Gọi Thời gian vòi nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến mực nớc nơi vòi chảy ra là x x>0 ; ®v thêi gian.. thÓ tÝch bÓ..[r]
Trang 1Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh
Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008 Môn : Toán học – Lớp 6
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I(2 điểm) :
7 9
4 11
2 15
8 9
5
2 So sánh 2 phân số :20082008
20072007
và 2008200820 08
07 2007200720
3- Rút gọn phân số A=530 71 180
53 52 71
mà không cần thực hiện phép tính ở tử
Câu II( 3 điểm)
1-Tìm x ,y Z :
4 3
4
y
x
với x – y =5 b- (x + 1 ) ( 3y – 2 ) = -55
5 3
n n
Tìm nZ để A có giá trị nguyên
Câu III( 3,0 điểm)
Trên cùng nửa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo
xOy=700 và số đo yOz = 300
a Xác định số đo của xOz
b Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A không trùng với điểm O và
độ dài OB lớn hơn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm của OA
Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB và AB
Câu IV ( 2,0 điểm )
Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với CLN của chúng là 15
Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm học 2007 –2008
1-I
0.5đ Tính nhanh A=
15
7 9
4 11
2 15
8 9
5
7 15
8 11
2 9
4 9
5
=-1 +11 2 1
0,25 0,25
Trang 2A= 11
2
2-I
0.5đ So sánh 2 phân số
20082008
20072007
và2008200820 08
07 2007200720
Ta có P/S : 20082008
20072007
2007 10001
10001 2008
2007
P/s : 2008200820 08
07 2007200720
2007 100010001
100010001
2008
2007
Vậy 2 phân số trên bằng nhau
0,25 0,25
3-I
1.0đ
Rút gọn A=530 71 180
53 52 71
không biến đổi tử số =10 ( 53 71 18 )
53 52 71
=10 [( 52 1 ) 71 18 ]
53 52 71
= 10 [ 71 52 71 18 ]
53 52 71
= 10 [ 71 52 53 ]
53 52 71
=10 1
0,25 0,25
0,25 0,25
1-II
a-1-II
0,75đ
b-1-II
1,5đ
Tìm x
Điều kiện y 3 ta có : 3x –12 = 4y-12 3x=4y
Từ x-y=5 x=5+y
Ta có : 3y+15 = 4y y=15
x=5+15 = 20
Vậy x=20 ; y=15
(x + 1 ) ( 3y – 2 ) = -55
(x + 1 ) ( 3y – 2 ) = (-11).5 =(-5).(11)
*Nếu : (x + 1 ) ( 3y – 2 ) = (-11).5
3 7
12 5
2 3
11 1
y
x y
x
(Loại)
3
4 11
2 3
5 1
y
x y
x
* Nếu : (x + 1 ) ( 3y – 2 ) = (-5)(11)
3 13
6 11
2 3
5 1
y
x y
x
(Loại )
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 3Hoặc
1
10 5
2 3
11 1
y
x y
x
Vậy (x=4 , y=-3) hoặc ( x=-6 , y=-1)
2-II
1.0 đ
Tìm nZ để A= 4
5 3
n
n
có giá trị nguyên
5 3
n
n
= 3 + 4
17
n
để A có giá trị nguyên khi 4
17
n có giá trị nguyên Vậy để 4
17
n có giá trị nguyên thì n+4 phải là ớc của –17
Ta có các ớc của –17 là U-17= 1 ; 1 ; 17 ; 17
Lập bảng
x+4 -1 1 -17 17
n -5 -3 -21 13 Vậy với n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 thì A có giá trị nguyên
0,25
0,5
0,25
a-III
1.0đ
- Trờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có :
Số đo góc xOz = 700-300 = 400
- Trờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có
Số đo góc xOy = 700+300 = 1000
Vẽ
đúng
đợc 1 trờng hợp cho 0,25 đ 0,25 0,25 b-III
Trang 4- Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là 2 2 2
BA BO AB BO
AO BA AO BA BA BO
2 2 2 2
- Mặt khác ta có BM = BA + AM mà M là trung điểm của OA nên
BM = AO BA
2 (II)
- Từ (I) và (II) suy ra BM = 2
BA
BO
Hay số đo BM bằng trung bình cộng số đo của BO và BA
0,25
0,25 0,5
0,5
0,5 IV
2.0đ
Tìm 2 số t nhiên a, b biết tổng BCNN và UCLN của chúng bằng 15
- Gọi UCLN (a,b)=d suy ra a=d.m và b=d.n khi đó (m,n)=1
ta có a.b = d.m.d.n
-Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó nên
-Ta có BCNN [a,b] = d
n m d b a
b
) , (
2
=d.m.n -Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15
Giả sử ab khi đó m n và m.n+12
Lập bảng
d m.n+1 m.n m n a b
1 15 14 1 14 1 14
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,5
0,25
Trang 52 7 2 7
3 5 4 1 4 3 12
5 3 2 1 2 5 10
Vậy ta tìm đợc các số sau:
(a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) và (a=5 , b=10)
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008 Môn : Toán học – Lớp 7
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu 1(2 điểm ):
So sánh A và B biết :
A=[0,8 7+(0,8)2] (1,25 7 - 5
4
1,25 ) – 47,86
Trang 69
8 65 , 16 9 , 18
4
5 29 , 0 09 , 1
Câu II( 2,5 điểm )
1) Tìm n N biết 32 2n > 4
30 1973
35 1968
40 1963
45x x x x
3 55 53
20
17 15
20 15
13
20 13
11
20
Câu III: (1,5đ)
Tìm x , y z biết 5
4 4
3 3
2x y z
và x+y+z = 49
Câu IV (2 đ) Cho tam giác ABC có A= 600 ; BM , CN ( M thuộc AC và N
thuộc AB ) lần lợt là phân giác của góc ABC và góc ACB BM và CN cắt nhau tại
I
) Tính BIN
) Chứng minh INM = IMN
Câu V ( 2 điểm )
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 11 d 5 và chia 13
d 8
Hết ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 7
năm học 2007 – 2008
I A= 0,8.0,25 (49- 0,64) = 48,36 – 47,86 = 0,5
B=
2 1
9
8 4 9 4
5 5 4
9
8 25 , 2 4
5 8 , 0
= 0,5 Vậy A=B
1 đ 0,75đ 0,25đ
1-II 25 2n > 22
Nên 5 n > 2
Mà n N nên n = 3 ; 4 ; 5
0,25 0,25
Trang 7a-2-II T×m x
30 1 1973
35 1 1968
40 1 1963
45
= 0
0 1978
2008 1973
2008 1968
2008 1963
2008
1978
1 1973
1 1968
1 1963
1
x
2008 – x = 0
x = 2008
0,25® 0,25 0,25®
0,25® b-2-II T×m x
11
3 55 53
2
15 13
2 13 11
2
x
11
3 55
1 53
1 53
1 51
1
15
1 13
1 13
1 11
1
x
11
3 55
1 11
1
x
1
x
0,25 0,25
0,25 0,25 III
5 3
4 2
3 5
4 4
3 3
Theo d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
4
5 3
4 2 3
z y
x
=
12 12 49 49
4
5 3
4 2
y z x
x=12.2 3 18
y=12.3
4
=16
z=12.5 4 15
VËy x=18 ; y=16 vµ z = 15
0,5
0,5
0,25 0,25
IV
-XÐt tam gi¸c IBC cã NIB =IBC +ICB ( t/c ngoµi )
- XÐt Tam gi¸c ABC ABC+ACB = 1800-600 =1200(v×
BAC=600)
-1 MÆt kh¸c do BM vµ CN lµ ph©n gi¸c nªn
Trang 8b-IV
IBC=1/2ABC và ICB=1/2ACB
IBC +ICB = 2
60
1800 0
= 60 0
-2 Vậy NIB = 600
- Kẻ phân giác IH của góc BIC
- CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IN (1)
- CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IM (2)
- Từ (1) và(2) Tg IMN cân vậy INM =IMN
0,25 0,25 0,25
0,25
0,5 0,25
0,25
V -3 Giả sử số cần tìm là a khi đó theo bài ra ta sẽ có:
+ a + 6 11 (a+6)+77 11 a+83 11 (1)
+ a + 5 13 (a+5) + 78 13 a+83 13 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a+ 83 BCNN (11, 13 ) mà BCNN ( 11,13) = 143
Ta có : a+ 83 143
a= 143.k – 83 ( k N * )
Để a nhỏ nhất thì 143.k nhỏ nhất hay k nhỏ nhất
Nếu k=1 thì a= 60 là số có 2 chữ số ( Loại )
Nếu k=2 thì a = 203
Vậy số 203 là số nhỏ nhất thỏa mãn đầu bài đã cho
0,5 0,5 0,25
0,25 0,25 0,25
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008 Môn : Toán học – Lớp 8
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I (2 điểm ) :
1) Tính giá trị biểu thức : A= x5- 5x4+5x3-5x2+5x –1 với x=4
2) Tìm điều kiện để phân thức : B= 7 12
7 5
2
2
x x
x
có nghĩa
Câu II ( 3 điểm )
Trang 91 Với giá trị nào của a phơng trình 1 1
1
2 2
2
x
x a
x x
a x
có một nghiệm duy nhất
2 Tìm giá trị lớn nhất của B = 2 3
10 6
3
2
2
x x
x x
3 Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể nớc và một vòi chảy ra ở lng chừng
bể Khi bể cạn , nếu mở cả 2 vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc Còn
nếu đóng vòi chảy ra , mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy nớc
Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra
Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra?
Câu III (2 điểm ): Cho tam giác vuông ABC (Aˆ 900) Một đờng thẳng song song
với BC lần lợt cắt AB và AC tại D và E
a- Chứng minh CB2 – CD2 = EB2 – ED2
b- Hãy xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE
Câu IV :( 2 điểm ) cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng c a
a c c b
c b b a
b a
< 1
(Giám thị coi thi không giải thích gì
thêm)
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2007 – 2008
a-I Thay x=4 vào biểu thức A ta có
A= 45- 5.44 +5.43- 5.42 + 5.4 –1
= 45 – (4+1).44 +(4+1).43 -(4+1).42 + (4+1).4 –1
= 45- 45 – 44+ 44 + 43 – 43 – 42 + 42 +4 – 1
A = 3
0,25 0,25 0,25 0,25 b-I
Tìm điều kiện để phân thức B= 7 12
7 5
2
2
x x
x
có nghĩa
Để B có nghĩa khi x2- 7x + 12 0
x2 – 4x – 3x + 12 0
0,25 0,25 0,25
Trang 10 x(x-4) –3(x-4) 0
(x-4).(x-3) 0
x 4 ; x 3
Vậy điều kiện để B có nghĩa là mọi x 3 và x 4 0,25 1-II
1
2
2 2
2
x
x a
x x
a x
nếu có nghiệm là x-1 ; 1
1
1 2
2
2 2
x x
x a x a x
x-a2x+a = 1
(1-a2).x = 1- a
- Nếu a -1: 1 thì x=1 a
1
là nghiệm nếu 1 a
1
1 ; -1 hay a0 và a -2
- Nếu a=1 thì 0x = 0 phơng trình có vô số nghiệm khác –1 và 1
- Nếu a=-1 thì 0x=2 PT vô nghiệm
Vậy để phơng trình có nghiệm duy nhất thì a1 , a-1 , a0 và a -2
0,1
0,2
0,1 0,2 0,2 0,2 2-II
* Tìm giá trị lớn nhất của B= 2 3
10 6
3
2
2
x x
x x
1 ) 3 2 ( 3
2
2
x x
x x
1
2 x
x
1
2
x
Để B có giá trị lớn nhất khi ( 1) 2
1
2
x (I) có giá trị lớn nhất Mà để (I) có giá trị lớn nhất khi (x+1)2+ 2 (II) có giá trị bé nhất (II) có giá trị
bé nhất khi (x+1)2 = 0 hay x=-1
Vậy Max B = 2
7
khi x= -1
0,2 0,2
0,2
0,2
0,2
Trang 113-II - Gọi thể tích bể nớc quy ớc là 1 ( đơn vị thể tích ) Gọi Thời gian vòi nớc
chảy vào từ lúc bể cạn đến mực nớc nơi vòi chảy ra là x ( x>0 ; đv thời
gian).
Theo bài ra ta có:
- Trong 1 giờ vòi chảy vào đợc là 3
2 5 ,
1 1
(thể tích bể)
- Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy đơc 3
1 2 : 3
2
( thể tích bể)
- Vậy nếu mở đồng thời cả vòi chảy vào và vòi chảy ra thì lợng nớc trong bể trong thời gian chảy 1 giờ là : 3
1 3
1 3
2
(thể tích bể)
- Trong x giờ đầu , chỉ có 1 vòi chảy vào nên lợng nớc trong bể là 3.x
2
(I) -Thời gian cả 2 vòi chảy vào và ra sẽ là (2h42’ – x) hay 2,7h – x
- Lợng nớc trong khoảng thời gian (2,7h –x) ở trong bể khi cả 2 vòi chảy
ra , chảy vào là : 3.(2,7 )
1
x
(II)
- Từ (I) và (II) ta có phơng trình : 3.x
2
+3.(2,7 )
1
x
= 1
- Giải phơng trình x=0,3
- Trả lời : để vòi chảy vào từ khi bể cạn đến mực nớc đầy đến nơi đặt vòi
chảy ra là 0,3 h
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
III
a) *-Xét ADC có DC2 = AC2+AD2 (Pitago)
-Xét ABC có BC2=AC2+AB2 ( Pitago)
- Vậy BC2- CD2 = AC2+AB2 – AC2-AD2 = AB2-AD2 ( I)
*- Xét ADE có ED2 = EA2+AD2
- Xét ABE có BE2= EA2+AB2
- EB2-ED2 = EA2 +AB2 – EA2 – AD2 = AB2-AD2 (II)
Từ (I) và (II) suy ra CB2 – CD2 = EB2 – ED2 ( đpcm)
b) Phân tích : Giả sử Ta xác định đợc điểm D thoả mãn DC2=BC.DE khi
Trang 121.0đ
b-III
2.0đ
đó ta có :
DE BC
DC
(I) Mặt khác ta có EDC= DCB (so le trong ) (II)
Từ I và II ta suy ra đợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác
DCB
Từ đó suy ra đợc Góc ACD = Góc ABC
Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE Qua điểm C vẽ
góc ACx về phía nửa mf chứa điểm B sao cho góc ACx bằng góc B Tia
Cx cắt AB tại đâu thì đó là điểm D
Cách dựng :
-0 Dựng góc ACy= Góc B Cắt AB tại D
Chứng minh
-1 Kẻ DE //BC ta có
-2 CED Đồng dạng với BDC có DC
DE BC
DC
CD2=BC.DE
Biện luận : - Bài toán có duy nhất một điểm D
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
0,25 IV
Ta biết nếu x<1 -1< x < 1
1
1
x x
Ta có chứng tỏ a b c
c b a b a
b a
c b a b a
b a
) )(
( ) )(
(
luôn
đúng
c b a b a
b a
( 1)
a c b c b
c b
(2)
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 13c a b
b a c a c
a c
(3) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (1) ,(2),(3) ta đợc
a c
a c c
b
c
b
b
a
b
a
<a b c
c b a
=1
c a c b
b c b a
a b
<1
a c c b
c b b a
b a
< 1 ( đ.p.c.m)
0,25 0,25 0,25