Tính toán và vẽ mặt fermi của một số kim loại và hợp chất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ VŨ THỊ HỒNG HẠNH TÍNH TOÁN VÀ VẼ MẶT FERMI CỦA MỘT SỐ KIM LOẠI VÀ HỢP CHẤT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý chất rắn... T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

VŨ THỊ HỒNG HẠNH

TÍNH TOÁN VÀ VẼ MẶT FERMI CỦA MỘT SỐ KIM LOẠI VÀ HỢP CHẤT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

VŨ THỊ HỒNG HẠNH

TÍNH TOÁN VÀ VẼ MẶT FERMI CỦA MỘT SỐ KIM LOẠI VÀ HỢP CHẤT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn

Người hướng dẫn:

TS Nguyễn Thế Lâm

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Sau suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học sư phạm

Hà Nội 2, ngoài sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, em luôn nhận được sự quan tâm, giúp đỡ, hỗ trợ tận tình của thầy cô, gia đình, bạn bè và người thân Đến nay luận văn đã được hoàn thành Nhân dịp này, em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến:

TS Nguyễn Thế Lâm, người hướng dẫn trực tiếp, thầy đã tận tình giúp

đỡ, đóng góp nhiều ý kiến quan trọng giúp em hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn ủng hộ, động viên, giúp đỡ để em có thể hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Vũ Thị Hồng Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan rằng đề tài: “Tính toán và vẽ mặt Fermi của một số

kim loại và hợp chất” là công trình nghiên cứu của em Các số liệu, kết quả

nêu trong luận án là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Vũ Thị Hồng Hạnh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MẶT FERMI VÀ KIM LOẠI 3

1.1 Cấu trúc của mặt Fermi 3

1.2 Động học của các electron trên mặt Fermi 7

1.3 Đo đạc thực nghiệm về mặt Fermi 10

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, TÍNH TOÁN MẶT FERMI 12

2.1 Các phương pháp lý thuyết nghiên cứu mặt Fermi 12

2.1.1 Phân bố Fermi – Dirac 12

2.1.2 Nồng độ electron 13

2.1.3 Phương pháp gần đúng liên kết chặt 14

2.1.4 Phương pháp giả thế 17

2.2 Các phương pháp thực nghiệm nghiên cứu mặt Fermi 19

2.2.1 Phương pháp hiệu ứng skin dị thường 19

2.2.2 Phương pháp cộng hưởng cyclotron 23

2.2.3 Hiệu ứng Shubnikov-de Haas 26

2.2.4 Hiệu ứng de Haas-van Alphen 31

CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN VÀ VẼ MẶT FERMI CHO MỘT SỐ KIM LOẠI VÀ HỢP CHẤT 37

3.1 Tính toán phổ điện tử cho một số tinh thể điển hình 37

3.2 Tính năng lượng Fermi của vàng (Au) 41

3.3 Tính năng lượng Fermi của hợp kim Ni-Cu 41

3.4 Tính năng lượng Fermi của crom (Cr) 42

3.5 Tính năng lượng Fermi của hợp kim Fe-Al 43

3.6 Tính năng lượng Fermi của kẽm (Zn) 44

3.7 Tính năng lượng Fermi của rutheni (Ru) 45

KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật hiện nay ngành Vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử, y học hiện đại Vật lý chất rắn là môn học nghiên cứu các tính chất vật lý của chất rắn Bằng các mô hình tinh thể ta có thể rút ra các tính chất cơ bản của các vật liệu như: kim loại, chất bán dẫn, điện môi, vật liệu từ, siêu dẫn, Nghiên cứu vật lý chất rắn vừa giúp hiểu được các cơ chế vật lý xảy ra trong chất rắn, đề xuất được những hướng phát triển mới cho những

mô hình lý thuyết mới, chế tạo vật liệu mới, sử dụng vật rắn chúng trong thực tiễn kỹ thuật và đời sống

Các tính chất điện, từ của kim loại và hợp chất được thể hiện rất nhiều thông qua hình dạng của bề mặt Fermi, bởi vì các tính chất điện, quang, từ của vật rắn đều do các electron tự do (dẫn) quyết định Mặt Fermi có thể nói

là mặt năng lượng của các electron tự do dòng điện là do sự thay đổi về khả năng chiếm dụng của các trạng thái gần bề mặt Fermi

Biết được mặt Fermi ta có thể tính được nhiều thông số cho một số kim loại, hợp chất Xuất phát từ kiến thức được học môn vật lí chất rắn ta tính toán

và vẽ được mặt Fermi cho một số kim loại, hợp chất cụ thể từ đây ta có thể dễ dàng nghiên cứu được các tính chất của chúng

Chính vì những lí do trên nên em đã chọn đề tài “Tính toán và vẽ một

mặt Fermi của một số kim loại” để làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp

đại học của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tính phổ điện tử cho một các tinh thể điển hình

- Tính năng lượng Fermi của một số kim loại và hợp chất

- Vẽ mặt Fermi của một số kim loại và hợp chất

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Tính toán phổ điện tử cho một các tinh thể điển hình

- Tính năng lượng Fermi của vàng (Au), hợp kim Ni-Cu, crom (Cr), hợp kim Fe-Al, kẽm (Zn) (HCP, FCC), rutheni (Ru)

- Vẽ mặt Fermi cho một số kim loại và hợp chất

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong khi thực hiện đề tài này, em có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau đây:

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Giải các phương trình bằng phương pháp số

- Ứng dụng một số phần mềm để vẽ mặt Fermi

5 Nội dung chính của đề tài, các vấn đề cần giải quyết

Chương 1: Tổng quan về mặt Fermi và kim loại

Chương 2: Phương pháp nghiên cứu, tính toán mặt Fermi

Chương 3: Tính toán và vẽ mặt Fermi cho một số kim loại và hợp chất Kết luận

Tài liệu tham khảo

6 Kết quả dự kiến

- Tính được phổ điện tử cho một các tinh thể điển hình

- Tính được năng lượng Fermi của vàng (Au), hợp kim Ni-Cu, crom (Cr), hợp kim Fe-Al, kẽm (Zn) (HCP, FCC), rutheni (Ru)

- Vẽ được mặt Fermi của một số kim loại và hợp chất

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MẶT FERMI VÀ KIM LOẠI

1.1 Cấu trúc của mặt Fermi

 Vùng Briloanh và cách dựng vùng Briloanh:

Khi giải phương trình Schrodinger một electron đối với mạng tinh thể một chiều, ta nhận được kết quả: phổ năng lượng của electron bị gián đoạn tại các điểm:

n k a



 (1.1) trong đó n là số nguyên dương hoặc âm

Hình 1.1 Các vùng Briloanh đối với mạng một chiều gồm các nguyên tử

giống nhau, hằng số mạng bằng a

Các điểm này chia giá trị của vectơ sóng k thành các khoảng gọi là các vùng Briloanh Thí dụ: khoảng  /a k  /a gọi là vùng Briloanh thứ nhất, các khoảng 2 / a  k  /a và  /a k 2 / a tạo thành vùng Briloanh thứ hai,… (hình 1.1)

Các điểm trong vùng Briloanh thỏa mãn điều kiện phản xạ Bragg Vì thế ta có thể xác định các vùng Briloanh một cách trực tiếp bằng cách sử dụng phương trình Bragg dưới dạng:

2

2kGG 0 (1.2) Thí dụ, ta xét một mạng tinh thể hai chiều vuông góc đơn giản với hằng

số mạng a Các vectơ cơ sở của mạng đảo của tinh thể này có dạng:

k k xk y (1.4) Thay (1.3) và (1.4) vào (1.2), ta được:

Ta tìm được các biên của vùng Briloanh thứ nhất bằng cách cho

m   m  , ta được k x   /a và m10,m2  1, ta được k y   /a

Như vậy, vùng Briloanh thứ nhất là một hình vuông có cạnh 2 / a (hình 1.2)

Hình 1.2 Ba vùng Briloanh đầu tiên đối với mạng tinh thể hai chiều vuông

sẽ được xác định, nếu cho m1 và m2 các giá trị 0, ±1, ±2

Các vùng Briloanh trong tinh thể ba chiều cũng được xác định trực tiếp

từ phương trình Bragg như trên, nhưng sẽ phức tạp hơn

 Bề mặt Fermi của kim loại kiềm (đơn, mạng BCC)

KIM LOẠI HÓA TRỊ I

Kim loại kiềm (BCC) Kim loại hiếm (FCC)

Li: 1s22s1Na: [Ne]3s1K: [Ar]4s1Rb: [Kr]5s1Cs: [Xe]6s1

-

- Cu: [Ar]3d104s1Ag: [Kr]4d105s1 Au: [Xe]4f145d106s1Dãy đơn giản của kim loại thuộc hệ tinh thể này là các kim loại kiềm hóa trị một (K, Na,…) Vùng Briloanh thứ nhất của mạng lập phương tâm khối được chỉ ra ở hình 1.3 Đó là một khối giới hạn bởi 12 mặt thoi giống

nhau, nằm cách tâm vùng những khoảng cách bằng nhau 2 / a , với a là hằng

số mạng Ô cơ sở của mạng lập phương tâm khối có thể tích 3

2(1 / 2) (1 / 2) 0 2

d

    (1.7)

Như vậy, giá trị của kF nằm trong khoảng 0 < kF < d, nghĩa là mặt cầu Fermi nằm hoàn toàn trong vùng Briloanh thứ nhất

Hình 1.3 Mặt Fermi trong vùng Briloanh thứ nhất đối với kim loại kiềm khi

giả thể Veff( ) r  0

 Bề mặt Fermi của kim loại quý (đơn, mạng FCC)

Các kim loại quý (Cu, Ag, Au) là các kim loại thuộc hệ tinh thể này Vùng Briloanh thứ nhất của mạng lập phương tâm mặt là một khối giới hạn bởi 14 mặt trong đó có 8 mặt lục giác và 6 mặt vuông Ô cơ sở của mạng loại này chứa N = 4 nguyên tử, do đó bán kính mặt cầu Fermi kF của các electron

tự do (trong điều kiện giả thế Veff( ) r  0) bằng:

2 3

2(1 / 2) (1 / 2) (1 / 2) 3

mà hở và dính vào biên vùng (hình 1.4)

Hình 1.4 Mặt Fermi trong vùng Briloanh thứ nhất đối với đồng (Cu) khi giả

thế Veff  0

1.2 Động học của các electron trên mặt Fermi

Xét một bó sóng với vị trí trung bình r và vectơ sóng k, sau đó:

ở đây phép đạo hàm bỏ qua (1.11)

Trong đó, q: điện tích, E: vectơ cường độ điện trường, B: vectơ cường độ từ trường, c: vận tốc ánh sáng

Phạm vi có hiệu lực: Điều này giống như lực Lorentz thông thường

Nhưng nó chỉ có hiệu lực khi biến đổi có thể bị bỏ qua (xấp xỉ một dải tần) (có thể không hợp lệ trong khoảng cách nhỏ hoặc chất bán dẫn pha tạp nặng, nhưng không bao giờ bị vi phạm trong kim loại)

g g F

Bloch electron trong một điện trường đều:

( )

dk

dt      (1.14)

 Phân tán năng lượng (sơ đồ vùng định kỳ, 1D)

Hình 1.5 Phân tán năng lượng (1D)

• Trong trường điện một chiều, các electron giảm tốc độ và đảo ngược chuyển động của nó ở ranh giới Briloanh

• Một thế hiệu dịch DC tạo ra dòng điện xoay chiều (gọi là dao động Bloch)

Một phần được lấp đầy mà không bị tán xạ

Hình 1.6 Một phần được lấp đầy mà không bị tán xạ

Một phần được lấp đầy với thời gian tán xạ

Hình 1.7 Một phần được lấp đầy với thời gian tán xạ

Để quan sát nó, người ta cần

• Trường E mạnh hơn → nhưng chỉ tối đa khoảng 106

V/cm (đối với bán dẫn)

• a lớn hơn → sử dụng siêu mạng (ví dụ: a = 100A)

• Giảm thời gian va chạm → sử dụng tinh thể với chất lượng cao

- Dao động Bloch tạo ra sóng cực ngắn: tần số ~ 1012~13, bước sóng 0.01mm 0.1mm

Do đó, 1 Thay đổi k là vuông góc với trường B,

k| | không thay đổi

Và 2 (k) là hằng số chuyển động

 Quỹ đạo cyclotron trong không gian thực

Các phân tích trên cho chúng ta quỹ đạo trong không gian k Còn quỹ đạo trong không gian r thì sao?

Quỹ đạo r Quỹ đạo k

• Quỹ đạo r được quay 900

so với quỹ đạo k và được thu nhỏ bởi2

/

B

c eB

• Bước sóng λB = 256 A với B = 1 tesla

1.3 Đo đạc thực nghiệm về mặt Fermi

Hình 1.9 Hình trụ Landau

Chu kỳ của dao động de Haas - van Alphen tỷ lệ thuận với mặt cắt ngang của bề mặt Fermi với các hình trụ Landau Nếu trường từ đang chỉ theo hướng z, trạng thái k trong mặt phẳng xy bị giới hạn trong các vòng tròn và theo hướng z thì không có gì xảy ra Đó là lý do tại sao ta có được hình trụ trong 3 chiều Nếu ta áp dụng trường từ cho kim loại theo một hướng và thay đổi cường độ của trường, các hình trụ Landau bắt đầu di chuyển qua bề mặt Fermi, vì khoảng cách giữa chúng tỷ lệ với B Kết quả của những điều này là các dao động trong tất cả các thuộc tính (mọi thứ phụ thuộc vào mật độ của các trạng thái như năng lượng bên trong) Trong trường hợp đặc biệt này của dao động de Haas - van Alphen, nó đã từ hóa Hình 1.10 cho thấy dòng điện sinh ra nếu ta áp dụng trường từ theo hướng 111 hoặc 100 cho kim loại này Bây giờ ta áp dụng từ trường theo nhiều hướng khác nhau để có được thông tin về toàn bộ bề mặt Fermi Nó có thể xảy ra nhiều hơn một vùng trên bề mặt Fermi song song với các trụ Landau Trong trường hợp này, ta nhận được một

mô hình đập Đó là một dao động cơ bản được thay đổi Ta có thể biến đổi nó

và nó sẽ cung cấp cho ta các thành phần tần số và biên độ của các dao động

Ta có thể tính khoảng thời gian ngoài tần số và sử dụng phương trình (1.18)

để chúng phù hợp với mặt cắt ngang tương ướng

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU,

TÍNH TOÁN MẶT FERMI 2.1 Các phương pháp lý thuyết nghiên cứu mặt Fermi

2.1.1 Phân bố Fermi – Dirac

Sự phân bố electron tuân theo thống kê Fermi – Dirac Hàm phân bố cân bằng của electron ứng với hình chiếu spin xác định là:

( )

1( )

Hình 2.1 Đường biểu diễn hàm phân bố Fermi – Dirac

Ở nhiệt độ T 0K, hàm phân bố (2.1) nhận giá trị bằng 1 nếu

  o

E k  và giá trị 0 nếu E k o o là giá trị của  ở T 0K o E F

được gọi là năng lượng Fermi Vậy ở 0K, thế hóa học có giá trị bằng năng lượng Fermi tại nhiệt độ đó Đường biểu diễn của (2.1) ở T 0K có dạng như hình 2.1a Ta thấy hàm phân số giảm đột ngột từ giá trị 1 xuống 0 ở

E=o E F Như vậy, EF chính là mức năng lượng cao nhất bị electron chiếm

n f E Z E dE



 (2.2) với n là mật độ hạt (số hạt trong một đơn vị thể tích), Z(E) là mật độ trạng thái, Z(E)dE là số các trạng thái trong khoảng năng lượng từ E đến E+dE tính trong một đơn vị thể tích vật rắn

Từ (2.2), suy ra ở T = 0K, thì:

0( )

T  K, trạng thái ứng với năng lượng Eo bị chiếm với xác suất 1/2 Một

số trạng thái ứng với E o bị chiếm, còn một số trạng thái với Eo lại bị

bỏ trống (xác suất trạng thái bị chiếm nhỏ hơn 1)

2.1.2 Nồng độ electron

Nồng độ electron n trong trạng thái không cân bằng nhiệt được có dạng:

0( )f(E)dE

n g E



 (2.4) trong đó f(E) là hàm phân bố Fermi – Dirac và g(E) là mật độ trạng thái của electron ở gần vùng dẫn có dạng

1/2 3/2

1/2

2 3

2 ( *)( )

Thay (2.1) và biểu thức của g(E) vào (2.4), ta được:

trong đó En là năng lượng của electron ở trạng thái lượng tử n (hay mức n)

Để cho đơn giản, ta giả sử mức năng lượng không suy biến và các hàm sóng ( )

nt

r

 được chuẩn hóa

Giả sử những nguyên tử giống hệt nhau được đưa lại gần nhau và tạo thành tinh thể Thế năng V r ( ) của electron trong tinh thể là chồng chất của các thế năng nguyên tử và được biểu diễn bằng những đường liền trên hình 2.2

Nó là hàm tuần hoàn với chu kỳ là vectơ mạng Nếu ta đặt gốc của hệ tọa độ tại một nguyên tử xác định trong tinh thể thì vị trí của các nguyên tử khác được mô tả bởi các vectơ mạng R j Trong phương trình gần đúng electron liên kết mạnh, ta giả thiết trong tinh thể electron ở gần hạt nhân thứ j

gần R j, hàm sóng của electron được xác định gần đúng bởi hàm  (r R j), còn năng lượng của electron cũng gần với giá trị En trong nguyên tử tự do

Ta đặt:

V r R V r V r R (2.7) thì V r ( R j) cho ta sự sai khác giữa thế năng của electron trong tinh thể đặt

ở vị trí r so với thế năng của electron cũng ở điểm đó khi chỉ có một nguyên

tử riêng lẻ đặt ở vị trí R j Như vừa nói trên, V r ( ) sai khác rất ít so với

  là hàm sóng electron trong nguyên tử ở trạng thái n, là hàm định xứ

mạnh, có tâm đặt tại nút mạng xác định bởi vectơ R Hàm kn( )r có tính chất của một hàm Blôc Giả sử thực hiện phép tịnh tiến một vectơ mạng R , ta có: 1

1

n kn

    (2.10) Vậy kn( )r thỏa mãn tính chất đặc trưng của hàm Blôc

Toán tử Haminton của electron trong tinh thể là:

* ˆ( )

E k  H dr (2.12) Đặt kn theo (2.8) vào, ta có:

1 1

Biểu thức (2.17) thỏa mãn điều kiện tuần hoàn theo vectơ mạng đảo

Các hàm sóng nguyên tử n( )r định xứ mạnh quanh khu vực các

nguyên tử Vì vậy, hàm sóng n( )r và n(r h) phủ nhau rất ít và sự phủ của chúng giảm nhanh khi khoảng cách h giữa hai nguyên tử tăng lên Do đó, giá trị của n( )h ở (2.18) cũng giảm khi tăng h Trong biểu thức (2.17) ta chỉ

cần giữ lại số hạng ứng với h0 và h h1, trong đó h là các vectơ nối mạng 1

đang xét với các nút mạng khác ở gần nó nhất Từ đó (2.17) có dạng:

1 1

1( ) (0) ikh ( )

Trong phần thể tích giữa các ion thế năng của điện tử dẫn nhỏ, đó là thế Coulomb của các ion dương giảm do hiệu ứng màn chắn tĩnh điện của các điện tử dẫn khác

Ở vùng ngoài hàm sóng giống như sóng phẳng, ở đây không có ảnh hưởng của những thay đổi mạnh về thế ở gần các hạt nhân nguyên tử và sự ảnh hưởng của việc đòi hỏi về tính trực giáo  3 

* ( ) ( )r r dx 0

hàm sóng của điện tử trong chính các ion của nó

Có các nút của hàm sóng ở vùng gần gốc ion liên quan đến đòi hỏi về tính trực giao Nếu các hàm sóng của các điện tử dẫn ở vùng ngoài có thể coi gần đúng là có dạng sóng phẳng thì sự phụ thuộc năng lượng vào vectơ sóng phải gần có dạng như đối với điện tử tự do:

2/ 2

  Một vài tác động

lên điện tử từ phía thế ở vùng ngoài có thể hiểu là sự kích thích trộn mạnh các sóng với các thành phần k và (k G)gần biên vùng Briloanh

Còn hàm sóng không giống sóng phẳng tại gốc ion có thể lớn sẽ không

có ảnh hưởng tới sự phụ thuộc trên của vùng năng lượng, vì khi tác dụng toán

tử Hamilton lên hàm sóng ở bất cứ điểm nào của không gian ở vùng ngoài đều dẫn đến năng lượng của điện tử tự do

Nếu như vậy có thể thay thế thực ở vùng gần gốc ion bằng thế hiệu dụng nào đó gọi là giả thế, ở vùng ngoài gốc ion cho ta các hàm sóng như là thế thực

Tại vùng gốc ion giả thế bằng 0 (theo thực nghiêm và lý thuyết) Từ đây giả thế là thế không bị chắn sẽ bằng 0 trong khoảng Re và dẫn đến mô hình ion rỗng và dạng thế theo hàm sau:

2

0,( )

Hình 2.3 Giả thế trong kim loại kiềm

Theo (2.20) tại gốc ion thế bằng không Tại vùng ngoài r > Re giả thế tỷ

lệ nghịch với r nhưng do hiệu ứng chắn nên đường giả thế được thay bằng đường đậm

Ở gần ngay ion không có điện tử dẫn, điện tử dẫn chỉ có ở vùng ngoài nên bỏ qua thế thực ở gốc ion Giả thế nhỏ nhưng hàm sóng nhận được nhờ dùng thế này hầu như giống hàm nhận được với thế thực Để tính cấu trúc năng lượng tinh thể nhất thiết phải tính được giá trị của hệ số Fourier U(G) của giả thế đối với vectơ mạng đảo, những giá trị này của U(G) thường có trong các bảng tính sẵn

2.2 Các phương pháp thực nghiệm nghiên cứu mặt Fermi

2.2.1 Phương pháp hiệu ứng skin dị thường

Sự tương tác của trường điện từ với các electron trong kim loại phụ thuộc chủ yếu vào tỷ số giữa độ dày của bề mặt  và quãng đường tự do trung bình  của electron, tức tỷ số  / , trong đó độ dày  được định nghĩa là khoảng cách tính từ bề mặt, bên trong kim loại, tại đó biên độ sóng điện từ giảm xuống bằng 1/e giá trị ban đầu của nó

Khi   tất cả các electron Fermi nằm trong lớp bề mặt sẽ tương tác với sóng điện từ với mức độ như nhau Các giá trị   tương ứng với miền

của hiệu ứng skin dị thường Để tính độ dày của lớp bề mặt này, ta xuất phát

từ các phương trình Maxwell đối với trường điện từ:

0exp( i t )

    (2.28) Thay (2.28) vào (2.27) và giản ước thừa số exp( i t  ), ta được: