b 2® Chøng minh gãc ABP=gãc NAM cïng bï gãc BAC.[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 7
Câu 1 : (2 điểm)
-68
1 52
1 8 1
51
1 39
1 6 1
2 3
2
512 2
512 2
512
10
2 512
Câu 2 : (2 điểm)
a) Tìm x,y nguyên biết : xy+3x-y=6
y x
z z
x
y y
z
Câu 3 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng : Với n nguyên dương ta có
S=3n+2-2n+2+3n-2n chia hết cho 10
b) Tìm số tự nhiên x,y biết : 7(x-2004)2 = 23-y2
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC , AK là trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B ,
bờ là AC , kẻ tia Ax vuông góc với AC ; trên Ax lấy điểm M sao cho AM=AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C , bờ là AB , kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN=AB Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK=KP Chứng minh :
a) AC//BP
b) AK vuông góc với MN
Câu 5 : (1 điểm) a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền Chứng minh rằng : a2n + b2n c 2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0
Trang 2đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 7
Câu 1 : (2 đ)
a) (1đ) A=
3 4 4 1 3 1
) 17
1 13
1 2
1 ( 4 1
) 17
1 13
1 2
1 ( 3
1
2
1
2
1 2
1 2
1
B=512 ) 0,5
2
1 2
1 (
) 2
1 2
1 ( ) 2
1 2
1 ( ) 2
1 1
2
1 2
1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 (
10 9 3
2 2
2
1
2
1 1024
1
Câu 2 : (2 đ)
a) (1đ)
xy+3x-y=6
x(y+3)-(y+3) =3
Có 4 trường hợp xảy ra :
1 3
3 1
y
x
3 3
1 1
y
x
1 3
3 1
y
x
3 3
1 1
y x
Từ đó ta tìm được 4 cặp số x;y thoả mãn là :
(x=4;y=-2) ; (x=2;y=0) ; (x=-2;y=-4) ; (x=0; y=-6) 0,5
b : (1đ)
2 1
1
z z
x
y y
z
x
2 1
1
z z
x
y y
z x
2
1 ) (
z y
x
z y
x
2 1
Từ đó ta có x+y= z ; x+z= -y ; y+z= -x 0,25
2
1
2
1
2 1
Trang 3Thay vào ta tìm được x= ; y= ; z=- 0,25
2
1
2
1
2 1
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ)
S=(3n+2 + 3n )-(2n+2 + 2n) =3n (32 + 1) - 2n-1(23 + 2) 0,5
S=3n.10 - 2n-1.10=10(3n - 2n-1) chia hết cho 10 0,5
b) (1đ) 7(x-2004)2 = 23-y2
7(x-2004)2 + y2 =23 (*)
Vì y2 0 nên (x-2004) 2 , suy ra (x-2004)2 =0
7
23
Với (x-2004)2 =0 thay vào (*) ta có y2=23 (loại)
Với (x-2004)2 =1 thay vào (*) ta có y2=16 0,25
Từ đó ta tìm được (x=2005;y=4) ; (x=2003; y=4) 0,25
Câu 4 : (3 đ)
a) (1đ)
Chứng minh AKC PKB(c.g.c)
Suy ra Aˆ3 Pˆ1 , từ đó suy ra
b) (2đ)
Suy ra Aˆ1 Nˆ1
Gọi H là giao điểm của AK và MN
1
2 ˆ 90
ˆ A
A
Suy ra Aˆ2 Nˆ1=900 Do đó AK NM tại H (0,5đ)
Câu 5 : (1đ)
1
3
2 1 1
x
y
M
N H
P
B A
Trang 4Với n=1 , theo định lí Pythagore ta có : a2 + b2 = c2 (Đúng) 0,25
Giả sử đúng với n=k , ta có a2k + b2k c 2k
Với n= k+1 , ta có a2(k+1) + b2(k+1) =
=(a2k + b2k)(a2 + b2) - a2b2k - b2a2k c 2kc2=c2(k+1) 0,5
Vậy bất đẳng thức đúng với n=k + 1
Do đó ta có a2n + b2n c 2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0 0,25