Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi - Hình học 8

Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học 8 vuông BCDE bằng tổng diện tích của 2 hình vuông ABFG và ACMN ta đã vẽ đường cao AH rồi kéo dài để chia hình vuông BCDE thành 2 hình chữ nhật không có[r]

Phương pháp diện tích

1 Ta đã biết một số công thức tính diện tích của đa giác  tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, … Khi biết độ dài của một số yếu tố ta có thể tính & diện tích của các

hình ấy )& lại nếu biết quan hệ diện tích của 2 hình chẳng hạn biết 2 tam giác có diện tích bằng nhau và có 2 đáy bằng nhau thì suy ra & các chiều cao 3 ứng bằng nhau

) vậy các công thức diện tích cho ta các quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, từ đó giúp

ta so sánh độ dài các đoạn thẳng

2 Để so sánh 2 độ dài nào đó bằng p2 diện tích ta có thể làm theo các : sau :

1 Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

2 Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mqh đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài

3 Biến đổi đẳng thức vừa tìm & ta có quan hệ về độ dài giữa 2 đoạn thẳng cần só sánh

3. Một số biện pháp thực hiện :

a) Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích tam giác

Ví dụ 1 Cho tam giác đều ABC Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OH AB;

OI BC; OK CA  

Chứng minh rằng khi O di động trong tam giác thì tổng OH +OI + OK không đổi

Bg

Gọi độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là a, chiều cao là h

Ta có SAOB + SBOC + SCOA = SABC

a.OH + a.OI + a.OK = a.h1

2

1 2

1 2

1 2

a(OH + OI + OK) = ah1

2

1 2

Suy ra OH + OI + OK = h (không đổi)

Nhận xét

Có thể giải ví dụ trên bằng cách khác  không ngắn gọn bằng p2 diện tích đã trình bày

ở trên

Bài toán trên vẫn đúng nếu điểm O thuộc cạnh của tam giác đều

Ta còn có tổng AI + BI + CK không đổi

Nếu thay tam giác đều bởi một đa giác đều bất kì thì tổng các khoảng cách từ điểm O đến các cạnh cũng không đổi

b) Sử dụng tính chất : Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ

số hai diện tích Ngược lại, nếu 2 tam giác có cùng đáy thì tỉ số 2 chiều cao tương ứng bằng

tỉ số 2 diện tích.

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và 3 điểm A’ , B’ , C’ lần *& nằm trên 3 cạnh BC, CA, AB

sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy (A’ , B’ , C’ không trùng với các đỉnh của tam giác)

Chứng minh rằng : ' ' ' = 1

A B B C C A

A C B A C B

Bg

 Tìm hướng giải :

Ta thấy ở vế trái của đpcm là tích của 3 tỉ số Để có thể rút gọn & tích này ta sẽ thay đổi tỉ số của 2 cạnh bằng tỉ số diện tích của 2 tam giác thích hợp, sau đó khử liên tiếp để & kết quả là 1

 Chứng minh :

A

K H

C

O

Vẽ BH AA’ và CK AA’ Tam giác AA’B và tam giác AA’C là 2 tam giác có cùng 1 chiều  

cao hạ từ A và có 2 cạnh đáy 3 ứng là A’B và A’C nên ' (1)

'

' '

AA B

AA C

S

A B

A C  S

Mặt khác AA’B và AA’C có chung cạnh AA’ 

và có các chiều cao 3 ứng là BH và CK nên

' (2)

'

AA B

AA C

S  CK

AOB và AOC có chung cạnh AO và có các chiều 

cao 3 ứng là BH và CK nên AOB (3)

AOC

S  CK

Từ (1), (2), (3) suy ra ' (4)

'

AOB AOC

S

A B

A C  S

Chứng minh 3 tự & ' (5) và (6)

'

BOC BOA

S

B C

'

COA COB

S

C A

C B  S

Nhân từng vế các đẳng thức (4), (5), (6) ta &; ' ' ' = = 1

A B B C C A

A C B A C B . .

AOB BOC COA AOC BOA COB

Chú ý : Bài toán trên vẫn đúng nếu các điểm A’ , B’, C’ thuộc các h thẳng chứa các cạnh của tam giác, trong đó có đúng 2 điểm nằm ngoài tam giác

c) Sử dụng tính chất : Nếu 1 tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao (ứng với đáy đó) thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.

Ví dụ 3 Chứng minh định lý Pi-ta-go: Trong 1 tam giác vuông, bình 73 cạnh huyền

bằng tổng các bình 73 2 cạnh góc vuông

 Có rất nhiều cách để chứng minh, ở đây ta dùng p2 diện tích để chứng minh :

Bg

Lấy các cạnh của ABC ( = 90 AA 0 ) làm cạnh, dựng ra phía ngoài

của tam giác này các hình vuông BCDE, ABFG, ACMN

Muốn chứng minh BC2 = AB2 + AC2 ta pcm

SBCDE = SABFG + SACMN

Vẽ h cao AH và kéo dài cắt DE tại K Ta sẽ

chứng minh SABFG = SBHKE và SACMN = SCHKD

Nối AE, CF FBC = ABE (c.g.c) 

SFBC = SABE (1)



FBC và hình vuông ABFG có chung đáy BF,



h cao ứng với đáy này bằng nhau ( = AB )

nên SFBC = S1 ABFG (2)

2

3 tự, SABE = S1 BHKE (3)

2

Từ (1), (2), (3) suy ra SBHKE = SABFG.

Chứng minh 3 tự & SCHKD = SACMN

Do đó SBHKE + SCHKD = SABFG + SACMN hay

SBCDE = SABFG + SACMN (đpcm)

Nhận xét

Điểm mấu chốt trong cách giải trên là việc vẽ hình phụ: Vẽ thêm 3 hình vuông Điều gì gợi ý cho ta cách vẽ ấy ?

Hãy nhìn vào kết luận của định lí: Ta pcm BC2 = AB2 + AC2 mà BC2 ; AB2 ; AC2 chính là diện tích các hình vuông có cạnh lần *& là BC, AB, AC Để chứng minh diện tích hình

A B’

C’

C

K

A’

B

O H

M

N

G

F

D K

E

A

C

vuông BCDE bằng tổng diện tích của 2 hình vuông ABFG và ACMN ta đã vẽ h cao AH rồi kéo dài để chia hình vuông BCDE thành 2 hình chữ nhật không có điểm trong chung rồi chứng minh 2 hình chữ nhật này có diện tích lần *& bằng diện tích của 2 hình vuông kia

Bài tập

1. Cho tam giác ABC cân tại A Từ 1 điểm M trên đáy BC vẽ MD AB, ME AC 

a) Chứng tỏ rằng tổng MD + ME không phụ thuộc vào vị trí của M trên đáy BC

b) Có nhận xét gì về MDME khi M di động trên h thẳng BC  không nằm trên đáy BC ?

Bg

a) Gọi cạnh bên là b, h cao ứng với cạnh b là h

SABM + SACM = SABC ; b.MD + b.ME + b.h1

2

1 2

1 2

MD + ME = h (không đổi)

b) Chứng minh 3 tự câu a) ta &

MDME = h (không đổi)

2. Cho tam giác ABC vuông tại A, h phân giác AD Vẽ DH AB Đặt DH = d, AB = c,

AC = b Chứng minh rằng ; 1 1 1

b c d

Bg

Vẽ DK AC thì DK = DH = d

SADB + SADC = SABC ;

cd + bd = bc ; cd + db = bc1

2

1

2

1 2

Chia cả 2 vế cho bcd ta & 1 1 1

b c d

3. Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác hoặc ở trên một cạnh sao cho

SMBC = SMAB + SMAC Chứng minh rằng M di động trên một đoạn thẳng cố định

Bg

Vẽ AH BC; MK BC. 

SMBC = SMAB + SMAC = S1 ABC MK = AH

2

Vì M không nằm ngoài tam giác nên M nằm trên

đoạn thẳng EF // BC và cách BC 1 khoảng AH.1

2

4. Cho hình bình hành ABCD Trên AB lấy điểm M, trên AD lấy điểm N Gọi O là giao điểm của BN với DM Biết OC là tia phân giác của góc BOD, chứng minh rằng BN = DM

Bg

Vẽ CH BN; CK DM ta & CH = CK. 

SNBC = SDBC ; SMCD = SBCD

Suy ra SNBC = SMCD do đó BN = DM

( vì có 2 chiều cao 3 ứng bằng nhau )

5. Cho tam giác ABC (AB < AC), M là 1 điểm trên cạnh BC Vẽ BI AM ; Vẽ CK AM Xác  

định vị trí của M để tổng BI + CK nhỏ nhất

Bg

E D

B

A

A D

B

C

A K H

C D

B

2 1

d

F

C K

H B E

A

M

N

M

B A

K

Vẽ h cao AH SABM + SACM = SABC ; AM.BI + AM.CK = S1 ABC

2

1 2

AM(BI + CK) = S1 ABC ; BI + CK =

2

2S ABC AM

BI + CK nhỏ nhất AM lớn nhất Vì AH AB < AC nên AM lớn nhất

khi và chỉ khi M C Min(BI + CK) = độ dài h cao kẻ từ B của ABC. 

6. Cho ABC, h cao BH, CK Đặt AC = b ; AB = c ; BH = h b ; CK = hc Hỏi ABC phải

có điều kiện gì để b + hb = c + hc

Bg

b + hb = c + hc (b - c) – (hc – hb) = 0 (b – c) - 2S 2S = 0 (b – c) - = 0

S b c

b c



(b – c) 1 2S = 0 ABC cân tại A hoặc ABC vuông tại A

bc

  

2

b c S







 



7 * Cho ABC Trên các cạnh BC, CA, AB lần *& lấy các điểm D, E, F (khác các đỉnh của

tam giác) sao cho AD, BE, CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng :

a) AH BH CH = 2 b)

HD HE HF 

Bg

Đặt SHBC = S1 ; SHCA = S2 ; SHAB = S3 ; SABC = S

a) 2 3 2 3 3 tự có :

ACD ABD

S S S



BH S1 S3 ;

BE S



CF S





AD  BE CF 2(S1 S2 S3)

S

S

1

CHD BHD

S AH



2

S S BH

HE S



3

S S CH

HF S





AH BH CH

Dấu “=” xẩy ra S1 = S2 = S3 H trùng với trọng tâm tam giác ABC

8 * Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác Vẽ MD BC; ME CA; 

MF AB Đặt BC = a; CA = b; AB = c; MD = x; ME = y; MF = z và S ABC = S

a) Chứng minh rằng ax + by + cz = 2S

b) Tìm min a b c

x y z

 

Bg

a) SMBC + SMCA + SMAB = SABC  (ax + by + cz) = S1

2

 (ax + by + cz) = 2S

b) (ax + by + cz) a b c = (a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca

x y z

 

x y

y x



y z

z y



z x

x z

  

a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)2

x y z

 

2

2

a b c S

 

x y z

 

2

2

a b c S

 

K C

A

B

I

A E F

C D

B H

A

E F

C

M x

z y

( khi và chỉ khi M là giao điểm các h phân giác )

9 * a) Cho góc xOy, tia Ot nằm trong góc đó Lấy điểm A cố định trên Ox, điểm B cố định trên

Oy và C là điểm di động trên Ot Tia Ot cắt AB tại M Chứng minh rằng SAOC = SBOC khi và

chỉ khi M là trung điểm của AB

b)* Cho hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB và BC lần *& lấy các điểm E và F Gọi M

N, K thứ tự là trung điểm DE, DF, và EF Gọi O là giao điểm của AM và CN Chứng minh rằng

3 điểm B, O, K thẳng hàng

Bg

a) – Nếu M là trung điểm của AB thì SAOM = SBOM ; SCAM = SCBM

Suy ra SAOM + SCAM = SBOM + SCBM hay SAOC = SBOC

- Đảo lại, nếu SAOC = SBOC ta pcm MA = MB

Gọi h1 và h2 lần *& là khoảng cách từ O và từ C tới AB

Ta có SAOM + SCAM = SBOM + SCBM ;

MA(h1 + h2) = MB(h1 + h2) suy ra MA = MB

1

2

1 2

b) Vì M là trung điểm DE nên SOAE = SOAD (1)

Vì N là trung điểm của DF nên SOCD = SOCF (2)

Mặt khác, dễ thấy SOAB + SOCD = SOAD + SOBC ;

(SOAE + SOBE) + SOCD = SOAD + (SOBF + SOCF) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra SOBE = SOBF do đó tia BO đi qua

trung điểm K của EF (theo câu a) Vậy 3 điểm O, B, K thẳng hàng

10 * Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 4cm Trên 2 cạnh AB, AC lần *& lấy các điểm

M và N sao cho AM = CN Xác định vị trí của M và N sao cho tứ giác BCNM có diện tích nhỏ nhất Tính diện tích nhỏ nhất đó

Bg

Đặt SBCNM = S ; AM = CN = x suy ra AN = 4 – x

S = SABC - SAMN

S = 4.4 (4 ) 8 (4 )

x x x x

S nhỏ nhất  (4 ) lớn nhất x(4 – x) lớn nhất

2

Vì x + (4 – x) = 4 (không đổi) nên x.(4 – x) lớn nhất x = 4 – x x = 2

Khi đó M và N lần *& là trung điểm của AB và AC Min S = 8 - 2.(4 2) = 6 (cm2)

2



Nhận xét

- Trong cách giải trên ta đã sử dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si : Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số ấy bằng nhau

- Để sử dụng & các bất đẳng thức đại số ta đặt độ dài cần xác định là x, biểu thị đại

*& cần tìm GTNN (hay GTLN) bằng một biểu thức có biến x rồi tìm điều kiện của

x để biểu thức có GTNN hay (GTLN)

11. Cho bát giác đều ABCDEFGH cạnh a Các h thẳng GH và CD cắt h thẳng AB lần

*& tại M và N, cắt h thẳng EF lần *& tại Q và P Xác định dạng của tứ giác MNPQ và tính diện tích của tứ giác đó

Bg

Mỗi góc ngoài của bát giác đều là 3600 : 8 = 450 Suy ra các tam giác MAH, NBC, PDE, QFG

là những tam giác vuông cân bằng nhau

Do đó A A A A 0 và MN = NP = PQ = QM

90

M N   P Q

Vậy MNPQ là hình vuông Vì AH = a nên AM = 2

2

a

x

y

M

F C D

M O N

K

B

C N A

M

H G

D

C B a

MN = a + 2 + = a(1 + )

2

2

a

2

SMNPQ= [a(1 + 2)]2 = a2(3 + 2 2)

12. Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM = CA Tia phân giác của góc A cắt BM tại N Cho biết SNBC = 10, tính SABM

Bg

Gọi SABM = S Gọi D là giao điểm của AN và BC

Vì CM = CA nên SABC = S.1

2

SABD = S1 ABC = S ; SNBD = SNBC = 10 = 5

2

1 4

1 2

1 2

SABN = SACN = SCMN = S Ta có SABD + SNBD = SABN

3

S = 60(đvdt)

5

13. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a, b, c, d

Chứng minh rằng S  2 2 2 2

4

a b  c d

Bg

Vẽ AH CD ; S ACD = AH 1 ab

2

1 2



4SACD 2ab a  2 + b2 (Bđt Cô-si )

3 tự 4SABC c 2 + d2

Vậy 4(SACD + SABC) a 2 + b2 + c2 + d2

Hay S  2 2 2 2 Dấu “=” xẩy ra ABC vuông cân ở B và ADC vuông cân ở

4

D ABCD là hình vuông

14 ** Cho hình vuông ABCD và 9 h thẳng trong đó mỗi h thẳng chia hình vuông

thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là Chứng minh rằng trong 9 1 h thẳng đó có ít nhất 3

3

h thẳng đồng quy

Bg

Gọi P, N, Q, M lần *& là trung điểm của AB, BC, CD, DA Mỗi

h thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác phải cắt 2 cạnh đối của

hình vuông Giả sử h thẳng d  vậy cắt AB ở E, cắt CD ở F

1

AEFD EBCF





Do đó 1 1 O1 là điểm cố định Vậy h thẳng d đi qua điểm O1 cố định

4

MO

MN  

3 tự ta xác định & h thẳng d có thể đi qua O2 thuộc MN sao cho 2 1 hoặc đi

4

NO

NM 

qua điểm O3 , O4 thuộc PQ sao cho 3 4 1 Có 9 h thẳng đi qua 4 điểm cố định

4

PO QO

PQ  QP 

nên theo nguyên lý Đi–rích–lê ít nhất phải có 3 h thẳng cùng đi qua 1 trong 4 điểm nói trên

15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 14cm ; BC = 6cm Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần *& lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = AQ = CN = CP Xác định các điểm M, N, P, Q

M

C N

B

A

D

1 2

B c A b

C

d

N

C Q

F D M

A

O 1

O 2

O 3

O 4

để :

a) Tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

b) Tứ giác MNPQ là hình thoi Tính diện tích hình thoi đó

Bg

a) SAMQ = SCNP ; SBMN = SDPQ Đặt AM = x thì

BM = 14 – x ; BN = 6 – x

S = SMNPQ = SABCD – 2(SAMQ + SBMN)

S = 14.6 – [x2 + (14 – x)(6 – x)] = -2x2 + 20x

= -2[(x – 5)2 – 25] = -2(x – 5)2 + 50 50.

Dấu “=” xấy ra  x = 5 Vậy max S = 50

Khi và chỉ khi AM = AQ = CN = CP = 5

b) Tứ giác MNPQ có các cặp cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành Hình bình hành MNPQ là hình thoi  MQ = MN  MQ2 = MN2 2x2 = (14 - x)2 + (6 – x)2

2x2 = 2x2 – 40x + 232 x = 5,8 (cm)

SMNPQ = -2x2 + 20x = -2.5,82 + 20.5,8 = 48,72 cm2

14 - x

x x

C

N

P D

A

Q