Giáo án Bồi dưỡng văn hóa Toán 8 - Trường THCS Thanh Mỹ

Phương pháp giải : Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.Lưu ý khi phân tích đa thức thành nhân tử cần phân tích triệt để.. Gv: Nguyễn Văn Tú.[r]

Thanh Mỹ, ngày

Buổi 1+2 :

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Mục tiêu cần đạt : Giúp học sinh

- Nắm vững 7 hằng đẳng thức đã học

-Vận dụng các hằng đẳng thức để khai triển, rút gọn các đa thức để từ đó tính giá trị của đa thức nhanh nhất

- Vận dụng 7 hằng đẳng thức để tìm gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

I.Lý thuyết :

Kiến thức cần nhớ :

1.Bình AB của một tổng :

A B

2.Bình AB của một hiệu :

A B

3.Hiệu của 2 bình AB :

A BA B

B

4.Lập AB của một tổng :

3

A B

5.Lập AB của một hiệu :

3

A B

6.Tổng của 2 lập AB :

3 3

B AB A B A B

7.Hiệu 3 lập AB :

3 3

B AB A B A B

Ví dụ: a) (a + 1 )2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2a + 1

b) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1+ 12 = 2500 + 100 + 1 = 2601

c) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2

d) 992 = (100 - 1)2= 1002 - 2.100.1 + 12= 10000 - 200 + 1= 9801

e) (x - 2y)(x + 2y) =x2 - (2y)2 = x2 - 4y2

f) 56.64 = (60 - 4)(60 + 4) = 602- 42 = 3600 - 16 = 3584

g) (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 h) 8x3- y3 = (2x)3 -y3 = (2x -y)((2x)2 + 2x.y + y2)= (2x - y)(4x2 +2xy + y2) i) 342 + 662 + 68.66 = 342+ 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2=1002= 10 000

II.Bài tập :

Bài tập 1 :

Sử dụng các hằng đẳng thức để khai triển các biểu thức sau:

a , A =  2

4



x

b, B =  2

1

2x

c, C = 5x 15x 1

d, D =

3

3

1 









 x

e, E =  3

2



y

Giải :

a , A =  2 =

4



x x2  x8  16

b, B =  2=

1

2x  2x 2  2 2x 1  12  4x2  4x 1

c, C = 5x 15x 1 =  5x 2  12  25x2  1

d, D= =

3

3

1 









 x

27

1 3

1 3

1 3

1 3 3

1

3 2

2



























x

e, E=  3=

2



y y3  3y2 2  3y 22  23  y3  6y2  12y 8

Bài tập AB tự :

Sử dụng các hằng đẳng thức để khai triển các biểu thức sau

a, A=  2 2

9x y

b, B =

2

3

1









xy

c, C =  3

1

3x

d, D =  3

2 y

x

e, E =  3

2

3x y



g, G =

3 2

3

1











h, H =  2 23

3

2x y xy

Bài tập 2 :

Viết các đa thức sau )A8 dạng một tích

a , A = x2  x6  9

b, B = 2 2

9 12

c, C = 64x2  25

6 12

e , E = x3  9x2  27x 27

g, G = x3  125

h, H = 8y3  1

Giải :

a , A = x2  x6  9 = x2  x2 3  32

=  2

3



x

9 12

3 3 2 2

=  2

3

2x y

c, C = 64x2  25 =  2 2

5

= 8x 58x 5

6 12

2 3 2

3

=  3

2x y

e , E = x3  9x2  27x 27 = x3 3x2 3  3 x 32  33

=  3

3



x

g, G = x3  125 = x 5 x2  5 x 25

h, H = 8y3  1 =  2x 3  1

=     2 2

1 1 2 2 1

= 2x 1 4x2  2x 1

Bài tập AB tự :

Viết các đa thức sau )A8 dạng một tích

a , A = x3  3x2  3x 1

b, B = 8x3 60x2  150x 125

c, C = 64x3  27

d, D =

27

1

3 

x

Bài tập 3:

Rút gọn các biểu thức sau một cách nhanh nhất

a , A = 6x 2 2  2  5x2  26x 22  5x

1 2 1 2 2 1 2

Giải :

a , A = 6x 2 2  2  5x2  26x 22  5x

= 6x 2  2  5x

= 2

x

1 2 1 2 2 1 2

=   2     2    2 2

1 2 2 1 2 2 1

=      2

2 2 2

2a   a  a 

= - 4a2

Bài tập AB tự :

Ax2  3x 12 3x 12  2x2  3x 1 3x 1

Ba 52a2  10a 25

C = a 3 a2  9 a 3

Bài tập 4:

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức với a=5

3a 1 9a2  3a 13a 1 9a2  3a 1 2a 2

Giải :

3a 1 9a2  3a 13a 1 9a2  3a 1 2a 2

= 3a 1  3a 2  3a 1  13a 1  3a 2  3a 1  1 2a 2

=  3a 3  13   3a 3  1 2a 2

= 27a3  1  27a3  1  2a 2

= 2a

Với a = 5  2 5  10

Bài tập 5 :

Tìm x :

a, x2  x4  4  0

b, 9x2  64  0

Giải :

a, x2  x4  4  0

x2  2 2x 22  0

x 22  0

x+ 2 = 0

x = -2

b, 9x2  64  0

 3x 2  82  0

3x 83x 8 0

 3x + 8 = 0 3x = -8

x =

3 8



* 3x – 8 = 0 3x = 8

x =

3 8

Bài 6:

Viết các đa thức sau )A8 dạng tổng của bình AB một nhị thức với một hằng số từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức đã cho :

a, A= x2  x2  5

b, B = x2  x 1

c, C = 4x2  4x

d, D = 2x2  x6  5

Giải :

a, A= x2  x2  5

= x2  x2  1  4

= x 12  4  4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x+1 = 0

 x =-1

b, B = x2  x 1

=

4

3 2

1 2

1 2

2













 x

x

=

4

3 4

3 2















 x

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là khi

4

3

0 2

1 



x

2 1





 x

c, C = 4x2  4x

=  2x 2  2 2x 1  1  1

= 2x 12  1   1

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là -1 khi (2x – 1 ) = 0

<=> x =

2 1

d, D = 2x2  x6  5

= 2x2  x3  5

4

9 2

3 2

3 2 2

2





























 x

x

= 5

4

9 2

3 2

2































 x

2

9 2









 x

= 2

2

19 2













 x

2

19





Vậy giá trị nhỏ nhất của D là khi x +

2 19



0 2

3 

2

3



Bài tập AB tự :

Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau :

A = 4x2  x7  13

B = 5  8x + x2

C = x 1x 2x 3x 6

Với các đa thức chứa nhiều biến ta cũng sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi

AB tự A các bài tập trên :

Bài 7 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau :

a, f x,y x  2xy  4y 6

b, g x,y  3x2  y2  2xy 7

Gi¶i :

a, f x,y x2  2xy2  4y 6

= x2  2x 1  y2  2y 2  4 1

= x 1 2  y 22  1  1 ( v× x 12  0 ;y 22  0 ) VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f x, y lµ 1 













 0 2

0 1

y x











 2

1

y x

b, g x,y  3x2  y2  2xy 7

= 2+

2x x2  2xyy2 7

= 2 +

2x x  y2  7   7

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña g x, y lµ -7 khi 0

0

0



















y x y

x x

Bµi tËp AB tù :

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau :

 x,y x2  y2  6x 5y 1

f

g ,  5 2  2  10  4  14  6

Bµi 8:

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c ®a thøc sau

:

a, A = x2  4x 2

b, B =  2x2  3x 5

c, C = 2 xx 4

Gi¶i :

a, A = x2  4x 2

= x2  4x 2

= x2  2 x 2  22  2

=  x   22  2

=  x  22  2  2

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A lµ

2 khi x + 2 = 0

x = -2

b, B =  2x2  3x 5

2

3









16

9 16

9 2

3









16

9 4































 x

= -2 +

2

4

3 









8

9 

= -2 +

2

4

3 









 x

8

49 8

49



VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña B lµ khi x+

8

49

0 4

3 

<=> x =

4

3



Bµi tËp AB tù :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c ®a thøc sau :

a, A = - x2  x8  15

b, B = 2 xx 4

III BÀI

Dạng 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) A=5x(4x2- 2x+1) – 2x(10x2 - 5x - 2) với x= 15

A = 20x3 – 10x2 + 5x – 20x3 +10x2 + 4x

A= 9x

A= 9.15 =135

b) B = 5x(x-4y) - 4y(y -5x) với x= ; y=

5

1



2

1



B = 5x2 – 20xy – 4y2 +20xy

B = 5x2 - 4y2

B =

5

4 1 5

1 2

1 4 5

1 5

2 2



















 













 

Dạng 2: CM biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến số.

a) (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7)

= 6x2 – 10x + 33x – 55 – 6x2 – 14x – 9x – 21 = -76

b) (x-5)(2x+3) – 2x(x – 3) +x +7

JAB tự câu 1/

Dạng 3: Toán liên quan với nội dung số học.

Tìm 3 số chẵn liên tiếp, biết rằng tích của hai số đầu ít hơn tích của hai số cuối

192 đơn vị

Hướng dẫn:

 3 số chẵn liên tiếp là: x; x+2; x+4

(x+2)(x+4) – x(x+2) = 192

x2 + 6x + 8 – x2 – 2x = 192

4x = 184

x = 46

Dạng 4: Dùng HĐT triển khai các tích sau.

a) (2x – 3y) (2x + 3y) b) (1+ 5a) (1+ 5a)

= 2x2 - 9y2 = 1 + 10a +25a2

c) (2a + 3b) (2a + 3b) d) (a+b-c) (a+b+c)

= 4a2 + 12ab + 9b2 = a2 + b2 + 2ab - c2

e) (x + y – 1) (x - y - 1) = x2 –y2 + 2y -1

Dạng 5: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

a) M = (2x + y)2 – (2x + y) (2x - y) + y(x - y) với x= - 2; y= 3

M = 4x2 + 4xy+y2 – 4x2 + y2 +xy – y2

M = 5xy +y2

M = 5.(-2).3 + 32 = -30 + 9 = -21

b) N = (a – 3b)2 - (a + 3b)2 – (a -1)(b -2 ) với a = ; b = -3

2 1

c) P = (2x – 5) (2x + 5) – (2x + 1)2 với x= - 2005

d) Q = (y – 3) (y + 3)(y2+9) – (y2+2) (y2 - 2)

Dạng 6: Tìm x, biết:

a) (x – 2)2- (x+3)2 – 4(x+1) = 5

b) (2x – 3) (2x + 3) – (x – 1) – 3x(x – 5) = - 44

Dạng 7 So sánh.

a) A=2005.2007 và B = 20062

b) B = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và B = 232

c) C = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) và B= 332-1

Dạng 8: Tính nhanh

a) 1272 + 146.127 + 732 b) 98.28 – (184 – 1)(184 + 1) c) 1002- 992 + 982 – 972 + + 22 – 12 d) 2 2 2 2

75 125 150 125

220 180







e) (202+182+162+ +42+22)-( 192+172+ +32+12)

Dạng 9: Một số bài tập khác

CM các BT sau có giá trị không âm

a) A = x2 – 4x +9 b) N = 1 – x + x2

III BÀI

Bài 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) C = 6xy(xy –y2) - 8x2(x-y2) =5y2(x2-xy) với x= ; y= 2

2 1

b) D = (y2 +2)(y- 4) – (2y2+1)( y – 2) với

y=-2

1

3 2

Bài 2 Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của hai số đầu ít hơn tích của hai số

cuối 146 đơn vị

Hướng dẫn:

(x+3)(x+2)- x(x+1) = 146 Đáp số: 35; 36; 37; 38

Bài 3: CM các BT sau có giá trị không âm.

a) M = 9 – 6x +x2 b) B = 4x2 + 4x + 2007

Bài 4: Tìm x, biết:

a) (5x + 1)2 - (5x + 3) (5x - 3) = 30 b) (x + 3)2 + (x-2)(x+2) – 2(x- 1)2 = 7

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Thanh Mỹ, ngày

Buổi 3 :

Hình thang,Hình thang cân

đường trung bình của tam giác, hình thang

Mục tiêu cần đạt : Giúp HS

hình thang cân

về An trung bình của tam giác, của hình thang

- Rèn kĩ năng chứng minh hình học.Biết trình bày một bài chứng minh.

- Rèn cho HS thao tác phân tích, tổng hợp, A duy lôgíc,óc quan sát, khả năng khái quát hoá,….

I.Lí thuyết :

1.Định nghĩa hình thang :Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song

2.Định nghĩa hình thang cân :Hình thang cân là hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau Các tính chất của hình thang cân:

_ Hình thang cân có 2 cạnh bên bằng nhau

_ Hình thang cân có 2 An chéo bằng nhau

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân :

_ Hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân

_ Hình thang có 2 An chéo bằng nhau là hình thang cân

E&rAn trung bình của tam giác của hình thang :

Định lí 1: rAn thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 3

*rAn trung bình của tam giác :là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác

Định lí 2: rAn trung bình của tam giác thì song với cạnh còn lại và bằng 1 nữa cạnh ấy

Định lí 3: rAn thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và song song với 2 đáy của hình thang thì đi qua trung điểm của cạnh còn lại

*rAn trung bình của hình thang :là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh bên của hình thang

Định lí 4: rAn trung bình của hình thang thì song với 2 cạnh đáy và bằng 1 nữa tổng độ dài của 2 cạnh đáy

II.Bài tập :

Dạng 1 : Nhận biết hình thang cân.

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác là hình thang, rồi chứng minh hình thang đó có hai góc kề một đáy bằng nhau, hoặc có hai An chéo bằng nhau

Bài 1 : Hình thang ABCD ( AB // CD ) , A CˆDB DˆC Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân

Bài giải

E

D C

Gọi E là giao điểm của AC và BD

ECD

 Cˆ1  Dˆ1 ECD

EC = ED ( 1 )

Chứng minh AB tự : EA = EB ( 2 )

Từ (1 ) và ( 2 ) ta suy ra:

AC = BD

 ABCD là hình thang cân (có hai An chéo bằng nhau)

Bài 2 :

Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có AC = BD Qua B kẻ An thẳng song song với AC, cắt An thẳng DC tại E

Chứng minh rằng :

a BDEcân

b ACD BDC

c Hình thang ABCD là hình thang cân

Bài giải

Ht ABCD( AB //CD )

A B AC = BD

GT BE//AC

1 1

D C E KL a BDEcân

b ACD BDC

c.ABCD là hình thang cân

a Xét tứ giác ABEC có :

AB // CE

=> ABEC là hình thang

mà BE//AC (gt)

=> AC = BE

Theo gt: AC = BD nên BE = BD, do đó BDE cân

b AC // BE

=> Cˆ1  Eˆ (đồng vị)

Mà BDEcân tại B ( câu a )

=> Dˆ1  Eˆ

=> Cˆ1 Dˆ1

Xét ACD& BCD có :

Cˆ1 Dˆ1

AC=BD

DC là cạnh chung

=> ACD  BCD( c.g.c).

c ACD BDC

=> A DˆCB CˆD

=> Hình thang ABCD là hình thang cân

Dạng 2 : Sử dụng tính chất hình thang cân để tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng.

Bài 3:

Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) Trên các cạnh bên AB,AC lấy theo thứ tự các

điểm D và E sao cho AD = AE

a Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân

b Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng góc A = 500

Bài giải

A ABCcân ( AB = AC )

0 GT : AD = AE

a.Cm : BDEC là hình thang cân

D 1 E KL b Tính các góc của hình thang cân đó,

2 2 biết rằng góc A = 500

B C

a Do ABC cân => Bˆ Cˆ => = Bˆ

2

ˆ

1800 A

Mặt khác : AD = AE (gt) => ADE cân tại A =>Dˆ1 =

2

ˆ

1800 A

=> = Bˆ Dˆ1 =

2

ˆ

1800 A

=> DE // BC => BDEC là hình thang

Hình thang BDEC có Bˆ Cˆnên là hình thang cân

b Do BDEC là hình thang cân

=> Bˆ Cˆ= = = 650

2

ˆ

1800 A

2

50

=> Dˆ2 Eˆ2 = = 1150

2

2 65

Dạng 3: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

Bài 4:

Cho tam giác ABC Gọi M,N,P theo thứ tự trung điểm các cạnh AB,AC,BC Tính chu vi của tam giác MNP, biết AB = 8cm,AC =10cm,BC = 12cm

Bài giải

A

ABC

GT AM=MB, AN=NC, BP=CP

M N AB = 8cm,AC =10cm,BC = 12cm

B P C KL TÝnh PMNP

ABCcã AM = MB, AN = NC

nªn MN lµ An trung b×nh

=>

).

( 4 2

8 2

).

( 5 2

10 2

) ( 6 2

12 2

cm

AB NP

cm

AC MP

cm

BC MN



















VËy chu vi tam gi¸c MNP b»ng : 6 + 5 + 4 = 15(cm )

D¹ng 4 : Sö dông tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña h×nh thang

Bµi 6 :

Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) cã AB = 3cm, CD=7cm, AD=10cm.Gäi M lµ

trung ®iÓm cña BC Chøng minh AM DM A B

Gi¶i :

H×nh thang ABCD

GT AB = 3cm, CD=7cm, AD=10cm

BM = MC

KL Cm: AM DM

D C

Gäi I lµ trung ®iÓm cña AD Ta cã IM lµ An trung b×nh cña h×nh thang ABCD nªn :

5(cm)

2

7 3



IM

2

10

AD ID

=> IM = IA = ID

IAM, IDMc©n t¹i I

=> Mˆ1  Aˆ1,Mˆ2  Dˆ1

=> Mˆ1Mˆ2  Aˆ1 Dˆ1

Do đó A M D A1D1

1

1 ˆ 180 ˆ

M A

=> 0

90

ˆD

M A

Vậy AM DM (đpcm)

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD( AB//CD, AB<CD) Gọi O là giao điểm của

hai đờng thẳng AD và BC

a CMR:  OAB cân

b gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD

CMR: O, I, K thẳng hàng c) Qua M thuộc AD kẻ đờng thẳng // với DC, cắt BC tại N

CMR: MNCD là hình thang cân

Giải:

a)Vì ABCD là hình thang cân( gt)=>D=C

mà AB//CD =>A1=D; B1=C( đv)

=>A1=B1

=> OAB cân tại O b) do D=C( CMT) =>  ODC cân tại O(1) => OI  AB(*)

Mà OAB cân tại O (cmt) IA=IB(gt) => O1=O2 (tc) (2)

Từ (1)và(2)=> OK là trung trực DC

=>OK  DC (**)

Và AB//CD( tc htc)(***)

Từ (*), (**), (***)=> I, O, K thẳng hàng c) Vì MN//CD(gt) =>MNCD là hình thang

do D=C( cmt) => MNCD là hình thang cân

Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD;AB<DC) Tia phân giác các góc A và

cắt nhau tại E, tia phân giác các góc B và C cắt nhau tại F

a) Tính số đo AEB; BFC b) AE cắt BF tại P  DC/ CMR: AD +BC =DC c) Với giả thiết câu b, CMR EF nằm trên đờng trung bình của hình thang ABCD

Đáp án:

a) Vì AB//CD (gt) => A+D =1800