Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 tuần 25 đến 33 - Trường THCS Quảng Đông

Môc tiªu: - HS nắm được các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các hằng đẳng thức mở réng, tam gi¸c Pascal - Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo[r]

Ngày soạn: 20/02/2010

Tuần dạy: 25

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số

A Mục tiêu:

- HS nắm '( các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các hằng đẳng thức mở rộng, tam giác Pascal

- Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Phương tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

a biển đổi biểu thức nguyên

I Một số hằng đẳng thức cơ bản

1 (a  b)2 = a2  2ab + b2 ;

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;

2

(a + a + + a ) =

a a a 2(a a a a a a a a a a a a )

2 (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b);

(a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ;

3 a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;

an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;

4 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;

a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 +

b2k) ;

II Bảng các hệ số trong khai triển (a + b) n Tam giác Pascal

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 '( thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2,

ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y)n thành tổng thì các hệ

số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên 3 ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó -* '( sử dụng khi n không quá lớn Chẳng hạn, với n = 4 thì :

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

và với n = 5 thì :

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5

II Các ví dụ

Ví dụ 1 Đơn giản biểu thức sau :

A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3

Lời giải

A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3

= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] –

– [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3]

= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz

Ví dụ 2 Cho x + y = a, xy = b (a2≥ 4b) Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lời giải a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab

c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2

d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)

Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2

Chú ý : a 6 + b 6 = (a 2 ) 3 + (b 2 ) 3 = (a 3 ) 2 + (b 3 ) 2

a 7 + b 7 = (a 3 + b 3 )(a 4 + b 4 ) a 3 b 3 (a + b)

= (a 2 + b 2 )(a 5 + b 5 ) a 2 b 2 (a 3 + b 3 )

Ví dụ 3 Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lời giải a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2

= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)

= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)

= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a)

Ví dụ 4 Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)

Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = S2- 2P; a3 + b3 = S3- 3SP Vì vậy :

A = x3 – 3(S2- 2P)x + 2(S3- 3SP) = (x3- S ) (3S x 3S )3 - 2 - 3 + (6Px 6SP) = (x S)(x- 2+ Sx+ S ) 3S (x S)2 - 2 - + 6P(x S)

= (x S)(x- 2+ Sx 2S- 2 + 6P)

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2

Ví dụ 5 Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Lời giải Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z  (x + y)3 = –z3

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3

Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z) ` tự :

y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx

Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy)

= 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)

Bài tập

1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ;

b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;

c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;

d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;

e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1

2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x8 + x4 + 1;

b) x10 + x5 + 1 ;

c) x12 + 1 ;

3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;

b) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5

4 Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4

5 Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức :

B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.

6 Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2

7 Chứng minh rằng nếu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 =

= (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 thì x = y = z

8 a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì a b

x= y b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 và x, y, z khác 0 thì a b c

x= y= z

9 Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng :

a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;

b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;

c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5)

10.Chứng minh các hằng đằng thức sau :

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;

b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2

11.Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2

Chứng minh rằng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4

12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945

13 Hai số a, b lần 5(- thỏa mãn các hệ thức sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0 Hãy tính : D = a + b

14 Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98 Hãy tính : E = a2 + b2

15 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008

Ngày soạn: 27/02/2010

Tuần dạy: 26

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số

C Mục tiêu:

- HS tiếp tục '( củng cố các hằng đẳng thức đáng nhớ

- Biến đổi thành thạo các biểu thức hữu tỉ

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

D Phương tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

B biển đổi phân thức hữu tỉ

Ví dụ 5

a) Chứng minh rằng phân số 3n 1 là phân số tối giản nN ;

5n 2

+ + b) Cho phân số A n2 4 (nN) Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao

+

= + cho phân số A *8 tối giản Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó

Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1

Vậy phân số 3n 1 là phân số tối giản

5n 2

+ + b) Ta có A n 5 29 Để A *8 tối giản thì phân số phải *8 tối

+

29

n+ 5 giản Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các / "` lớn hơn 1 của 29 Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5  29  n + 5 = 29k (k  N) hay n = 29k – 5

Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng của các số này là :

29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690.

Ví dụ 6 Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1

a + b+ c = a+ b+ c Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau Từ đó suy ra rằng :

2009 2009 2009 2009 2009 2009

Lời giải

a + b+ c = a+ b+ c

0

a + b+ c- a+ b+ c=

abc(a b c)

 (a + b)(b + c)(c + a) = 0    đpcm

ộ + = ờ

ờ + = ờ

ờ + = ở

ộ = -ờ

ờ = -ờ

ờ = -ở

Từ đó suy ra : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091

2009 20091 2009 2009 12009 2009 20091

a + b + c = a + -( c) + c = a  20091 20091 20091 2009 20091 2009

Ví dụ 7 Đơn giản biểu thức :

A

Lời giải

Đặt S = a + b và P = ab Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2- 2P

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3- 3SP

+

;

Ta có : A =

=

Hay A = 13 3 31

P = a b

Ví dụ 8 Cho a, b, c là ba số phân biệt Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x :

(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

-Lời giải

Cách 1

S(x)

-C

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

Ta có : A b a c b a c 0;

(a b)(b c)(c a)

B (a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)

(a b)(b c)(c a)

-=

;

0 (a b)(b c)(c a)

C ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) 1

Vậy S(x) = 1x (đpcm)

Cách 2

Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không _(- quá 2 Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm

Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x)

Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x

Suy ra S(x) = 1 x  đpcm

Ví dụ 9 Cho x 1 3 Tính giá trị của các biểu thức sau :

x

2

1

x

x

x

x

Lời giải

2 2

2

ỗ

ỗ

b) ;

3 3

3

= + = ỗ + ữữ - ỗ + ữữ= - =

2

ỗ

ỗ

Ví dụ 10 Xác định các số a, b, c sao cho : 2 2 ax2 b c

+

-Lời giải

Ta có :

Đồng nhất phân thức trên với phân thức 2 2 , ta '( :

(x + 1)(x 1)

ù - = Û ù =

-

-Bài tập

P

-=

a) Rút gọn P ;

b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm '( trong câu a) tại n luôn là một phân số tối giản

17 a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n :

12n 1

;

+ +

3

;

+

2n 1

+ b) Chứng minh rằng phân số không tối giản với mọi số nguyên "`

8

n

c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho là phân số *8 tối

2

+ + giản

18 TÝnh c¸c tæng sau :

+

+

1.4 4.7 7.10 (3n 1)(3n 4)

+

1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1)

f) F 1.2! 2.3!2 n.(n n 1)! (k! = 1.2.3…k)

+

2

A

=

=

21.Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh :

22 a) BiÕt a – 2b = 5, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : P 3a 2b 3b a ;

b) Biết 2a – b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức : Q 5a b 3b 3a ;

c) Biết 10a2 –3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2≠ 0, hãy tính : R 2a b 5b a

23 Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của các biểu thức sau :

B

-=

b+ c + c+ a + a+ b=

0

b+ c + c+ a + a+ b=

26 Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và a b c 0 Chứng minh rằng

x+ y+ z =

ax2 + by2 + cz2 = 0

27 Cho x2 – 4x + 1 = 0 Tính giá trị của các biểu thức A = x5 + 15 và B = x7 +

1 x

x - x 1+ =

2

x M

=

2

x N

=

29 Cho dãy số a1, a2, a3, … sao cho : 1 ; ; … ;

2 1

a

-= +

2 3 2

a

-= +

n 1 n

n 1

a

-=

+ a) Chứng minh rằng a1 = a5

b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108

Ngày soạn: 06/03/2010

Tuần dạy: 27

Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử

E Mục tiêu:

- HS nắm '( các F*` pháp cơ bản và nâng cao khi phân tích đa thức thành nhân tử

- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này

- Biết '( mối liên hệ giữa các F*` pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

F Phương tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

I- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

15, 2 4 16, 2

II- Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai

bình phương: A 2 B 2 = (A B)(A + B)

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

III- Phương pháp đổi biến

Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 2

3, 4 4, 64

5, 64 1 6, 81 4

7, 4 81 8, 64

9, 4 10,

1, 1 2, 1

3, 1 4, 1

5, 1 6, 1

7, 1 8, 1

4

1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24

5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )

7, 6 11

3 8, ( ) 3( ) 2

9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20

11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16

1, x 6x 7x 6x1

IV- Phương pháp xét giá trị riêng

9*` pháp: / hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Giải

a, Giả sử thay x bởi y thì P = 2 2

y y z y zy 

* vậy P chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P

có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z) Do đó nếu P đã chúa thùa số x – y thì cũng chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3

đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y

= 1, z = 0

ta '( k = -1

Vậy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)

Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

M a b c a  b c a b c a b c    a b c b c a c   a b

, với 2m = a+ b + c

N a m a b m b c m c abc

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

, P = ( ) ( ) ( )

a x y z y z x z x y

b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b

( x y z   ) y z x (   ) z x y (   ) k x y y z z x (  )(  )(  )

3 3

2 2

a A a b c ab bc ca abc

b B a a b b a b

c C ab a b bc b c ac a c

d D a b a b b c b c c a c a

e E a c b b a c c b a abc abc

f f a b c b c a c a b

g G a b a b

b c b c a c c a

h H a b c b c a c a b

V-Phưong pháp hệ số bất định

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

4

a A x x x x

b B x x x x

c C x xy x y y

d D x x x x

e E x x

Bài tập:

Ví dụ Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)

Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = S2- 2P; a3 + b3 = S3- 3SP Vì vậy :

A = x3 – 3(S2- 2P)x + 2(S3- 3SP) = (x3- S ) (3S x 3S )3 - 2 - 3 + (6Px 6SP) = (x S)(x- 2+ Sx+ S ) 3S (x S)2 - 2 - + 6P(x S)

= (x S)(x- 2+ Sx 2S- 2 + 6P)

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

f) x3 + 4x2 – 29x + 24 ;

g) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;

h) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;

i) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;

j) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1

f) x8 + x4 + 1;

g) x10 + x5 + 1 ;

h) x12 + 1 ;

i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;

k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5

Ngày soạn: 13/03/2010

Tuần dạy: 28

A Mục tiêu:

- HS nắm '( định lí Bezu và ứng dụng của nó để giải các bài toán liên quan đến

đa thức * chia đa thức, tính giá trị đa thức….

- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này

- Biết '( mối liên hệ giữa các F*` pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Phương tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

1) Định lí BêZu:

T trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x) tại x

= a): f(x)  (xa)q(x)  f(a)

(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a

áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử Thực hiện * sau:

:/ 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) không

:/ 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x)  (xa)p(x)

Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a

:/ 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích '(G Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí

bất định), F*` pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức

9*` pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau

Ví dụ: P(x) ax2  2bx 3; Q(x)  x2  4x p

Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:

a = 1(hệ số của lũy thừa 2)

2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)

- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)

9*` pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)

Gọi -*` và " trong phép chia P(x) cho Q(x) lần 5(- là M(x) và N(x)

Khi đó ta có: P(x) Q(x).M(x) N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)