Qua thực tế giảng dạy, tìm tòi, học hỏi, bản thân đã rút ra được một số phương pháp để giải các bài toán về phép chia hết nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán, n[r]
Trang 1Mục lục
a phần mở đầu
1 Lý do chọn đề 2
2 Mục đích nghiên cứu 2
3 Khách thể và đối %& nghiên cứu 3
4 Giả thuyết khoa học 3
5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3
6 Giới hạn của đề tài 3
7 Những luận điểm bảo vệ 3
B Nội dung 5
II.Phép chia hết 6
Vấn đề 2: Dấu hiệu chia hết 9
Vấn đề 3: Các bài tập khác về chia hết 10
III Các bài tập về phép chia hết 12
c Kết luận chung 13
Tài liệu tham khảo 15
Trang 2a phần mở đầu
1 Lý do chọn đề tài:
Toán học ra đời gắn liền với con %ời, với lịch sử phát triển và cuộc sống
xã hội loài %L Nó có lý luận thực tiễn lớn lao và quan trọng và Số học là một
bộ môn đặc biệt quan trọng của toán học Nếu đi sâu nghiên cứu về môn số học
hẳn mỗi chúng ta sẽ %ợc chứng kiến nhiều điều lý thú của nó mang lại “Một
số phương pháp chứng minh chia hết” là một đề tài hay của số học, nó đã thực
sự lôi cuốn nhiều ng%L yêu toán học
Ngày nay xã hội đang rất cần những mẫu ng%L thông minh, trí tuệ, sáng
tạo Học toán sẽ giúp chúng ta phát huy cao độ những đức tính ấy “ Một số phương pháp chứng minh chia hết ”mà tôi sẽ đề cập %0 đây chỉ là một khía
cạnh trong vô vàn những khía cạnh khác của bộ môn số học nói riêng và toán học nói chung
Trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ
hết Dạng toán này rất phong phú và đa dạng, có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc THCS, phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này
giải các bài toán về phép chia hết là vấn đề quan trọng Qua thực tế giảng dạy,
về phép chia hết nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi d%m học sinh giỏi toán, nâng cao chất 5%& giảng dạy
2 Mục đích nghiên cứu
* Đối với GV
- Nâng cao trình độ chuyên môn, phục vụ cho quá trình giảng dạy
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học để ngày càng phục vụ cho việc giảng dạy hiệu quả hơn
Trang 3* Đối với HS
- Nâng cao chất l%& giáo dục, rèn luyện t% duy, óc sáng tạo của học sinh trung học cơ sở
3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu
* Khách thể: - Học sinh khá, giỏi K%L THCS Thiệu Trung.
* Đối tượng nghiên cứu: “ Một số phương pháp chứng minh chia hết ”
4 Giả thuyết khoa học
Việc hệ thống một số ph%@ pháp chứng minh chia hết và ví dụ minh
hoạ sẽ giúp cho học sinh rèn luyện %& kỹ năng tính toán, phát triển %& % duy thuật giải, vận dụng kiến thức một cách linh hoạt Đặc biệt trong đề tài đã nêu ra một số dấu hiệu chia hết, một số dạng toán khác từ đó kết quả sẽ %& nâng lên một cách rõ rệt, nhất là việc % vào dạy cho học sinh khá, giỏi, K%L chuyên, lớp chọn
5 Nhiệm vụ nghiên cứu:
minh hoạ
6 Giới hạn đề tài
Đề tài này chỉ đề cập tới một số ph%@ pháp chứng minh chia hết, đối %& mà đề tài nhằm tới là học sinh khá, giỏi toán THCS
7 Những luận điểm bảo vệ
Đề tài gồm 3 phần:
- Một số phương pháp chứng minh chia hết
- Dấu hiệu chia hết
- Các bài tập khác về chia hết
8 Cơ sở Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu:
- Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi d%mN tham khảo tài liệu và báo toán học tuổi tuổi thơ
Trang 4- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp, các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy
9 Những đóng góp mới cũng như ý nghĩa lý luận thực tiễn của đề tài
Phép chia hết là một dạng toán khó đối với học sinh THCS Việc % ra
đựơc một cách khá chắc chắn mức độ kiến thức và kỹ năng, đồng thời nêu ra một
số dấu hiệu chia hết, các dạng toán khác giúp học sinh phát huy tính % duy, sáng tạo
b phần nội dung
I Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Trang 5Trên cơ sở thực tế dạy và học, daùng toaựn “Chia heỏt” đã ủửụùc ủeà caọp trong saựch giaựo khoa ngay tửứ ủaàu lụựp 6 ủeỏn lụựp 9, vaứ moói khối lụựp coự yeõu caàu về mặt kiến thức khaực nhau, mức độ khác nhau mà kieỏn thửực ủoứi hoỷi coự sửù keỏ thửứa, caựi naứy laứ cụ sụỷ cuỷa caựi kia, chuựng boồ trụù cho nhau neõn laứm cho ngửụứi hoùc vaứ ngửụứi daùy raỏt vaỏt vaỷ nhaỏt laứ caực em hoùc sinh khoỏi 8 vaứ khoỏi 9 Thoõng thửụứng khi daùy daùng toaựn naứy giaựo vieõn laùi phaỷi nhaộc laùi caực kieỏn thửực cụ baỷn hoùc ụỷ lụựp dửụựi laứm maỏt raỏt nhieàu thụứi gian cho tieỏt daùy Kyừ naờng bieỏn ủoồi ủeồ laứm xuaỏt hieọn caực yeỏu toỏ chia heỏt trong bieồu thửực soỏ hay bieồu thửực ủaùi soỏ cuỷa caực em coứn chửa linh hoaùt, coự nhửừng baứi toaựn raỏt ủụn giaỷn maứ caực em bieỏn ủoồi chửựng minh raỏt daứi doứng vaứ phửực taùp, thửùc chaỏt neỏu caực em naộm chaộc caực phửụng phaựp giaỷi daùng toaựn chia heỏt thỡ chửựng minh raỏt ủụn giaỷn.
* Về phía giáo viên:
Có thể khẳng đinh rằng đây là một trong những dạng bài t%@ đối khó
Vậy nguyên nhân do đâu ?
- Các tài liệu để giáo viên tham khảo rất hiếm nên giáo viên cũng ít có cơ
- Do giáo viên ch% tìm %& một ph%@ pháp tối % cho từng dạng bài,
trong các tiết học
*Về phía học sinh:
Với giáo viên việc dạy bài bài toán chia hết là khó thì với học sinh kiểu bài này càng khó hơn
- Học sinh trong khi nghiên cứu toán học, các em có những kiến thức, nội
Trang 6dẫn đó chỉ trông vào trí nhớ của học sinh nh% học sinh lại nhanh quên.
Và nguyên nhân của những nguyên nhân: “Tôi nghĩ rằng, nếu việc học toán thuộc về trí tuệ của loài ng%L thì công bằng phải quý điều đó về khuyết
II Phép chia hết
1 Định lý về phép chia hết:
a) Định lý
Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý, b 0, khi đó có 2 số nguyên q, r duy nhất sao cho : abqr với 0 r b
và r là số %
Đặc biệt với r = 0 thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là %0 của a, ký hiệu a b
Vậy
b) Tính chất
a) Nếu a b và b c thì a c
b) Nếu a b và b a thì a = b
c) Nếu a b , a c và (b,c) = 1 thì a bc d) Nếu ab c và (c,b) = 1 thì a c
2 Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.
- Nếu
m b
m a
m b
- Nếu
m b
m a
m b
a
m b
m a
a
- Nếu a m a m (n là số tự nhiên)n
3 Đồng dư thức
a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > 0 Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số
% khi chia cho m thì ta nói a đồng % với b theo môđun m
Kí hiệu : ab(mod )m
có số nguyên q sao cho a = b.q
a b
Trang 7b) Tính chất
a) ab(mod )m a c b c(mod )m
b) a b (mod )m na nb (mod )m
c) ab(mod )m a n b n(mod )m
d) ab(mod )m acbc(mod )m
Vấn đề 1:
Phương pháp 1: Dùng tính chất
Trong n ( n 1)số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n
Ví dụ 1: a) Tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 3
11 6
n n
Giải
a) Ta có 120 = 3
2 3.5 Trong 5 số nguyên liên tiếp phải có 2 số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8 Mặt khác trong 5 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho
5 nên tích chia hết cho 3 5 mà (3,5,8) = 1
Vậy tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
b) Ta có :
( 1)( 1) 12 6
Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích ( n-1) n (n+1) 6
Phương pháp 2: Dùng công thức khai triển
, ( )
n n
a b a b a b n N
nếu n lẻ
n n
a b a b
nếu n chẵn
n n
a b a b (a b) (a b )n b n(mod )a
Ví dụ 2 a) Với n chẵn, chứng minh rằng 20n 16n 3n 1 323
b) Chứng minh rằng : 5555 2222
2222 5555 7
Giải:
a) Ta có 323 = 17 19 và 20n 16n 3n 1 (20n 1) (16n 3 ) 19n (1)
Vì 20n 1 20 1 19 và 16n 3 19n do n chẵn
Mặt khác : 20n 16n 3n 1 (20n 3 ) (16n n 1) 17 (2)
Vì (20n 3 ) 20 3; (16n n 1) 16 1 17 do n chẵn
Từ (1) và (2) suy ra 20n 16n 3n 1 17.19 323
b) Ta có : 2222 4(mod 7);5555 4(mod 7)
5555 2222 5555 2222
2222 5555 ( 4) 4 0(mod 7)
Vì 5555 2222 2222 3333 3
( 4) 4 4 (4 1) 4 1 63 7
Phương pháp chứng minh chia hết
Trang 8Phương pháp 3: Dùng định lý về phép chia có dư
Để chứng minh A p n ta xét về mọi K%L hợp về số % Khi chia n cho p có thể % là 0; 1; 2; ; p - 1 hoặc là 1; 2; ; 1 nếu p lẻ
2
p
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu n 3 thì 32n 3n 1 13
Giải:
Vì n 3 nên n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
1) Nếu n = 3k + 1 thì
3 n 3n 1 3 k 3k 1 9.27 k 3.27k 1 9 3 1 0(mod13)
Vì 27 1(mod13)
2) Nếu n = 3k + 2 thì
3 n 3n 1 3k 3k 1 81.27 k 9.27k 1 81 9 19 mod13)
Vậy n 3 thì 32n 3n 1 13
Phương pháp 4: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet
Nếu đem n + 1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ 2 vật trở lên
Ví dụ 4: Chứng minh rằng
a) có thể tìm %& một số có dạng 19911991 19910 0 và chia hết cho 1992 b) Trong 8 số tự nhiên mỗi số có 3 chữ số, bao giờ cũng chọn %& 2 số mà khi viết liền nhau ta %& một số có 6 chữ số và chia hết cho 7
Giải:
a) Lấy 1992 số 1991; 19911991 ; ; chia cho 1992 Vì đây là
1992 1991
1991 1991
so
dãy các số lẻ nên không có số nào chia hết cho 1992, do đó % trong phép chia các số này cho 1992 chỉ thể là 1; 2; ; 1991 Vậy phải có 2 số có cùng % khi chia cho 1992, hiệu 2 số đó có dạng 19911991 19910 0 và chia hết cho 1992
b) Lấy 8 số đã cho chia cho 7 thì có 2 số có cùng số %N giả sử là abc và chia cho 7 có số % là r
def
Khi đó : abcdef 1000abcdef
=1000(7k r) 7l r
=7(1000k 1 143 ) 7r (đpcm)
Phương pháp 5: Dùng quy nạp toán học
Ta cần chứng minh A n p( ) (1) với n = 1; 2;
1) Ta chứng minh (1) đúng với n = 1, nghĩa là A(1) p
2) Giả sử (1) đúng với n = k , nghĩa là ta có A k( ) p
3) Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 , nghĩa là phải chứng minh ( 1)
A k p
Trang 9Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi n 1: 4n 15n 1 9
Giải:
Với n = 1 ta có: 1
4 15.1 1 18 9 Giả sử với n = k, ta có: 4k 15k 4 15 1 9 n n 1 9m ( 1) với m Z
4k 15(k 1) 1 4.4k 15k 14
Từ (1) suy ra: 4k 9m 15k 1, thay vào (2) ta có:
1
k
k
Vậy n 1: 4n 15n 1 9
Phương pháp 6: Dùng định lý Fermat
Với P là số nguyên tố ta có: p
a (mod )p p
Đặc biệt nếu (a,p) =1 thì 1
1(mod )
p
a p
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
1991 1991 1991
1 2 1991 11
Giải:
Theo định lý Fermat : 11 1991
a a a a
Do đó :
1 2 1991
1991.966 0(mod11)
Vấn đề 2:
*Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và cho 3
1) Các dấu hiệu chia hết đơn giản
a Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125.
a a n n1 a a1 0 2 a0 2 a0 0; 2; 4; 6;8.
a a n n1 a a1 0 5 a0 0;5
( hoặc 25) ( hoặc 25)
1 1 0 4
n n
a a a a a a1 0 4
a a n n1 a a1 0 8 ( hoặc 125) a a a2 1 0 8 ( hoặc 125)
b) Chia hết cho 3; 9.
a a n n1 a a1 0 3 (hoặc 9) a0 a1 a n 3 ( hoặc 9)
Dấu hiệu chia hết
Trang 10Nhận xét: H% trong phép chia N cho 3 ( hoặc 9) cũng chính là % trong phép chia tổng các chữ số của N cho 3 ( hoặc 9)
Ví dụ 7: Tìm các chữ số x, y để:
a) 134 4x y45
b) 1234xy72
Giải:
a) Để 134 4x y45 ta phải có 134 4x y chia hết cho 9 và 5 y = 0 hoặc y = 5
Với y = 0 thì từ 134 40 9x ta phải có 1+3+5+x+4 9 x 4 9 x 5
khi đó ta có số 13554
với x = 5 thì từ : 134 4x y9 ta phải có 1+3+5+x+4 +5 9
lúc đóta có 2 số: 135045; 135945
b) Ta có 1234xy 123400 xy 72.1713 64 xy 72 64 xy 72
Vì 64 64 xy 163 nên 64 xy bằng 72 hoặc 144
+ Với 64 xy=72 thì xy=08, ta có số: 123408
+ Với 64 xy=14 thì xy=80, ta có số 123480
2 Một số dấu hiệu chia hết khác
a) Dấu hiệu chia hết cho 11:
Cho A a a a a a a5 4 3 2 1 0
A 11 a0 a2 a4 a1 a3 a5 11
Ví dụ 8 Tìm các chữ số x, y để N 7 36 5 1375x y
Giải:
Ta có: 1375 = 11.125
Vậy số cần tìm là 713625
b) Dấu hiệu chia hết cho 101
A a a a a a a5 4 3 2 1 0
A 101 a a1 0 a a5 4 a a3 2 a a7 6 101
Ví dụ 9 a) Hỏi số 1991 có chia hết cho 101 không?
1991 1991
1991 1991
so
b) Tìm n để A n 101
Giải:
a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A1991 có 2 cặp số là 91;19
Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991 72 101 nên A1991 101
b) A n 101 n.91 n.19 72 101n n 101
c) Dấu hiệu chia hết cho7;13
Trang 115 4 3 2 1 0
A a a a a a a
2 1 0 8 7 6 5 4 3
A a a a a a a a a a
2 1 0 8 7 6 5 4 3
A a a a a a a a a a
Vấn đề 3
1) Chứng minh không chia hết
- Nếu a b và b c thì a c
- Nếu a c và b c thì c b c
- Nếu ab p thì a p hoặc b p với p là số ngyuên tố
cho số nguyên tố p thì sẽ chia hết cho p2
Vậy nếu n p 2
n p
Ví dụ 11 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n :
a) 2
1 9
n n
b) 2
11 39 49
n n
Giải:
a)Với n = 3k thì 2 do đó
1 3
1 9
n n
n n k k k k
1 1(mod 3)
1 9
n n
Vậy 2 vớ mọi n
1 9
n n
2) Tìm số tự nhiên n để a(n)B n( )
Phương pháp: Giả sử có A(n), ta biến đổi hoặc dùng phép chia đa
thức đẻ đi đến hằng số m B n( ), từ đó suy ra n
Kiểm nghiệm các giá trị tìm %& n
Ví dụ 12: a) Tìm n > 0 sao cho 2 chia hết cho n +1
1
n b) Tìm n > 0 và n 4 sao cho 3n - 8 n 4
Giải:
a) Giả sử 2
n n 2 2
Thử lại với n = 2 ta có : 2 = 2
Vậy 2 , n > 0
n n
b) Giả sử
3n8 n 4 3n 8 3(n 4) 4 n 4 4 n4
Các bài tập khác về chia hết
Trang 12Vậy 3n - 8 n 4 với n > 0; n 4
3) Bài tập về số chính phương
Phương pháp 1: Dùng tính chẵn lẻ
thì chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6
Giải:
nb n b nN b nb n nb b n n b b
Chữ số hàng chục của 20n(5n + b) là chẵn nên theo giả thiết chữ số hàng chục của b2 phải lẻ, từ đó suy ra b = 6; 4
Khi đó b2 = 36; 16 nên chữ số hàng đơn vị của 2 luôn bằng 6
nb
Phương pháp 2: Sử dụng chia hết và chia có %
biết
abcd ab cd 1
Giải:
Giả sử 2
n abcd ab cd cd cd
101cd 100 101cd n 100
= ( n - 10 )( n +10)
Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91
Thử lại : abcd= 912= 8281 có 82 - 81 = 1
Phương pháp 3 Sử dụng tính chất
b) Nếu có số nguyên m sao cho 2 2 thì n không thể là số chính
( 1)
m n m
Ví dụ 15 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số
Giải:
Ta có A = n(n+1)(n+2)(n+3)
(n 3 )(n n 3n 2) (n 3 )n 2(n 3 )n
(n 3 )n A (n 3n 1)
III) Các bài tập về chia hết
1.Chứng minh rằng:
a) 16n 15n 1 225
Trang 13b) 2
9 n 14 5
2 Tìm số tự nhiên n để 7
42
n n
3 Với 4 số nguyên a,b,c, d
Chứng minh rằng: (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) 12
4 Chứng minh rằng với mọi n 1:
a) 3 3
3n 26n 27 169
11n 12 n 133
5 Chứng minh abcd 29 a 3b 9c 27d 29
6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n :
a) 9n 1 100
b) 2
2 15
n n
7 Với giá trị nào của n thì (n+5)(n+6) 6n Với nN
8 Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các %0 tự nhiên của p4 là một số chính 9.Cho n là số tự nhiên , d là %0 nguyên %@ của 2n2 chứng minh rằng n2+d
... tượng nghiên cứu: “ Một số phương pháp chứng minh chia hết ”4 Giả thuyết khoa học
Việc hệ thống số ph%@ pháp chứng minh chia hết ví dụ minh
hoạ...
5 Nhiệm vụ nghiên cứu:
minh hoạ
6 Giới hạn đề tài< /b>
Đề tài đề cập tới số ph%@ pháp chứng minh chia hết, đối %& mà đề tài nhằm tới học sinh khá, giỏi toán... vệ
Đề tài gồm phần:
- Một số phương pháp chứng minh chia hết< /b>
- Dấu hiệu chia hết< /b>
- Các tập khác chia hết< /b>
8