Bài giảng Sức bền vật liệu: Uốn phẳng thanh thẳng - ThS. Ngô Văn Cường

Phương pháp hàm gián đoạn cho phép biểu diễn moment uốn thành biểu thức duy nhất trên toàn chiều dài của dầm, và chỉ có 2 hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên ⇒ việc. tính toán đ[r]

Ngô Văn Cường Đại học công nghiệp TPHCM SỨC BỀN

VẬT LIỆU

UỐN PHẲNG THANH THẲNG

 Khi dầm chịu uốn phẳng ⇒ trục của dầm bị

uốn cong gọi là đường đàn hồi

võng y(z) của dầm

 Góc lập bởi tiếp tuyến với đường đàn hồi tại

điểm K’ và trục của dầm trước khi biến dạng

gọi là góc xoay ϕ(z).

1 Phương trình vi phân gần đúng của đường

đàn hồi.

1 x

x

M EI

 

Ta có bán kính cong  của đường đàn hồi được xác định

Mặt khác ta có

''

3 ' 2 2

1

1

y y

1 x

x

M EI

 

''

3 ' 2 2

1

1

y y

''

x

M

y z

EI

 

Dấu “-” do moment uốn ( y′2 ≈ 0 do biến dạng

là vô cùng bé) và độ lồi (lõm) của dầm là trái dấu nhau

2 Tính độ võng, góc xoay bằng phương pháp

tích phân không định hạn.

Muốn tính góc xoay và độ võng tại mặt cắt bất

kỳ của dầm, ta lần lượt tích phân phương trình sau hai lần:

''

x

M

y z

EI

 

1

x

M

EI



x

M

EI

 

Các hằng số tích phân C1 và C2 xác định từ các điều kiện biên tại các mặt cắt đặt liên kết và điều kiện liên tục của độ võng và góc xoay tại vị trí tiếp giáp giữa các đoạn dầm

Ví dụ 1

tự do (hình), biết độ cứng của dầm EIx = const Tính độ võng và góc xoay tại điểm A

Bài giải: Xét mặt cắt 1-1, ta có: Mx = M0 Thay vào pt và tích phân lần lượt hai lần ta được:

2

2

Điều kiện biên

0 1

2 0 2

( ) 0 '( ) 0 ( )

2

x

x

M l C

EI

y l

z l

C

EI



 





    



Vậy độ võng, góc xoay tại A là

Dấu “-” chứng tỏ điểm A chuyển vị lên trên,

ngược chiều dương của trục y

Góc xoay tại A quay ngược chiều kim đồng hồ

Ví dụ 2

Cũng với dầm như trên nhưng chịu lực tập trung P (hình) Tính độ võng, góc xoay tại A?

Bài giải:

Tại mặt cắt 1-1, ta có:

.

x

M   P z

''

x

M

y z

EI

 

Thay giá trị M x vào

biểu thức sau:

Ta có '' .

x

P z y

EI



Lấy tích phân liên tiếp 2 lần ta được

2 '

1

.

P z

EI

3

P z

EI

Điều kiện biên

2 1

2

2 ( ) 0

( ) 0

x

Pl C

EI

y l

z l

C

EI EI EI



 









Vậy độ võng tại A là: (0) 2

Pl

EI

Góc xoay tại A là:

2 '

1

(0)

Pl

EI

yA > 0 chứng tỏ điểm A chuyển vị xuống dưới Còn A < 0 chứng tỏ góc xoay tại A quay cùng chiều kim đồng hồ

3 Phương pháp hàm gián đoạn

Phương pháp hàm gián đoạn cho phép biểu diễn moment uốn thành biểu thức duy nhất trên toàn chiều dài của dầm, và chỉ có 2 hằng

số tích phân xác định từ điều kiện biên ⇒ việc tính toán độ võng góc xoay tại mặt cắt bất kỳ

Hàm gián đoạn được định nghĩa như sau:

0 Khi x < a

n

 



Với x  R, n  N, n ≥ 0, a = const  R

 Có nghĩa là hàm gián đoạn chỉ có giá trị

dấu ngoặc nhọn có thể coi như dấu ngoặc

sau:

1 1

1

n

d







Sử dụng hàm gián đoạn ta có thể biểu diễn moment uốn của dầm đối với các loại tải trọng khác nhau:

a) Moment tập trung

0 0

x

M   M z  a