H¬n n÷a b¶n th©n t«i nhËn thÊy kiÕn thøc vÒ tû lÖ thøc, tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau khá quan trọng trong việc tìm độ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác, trong các tam giác đồng dạng[r]
Trang 1A Phần mở đầu
1 - Lý do chọn đề tài :
Toán học không những là một môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thể xã hội đó
là con ngời
Chính vì vậy môn toán không thể thiếu đợc: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải quyết vấn đề và giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo”
Là một giáo viên dạy toán 7 nhiều năm cả chơng trình cha đổi mới và chơng trình
đã đổi mới thay sách Tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 (Kể cả học sinh có năng lực) từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyếtđịnh nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức,tính chất
dãy tỷ số bằng nhau Để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập về tỷ lệ thức học sinh còn lúng túng rất nhiều Từ việc tìm ra hớng giải đến việc thực hiện các bớc giải, kể cả những bài tơng đối bình thờng đến những bài toán khó
Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau khá quan trọng trong việc tìm độ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác, trong các tam giác đồng dạng (ở lớp 8,9) vv
Chính vì vậy sau khi học song kiến thức về tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh toàn lớp 7B (lớp tôi trực tiếp giảng dạy) ra đề
bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau và thấy kết quả nh sau:
Số HS giải đợc
Số HS biết hớng nhng không giải
đợc
Số HS không thể giải đợc
Lớp Số HS đợc
khảo sát
Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở, băn khoan Chính vì thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đè tài này nhằm tìm ramột số phơng pháp giải để giúp hócinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành gải bài tập về tỷ lệ thức
2 - Giới hạn đề tài:
Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau trong chơng trình toán học ở lớp 7 THCS
Trang 2Vì điều kiện về thời gian cũng nh trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số vấn đề sau:
2.1: Lý thuyết:
+ Định nghĩa về tỷ lệ thức
+ Tính chất của tỷ lệ thức
+ Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau
+ Các kiến thức liên quan
2.2: Các dạng toán:
a, Liệt kê các tỷ lệ thức từ các phân tử (Nếu có thể)
b, Cho một tỷ lệ thức, hãy suy ra các tỷ lệ thức khác
c, Tìm các số cha biết khi cho biết tỷ lệ thức hoặc các đẳng thức
d, Các bài toán thực tế trong đời sống con ngời liên quan đến tỷ lệ thức
3 - Phơng pháp nghiên cứu:
- Đọc các tài liệu tham khảo
- Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp
4 - Thời gian nghiên cứu:
Từ tháng 8 năm 2008 đến hết tháng 03 năm 2009
B Nội dung.
1 Lý thuyết:
1.1: Định nghĩa về tỷ lệ thức:
Tỷ lệ thức là một đẳng thức của hai tỷ số
d : c b : a hoặc
d
c
b
a
=
=
Trong đó các số: a,b,c,d đợc gọi là các số hạng của tỷ lệ thức Các số a và d gọi là ngoại tỷ; b và c gọi là trung tỷ
1.2: Tính chất của tỷ lệ thức.
+ Tính chất 1: Trong một tỷ lệ thức, tích 2 trung tỷ thì bằng 2 ngoại tỷ
b.c a.d Th d
c b
a
+ Tính chất 2: Nếu tích của 2 thừa số khác 0 bằng 1 tích của 2 thừa số khác 0 thì ta
có thể lập được 4 tỷ lệ thức:
Nếu có: a d = b c ( a, c, d ≠ 0 ) thì có:
Trang 3d a
c
và d
b c
a
; c
d a
b
;
d
c
b
a
=
=
=
=
1.3: Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau.
d -b
c
d b
c a d
c
b
a
n d -B
m c -a n -d b
m -c a n
m d
c
b
a
+
+
= +
+
=
=
=
1.4: Các kiến thức có liên quan.
a, Tính chất cơ bản của phân số:
Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta đợc một phân số mới bằng phân số đã cho b 0 ; m 0
.
a.m
m b a
Nếu ta chia cả tử số và mẫu số cho cùng một số khác 0 thì đợc một phân số mới bằng phân số đã cho: b 0 ; n 0
n : b
n : a
b a
b, Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180o Aˆ+Bˆ+Cˆ=180o
c, Quãng đờng đi đợc của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi hết quãng đường đó: S = v.t
2 - Các dạng toán, cách giải và bài tập áp dụng.
2.1, Dạng 1: Cho tập hợp các phần tử Hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số
hạng khác nhau là các phần tử đã cho:
a, Cách giải: Sử dụng tính chất của tỷ lệ thức: Nếu th a.d b.c
d
c b
a
=
ì
=
b, Ví dụ: Cho tập hợp số A ={4,8,16,32,64} Hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của A
Giải
Một tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau nếu:
d
c b
a
=
Xét các nhóm 4 phần tử của A, xếp
bc ad và d c
; d b
; c b
; ab d
; c a
;
a
theo thứ tự:
Hớng dẫn học sinh xét tích 2 số này bằng tích 2 số kia ta có:
+ Với nhóm: {4,8,16,32} thì 4 32 = 8 16 và ta có 4 tỷ lệ thức sau:
Trang 48
32 4
16
; 32
8 16
4
; 16
32 4
8
;
32
16
8
4
=
=
=
=
+ Với nhóm: {4;8;32;64} thì ta có : 4 64 = 8 32 và có các tỷ lệ thức sau:
8
64 4
32
; 64
16 32
4
; 32
64 4
8
;
64
32
8
4
=
=
=
=
+ Với nhóm: {8;16;32;64} thì 8 64 = 16 32 và ta có 4 tỷ lệ thức sau:
16
64 8
32
; 64
16 32
8
; 32
64 8
16
;
64
32
16
8
=
=
=
=
Nh vậy ta có 12 tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau thuộc tập hợp A
Giáo viên có thể hớng dẫn thêm: Nếu trong bài này ta không đòi hỏi các số hạng
khác nhau thì ngoài 12 tỷ lệ thức trên ta còn các tỷ lệ thức khác nữa:
Ví dụ:
32
64 16
32
; 64
32 32
16
; 16
32 8
16
; 32
16 16
8
; 16
64 4
16
; 64
16 16
4
; 8
16 4
8
;
16
8
8
4
=
=
=
=
=
=
=
=
c, Bài tập vận dụng:
* Bài 1: Cho tập hợp A = {2;8;32;128;512} Hãy liệt kê mọi tỷ lệ thức có các số hạng là các phần tử của tập hợp A
Với bài tập này số lợng học sinh hiểu và nắm bắt đợc cách giải từ việc vận dụng ví
dụ mà giáo viên đa ra có tăng từ 10 em -> 15 em trong thời gian 15 phút đã làm xong
và đúng kết quả (có sự trợ giúp của máy tính bỏ túi) Số học sinh còn lại cũng lập đợc
một số tỷ lệ thức
Giải
Từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức:
+) 2 x 32 = 8 x 8 từ hệ thức này có các tỷ lệ thức:
32
8 2
8
và 32
8 8
2
=
=
+) 8 x 128 = 32 x 32 Suy ra các tỷ lệ thức sau:
32
128 8
32
và 128
32 32
8
=
=
+) 32 x 512 = 128 x 128 ta có các tỷ lệ thức sau:
128
512 32
128
và 512
128 128
32
=
=
+) 2 x 512 = 32 x 32 ta có các tỷ lệ thức sau:
32
512 2
32
và 512
32 32
2
=
= +) 2 x 128 = 8 x 32 và ta có các tỷ lệ thức sau:
Trang 5
128
8 32
2
và 8
128 2
32
; 128
32 8
2
; 32
128 2
8
=
=
=
= +) 8 x 512 = 32 x 128 ta có các tỷ lệ thức sau:
128
8 512
32
và 128
512 8
32
; 8
128 32
512
; 512
128 32
8
=
=
=
= +) 2 x 512 = 8 x 128 ta có các tỷ lệ thức sau:
8
512 2
128
và 512
8 128
2
; 128
512 2
8
; 512
128 8
2
=
=
=
=
Nh vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập đợc 20 tỷ lệ thức khác nhau
* Bài 2: Tìm x biết:
a, b,
x
60 -15
-x
=
8
x -x
2
-= Với bài tập này học sinh muốn tìm giá trị của x phải sử dụng tính chất 1 của tỷ lệ thức
30 x
900 x
) (-15).(-60
x
x x
60
-15
Tơng tự b, Học sinh tìm đợc
5
4
x 25
16
x
d, Bài tập tự giải:
* Có thể lập đợc tỷ lệ thức các số sau đây không ? Nếu lập đợc hãy viết tỷ lệ thức
đó: 2,2 ; 4,6 ; 3,3 và 6,7
* Lập tất cả các tỷ lệ thức có thể đợc từ các đẳng thức sau:
a, 7.(-28) = (- 49).4
b, 0,36 x 4,25 = 0,9 x 1,7
2.2, Dạng II: Cho tỷ lệ thức Hãy suy ra tỷ lệ thức khác
a, Ví dụ: Cho tỷ lệ thức: ;
d
c b
a
= Hãy chứng minh ta có tỷ lệ thức sau:
( giả sử a ≠ b ; c ≠ d ; a, b, c, d ≠ 0 ) d
-c
c b
-a
a
=
b, Các cách giải:
* Cách 1: Để chứng minh ta xét từng tích
d -c
c b -a
a
= a.(c-d) và c.(a-b)
Trang 6Ta có:
a(c-d) = ac-ad (1)
c(a-b) = ac-ab (2)
Ta lại có: ad 3
b
a
bc d
c
Từ (1), (2), (3) => a(c-d) = c(a-b)
Do đó:
d -c
c b -a
a
=
* Cách 2: Dùng phơng pháp đặt
dK c
; bK
a Th K
d
c
b
a
=
=
ì
=
=
Ta tính giá trị của các tỷ số: theoK ta có:
d -c
c b -a
a
=
* Cách 3: Hoán vị các trung tỷ của tỷ lệ thức:
d -c
c b -a
a
ược
ta d -c
b -a c
a của tỷ trung các vị Hoán
d -c
b -a d
b c
a
:
ược
ta nhau bằng số tỷ dãy chất tính dụng p
á
d
b c
a
ược
ta d
c b
a
=
đ
=
=
=
đ
=
đ
=
* Cách 4: Từ
d -c
c b -a
a c
d -c a
b -a c
d -1 a
b -1 a
c
d d
c b
a
Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét Để chứng minh tỷ lệ thức tỷ lệ thức thờng
d
c b
a
=
ta dùng 2 phơng pháp chính
trị
giá
một cùng có d
c
và b
a số tỷ 2 tỏ Chứng :
2 pháp
ng
Phư
bc ad rằng tỏ Chứng :
1 pháp
ng
hư
P
ơ
=
ơ
d -c
c b -a
a (2)
va (1)
Tu
(2) 1 -K
K 1) -d(K
dK d
-dK
dK d
-c c
(1) 1 -K
K 1) -b(K
bK b
-bK
bK b
-a a
Trang 7Nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức khác thì ta đặt giá trị của mỗi tỷ số ở
tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính gía trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo K (cách 2) Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức nh hoán vị các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4)
c, Bài tập vận dụng:
+ Bài 1: Cho tỷ lệ thức sau:
d
c b
a
= Hãy chứng minh rằng các tye lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa)
2 2
2 2
d -c
b -a
cd
ad
,
b
3d -2c
3d 2c 3b
-2a
3b
2a
a,
=
+
= +
2 2 2
d c
b a d
c
b
a
+
+
= +
+
Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đa ra Học sinh có thể giải theo một cách Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hớng dẫn học sinh cùng thực hiên
Giải
Đặt K th a bK và c dK
d
c b
a
=
=
ì
=
=
i giả
tự sinh học ể c b,
:
u
C
3d -2c
3d 2c 3b -2a
3b 2a (2)
và (1) Từ
(2) 3 -2K
3 2K 3) -d(2K
3) d(2K 3d
-2dK
3d 2dK 3d
-2c
3d 2c
(1) 3 -2K
3 2K 3) -b(2K
3 2K b 3b -2bK
3b 2bK 3b
-2a
3 2a
a,
đ
â
+
=
+
=>
+
=
+
=
+
= +
+
=
+
=
+
= +
d, Bài tập tự giải:
* Bài 1: Cho a,b,c,d ≠ 0 Từ tỷ lệ thức
Trang 82 2
2 2 a sd
ab
d b
c a b
a
c
d a
b a thức lệ
tỷ ra suy hãy
b
a
d c b
c d
c
* Bài 2: Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức :
d
c b
a cd
ab d
c
b
a
2 2
2 2
=
=>
= +
+
* Bài 3: Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức
bc a thức hệ a
-c
a c b
-a
b
=
=>
+
= +
2.3, Dạng III: Tìm các số cha biết khi biết các tỷ lệ thức
a, Cách giải:
* áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau
=
= +
+
=
=
d -b
c -a d b
c a d
c
b
a
* Vận dụng tính chất cơ bản của phân số
n : b
n : a dk
ck bm
am d
c
b
a
=
=
=
=
* Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng k Tìm mối liên hệ của ẩn số qua k
b, Ví dụ:
+ Ví dụ 1:
-: Tìm 2 số x;y biết: và x y 21
2
y 5
x
= +
= -: Biết: 7x = 3y và x – y = 16
Giải
-: Từ ápdụngtínhchất dãytỷsốbằng nhauta có:
2
y 5
x
=
6 3 2 y
; 15 3 5 x : ó Do 3
7
21 2 5
y x 2
y
5
x
=
=
=
=
đ
=
= +
+
=
=
-28 1
-4 7 y
; 12 -1
-4 3
x
4
1 -16
4 -y -x
7 -3 x
3 y
7 3y
7x
Từ
:
-=
=
=
=
=>
=
=
=
=
=>
=
Trang 9+ Ví dụ 2:
(2) 28
z 20
y 7
z 5
y : tự ng Tư
(1) 20
y 15
x hay 5
4
y 5 3
x : Vậy
20
là số mẫu chung cùng
có số) tỷ (hoặc
số n ph các
ưa về i
phả
5
y
và 4
y thấy nhận sinh học cho n viê giáo này bài
Với
186 z -3y 2x
và 7
z 5
y
; 4
y 3
x rằng biết z y;
x;
số các m
T
=
=>
=
ơ
=
=
â
đ
= +
=
=
ì
Giải
84 z
; 60 y
; 45 x 3 62
186 28 -60 30
z -3y 2x 60
3 30
2 28 20
15
x
thuc le ti cua nhau bang chat tinh
Theo
28 20
y
; 20 15
x thiet
gia
Tu
y x z y
z y
c, Bài tập vận dụng:
0) z y (x v 2 z y x
z) y 2(x
z x y
3) -y (x 1) z (y 2) z (x z y x
1 z
3 -y x x
1 z y y
2 z
x
: có
ta nhau bằng số tỷ dãy chất tính dụng
áp
i Giả
z y x
1 z
3 -y x x
1 z y y
2 z
x
: rằng biết z y;
x;
số các m
T
→ + +
ì
= + +
+ +
=
+ +
+ + + + + + +
= + +
=
+
= + +
= + +
+ +
=
+
= + +
= + +
ì
Do đó:
6
5 -z
và 6
5 y
; 2
1 x
:
Vậy
2 z
z -2,5 -y
y -0,5 x
1,5 :
là
Tức
2 z
3 -z -0,5 y
2 y -0,5 x
1 x
-0,5
:
ược
ta bài
ề
vào
quả này kết
thay
; z y
và z x m t tự ng Tư
z -0,5 y x 0,5 z
y
x
=
=
=
=
=
=
=
=
+
= +
đ
đ
+ +
ì
ơ
= +
=>
= +
+
d, Bài tập tự giải:
Trang 10810 xyz
và 5
z 3
y
2
x
g,
50 z -3y 2x
và 4
3 -z 3
2 -y 2
1
-x
e,
49 z y x
và 5
z 4 4
y 3
3
2x
d,
6 z 3y -2x
và 5
z 3
y
; 4
y
3
x
c,
32 z y -x
và 5z 7y
; 2y
3x
b,
28 2z -y 5x
và 21
z 6
y
10
x
a,
: rằng biết z y x, số các m T
:
2
Bài
108 2c
b -a
và 4
c 3
b
2
a
c,
49 -c b -a
và 4
c 5
b
; 3
b
2
a
b,
20 -3c -2b a
và 4
c 3
b
2
a
a,
: rằng biết c b, a, số các m T
:
1
Bài
2 2 2
=
=
=
= +
=
=
= + +
=
=
= +
=
=
= +
=
=
= +
=
=
ì
= +
=
=
= +
=
=
= +
=
=
ì
2.4, Dạng IV:
Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con ngời, vào hình học
a, Ví dụ 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỷ lệ với 2,3 và 4
Giải
: 2 dụ
Ví
,
b
80 Cˆ
; 60 Bˆ
; 40 Aˆ :
ó
Do
20 9
180 4
3 2
Cˆ Bˆ Aˆ 4
Cˆ 3
Bˆ
2
Aˆ
hay 4 : 3 : 2 Cˆ : Bˆ : Aˆ
là nghĩa 4
và 2,3 với
lệ
tỷ
ó
góc các này, tự thứ theo sử Giả
Cˆ
; Bˆ
; Aˆ
là ABC của
góc các
o
Số
0 0
0
0 0
=
=
=
đ
=
= + +
+ +
=
=
=
=
đ
Một ngời đi từ A -> B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h thì đến B lúc 11h
45 Vì rằng ngời đó chỉ đi đợc quãng đờng với vận tốc định trớc và quãng đờng
5 4
còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5km/h nên đến B lúc 12h Hỏi ngời đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và quãng đơng AB dài bao nhiêu km ?
Giải
Trang 11Gọi AC là quãng đờng đi với vận tốc 6km/h CB là quãng đờng đi với vận tốc 4,5 km/h Theo đề bài ra ta có :
CB = AB Giả sử để đi quãng đờng CB với vận tốc 6km/h cần thời gian là t1 giờ
5
1
còn đi với vận tốc 4,5 km/h với thời gian t2 giờ Ta có:
8h 4 -12
là bộ i ể hành khởi gian
Thời
h 4 h 1 h 3 t 4t
là
B A từ bộ i ể gian
Thời
4,5km 6
4
3 : là
CB
ường Quãng
22,5km 5
4,5 : là
AB
ường Quãng
h 4
3 t
; h 1 t ó Từ h 6
1 5 , 1
h 4
1 4,5 -6
t -t 5 , 4
t
6
t
t 5 , 4 6t
và (h) 4
1 11h45
-12h
t
-t
2 1
1 2
1 2 1 2
2 1
2
1
=
đ
đ
= +
= +
→
đ
đ
=
đ
=
đ
=
=
=>
đ
=
=
=
=
=>
=
=
=
c, Bài tập tự giải:
* Bài 1: Có 16 tờ giấy bạc loại 2 000đ ; 5 000đ và 10 000đ Trị giá mỗi loại tiền trên đều nh nhau Hỏi mỗi loại có mấy tờ ?
* Bài 2: Trên một công trờng xây dựng có 3 đội công nhân làm việc Biết rằng
3 2
số công nhân của đội I bằng số công nhân đội II bằng số công nhân đội III
11
8
5 4
Biết rằng số công nhân đội I ít hơn tổng số công nhân của đội I và đội II là 18
ng-ời Tính số công nhân của mỗi đội
Trang 12B Kết luận
Với sự nỗ lực không ngừng của cả giáo viên và học sinh Thầy trò tôi đã thu đợc những kết quả đáng mừng
Điều trớc tiên tôi thấy đợc là học sinh hăng say học tập trong các giờ lên lớp cũng
nh các giờ ôn luyện học sinh khá, giỏi Với học sinh lớp 7B mà tôi giảng dạy Các dạng bài toán liên quan đến tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại nữa
Với đề tài này trớc hết tôi đa ra phần lý thuyết ở mỗi phần có kèm theo ví dụ mà tôi cho là điễn hình Cơ bản nhằm giúp các em cũng cố và nắm vững hơn về lý thuyết
Sau khi các em đã nắm vững lý thuyết thì tôi đa ra phần bài tập vận dụng lý thuyết
và những hiểu biết đã học để làm
Mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vớng mắc nhng với sự gợi ý của tôi hầu hết các em đều tìm ra hớng giải và làm đợc hết bài tập mà tôi đa ra Trong đó một số em có tiến bộ rõ rệt Ngoài bài toán trên các em còn su tầm thêm các bài toán liên quan đến tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm
Sự tiến bộ và sự đam mê của các em luôn là nguồn sức mạnh tiếp thêm cho tôi trong công tác giảng dạy và nghiên cứu của mình Những thành tựu mà cô trò tôi đạt
đợc làm tôi liên tởng đến lời Bác dạy “Không có việc gì khó, chỉ sợ lòng không bền,
đào núi và lấp biển quyết trí ắt làm nên”