f + p Khi d¯´o

Do d¯´o, d¯ˆo´i v´o.i h`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i th`ı

Bˆo˙’ d¯ˆ` d¯u.o.e c ch´u.ng minh

V`ı tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m cu c tiˆ. e˙’u to`an cu.c l`a tˆa.p con cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimumto`an cu.c, nˆen mˆe.nh d¯ˆe` sau l`a tru.`o.ng ho. p tˆo˙’ng qu´at cu˙’a Mˆe.nh d¯ˆe` 2.2.15

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.3.16 Nˆe´u ˜x∗1, ˜x∗2 l`a hai d¯iˆe˙’m infimum to`an cu c bˆa´t k`y cu˙’aB`ai to´an ( ˜P ) th`ı

k˜x∗1 − ˜x∗2k ≤ γ∗

Ch´u.ng minh V`ı ˜x∗1, ˜x∗2 l`a hai d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c bˆa´t k`y cu˙’a B`ai to´an( ˜P ), nˆen theo Mˆe.nh d¯ˆe` 1.3.1 v`a (a) cu˙’a Bˆo˙’ d¯ˆ` 2.3.1 ta suy ra ˜e x∗1, ˜x∗2 l`a c´ac

d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c cu˙’a lsc ˜f = f + lsc p

Mˇa.t kh´ac, t`u (b) cu˙’a Bˆo˙’ d¯ˆe` ta c´o

nˆen theo Mˆe.nh d¯ˆe` 2.1.11 ta suy ra lsc ˜f = f + lsc p l`a γ-lˆ`i ngo`o ai ngˇa.t khi

γ > γ∗ ´Ap du.ng Mˆe.nh d¯ˆe` 2.2.15 cho h`am lsc ˜f = f + lsc p ta nhˆa.n d¯u.o c

k˜x∗1 − ˜x∗2k ≤ γ∗

Mˆe.nh d¯ˆe` d¯˜a d¯u.o. c ch´u.ng minh

V´ı du 2.3.6 X´et c´ac h`am

f (x) = x2,p(x) =

(

−0.5 nˆe´u |x| ≥ 10.5 nˆe´u |x| < 1

2 × 0.5 = 2.Theo mˆe.nh d¯ˆe` trˆen th`ı

2 = max{kxi − xjk | i, j = 1, 2, 3} ≤ 2 = 2p2s/λmin,

suy ra

max{kxi − xjk | i, j = 1, 2, 3} = γ∗.Biˆe˙’u th´u.c cuˆo´i cho ph´ep kˆe´t luˆa.n d¯u.`o.ng k´ınh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimumto`an cu.c cu˙’a h`am to`an phu.o.ng lˆo`i ngˇa.t v´o.i nhiˆe˜u n´oi chung khˆong nho˙’ho.n γ∗

Khi x´et l´o.p h`am to`an phu.o.ng lˆ`i ngˇo a.t v´o.i nhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i, cˆau ho˙’i d¯u.o c

d¯ˇa.t ra l`a: C´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a h`am n`ay thay d¯ˆo˙’i nhu thˆe´ n`ao

so v´o.i d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c duy nhˆa´t x∗ cu˙’a h`am to`an phu.o.ng (nˆe´u tˆ`nota.i)? c´o thˆe˙’ d¯´anh gi´a d¯u.o c khoa˙’ng c´ach gi˜u.a ch´ung hay khˆong? D-i.nh l´ysau s˜e tra˙’ l`o.i cho ta cˆau ho˙’i n`ay

D- i.nh l´y 2.3.13 Nˆe´u x∗ ∈ D l`a d¯iˆe˙’m cu. c tiˆe˙’u to`an cu c cu˙’a B`ai to´an(P ), ˜x∗ ∈ D l`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu c bˆa´t k`y cu˙’a B`ai to´an ( ˜P ), th`ı

k˜x∗ − x∗k ≤ γ∗/2

Ch´u.ng minh Ta x´et c´ac tru.`o.ng ho. p sau:

i) ˜x∗ l`a cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c cu˙’a ˜f = f + p D- ˇa.t

ϕ(t) : = f (x∗ + t(˜x∗ − x∗)) − f (x∗)

= hAx∗, x∗i + hb, x∗i + h2Ax∗ + b, ˜x∗ − x∗it+hA(˜x∗ − x∗), ˜x∗ − x∗it2 − hAx∗, x∗i + hb, x∗i

= h2Ax∗ + b, ˜x∗ − x∗it + hA(˜x∗ − x∗), ˜x∗ − x∗it2

Do d¯´o

ϕ0(t) = h2Ax∗ + b, ˜x∗ − x∗i + 2hA(˜x∗ − x∗), ˜x∗ − x∗it (2.3.8)v`a

ϕ00(t) = 2hA(˜x∗ − x∗), ˜x∗ − x∗i (2.3.9)

Mˇa.t kh´ac, v`ı x∗ l`a cu. c tiˆe˙’u to`an cu.c cu˙’a h`am to`an phu.o.ng lˆo`i ngˇa.t f trˆen

D, nˆen ϕ(t) ≥ 0 v´o.i mo.i t ∈ [0, 1] Ta c´o

nˆen thay f (x˜∗+x2 ∗) o.˙’ (2.3.11) v`ao (2.3.12), chuyˆe˙’n vˆe´ v`a r´ut go.n ta d¯u.o c

λminη2 ≤ 2stu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i

Kˆe´t ho. p (2.3.16) v´o.i (2.3.13), ta suy ra

λminη2 ≤ 2s,

v`ı vˆa.y

η ≤ p2s/λmin,t´u.c l`a

k˜x∗ − x∗k ≤ γ∗/2

D- i.nh l´y d¯˜a d¯u.o c ch´u.ng minh

D- i.nh l´y trˆen d¯˜a d¯u.o c H X Phu ch´u.ng minh rˆa´t go.n trong [51]

2.4 T´ınh chˆ a´t tu a v` a d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n tˆo´i u u

Trong mu.c n`ay, ta nghiˆen c´u.u t´ınh chˆa´t tu a cu˙’a h`am ˜f = f + p v`a

su. tˆ`n ta.i c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an ( ˜o P ), cu thˆe˙’ l`a D- i.nh l´yKuhn-Tucker suy rˆo.ng cho B`ai to´an ( ˜P ) khi D l`a tˆa.p lˆo`i tho˙’a m˜an mˆo.ttrong hai tru.`o.ng ho. p sau:

D = {x ∈ S | gi(x) ≤ 0, i = 1, , m}, (2.4.17)

trong d¯´o gi : IRn → IR, i = 1, , m, l`a c´ac h`am lˆ`i v`o a S ⊂ IRn l`a tˆa.p lˆo`i

d¯´ong, hoˇa.c

g = f th`ı ξ = 2Ax∗ + b V`ı h`am nhiˆe˜u p chı˙’ gia˙’ thiˆe´t gi´o.i nˆo.i nˆen khˆong

hy vo.ng h`am bi nhiˆe˜u ˜f = f + p c´o t´ınh chˆa´t tu. a nhu trˆen Tuy nhiˆen, ta

s˜e chı˙’ ra h`am lˆ`i thˆo o ˜f s˜e c˜ung c´o t´ınh chˆa´t tu. a thˆo Muˆo´n vˆa.y, ta viˆe´t la.it´ınh chˆa´t tu. a nhu sau:

g(x∗) + hξ, x∗i ≤ g(x) + hξ, xi, v´o.i mo.i x ∈ IRn (2.4.19)Thay thˆe´ vˆe´ tr´ai cu˙’a (2.4.19) bo.˙’ i

min

x 0 ∈ ¯ B(x ∗ ,r)

˜

f (x0) − hξ, x0i
≤ ˜f (x) − hξ, xi v´o.i mo.i x ∈ IRn

Nh˜u.ng cˆong th´u.c trˆen mˆo ta˙’ t´ınh chˆa´t tu. a thˆo cu˙’a h`am ˜f T´ınh chˆa´t n`ay

d¯˜a d¯u.o. c H X Phu chı˙’ ra khi nghiˆen c´u.u c´ac h`am γ-lˆ`i ngo`o ai tˆo˙’ng qu´at[44] Bˇa`ng c´ach su.˙’ du.ng D- i.nh l´y 2.3.13 cho h`am to`an phu.o.ng lˆo`i ngˇa.t v´o.inhiˆe˜u gi´o.i nˆo.i ˜f = f + p, mˆe.nh d¯ˆe` du.´o.i d¯ˆay cho ta kˆe´t qua˙’ tˆo´t ho.n, t´u.cl`a chı˙’ ra r = γ∗/2 v`a ξ = 2Ax∗ + b

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.4.17 ([51]) Cho D = IRn Khi d¯´o v´o.i x∗ ∈ IRn v`a  > 0 th`ı