Định lý về điều kiện chia hết: Nếu một số A chi hết cho một số B thì mọi số nguyên tố có trong B phải có trong A, số mũ mỗi số nguyên tố đó ít nhất phải bằng số mũ cữ số đó trong B... * [r]
Trang 1http://kinhhoa.violet.vn 1
SỐ NGUYÊN TỐ - BSCNN - USCLN
I Tính chia hết của các số nguyên:
1 Định nghĩa:
a
* a = bq (r = 0)
* a = kb (k là
* a (k là
b = k
2 Tính chia hết:
a Hai ! a và a/ chia
8 9 minh :
Vì a = dq và a/ = dq/ nên a / ( /)
! >
b Tích
0 ,:
m
a d ka d (Béi sè cña a d)
a d a d
Þ Þ
c
– b
Không chia M
4 Điều kiện chia hết:
a Chia hết cho 2 và 5:
*
VÝ dô: abc = 100a + 10b + c = BS5 + BS5 + c
abc = 100a + 10b + c = BS2 + BS2 + c
Nh vËy abc vµ c chia cho 2 hoÆc chia co 5 cã cïng sè d
VËy: Muèn abc chia hÕt cho 2 vµ 5 th× c chia hÕt cho 2 vµ 5
* Ta có :
-
-
cho 4 và 25
-
-
-
Trang 2http://kinhhoa.violet.vn 2
-
b Chia hết cho 3 và 9:
* A I xét:
10 = 9 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
100 = 99 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
10n = 99 9 + 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
Vì abcd= 1000a + 100b + 10c + d =
= a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d = aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d = Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c + d)
* (
* Y ý:
-
-
-
c Chia hết cho 11:
Trong
(L – C) hay (C – L) ch 11
102 = 99 + 1 = Bs11 + 1
104 = 999 + 1 = Bs11 + 1
102n = Bs11 + 1
2n+1 = 102n.10 = Bs11 – 1
Vì 1I" ta có ! :
abcdef = a.10 + b.10 + c.10 + d.10 + e 10 + f
11 f + d + b Bs11+ a + c + e
= Bs11 + f + d + b a + c + e
= a(Bs11 -1) + b(Bs11 + 1) + c(Bs11 - 1) + d(Bs11 + 1) + e(Bs11 - 1) + f
* (
chia
Y ý :
-
-
-
-
………
Bài tập áp dụng:
1 8 9 minh N (a3 – a) chia
`,
Ta 3 – a = a(a2 -1) = a.(a + 1)(a – 1) = (a – 1)a(a + 1)
Trang 3http://kinhhoa.violet.vn 3
3 – a) chia
………
2 8 9 minh N (2n + 1)2 – 1 chia
`,
Ta cú (2n + 1)2 – 1 = 4n2 + 4n + 1 – 1 = 4n2 + 4n = 4n(n + 1)
cho nờn tớch trờn
Do > (2n + 1)2 – 1 chia
………
( )
( ) ( ) ( )
3x2 3 3 + x + 2 3 5 + x 3 Mà x 0 và x 9 nên ta sẽ có:
x = 1 5 + 1 = 6 3
5 + x 3 x = 4 5 + 4 = 9 3
x = 7 5 + 7 = 12 3
ậy các số cần tìm là: 312; 342; 372
V
ùù ùù
ùù
ùùợ
M
M
4 Tỡm ! 80x2 , biết rằng khi chia cho 11 còn dư 7.
`,
80x2 = Bs11 + 7 => 80x2 + 4 = Bs11 = 80x6
= 11k hay x = 11k – 2
Vỡ 0 Ê x Ê 9 nên khi k = 1 thì x = 9. *! L , tỡm là: 8092
………
5 Tỡm ! 742 , biết rằng số đó chia hết cho 3 và 4 x
`, :
* 742x 4 nên 2x 4 và 2x có thể là: 20; 24; 28 Tức là x = 0; 4; 8 M M
* 742x 3 nên (7 + 4 + 2 + x) 3 => 13 + x = Bs3
=> x = Bs3 -1= Bs3 + 2 = 3k +2
à 0 x 9 nên khi k = 0 => x =2
k = 1 => x = 5
k = 2 => x = 8
So sánh cả hai điều kiện thì ta thấy rằng chỉ có x = 8 là thích hợp.
Vậy
số phải tìm là 7428.
………
Trang 4http://kinhhoa.violet.vn 4
6 Cho
hàng
a
b Tớnh N khi N chia
`,:
a Theo bài ta ] 4m ! L , tỡm sau: abba Khi > :! cho abba chia cho 11 thỡ ộ( a + b - b + a 11 ) ( )ự
11
b - N chia
ra là a khỏc 0 nờn a = 5 1I" ! L , tỡm cú 4 5bb5
- N chia hết cho 9 nên 5 + b + b + 5 9 10 + 2b 9
2 5 + b 9 5 + b 9 mà b 9 nên chỉ có trường hợp b = 4.
Vậy số phải tìm là: 5445
………
7 Tỡm ! tự nhiờn n sao cho:
a) n + 2 chia b) 2n + 7 chia c) 2n + 1 chia d) 3n chia e) 4n + 3 chia
`,
, toỏn này 4b vào I xột sau a"
A A M B thì (mA ± nB) B (m, n M ẻ N )*
a) (n + 2) (n – 1) suy ra [(n + 2) – (n – 1)] (n – 1) hay 3 (n – 1) Do M M M > (n -1) L ,
là
;' n – 1 = 1 ta suy ra n = 2
;' n – 1 = 3 ta suy ra n = 4
b) (2n + 7) (n + 1) => [(2n + 7) – 2(n + 1)] (n + 1) => 5 (n + 1)M M M
;' n + 1 = 1 thỡ n = 0
;' n + 1 = 5 thỡ n = 4
c) (2n + 1) (6 – n) => [(2n + 1) + 2(6 - n)] (6 – n) => 13 (6 – n)M M M
;' 6 – n = 1 thỡ n = 5
d) 3n (5 – 2n) => [2.3n + 3(5 – 2n)] ((5 – 2n) => 15 (5 – 2n)M M M
;' 5 – 2n = 1 thỡ n = 2
;' 5 – 2n = 3 thỡ n = 1
Trang 5http://kinhhoa.violet.vn 5
;' 5 – 2n = 5 thì n = 0
e) Ta
= 2(n + 3) là
nhiên n nào
………
8
(abab - baba) 9 vµ 101 (a > b) M
`,
abab - baba = (1000a + 100b + 10a + b) - (1000b + 100a + 10b + a)
(1000 + 10 - 100 - 1)a - (1000 + 10 - 100 - 1)b
= 909a - 909b
= 9 101.(a - b)
=
;I" 1' a > b ta có (abab - baba) 9 vµ 101 M
………
`,:
Vì 36 = 9.4 nên ! 34x5y
(] 34x5y 9 ta ph¶i cã (3 + 4 +x + 5 + y) 9 M M Vì x và y là các
+ y = 6
34x5y 4 nªn 5y 4, suy ra y = 2 hoÆc y = 6 M M
A y = 2 thì x = 6 – 2 = 4
;I" các ! L , tìm là : 34452 ; 34056 ; 34956
………
10 Cho A = 9999931999 – 555571997
`,
cùng
Ta có: 31999 = (34)499.33 = 81499.27 Suy ra
1997 =(74)499.7 = 2041499.7 Do
11 Cho
`,
Trang 6http://kinhhoa.violet.vn 6
(3)
?= (1) và (3) ta suy ra B 27.M
………
n ch÷ sè 8
88 88 - 9 + n Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 9 14442 4443
`,
Ta
{ {
n
n
B = 88 8 - 8n + 9n - 9 = 8(11 1 - n) + 9 (n - 1)
Vì n chính là
11 1 nªn 11 1 n chia hÕt cho 9
-………
13 Tìm
sao cho
`,
không chia
a3 3 thì do 3 là M 3 ch
………
14 Có bao nhiêu
a Chia
b Có ít
`,
Bây
Có 8 cách
Có 9 cách
4, 5, 7, 8, 9)
Có 3 cách
cho 3 nên
Do
8.9.9.9.3 = 17496 !
30000 – 17796 = 12504 !
15 8 9 minh N A = 10n + 18n – 1 chia
Trang 7http://kinhhoa.violet.vn 7
`,:
Ta
A = 10n + 18n – 1 = 10n – 1 – 9n + 27 n
n
n
= 99 9 9n + 27n
= 9(11 1 n) + 27n
n là tổng các chữ số của 11 1 nên (11 1 n) 3
Từ đó suy ra A 27 với mọi n tự nhiên.
………
II SỐ NGUYấN TỐ
1
Lưu ý :
- Hai
-
-
2 Định lý và sự tỡm cỏc số nguyờn tố :
a
i N,
b
khụng ta làm
3 Phõn tớch một số ra thừa số nguyờn tố:
a (j lý:
1
2 Phộp phõn tớch này
b
,
a, b, c là các số nguyên tố và nếu m ³ m ; n ³ n ; p ³ p th A B M
Chỳ ý :
*
*
cho m
c Cỏch làm:
Trang 8http://kinhhoa.violet.vn 8
(không theo
Ví 4l
10200 510 255 85 17 1
2 2 3
1020 = 22.3.5.17
4 Cách tìm các ước số của một số N:
* các
P = (1 + a + a2 + a3 + + aa)(1 + b + b2 + b3 + + ba)(c + )
5 Bài tập áp dụng:
1 Phân tích các
`,
10200 5100 2550 1275 255 51 17 1
2 2 2 5 5 3 17
10200 = 23.3.52.17
11274 5637 1879
2 3
2 Tìm xem 72 có bao nhiêu
`,
Áp
+ Phân tích 72 ra 3 32 = 2 3a b
+ (a+1)(b + 1)= (3 + 1) (2 + 1) = 12
+ Giá
P = (1 + a + a2 +….+ a ) a (1 + b + b2+ b+ b )
Ta có P = (1 + 2 + 22 + 23).(1 + 3 + 32) = (1 + 2 + 4 + 8).(1 + 3 + 9 )
= 1 + 3 + 9 + 2 + 6 + 18 + 4 + 12 + 36 + 8 + 24 + 72
………
3 Tìm
`, :
Trang 9http://kinhhoa.violet.vn 9
và
a b c a b g
n = + 1 a b + 1 g + 1
;I" - N = 15.1 thì n = (a+1)(b + 1) Û = 14 vµ = 0 a b và ! > là:
N = 214 30 = 214 = 16348
- A n = 3.5 thì n = (a+1)(b + 1) Û = 2 vµ = 4 a b và ! > là :
N = 22.34 = 324
- A n = 5.3 thì n = (a+1)(b + 1) Û = 4 vµ = 2 a b và ! > là :
N = 24.32 = 144
So sánh ba
………
`, : Theo bài ra ta có: N = 2x.5y (1)
n = (x + 1)(y + 1) = 15 (2)
,
N th× n 6 (3)
?= (2) ta có xy + x + y = 14 (4)
N = 2 5 = 2 5 = 2 x-3 .5
3
y
=> (x – 2)(y + 1) = 6 => xy + x – 2y – 2 = 6 => xy + x – 2y = 8 (5)
3y = 6
xy + x - 2y = 8
xy + x + y = 14
Thay y = 2 vào (5) ta có : 2x + x – 4 = 8 => 3x = 12 => x = 4
Do > N = 2x.5y = 24.52 = 16.25 = 400
………
5 Hãy
cho 37
`, :
37
äi sè ph¶i t×m lµ xxx ta cã xxx = 100x + 10x + x 111x = 3.37x
®iÒu nµy chøng tá xxx
G
M
………
`,
Theo bài ra ta có :
y = 2
Trang 10http://kinhhoa.violet.vn 10
*N = 2 3 x = 2 x - 1 3 n = x - 1 + 1 ( )( + 1 = 10 ) xy + x = 10 (1)
y
x
N = 2 3 y = 2 x - 1 .3 y - 1 n = x - 1 + 1 -1 + 1 = 8 xy = 8 (2)
y
?= (1) và (2) ta suy ra x = 2 và y = 4
;I" N = 22 34 = 4.81 = 324
………
7
và cỏc
`,:
Ta biểu diễn số N đó là aaaa = 1000a + 100a + 10a + a = 1111a = 101.11.1
=> a = 1 và số N = 1111 Các ước số của nó là: 11 và 101.
8 Tỡm
`,
a) `, x p = 2 Khi > 7p – q = 7.2 + q = 14 + q
pq + 11 = 2q + 11
A q = 2 thỡ 14 + q = 14 + 2 = 16 là L !
;' q = 3k + 1 thỡ 14 + q = 14 + 3k + 1 = 3(k + 5) là L !
;' q = 3k + 2 thỡ 2q + 11 = 2(3k + 2) + 2 = 6(k + 1) là L !
b)
9
n chữ số n chữ số
11 1 2 11 1 là hợp số.
`,i:
n chữ số n chữ số (n + 1) ch số n chữ số (n + 1) ch số
(n + 1) ch số
11 1 2 11 1 = 11 1 00 0 11 1
= 11 1 (10n + 1).
Số đã cho được phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1.
Vậy nó là hợp số.
10 Tỡm
`,
Trang 11http://kinhhoa.violet.vn 11
Ta
các
13 + 17 + 19 + 23) + 66.13 = 8814
Vì 2.3.13.17 > 1000 nên các
w bài
Vì 2.7.11.13 và 3.5.7.11
chúng là
………
III ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT – BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT
1 Ước số chung lớn nhất:
Ví
b
chia
Ví
Kí
2 Ước số chung lớn nhất của 2 số: (ta
-
- Ta
*
* USCLN
b
a = bq + r hay a – bq = r
Nên ta có
chia liên
c Chú ý:
1, +" r chia cho r1 2, +" r1 chia cho r2
r3, …… Vì
0 trong phép chia trên là ! 4 áp chót rn (trong
Ví
* Ta có 19521 : 1357 = 14 4 253
1357 : 253 = 5 4 92
253 : 92 = 2 4 69
Trang 12http://kinhhoa.violet.vn 12
92 : 69 = 1 4 23
69 : 23 = 3 4 0 USCLN (19521, 1357) = 23
* Khi
USCLN (19521, 1357) = 23
d Cách tìm USCLN Cách 1:
*
*
a cho b trong
Cách 2: Phân tích hai
Cách 1: Tìm USCLN
a bc d
d
144442 44443 Cách 2: Tìm USCLN
……Cho
1 2 3
a b c d d
d d
1442 443
144442 44443
e Tính
* T/c 1:
* T/c 2: Khi nhân (hay chia
* T/c 3:
…… nguyên
a ; ; ; b c d
Chú ý: Khi chia
cùng nhau
f
*
cho tích a.b.c
Ví 4l N 2 và 3 thì N 6 M M
N 3 và 4 thì N 12M M
N 3 và 5 thì N 15 M M
Trang 13http://kinhhoa.violet.vn 13
*
b nguyên m và bm nguyên
………
3 Bội số chung nhỏ nhất :
a
48 là BSC
b
cho các ! > (Ký là D)
4 Bội số chung nhỏ nhất của 2 số:
a (j lý : Khi hai ! A và B coc BSCNN là D và USCLN là d thì :
D x d = A x B
b Cách tìm BSCNN Cách 1: db vào j lý trên : D = A.B A d = 1 thì D = A.B
d
Cách 2: Phân tích các
A = a b c ; B = a a b g a b b c d g b æçça a b ; b g ; g ö÷÷
÷ ç
è > > > ø
a b c d a b g b
c Cách tìm BSCNN
d Tính
* Ngoài các t/c
D D ; ; lµ nguyªn tè cïng nhau
A B
Chú ý : Khi chia BSCNN
cùng nhau
5 Bài tập áp dụng :
1
`,
1) d nên [(n + 1) – n] d hay 1 d M M M Û d = 1
………
2
`,
2752 và 221 nguyên
2752 và 221
Theo
Trang 14http://kinhhoa.violet.vn 14
USCLN (2752, 221) = 1 nên 2752 và 221 nguyên
3 Chia 7600 và 629 cho
`,
N > 5 (vì ! 4 là 4 và 5)
7600 – 4 = 7596 NM
629 – 5 = 624 NM
Ta tìm USCLN
= 6 hay N = 12
………
4 Tìm hai
`, :
b = 24b Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 = 8
;I" a = 1 => 7 = 7
a = 2 => b = 6 (không L lý)
a = 3 => b = 5
a = 4 => b = 4 (không L lý)
Do > ! L , tìm là: a = 1, b = 7 => A = 24 ; B = 168
a = 3, b = 5 => A = 72 ; B = 120
………
5 Cho ba
`,
Ta có 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2) là tích ba
Suy ra n(n + 1)(n + 2) 8.M
;I" ta có 8n(n + 1)(n + 2) 48M
6 Tìm BSCNN
`, :
* Ta tìm theo cách 1 :
=> d = (3080, 1100) = 220
;I" : D = 3080.1100 15400
………
7 Tìm hai
`, :
Trang 15http://kinhhoa.violet.vn 15
A a = A vµ b = th× a.b = B A B = D.d = D 120 20
2
a = 5
b = 4
;
Suy ra: A = ad = 1.6 = 6 A = 20.6 = 120
………
8 Tìm
còn 4
`,:
N – 1 = BSC
M
………
9 Tìm hai
`,
` hai ! L , tìm là a và b , x a £ b) Ta có a + b = 288 và (a,b) =24 Vì 24 là
,, b = 24 b, trong > a, và b, là hai Do > :
, ,
a £ b
,
, ,
,
24a + 24b = 288
24(a + b ) = 288
a + b = 288 : 24 = 12 ¢
12
Víi a = 1, b = 11 ta cã a = 1.24 = 24, b = 11.24 = 264.
Víi a = 5, b = 7 ta cã a = 5.24 = 120, b = 7.24 = 168.
Hai ! L , tìm là : 24 và 264, 120 và 168
………
10 Tìm hai
`,
` hai ! L , tìm là a và b , x a £ b), d = (a, b) nên a = a’.d,
b = b’.d trong > (a’,b’) = 1 Ta
Trang 16http://kinhhoa.violet.vn 16
[a,b] = a.b ?= > ta có a.b = a’.b’.d2 và [a,b] = a’b’d
(a,b)
Theo w bài, ta suy ra: d = 4320 = 12 vµ a b = , , 360 = 30.
(, $ (a’,b’) = 1 và a’.b’ = 30 thì các ! a = a’.12 và b = b’.12 có tích N 4320 và có BCNN
là 360
;I" tìm hai ! a’ b’ nguyên cùng nhau ( a ¢ £ b vµ cã tÝch b»ng 30 Ta cã b¶ng sau: ¢ )
1 2 3 5
30 15 10 6
12 24 36 60
360 180 120 72
………
11
4 bao nhiêu?
`,
` ! e cho là A Theo bài ra ta có:
A = 4q1 + 3 = 17q2 + 9
= 19q3 + 13 (q1, q2, q3 Î N)
A + 25 = 4q1 + 3 + 25 = 4.(q1 + 7)
= 17q2 + 9 + 25) = 17.(q2 + 2)
= 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2)
nhau, suy ra A + 25 chia
;I" A + 25 = 1292.k (k = 1, 2, 3, 4,….)
Suy ra A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267
Do 1267 < 1292 nên 1267 là ! 4 trong phép chia ! e cho A cho 1292
………
12 Tìm hai
`,
’.d; b = b’.d (a’ và b’ là hai
’b’d Theo w bài ta có: a’b’d – d = 18
(a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ = 18
1 + d
Vì a’b’ là
, ,
a b, a b Ta cã b¶ng sau:
Trang 17http://kinhhoa.violet.vn 17
5
1 2
20 10
2 4
13 Tìm
`,
` ! L , tìm là A Theo w bài ta có: 10000 < A < 15000 (1)
A = 393q1 + 210 (2)
A = 655q2 + 210 (3) (q1, q2 N). [393,655] = 1965
Do > A – 210 = 1965 q (q N), nên A = 1965q + 210
;' q = 5 thì A = 1965.5 + 210 = 10035
;' q = 6 thì A = 1965.6 + 210 = 12000
;' q = 7 thì A = 1965.7 + 210 = 13965
;I" các ! L , tìm là: 10035, 12000, 13965
………
14 Cho các
p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b
8 9 minh N hai trong các ! p, q, r L , N nhau
`,
1 Khi > q = ab + c = 1 + c = ca + 1 = ca + r
… ………
...III ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT – BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT
1 Ước số chung lớn nhất:
Ví
b
chia
Ví
Kí
2 Ước số chung lớn số: (ta
-. ..
abab - baba = (1000a + 100b + 10a + b) - (1000b + 100a + 10b + a)
(1000 + 10 - 100 - 1)a - (1000 + 10 - 100 - 1)b
= 909a - 909b
= 101.(a - b)... :
- Hai
-
-
2 Định lý tỡm cỏc số nguyờn tố :
a
i N,
b
khụng ta làm
3 Phõn tớch số thừa số nguyờn tố:
a