[r]
Trang 1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-2: Hệ thống tuyến tính bất biến (LTI)
Lecture-3 2.1 Giới thiệu 2.2 Hệ thống LTI: tích chập 2.3 Các tính chất của hệ thống LTI
2.1 Giới thiệu
Trong môn học này ta tập trung khảo sát hệ thống LTI:
Nhiều hệ thống vật lý thực tế có tính LTI
Hệ thống LTI thỏa nguyên lý xếp chồng & bất biến: biểu diễn tín hiệu vào thành tổng các tín hiệu cơ bản (hoặc phiên bản trễ)
đáp ứng của hệ thống một cách dễ dàng
Các ví dụ về biểu diễn tính hiệu thành tổng các tính hiệu cơ bản:
Biểu diễn tính hiệu thành tổng của các xung đơn vị
Biểu diễn tính hiệu thành tổng các tính hiệu hàm mũ phức:
chuỗi Fourier, biến đổi Fourier, biến đổi Laplace
Trong chương này ta khảo sát việc biểu diễn tín hiệu thành tổng các xung đơn vị để tính đáp ứng của hệ thống dùng khái niệm đáp ứng xung của hệ thống và tích chập
Trang 2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.1 Biểu diễn tín hiệu thành tổng các xung đơn vị 2.2.2 Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập
2.2.1 Biểu diễn tín hiệu thành tổng các xung đơn vị
Định nghĩa xung δ∆(t):
1 ; 0<t<
(t)=
0; otherwise
∆
∆
τ
∆
∆ →
⇒
Biểu diễn gầnđúng f(t) dùng δ∆(t):
~
n
f (t)= f(n τ δ) (t n τ) τ
+∞
∆
=−∞
∆ − ∆ ∆
∑
Trang 3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2 Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập
Đápứng xung của hệthống LTI: làđápứng của hệthống với δ(t)
Ví dụ: (a) hệthốngđơn vịy(t)=f(t) h(t)=δ(t)
(b) hệthống có phương trình: t
-y(t)= f ( )dτ τ
∞
∫
h(t)= -t δ τ( )dτ u(t)
∞
=
∫
Đápứng của hệthống LTI với xung δ∆(t):
0
lim h (t)=h(t)
∆ →
⇒
2.2.2 Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập
Đápứng của hệthống LTI với tín hiệu gầnđúng của f(t)
~
n
f (t)= f(n τ δ) (t n τ) τ
+∞
∆
=−∞
∆ − ∆ ∆
∑
Với:
Do hệthống LTI nên:
~
n
y (t)= f(n τ)h (t n τ) τ
+∞
∆
=−∞
∆ − ∆ ∆
∑
Trang 4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Đápứng của hệthống LTI với tín hiệu vào f(t)
~ 0
f(t) lim f (t)= f( ) (t )d
τ
+∞
−∞
∆ →
Ta có:
Suy ra:
~
y (t)= lim y (t)= lim f(n )h (t n )
+∞
∆
=−∞
∆ − ∆ ∆
∑
⇒ y(t) +∞f( )h(tτ τ)dτ
−∞
=∫ − ⇔ y(t)=f(t) h(t)∗ (tích chập)
Trong phân tích và thiết kếngười ta hay biểu diễn mô hình hệ
thống LTI theo tích chập vớiđápứng xung h(t)
2.2.2 Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập
Tính tích chập: f(t) h(t)= +∞f( )h(tτ τ)dτ
−∞
(Lưu ý: ta sẽ tính tích phân trên tính theo thang thời gianτcòn t là tham số cũng chính là biến thời gian của kết quả)
Xácđịnh h(t-τ) theo biến τ:
Nhân f(τ) với h(t-τ)
Trang 5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2.2.2 Đáp ứng xung và biểu diễn hệ thống LTI bằng tích chập
Ví dụ: cho f(t)=e-atu(t); a>0 là ngỏvào của hệthống LTI cóđáp
ứng xung h(t)=u(t) Xácđịnhđápứng y(t) của hệthống?
f(t) h(t)=0∗
1 a 0
f(t) h(t)= e−τdτ (1-e− )
at 1 a
y(t)=f(t) h(t)= (1-e∗ − )u(t)
t<0
t>0
2.3 Các tính chất của hệ thống LTI
Tính giao hoán: y(t)=f(t) h(t)= +∞f ( )h(tτ τ)dτ
−∞
Đặt: τ1= −t τ
1
t
τ τ
⇒ = − ⇒dτ = −dτ1
+
y(t)= −∞f (t τ )h( )dτ τ ∞h( )f(tτ τ )dτ =h(t) f(t)
Tính phân phối: y(t)=f(t) [h (t)+h (t)]=f(t) h (t)+f(t) h (t)∗ 1 2 ∗ 1 ∗ 2
Trang 6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Tính kết hợp: y(t)=[f(t) h (t)] h (t)=f(t) [h (t) h (t)]∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2
Hệthống LTI không nhớ: h(t)=Kδ(t)
y(t)=f(t) h(t)=f(t) K (t)=Kf(t)δ
Tính khảngịch: ta dễdàng chứng minhđược hệthống nghịchđảo
của một hệthống LTI cũng là hệthống LTI Do đó hệthống LTI
khảnghịch khi tồn tại hi(t) sao cho h(t) h (t)= (t)∗ i δ
2.3 Các tính chất của hệ thống LTI
Tính nhân quả: hệthống LTI nhân quảkhi h(t)=0 khi t<0
0
y(t)=f(t) h(t)= ∞f ( )h(tτ τ)dτ ∞h( )f(tτ τ)dτ
−∞
Tínhổnđịnh: giảsửtín hiệu vào bịchặn |f(t)|≤B
| y(t)|=|f(t) h(t)|=| ∞f ( )h(tτ τ)d | |τ ∞h( )f(tτ τ)d |τ
+
| y(t)| ∞|h( ) || f(tτ τ)|dτ
−∞
⇒ ≤∫ − | y(t)| B +∞|h( ) | dτ τ
−∞
Vậy hệthống LTI ổnđịnh khi:
+
|h( ) | dτ τ
∞
≤ ∞
∫