Bài Tập Hình Học Cao Cấp - Văn Như Cương

Tài liệu dành cho sinh viên ngành sư phạm toán hoặc khối ngành mĩ thuật ( tham khảo), tập tài liệu chuyên giải bài tập trong giáo trình hình học cao cấp của GS Văn Như Cương & Hoàng Trọng Thái. Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong lý thuyết. Tìm mô hình của H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dương cho trước.

_ BO GIAO DUC VA DAO TAO

DỰ ÁN ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN THCS

LOAN No 1718-VIE [SF] ă

VĂN NHƯ CƯƠNG ( Chủ biên) - HOÀNG TRỌNG THÁI

BÀI TẬP

HÌNH HỌC CAO CÁP

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VĂN NHƯ CƯƠNG ( Chủ biên) - HOÀNG TRỌNG THÁI

; BAI TAP

HINH HOC CAO CAP

Giáo trình Cao đẳng Sư phạm

Chịu trách nhiệm xuất ban:

Giam đôc ĐINH TRẤN BAO Tông biên tap LE A

Người nhận xét: _

GS.TS DOAN QUYNH PGS.TS TA MAN

Biên tập nội dung:

PHAM NGUYEN THU TRANG

In 10.000 cuon khô 24 x 35cm tai Công tỉ In Tiến An

Giây phép xuât bản sô 123-452/ XB-QLXB, kí ngày 8/8/2012

MUC LUC

Chuong | Chương Il Chuong Ill Chương IV

BAI TAP CHUONG I

Bài 1 trang 199:

Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong lý thuyết Tìm mô hình

của H sao cho mồ hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dương cho trước

Giải:

* Mô hình 1:

Vectơ: ánh xạ A: R OR

x — f(x) = A(x) Phép cộng hai ánh xạ và quan hê bằng được xác định:

Phép cộng được định nghĩa như sau:

VE EDIE

cVijm: b]*(7]*äéb=Ì+[2)+ÏÌm]

Vectơ không là tap [0]

- Vectơ đối của [ï] là [n-1]

Mô hình 2 có đúng n vectơ là một số nguyên đương cho trước

Bài 2: Hệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc

+ Khái niệm cơ bản

+ Các tiên đề :

ï) có ít nhất một điểm ii) qua hai điểm phân biệt có không quá một đường.

ii)mỗi đường có ba điểm phân biệt

iv)Mỗi điểm nã trên ba đường phân biệt a.Chứng mỉnh các định lý:

+ Hai đường thang biét có không quá một điểm chung

+ Có ít nhất là bảy điểm „có Ít nhất là bảy đường

b.Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm ;bảy đường hoặc chín

điểm,chín đường

Giải a.Chứng minh

+ Hai đường phân biệt có không qía một điểm chung

Nếu như hai đường thắng phân biệt a và b có hai điểm chung là A và B (4 z B)thì qia hai điểm A,B sẽ có hai đường thăng phân biệt a va b (trai ii))

+ Có ít nhất là bảy điểm ,bảy đường

Theo tiên để ¡) có ít nhất là một điểm ta kí hiệu là A ,theo 1v) có ba đường

phan biét x,y,z qua A

Theo tién dé iii) trên x ngoài biến A còn có 2 điểm phân biệt nửa B,C Tương tự trên y ngoài A có 2 điểm phân biệt D,E

Trên z ngoài A có 2 điểm phân biệt GH

Theo định lý 1: hai đường thăng phân biệt sẽ có không quá một điểm chung

= Bảy điểm A,B,C,D,E,G,H đôi một phân biệt và khác nhau

Theo tiên đề ¡v) mỗi điểm nằm trên ba đường thắng phân biệt Nên ngoài x

qua B còn có 2 diễm phân biệt khác ta dat u,v

Tương tự :ngoài x qua C con có 2 đường :w,ø

Theo tiên đề ¡¡)qua hai điểm phân biệt có không quá một đường

=> Bay duong x, y,z,u,v,w,g đôi một phân biệt và khác nhau

b.+ Mô hình K gồm bảy điểm ,bảy đường

Xét AABC có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G

Ta có: bảy điểm A,B,C,D,E,F,G,H

Ta gọi mỗi đường là bộ đôi ba điểm

{4.r,B},{B,D,C} {A,E,C}.{A.G,D} {C.G,F} {B,G, E} {Pr,E, D}

+ Mô hình K gồm chín điểm ,chín đường

Ta lây 9 điểm phân biệt : 44, 4,, 4,, Bị, B,, B,,C¡,C2,C:

Mỗi bộ ba điểm sau đây được xem là một đường:

{4,,B,,C, } {4,,B,,C; } {4,,B,,C, } {4,,B,,C, } {4,,B,,C; } (4,,B;,C; } (4,,B,,C; } t4,,B,,C,} Bài 3 trang 199:

Hệ tiên đề gồm:

+ Khái niệm cơ bản: “ điểm”, “ đường thắng”, “điểm thuộc đường thắng”

+ Các tiên đề:

i) Bắt kì hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một đường thắng

ii) Bắt kì hai đường thắng phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một điểm.

ii) Có ít nhất bốn điểm trong đó bất kì ba điểm nào cũng không cùng thuộc một đường thắng

a) Hãy xây dựng mô hình của P Chứng tỏ răng hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi muân thuẫn

b) Hãy chứng tỏ rằng tiên đề iii) là độc lập

c) Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ

Giải:

a) _ Xây dựng một mô hình của hệ tiên đê P :

Ta gọi điểm là bộ ba số(x;y;z) với các số có giá trị 0 hoặc I và x?+y?+z? #0

Như vậy ta có 7 điểm: A,(1,0,0); A»(0,1,0); A3(0,0,1); A4(0,1,1); As(1,0,1); Ag(1,1,0);

A,(1,1,1)

+ Mỗi phương trình sau là một đường thăng:

d;:x=Ô0 dạ:y=0 dạ: z=0 dy: x - y=0

ds.y-Z=O dgix—z=0 9 dy: (xty—z)(x-ytz)=0

+ Mỗi điểm gọi là thuộc đuờng thăng nếu bộ ba số tương ứng với điểm đó là nghiệm của phương trình biểu thị cho đường thắng

+ Dễ đảng kiểm tra rằng các tiên dé i) ii) déu dung:

Vidụ: A;,Asecdi; Ay, As e dg; Ay, Ay € ds;

địa d¿=A¿ ; địa dị= Á¿ ; dị dị= Á¿

+ Tiên dé ii) cũng đúng Lấy 4 điểm Ai, Ay, As, A; Ta thấy rằng ba điểm bất kì

trong 4 điểm đó đều không thuộc một đường thăng

+ Vì mô hình trên xây dựng từ các vật liệu của sô

học nên suy ra hệ tiên đề P phi mâu thuân nêu sô học phi mâu thuân

b) _ Để chứng minh tiên đề ii¡) độc lập ta xây đựng một mô hình trong đó tiên đề ¡), ii) đúng nhưng tiên đề 1i¡) không đúng: mô hình đó như sau:

Trên mặt phăng Ơcit lấy ba điểm không thắng hàng A, B, C và ta gọi chúng là điểm, còn đường thăng là các đường thăng AB, BC, CA

Khi đó với 4 điểm A, B, C, D thì ba điểm bắt kì A, B, D, hoặc A, C,D hoặc B, C, D

có thể xảy ra trường hợp thăng hàng

c) _ Để chứng minh P không đầy đủ ta xây dựng mô hình thứ hai của P không dang

cầu, với mô hình đã xây dựng ở a) Mô hình đó như sau: ta lấy 13 điểm P; „,

a.Có ít nhất ba điểm không thắng hàng

b Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt và thắng hang.Chirng minh rang nếu C nằm

giữa A và B,còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D

c Định lý Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe)

Giải Chứng minh:

a.Có ít nhất ba điểm không thắng hàng

Theo tiên đề 1,ta có ít nhất là hai đường thăng a và b nào đó

Cũng theo tiên đề 1,trên a có ít nhất là hai điểm A và B

Đường thăng b không thể đồng thời đi qua A và B ,vì như vậy sẽ trùng với đường thắng a,theo tiên đề 2

Vậy trên b có ít nhất là một điểm C không năm trên a

Vậy ta có ít nhất là ba điểm A,B,C, không thắng hàng

b.Ta chứng minh € ở giữa A va D

Ta gọi a là đường thăng chứa bốn điểm A,B,C,D

Theo tiên đề 4 điểm C chia các điểm còn lại của đường thắng a thành hai tập hợp.,ta gọi hai tập hợp đó là X và Y

Vì € ở giữa A và B nên Avà B thuộc hai tập hợp khác nhau

Điểm D chia các điểm của a thành hai tập hợp kí hiệu là X',Ƒ'

Theo giả thiết D ở giữa B và C nên B và C thuộc hai tập hợp khác nhau

Gia su Ce X'vaBeY'

Theo chứng minh trên và theo tiên dé 3,vi C 6 gitta A va D nén D không ở gitta A va C

Vậy A và C cùng thuộc một tap hop X' hoac Y'

Như vậy 4e X' ngoàira vì BeƑ' Suy ra D ở giữa A và B

c Theo tiên đề 5

Đường thắng a chia các điểm không thuộc nó thành hai tập hợp mà ta kí hiệu

là X và Y

Theo dinh nghia cua doan thang thi giả thiết đường thắng a có một điểm ở giữa A và B,A và B đều thuộc tập hợp khác nhau đó

Gia sử 4e XryàB c Y ,do C không năm trên a nên phải thuộc một trong hai tập hợp đó

Nêu Ce X thì B và C thuộc hai tập hợp khác nhau nên theo tiên đê 5 đường thang a va doan thang BC co diém chung hay co mot diém cua a ở giữa B và C

Tương tự nêu CcY thì có một điểm của a ở giữa A và C

Bai 5 trang 200:

Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng mỉnh các định lí sau đây:

a) Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác

b) Cho mat phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không năm trên (P) Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thắng BC hoặc đoạn thắng CA

c) Định lí về việc mỗi mặt phắng chia không gian thành hai nửa không gian (tương tự như mỗi đường thắng trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai

nửa mặt phẳng) Hãy phát biểu định lí và chứng minh

d) Chứng mỉnh các trường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kì trong không gian

a) - Giả sử cho trước mặt phăng (P) Theo tiên dé 14 có ít nhât bôn diém khong cùng nằm trên một mặt phăng, nên có ít nhất 1 điểm nào đó không nằm trên (P) Ta

gọi đó là điểm A Lây điểm B bắt kì thuộc (P) thì; ta có đường thẳng b đi qua A và

B (tên đề 2) Theo tiên đề 4, tồn tại một điểm B sao cho A ở giữa B và B' Nếu B'

e (P) thì theo tiên đề 16) A cũng năm trên (P) (mâu thuẫn).Vì vậy B z (P)

Theo tiên đề 18) Trên mặt phăng (P) các kết quả của hình học phẳng đều đúng nên (P) còn nhiều điểm khác nữa

b) Ba điểm A, B, C không thắng hàng theo tiên đề 16) tồn tại mặt phăng (Q) duy nhất đi qua ba điểm đó Vì mặt phẳng (P) cắt đoạn AB nên (P) và (Q) có điểm chung: Theo tiên dé 17, (P), (Q) còn có một điểm chung khác nữa —{(P) và (Q) cắt nhau theo đường thắng a : Áp dụng định lí pasch của hình học phăng trên mặt phẳng (P), suy ra

đường thẳng a hoặc cắt BC hoặc cắt CA tức là mặt phăng (P) cắt đoạn thăng BC hoặc cắt đoạn thăng CA.

Ba diém A, B, C thang hang thi ta lây mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm đó rồi lập luận

tương tự như trên

c) Dinh lí: Mỗi mặt phẳng (P) chia các điểm còn lại của không gian thành hai tập hợp không giao nhau sao cho hai điểm M, M' thuộc cùng một trong hai tập hợp đó khi và chỉ khi đoạn thắng MM' và mặt phăng (P) không có điểm chung

Chứng mình: gọi A là một điểm không thuộc (P) Xét hai tập hợp sau:

Tập U: gồm những điểm M không thuộc (P) sao cho đoạn thắng AM và (P) không

Giả sử M, M' thuộc tập U tức là AM, AM” đều không cắt (P)

Theo câu b) ta suy ra MM” không cắt (P)

Giả sử N, N' thuộc tập V, tức là AN và AN' đều cắt (P) Theo câu b) đoạn thắng NN' không cắt (P)

Giả sử M và N thuộc hai tập hợp khác nhau U và V thì chỉ có một trong hai đoạn thang AM , AN là cắt (P) theo câu b đoạn thắng MN phải cắt (P)

e) _ Chứng minh định lí: Hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì bằng nhau

Giả sử hai tam giac ABC, A’B’C’ co AB = A’B’, AC = A’C’, BC =B’C’

ta phai chimg minh: 4= 4',B=B',C=C"

Theo tiên đề 18: Trên mỗi mặt phăng các tiên đề của hình học phẳng đều đúng Như vậy trên mặt phăng (ABC), mặt phẳng (A'B°C') ta áp dụng định lí cosin trong tam

giác

Ta c6: BC? = AB’ + AC”— 2ABAC cos  (trên mặt phắng (ABC))

B.C7= A'B + A'C'Ý -2A'B'A°C' (trên mặt phẳng (A°B°C'))

Vi BC =B’C’, AB=A’B, AC =A’C’, ta suy ra A= A’

Tuong tu taco B= B',C =C'

Các định lí còn lại chứng minh tương tự.

Bài 6: Hãy dùng 12 tiên đề của hình học phắng (tức là không dùng tiên đề 13 về hai

đường thăng song song) dé chứng mỉnh các định lý sau đây

a.Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

b Nếu hai đường thắng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì

hai đường thắng đó song song

GIAT

a) Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

Ta gọi Cx là tia đối của tia CB ta chứng minh rằng: ⁄4Cy > BAC và !ẢCx > 1ÌBC

Gọi Ï là trung điêm AC và B` là điêm đôi xứng với B qua I

Khi đó hai tam giác AIB và CIB' bằng nhau (c-g-e).Bở vậy 4CB'= B4C có thể

chứng minh rằng tia CB năm trong góc ACK tức là ACx > ACB"

Có thê chứng minh răng tia CB” năm trong góc

b) Gia sử hai đường thăng a và b cắt đường thắng c lần lượt tại A và B sao cho 4, = B

néu avab cắt nhau tại C thì tam giác ABC sẽ có một góc ngoài băng một góc trong không kê với nó (trái với định lý a)

e) vậy nêu hai đường thằng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong băng nhau thì hai đường thăng đó song song (đpem)

Bài 7 trang 201:

Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “tổng số đo góc trong mọi tam giác bằng 180”*trong sách giáo khoa phổ thông Cách chứng mỉnh đó phải dựa vào tiên đề

về đường song song Sau đây là cách chứng minh không dùng đến tiên đề đó

Ching minh: Ta gia thiét tong số đo góc trong tam giác là S

Lấy tam giác bất kì ABC ta có:

Suy ra: BAD + CAD +\4BD + ACB + ADB + ADC =28

hay BAC + ABC + ACB +180° =28

Bài 8: Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực) Hãy gọi mỗi vecto u

cua V la mot “diém”,va voi bat ki hai “điểm”„ và v của V ta cho tương ứng với vecto

y—z của V.Hãy chứng mỉnh răng khi đó V là không gian Ơ-clit n chiều

Giải

Gọi mỗi vectơ z là một điểm và kí hiệu là U

Vậy các vectơ a,ö, x, y bây giờ được hiểu là các điểm A,B,X,VY

Theo tiên đề 1: Với bất kỳ hai điểm A và B (là hai vecto a va b ) ta cho tương ứng với một vectơ hoàn toàn xác định của V „đó là vectơ ö~ a

Như vậy : 48=ð- Theo tiên đề 2: Với mỗi điệm A cho trước (là vectơ a ) và mỗi vectơ ø cho trước của

V có một điểm duy nhất B sao cho 48 =ø

That vậy ta chỉ cần lay B la diém 6 =u +a

Theo tiên đề 3: Với bất kỳ ba điểm A,B,C ta đều có 4B+ BC = 4C

Thật vậy nếu các điểm A,B,C lần lượt là các vectơ a,5,e thi

Tu do suy ra AB + BC = AC

Vậy cả ba tiên dé đêu nghiệm

Suy ra V là không gian Ơclic n chiêu

BÀI TẬP CHƯƠNG II

Bài 1 trang 202:

Cho song ánh f: P—>P có tính chất: f biến ba điểm thắng hàng thành ba điểm

thang hang.Chirng minh:

a _f bién ba diém không thắng hàng thành ba điểm không thắng hàng

b / biến đường thang thành đường thăng

C f bién hai đường thang song song thành hai đường thang song song

d 7 biến bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình

đ p | q

⁄

Tu (1), (2) > / biến đường thăng thành đường thắng

c Cho 2 đường thắng z,ð song song với nhau

Theob) /:a->z

bob Gia su dl =a nb

F' =a— ƒ `(T)ea (1)

P=b > ƒ '\(I)eb (2)

Tu (1), (2) >anb =I (mâu thuẫn)

Vay a’song song b’

df bién ABCD > ABCD

Cho ABCD la hinh binh hanh c6 AB//CD, AD//BC

Song anh f:4> «4

BoB C>CŒ J)>ÙD

Theoc #: AB/CD > A'B CD”

= kị= kạ bảo toàn tỉ số đơn

Bai 2: Cho phép afin f và hai điểm A,B phân biệt Chứng minh rằng nếu /(4)= (B) và ƒ(B)=(4) và I là trung điểm AB thì /(7) =7

= ABUCDhay ABCD la hình thang

Bài 4: Chứng minh răng nếu phép afin f biến mỗi đường thắng a thành đường thắng

a? song song hoặc trùng với a thi f là phép tịnh tiên hoặc là phép vị tự

Giải

Giả sử ƒ là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép an f

Ta chứng minh rằng tổn tại một số k sao cho với mọi ø bất kỳ có : ƒ(w) =ku

Thật vậy với vectơ ø bất kỳ ta lấy hai diém MLN sao cho MN =u

Néu goi M'= f(M) va N'= f(N) va M'N' =u

Thì theo định nghĩa của ƒ ta có: ƒ()=ư'

Nhung vi f biến đường thắng MN thành đường thắng M'N' nên theo giả thiết

MN //M'N' boi vay f(u)=ku

Tương tự như vậy ,đối với vectơ v ta cũng có ƒ() = #'y.Tuy nhiên ta chứng minh được k=#'

That vay, nếu đặt vectơ w=u+v , thì ta cũng có

f(w)=k"w=k"(utv)=k"u+k"v Nhung vi f bién déi tuyến tính nên

f(w)= fut) = f(u)+ Ff) =kutk'v.Tue la kutk'vek"utk"y

Từ dé ta suy ra néu vy va w khong céng tuyén thi =k",k'=k", vậy k=k'

Còn nếu y và ø cộng tuyến ta lẫy một vectơ z không cộng tuyến với vectơ ø thì

ƒŒ)=kw

Bây gid ta lay k=1 thi với mọi cặp điểm M.N và ảnh của chúng là M°.,N' ta có

MN =M'N'.Vay MN =M'N'

Vay f tinh tién theo vecto MM'=y

Nêu & z1(chú ý răng nêu & z0) thì với cặp diém M,N va anh của chúng ta có M'N'=kMN suy ra hai duong thang MM’ va NN’ cat nhau tai O va

Giả sử 444,4,là tam giác đã cho Ký hiệu (1, J, k) là một hoán vị nào đó của bộ ba

số (1, 2, 3) thì có một phép afin duy nhất biến tam giác 44⁄4,⁄4, thành tam giác 44,4 Ay Vậy có tất cá 3!=6 phép afin biến tam giác 444,4, thành chính nó

Bài 6: Cho hai tứ giác ABCD va A’B’C’D’.V6i điều kiện nào thì có phép afin f biến

các đỉnh A,B,C,D lần lượt thành các đỉnh A°,B°,C?,D”?

Giải

Vì ba điểm A,B,C cũng như ba điểm A”,B',C? không thăng hàng cho nên có một phép afin f duy nhât biên A,B,C lân lượt thành A”,B”C”

Gọi [ là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ù là giao điêm của hai đường chéo A’C’ va B’D’

Phép afin f bién D thành D' khi và chỉ khi nó bién I thanh I’

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (4,B,7)=(A',B4I') va (B,D,1)=(B',D',7’)

Cac duong chéo cua ngti giac ABCDE cat nhau tao thành ngũ giác LIKLM

Theo giả thiệt ta có:

B ABCJ, BCDI, CDEM, DEAL, EABK la

những hình bình hành Tu cac đường thăng

Goi f la phép afin bién ba diém A, B, C lan luot thanh ba diém B, C, D Khi do hinh

thang BCDE’ sao cho BE’//CD va CPL BO

BE" AD

Từ đó suy ra E' trùng E, vậy f bién D thanh E Tuong tu f bién E thanh A

Bài 8: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm (1,0), B(0,2), C(—3,0) lần lượt

thành các điểm 4'(2,3), B'(-1,4),C'(-2,-1)

Giải Biểu thức tọa độ của phép biến đổi afin co dang: (i ant by + a

y=cx+dy+a,

Vì nó biến ba điểm A,B,C thành A',B”,C' nên :

2=a+a, ata,=2 3=c+a, c+a, =3

Bai_9 trang 203:

Tìm biểu thức tọa độ của phép afin đảo ngược của phép afn sau đây:

x =2x+3y-7 yo=3x+5y-9

Vậy ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A” (8,14); B” (9,18); C’’(8,9)

Biêu thức tọa độ của f; g la :

Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thắng (d): 2x + y -1 =0

a Tim trén đường thắng (D): 7x -2y -24=0 tại một điểm sao cho ảnh của nó nam trên đường thắng đó

b Tìm đường thang đi qua điểm A(1; 1) sao cho ảnh của đường thắng đó

Vay M’ nam trén duong thang: 2x+y —13= 0 do chinh la anh /(d) cua (d)

Nếu M'(x':y ) nằm trên đường thắng (d): 2x+y —1=0

Goi M (x,y) la tao ảnh của M thì:

2(3x + 4y -12) + (4x - 3y + 6)-1 =0

=> 10x + 5y -19=0 là phương trình của /ˆˆ (đ)

b) Gia su: M,(%)3¥,) €(D) = 7x, -2y, -24=0 (1)

Ảnh M' của M có tọa độ x'„ = 3x¿ + 4y, —12

a(x-1) + b(y-1) = 0

= a(25x - 25)+b(25y - 25)=0 (4)

Thay (3) vao (4) ta duoc:

a(3x’+4y’+12) + b(4x’- 3y’+66) = 0

= (3a + 4b)x’+ (4a - 3b)y’ - 13a + 41b =0(*)

(*) 1a phuong trinh cla dudng thang f(A) Dé dudng thang dé di qua A(1;1)

Ta có điều kiện: 3a + 4b + 4a - 3b - 13a+41b=0

¬ ` x=7x-y+]

Giải hệ phương trình y

y=4x+2y+4

ta được điểm bắt động là 4= [~z: 2) |

Duong thang bat biến :

Nêu đường thăng (d) có ảnh là đường thăng (đ”) và phương trình của (d’) la

Ax'+ By'+C =0

thì phương trình cua (d) la:

A(7x—y+1)+ B(4x+2y+4)+C =0

Hay: (74+ 4B)x+(-A+2B)y+A+4B+C =0

Đề hai đường thắng (đ) và (d”) trùng nhau ta cần có điều kiện:

7A+4B_ -A+2B_ A1+4B+C %

Từ đăng thức với dâu băng đầu tiên ta suy ra: A? +54B+ 4B? =Ohay (A+ B)-(A+4B)=0 +/Néu A =~-B thì từ đẳng thức với đấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra :3+€ =3C , suyra

3B=2C

Vậy ta có thể lấy: C =-3,8 =-2 và 4=2 và được đường thăng bất biến có phương trình:

2x-2y-3=0

+/Nếu 4=-4ð thì từ đâu bằng thứ hai của (*) ta suy ra C =6C

vậy C =0 và phương trình đường thắng bắt biến là: 4x- y =0

b/Điểm bắt động : Giải hệ phương trình:

Vậy mọi điểm của đường thăng 2x+ y-2=0 đều là điểm bất động

Đường thăng bất biến:

Nêu đường thăng (d) có ảnh là đường thăng (đ”) và (d”) có phương trình:

Ax+ Ry+C=0

thì phương trình cua (d) la:

A(13x+4y—8)+ B(4x+7y—4)+ SƠ =0 Hay: (134+48)x+(44+7B)y—8A—4B+ 5C =0

+/Néu A=2B thay vao (*) ta duge :C =-2B

Vay lay B=1thi va duoc duong thang bat bién 2x+ y—2=0

+/Néu 24 =~-B thi thay vào (*) ta được 5C = 5C ,đúng với mọi C

Vậy ta có vô số đường thăng bất biến song song với nhau:

x-2y+C=0

Bài 13 trang 204:

Chứng minh rằng nếu phép afin có điểm bất động duy nhất và một đường

thắng bất biến đều đi qua điểm đó

Giải:

Giả sử phép an f có điểm bất động duy nhất O Ta chọn O làm gốc của mục tiêu afin thì biểu thức tọa độ của ƒ có dạng:

A(ax + cy) + B(bx + dy) + C = 0 hay :

(Aa + BD)x + (Ac + Bd)y +C = 0

Nêu C +0 thì điêu kiện đề (d) trùng với (d') là:

Nhưng do điêu kiện (*) nên từ hệ phương trình sau ta suy ra A = B =0, và ta không

có đường thăng như vậy Điều đó có nghĩa là nếu (đ) là đường thắng bắt biến thì trong phương trình của nó ta phải có C = 0, tức là (đ) đi qua điểm O, tức là đi qua điểm bất

động duy nhất của ƒ

Bài 14:

Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau đây:

a Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bắt động và điểm (2,6) biến thành điểm (- 1,-4)

b Mọi điểm của đường thắng x†2y-1=0 đều là điểm bắt động và điểm (1,2) bién thanh diém (2,1)

Giai

a Vidiém O bién thanh chinh né va vecto (1;0) bién thanh chính nó nên biểu thức

tọa độ của phép afin đã cho có dạng:

Lay hai điểm nào đó trên đường thắng đã cho, chẳng hạn M(1;0), N(-1;1) thì M va N

đêu biên thành chính nó, còn B biên thành B`, nên:

Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp:

a) Các đường thắng xty+1=0vax+2y-1=0 biến thành hình nó, còn điểm

(1:1) biến thành điểm (2;1)

b) Các đường thắng 5x — 6y — 7 = 0 va 3x — 4y = 0 lần lượt biến thành các đường thắng 2x + y — 4 =0 và x — y +1 = 0, còn điểm (6;4) biến thành điểm (2;1)

Giải:

a) Hai đường thăng x + y +1 = 0 và x + 2y — 1 =0 cắt nhau tại điêm 7 =(-3,2) Vi

hai đường thắng đó biến thành chính nó nên điểm I biến thành chính nó

Gia su phép afin da cho có phương trình:

Khử p và q giữa các phương trình trên ta được: 4a — c = Š và 4b — d= - 1 Tu do ta

có: e= 4a— 5, d= 4b + I1, và do đó p = 7 — 5a, q= -5b

Như vậy phép afin đã cho có biểu thức tọa độ:

khi đó duong thang 5x — 6y — 7 = 0 biến thành đường thắng có phương trình:

5(ax° +cy`+p)—- 6(bx’ + dy’ +q)-—7=0

Hay:

(5a — 6b)x’ + (Sc — 6d)y” + 5p— 6q—7=0

Theo giả thuyết đường thăng này trùng với đường thăng 2x + y— 4=0, như vậy:

Tur (1), (2), (3), (4), (5) ta tim được: a=—T,¢=1d=1,p=19,b=—.g=14 Nhu

Các phép afin sau day có phải là phép thấu xạ hay không? Nếu có, hãy tìm tỉ số thấu

xạ, nêu không phải là thấu xạ trượt

a Trong biéu thitc x’ = x, y’ = ky ta phải có k 40 Néuk = I thì đó là phép đồng

nhat Néu k #1 thi cac diém bat dong có tọa độ thỏa mãn hệ:

i

y=ky

Vậy tất cả các điểm của trục y = 0 đều là điểm bắt động Đây là một phép thấu xạ với cơ

sở là đường th thang Ox Ox Néu ta lay M= (0; 1) thi M có ảnh là M” = (0;k), va MM’ cat nhau taiO Vi OM'=kOM nên ta có tỉ số thấu xạ là k

b Trong biểu thức x'=x+ p,y'=ky+g ta cũng phải có k z0

Néu k = 1 thì ta có phép tịnh tién theo vecto u =(p;q) Vay néu p = q= 0 thita co phép đồng nhất, nó cũng là một phép thấu xạ Nếu một trong hai số p và q khác không, ta được phép tịnh tiên, đó không phải là phép thâu xạ

Nêu k #1 , cac diém bat dong co toa độ thỏa mãn hệ:

Hệ phương trình trên vô nghiệm khi , nén phép afin di cho khong phai la phép thau

xạ

Khi p =0, các điểm bắt động là mọi điểm của đường thang d: (k-1)+q=0 Vay phép afin đã cho là một phép thâu xạ với cơ so là đường thăng đó

Ta hãy lấy một điểm M không nam trén d, chang han M = (0:„) với (k—1)y, +40

Khi đó M có ảnh là A⁄'=(0;#y, +) Đường thắng MM' cắt đường thăng d tại điểm

=l#—w+l k—1)x—y+I=0

Ũ y+ =| )x—y

a) Đề phép biến đối: | là phép afin ta phải có: k* -3 +0

y=3x-ky+Ï 3x-(k+l)y+=0

Điều kiện phép biến đổi đĩ là phép thấu xạ: phải cĩ vơ số điểm bất động hay hệ

phương trình trên cĩ vơ số nghiệm hay(& - 1X& +1)- 3 =0va Kk-1)-3=0>

Điều kiện phép biến đổi đĩ là phép thấu xạ: phải cĩ vơ số điểm bất động hay hệ

phương trình trên cĩ vơ số nghiệm hay # —1 = 4và /= 2.Vậy& =5 và /=2

Bài 18: Chứng minh rang mọi phép afin biến tam giác ABC thành chính nĩ đều cĩ thê phân tích của khơng quá hai phép thầu xạ -

Phép afn biên (| ABC thanh chinh no sẽ biên tập hợp gồm 3 diém A, B, C thành chính nĩ Bây giị ta xét các trường hợp sau:

Goi I là trung điểm BC, khi đĩ I là điểm bắt động của f2 Vậy tất cả các điểm của đường

thăng AI là điêm bât động Vậy ta cĩ phép thâu xạ với cơ sở là đường thăng AI, phương thâu xạ là phương của BC, tỉ sơ thâu xa bang -1

+ TH3:

f3: A>B

BoC

CoA

Vay ta co phép afin f ma f(A)=B, f(B)=C, f(C)=A

Gọi ø là phép thấu xa sao cho g(A)=A, g(B)=C, g(C)=B (TH2) Néu dat gof =h thi theo TH2 ta cĩ h(A)=C, h(B)=B, h(C)=A, do đĩ theo TH2, h cũng là một phép thấu xạ

Từ guf=h = go gof = gọ h ( vì ø là phép thấu xạ cĩ tỉ số -1 nên øò=e (e là phép

a) Biến A thành B, D thành C ?

b) Biên A thành B và C thành D °2

c) Bién A thành €C và C thành A ?

Giải:

a)_ Có Đó là phép thâu xạ với cơ sở là đường thăng đi qua trung điệm hai cạnh AB

và DC, phương thấu xạ là phương của AB, tỉ số thấu xạ bằng -1

b)_ Có Đó là phép nói trong trường hợp a)

c)_ Có Đó là phép thấu xạ với cơ sở là đường thăng BD, phương AC và tỉ số bằng -

1

Bài 20:

Chứng minh rằng các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiên làm thành một nhóm Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm các phép afin Af(P)

Giải:

Ta đễ dàng thấy răng nếu T là phép tịnh tiến theo vectơ y„ còn T” là phép tịnh tiễn theo vectơ v' thì tích 7's7' và 77" đều là phép tịnh tiến theo vectơ »+v' , ngoài ra phép tịnh tiến là phép afin Từ đó suy ra tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm con giao hoán của nhóm Af(P)

Các phép tịnh tiễn và phép vị tự có chung tính chất: “biến mỗi đường thắng a thành đường thang song song hoặc trùng với a và ngược lại mỗi phép có tính chất đó là một phép tịnh tiến hoặc vị tự” Từ đó suy ra tập các phép vị tự và phép tịnh tiễn làm thành một nhóm con của nhóm Af{P) và chứa nhóm các phép tịnh tiến

Giả sử ABCDEF là lục giác gần đều thì AB//DE, AB=DE và AF//CD, AF=CD nên

các đường chéo AD, BE và AD, BE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Từ đó ta có kết luận: Ba đường chéo của hình lục giác gần đều cắt nhau tại trung điểm O là trung điểm của mỗi đường chéo đó

Mà ta có:AB//CF//ED; BC//AD//EEF;CD//BE/AE Bởi vậy tứ giác OABC, OBCD, OCDE, ODEF, OEFA, OFAB đều là những hình bình hành

Giả sử cho 2 lục giác gần đều ABCDEE và ABCDEE với O và O' tương ứng là giao điểm các đường chéo của chúng Vì OABC và O ABC là những hình bình hành nên có phép afin biến O, A, B, C lần lượt thành O°, A, B, C Vì O là trung điểm của

AD, BE, CF và O' là trung điểm của AD,B°E',CF

Gọi O và O' lần lượt là tâm của (E) và (E”) ta có một phép afin duy nhất f biến A,B,C lần

lượt thành A”,B”,C”.Tức là biên tam giác ABC thành tam giác A”B”C”.Nói chung fkhông

biến O thành O” nếu hai tứ giác OABC và O°*A*B°C không tương đương añn tức là

không biên (E) thành (E”) Vậy nói chung hai hình H và H” không tương đương afmn

Nêu phép afin f nói trên biến O thành O” thì nó cũng biến (E) thành (E') Thật vậy nếu gọi

A,,B,,C, lan luot la các điểm đôi xứng với A,B,C qua Ô thì 44, 8,,C;, đều năm trên

(E),tương tự gọi 44, ;,C; lần lượt là các điểm đối xứng với A',B”,C° qua O' thì 4,Ø,C;

đều nằm trên (E).Vì f biến A,B,C,O lần lượt thành A°,B°,C”,O” nên nó cũng biến

A,,B,,C, lần lượt thành 44, B,C,.Tw dé suy ra f bién elip (E) thanh elip di qua A’,B’,C’,

Chứng minh rằng mỗi đường kính AB của Elip luôn luôn có duy nhất một

đường kính CD sao cho mỗi dây cung của Elip song song với một trong hai

đường kính đó đều bị đường kính kia chia đôi Hai đường kính như vậy gọi là hai đường kính liên hợp của Elip Chứng tỏ rằng khái niệm đường kính liên hợp của Elip là khái niệm afin

Hãy xét tương tự đối với hypebol

Giải:

Giả sử elip đã cho có phương trình chính tắc

x?+y? =1 Nếu đường kính AB năm trên

đường thăng có phương trình: ax+ðy=0 thì

ta lầy đường kính CD năm trên đường thăng:

—bx+ay=0

Ta ching minh moi day cung MN cua Elip

ma MN // AB thi bi CD chia đôi, tức là trung

diém I cua MN nam trén CD That vay ta phai co IM=-IN=tu, trong do

u =(-b:a ) la vecto chi phuong cia AB

Boi vay néu J =(x,;y,) thi M =(x, —b¢;y, +at) va N =(x, + bt; y, —at) ViM va N đều năm trên Elip nén (xo — bt )’ + ( yo + at)’ = (xo+ bt)? + (yo — at)” = 1 hay

30

4(—bx, + ay, =0 Vì #0 nén —bx, + ay, =0 Nhu vay trung điểm I nam trén CD Chứng minh tương tự ta cũng có: mọi dây cung song song với đường kính CD cũng bi đường kính AB chia đôi

Cố nhiên khái niệm đường kính liên hợp là khái niệm afin vì khái niệm song song,

trung điểm đọan thăng đều là những khái niệm afin

Đối với hypebol x? - y? =1, các đường thắng đi qua O không phải bao giờ cũng cắt hypebol Tuy nhiên ta có thể chứng minh tương tự: nếu (D) và (D) là các đường thang (khác với các đường tiệm cận) lần lượt có phương trình: ax+ðy=0 và bx+ay=0thì mọi dây cung của hypebol song song với đường thăng này đều bị

đường thắng kia chia đôi

Bài 24:Chứng tỏ rằng các khái niệm sau đây là những khái niệm afin: Đường bậc hai; Tâm của đường bậc hai; Đường tiệm cận của đường bậc hai; Tiếp tuyên của đường bậc hai

Giải a Giả sử đối với một mục tiêu añn, cho đường bậc hai S có phương trình:

Ax? + By’ +2Cxy+2Dx+2Ey+F =0 (1)

Trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0 Gọi h là một phép biến đổi afin tùy ý có

Sau khi biến đổi ta đưa phương trình trên về dạng:

A'x?+B'y"42C'x'y'+2D'x'4+ 2E'y'+ F'=0, trong do:

A'= Aa’ + Bb" +2Ca'b'!

B'= Ac’ + Bd" +2Ce'd'

C'= Aa'c'+ Bb'd'+Cb'c'

D!'= Aa' p'+ Bb'q'+Ca'q'+Cb' p'+ De'+ Eb'

E'= Ac' p'+ Bd'q'+Cc'q'+Cd'q'+ De'+ Ed'

Chu y dén diéu kién (*) ta suy ra hai ma tran lệ lì và Ệ a có cùng hạng Từ

đó vì A,B, C không đồng thời băng không nên hạng của ma trận thứ hai ít nhất phải

bang 1, suy ra A’,B’,C’ cting khong dong thoi bang không

Như vậy phương trình (1”) cũng là phương trình của một đường bậc hai S’

b Giả sử đường bậc hai S có tâm là I Ta chứng minh rằng nếu f là phép biến đổi añn

thi f(1) cũng là tâm của đường bậc hai f(S) Theo định nghĩa, vì I là tâm của S nên với mục tiêu afin (7 :e,: e;) phương trình của S có dạng:

Ax’ + 2Bxy+Cy +F =0

Bây giờ nếu chọn mục tiêu (7:s.:e,]) trong đó 7'= /(1),e' =/(s).e›=/(s} thì

hiển nhiên là: nếu M có tọa độ (x ; y) đối với mục tiêu (7;e :e,) thì M” = f(M) cũng

có tọa độ (x ; y) đối với mục tiêu (7 Mee, ) và vì vậy đối với mục tiêu này phương trinh cua f(S) cũng là:

Ax + 2Bxy+Cy’ +F =0

Tu do suy ra TP cting la tâm cua f(S)

Vậy khái niệm của tâm đường bậc hai là khai niém afin

e Cũng lập luận như trên ta thấy răng nếu zø là phương tiệm cận của đường bậc hai S thì với mọi phép biến đổi añn fta có ƒ (1) là phương tiệm cận của f(S) và do đó nếu đường thăng

D là tiệm cận của Š thì f(D) cũng là tiệm can cua f(S)

Bài 25 trang 206:

Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E) Gọi A',B',C'lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và O la tam cua (E) Ching minh rằng các đường thắng lần lượt qua A, B, C và lần lượt song song với OA?, OB”, OC’ đồng quy

Giải:

Dùng phép afn / sao cho ảnh ảnh ƒ(E) là đường tròn, khi đó ƒ biến tam giác

ABC thành tam giác A:B:€¡, tâm Ô của elip biến thành tâm O¡của đường tròn f (E)

Các điểm 4+,Đ,C biến thành các trung điểm 4,B;,C; của các cạnh tương ứng của tam giac A,B,C), vay Ø4, L øC; Khi đó ba đường thăng lần lượt qua A, B, C và lần

luot song song voi OA’, OB’, OC’ sé biến thành các duong cao cua tam giac A,B,C)

Vi vậy các đường cao trong tam giác đồng quy nên ba duong thang OA’, OB’, OC’ đồng quy

Bai 26: Cho | ABC ndi tiép elip(E) và một điểm M trên (E) Gọi O là tâm của (E)

và A’, ®, C? lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Goi Ay, B,,C, la các diém lan lượt nằm trên các đường thắng BC, CA, AB sao cho MA¡LOA?, MB;L:OB”,

MC¡IOC? CMR A¡, Bị, C¡ thắng hàng

Dùng phép biến đổi afin f sao cho ảnh f(E) là đường tròn Bây giờ, trong

TH(F) là đường tròn, ta có thể tóm tắt lại như sau: Cho L¡ ABC nội tiếp đường tròn,

và M là một điểm trên đường tròn Goi Ay, By, Cy lần lượt là đường thang BC, CA,

AB CMR 3 diém Ay, By, Cy thang hang

Ching minh rang néu mot hinh binh hanh ndi tiép (hodc ngoai tiép) dwong elip

thì tâm của hình bình hành trùng với tâm elip

Giải:

Dùng phép an biến elip thành đường tròn thì hình bình hành ABCD nội tiếp elip

biến thành hình bình hành A'B°C”D' nội tiếp đường tròn Nhưng khi đó hiển nhiên

A’B’C’D’ la một hình chữ nhật nên tâm của nó trùng với tâm của đường tròn Suy ra tâm hình bình hành ABCD trùng voi tam elip

34

Cũng vậy, nếu dùng một phép afin biến elip thành đường tròn thì hình bình hành ABCD ngoại tiếp sẽ biến thành hình bình hành A'B°C'D” Khi đó đễ dàng chứng

minh rằng A”B”C”D' là hình thoi và tâm của nó trùng với tâm đường tròn Suy ra hình bình hành ABC trùng với tâm elip

Bài 28:

Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên hai đường thắng

AD va DC sao cho (ADM) = (DCM) Tim quỹ tích giao điểm BM va AN

Giai

Goi AˆB°C 'D' là một hình vuông bắt kì, và f là phép biến đối a M

afin biến hình bình hành ABCD thành hình vuông A°B°C D'

Khi đó f biến điểm M thành điểm M” nằm trên đường thắng

AD sao cho(A, D, M) = (A’, D’, M’), va bién diém N thanh N’

nam trén DC sao cho (D, C, N) =(D’, C’, N’) Giao điểm I’ cla

B`M' và A’N’ la anh cia diém I Ta dé dang ching minh N B'M'1 A'N' va do do quy tich P la duong tron duong kinh

A”B', đường tron nay tiép xc voi hai canh A’D’, B’C’ va di

qua tâm của hình vuông Quỹ tích I là tạo ảnh của đường tron do, nén quy tich I la duong elip với AB là một đường kính, đi qua tâm hình bình hành ABCD và tiếp xúc với AD và

Gia su Q là phép quay tâm O với góc quay @

Lay 2 đường thắng a, b qua O

* Phép đối xứng qua đường thăng:

Gọi Ð,, Ð, là các phép đối xứng trục

Ta có: OM=OM”?

(OM.,OM)= (OM,OM')+ (OM',OM'`)

=2|lOI,oM')+ (oM',Ø2]|

Vì phép đăng cự là phép an nên ta chỉ cần chứng minh

Xét phép biên ba điểm không thăng hàng thành ba điêm không thắng hàng và được f, là phép đông nhất, f; là phép đôi xứng trục d, là trung trực AB

A>4A A>B A>B A>B

f, \BoB f>: BoA f;: Boc +4B->C

A>C A>C A>C A->B

fs BOD fo: BoD ft: 4B->bB fe: BoA

Bài 31 trang 207:

Cho hai đương tròn bằng nhau (O;R) và (O::2) Hãy chỉ ra những phép đắng

cự biến đường tròn (O;#) thành những đường tròn (0; R)

Giai: