Điểm M x0;y0 cố định không phụ thuộc vào tham số m thì phương trình * có nghiệm x0.y0 không phụ thuộc vào m Lop8.net... Vậy AH không đổi khi A thay đổi trên O..[r]
Trang 1THCS Năng Yên
Đề thi HSG- HS NK Môn : Toán 9 Năm học 2009-2010
( Thời gian làm bài 150 phút )
GV ra đề: Dương Thế Anh
Bài 1( 2điểm ):Cho biểu thức: N = x2-3x y+2y
a) Phân tích N thành nhân tử
b) Tính giá trị của N khi :x = 1 và y =
5 2
1
9 4 5
Bài 2(2điểm)
b) Chứng minh rằng : B = 1 + + +… + > 86
1
1 2
1 3
1 2008
Bài 3(2điểm):
a) Tìm các số :x,y,z thoả mãn: 1 2 1( )
2
b) Giải hệ AB trình:
2 2 2
2009 2009 2009 1005
9
Bài 4( 2điểm):
a)Cho thẳng : y = (1-m)x+ 2m + 1 (x: biến, m: là tham số).Chứng minh rằng
thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m, tìm toạ độ của
điểm đó
b) Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 12cm ; cao AH = 4cm Tính bán kính
tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5(2điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp tròn (O)với trọng tâm G ,BC cố
định Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng :O,G, H thẳng hàng và
AH không đổi khi A chuyển động trên (O)
HếT
Trang 2Câu Hướng dẫn chấm Điểm
a) Điều kiện : y 0
N = x2-x y-2x y +2y = (x- y)(x-2 y)
0,5 0,5
Câu 1
5 2 52
1
Thay vào ta có : N =( 5 2- 2 ).( -2 )
( 5 2)
= 4.(6- 5)
0,5
0,5
= 2009 1
0,5
0,5
Câu2
b) Ta có: B = 1 + + +… +
1
1 2
1 3
1 2008
1 1
2
2 2
2
3 3
2
2008 2008
2
1 2
2
2 3
2
3 4
2
2008 2009
= 2( 2009 1 ) > 2(44-1) =86
0,5
0,5
a) Tìm các số :x,y,z thoả mãn: 1 2 1( )
2
Ta có: ĐK: x 0,y 1,z 2
Từ giả thiết x- 2 x y 2 y 1 z 2 z 2 0
thoả mãn điều kiện
1 2 3
x y z
0,5
0,5
Câu 3
b) Từ : x2+y2+z2=xy+yz+xz 2(x2+y2+z2) -2(xy+yz+xz) = 0
(x-y)2+(y-z)2+(x-z)2= 0 x= y = z
Thay vào AB trình còn lại của hệ ta Y! 3x2009= 32010
x2009=32009 x =3 Vậy hệ có nghiệm:
x=3 y=3 z=3
0,5
0,5
Câu 4
a)Gọi M(x0;y0) là điểm thuộc đồ thị hàm số x 0, y0 phải thoả mãn
AB trình : y = (1-m)x +2m+1 Hay ta có: y0 = (1-m)x0+2m+1
m(2-x0) +x0- y0+1 = 0 (*)
Điểm M (x0;y0) cố định không phụ thuộc vào tham số m thì
AB trình (*) có nghiệm x y không phụ thuộc vào m
0,5
Trang 30 0
1 0
x
0
0
2 3
x y
Vậy với mọi giá trị của m đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm
M(2;3)
0,5
b)Gọi R là bán kính tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có: AH cắt tròn ngoại tiếp ABC tại D
ACD vuông tại C CH2= HA.HD
HA
2
6 9
4
AD =13cm R= 6,5(cm)
0,5
0,5
Câu5
-Xét ΔABC có trọng tâm G thuộc trung tuyến AI (hình vẽ)
Kẻ kính AM ta có : MC AC, BH AC MC//BH
$B tự : BM//CH Tứ giác BMCH là hình bình hành I là trung
điểm của HM Trong AHM có AI là trung tuyến và G là
trọng tâm AHM mà HO cũng là trung tuyến AHM nên G HO
Do đó : G,H ,O thẳng hàng
-Ta có:
OI là trung bình
của AHM OI = AH 1
2
AH=2.OI
-Vì: B,C cố định I cố định
Mà O cố định nên OI không đổi
AH không đổi
Vậy AH không đổi khi
A thay đổi trên (O)
0,5
0,5
0,5
0,5
H G l
O
M
I
C B
A
4
6
O
D
C B
A
Trang 4THCS Năng Yên
Đề thi HSG- HS NK Môn : Toán 7 Năm học 2009-2010
( Thời gian làm bài 150 phút )
GV ra đề: Dương Thế Anh
Bài 1:(2diểm)
a) Cho A= 413 +325-88 Chứng minh rằng A chia hết cho 5
b) Cho : B = 20+21+22+23+………22009
C= 22010
Chứng minh rằng B và C là hai số nguyên jB liên tiếp?
Bài 2:(2điểm)
a) Tìm các số nguyên x,y biết: 5 1
y
b)Tìm các số x,y,z biết: y z 1 x z 2 x y 3 1 ( với : x,y,z 0,x+y+z )
Bài 3(2điểm)
Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 24km /h.Sau đó ca nô
Y! dòng từ bến B về bến A với vận tốc 20km/h Tính thời gian ca nô xuôi dòng , ca nô Y! dòng biết tổng thời gian xuôi dòng và Y! dòng là 5giờ 30 phút?
Bài 4(2điểm) : Cho tam giác đều ABC.Trên hai cạnh AB,AC lần FY lấy hai điểm M,N
sao choAM = CN.Gọi O là giao điểm của CM và BN Chứng minh rằng :
a) CM = BN
b) Số đo của góc BOC không đổi khi M và N di động trên hai cạnh AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN
Bài 5:(2điểm):
Cho tam giác ABC có AB <AC Tia phân giác của BACA cắt BC tại D
Chứng minh rằng: CD>BD
HếT
Trang 5Câu Hướng dẫn chấm Điểm
a) A= 413 +325-88 = 226+225-224 = 224(22+2- 1)
= 224.5 5 A 5
0,5 0,5
Câu 1
b)Hiển nhiên: B > 0,C >0 và B,C Z
Ta có: 2B = 2+ 22+ 23+……+22010
B = 2B – B = (2 + 22+23 + …….22009+22010) –
(1+2+22+….+22009) = 22010-1
Mà : C = 22010 C và B là hai số nguyên jB liên tiếp
0,5 0,5
a)-Từ giả thiết : 5 1 x(1-2y) = 40 (*)
y
x
-Vì x,y Z 1-2y Z mà 1-2y là số nguyên lẻ nên từ (*) có 1-2y là
J! số lẻ của 40
1-2y =1 y= 0 x=40
1-2y = -1 y=1 x=-40
1-2y = 5 y=-2 x=8
1-2y=-5 y=3 x=-8
0,5
0,5
Câu2 b)-Từ GT áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
(vì :x+y+z ;và
2
x,y,z 0)
-Thay vào đề bài ta có: 0, 5 x 1 0, 5 y 2 0, 5 z 3 2
x=
0,5
0,5
Câu 3
-Gọi: thời gian đi từ bến A đến B là : t1(h)
Thời gian đi từ bến B về bến A là : t2(h)
-Vì tổng thời gian cả đi lẫn về là : 5h 30’ = (h) nên ta có :11
2
t1 + t2 =11
2
-Do chiều dài quãng sông không đổi nên vận tốc ca nô và thời gian
đi của ca nô là 2 đại FB tỉ lệ nghịch
Ta có :t1.24 =t2.20 1 2
-Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
1 2 1 2 11 1
-Suy ra : t1 = 20.1 2, 5 (h)
8
t2 = 24 1 3(h)
8
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Trang 6Câu 4
a)Ta có :XétΔACM và ΔCBN
AM=CN(gt) A=C(=60 ) AC=CB(gt)
CM = BN
b) Vì : ΔACM=ΔCBN ( theo phần a) A A C =B1 1
-Ta có : A A A A 0
1 2 1 2
B +C =C +C =60
1 2
BOC 180 (B C ) 180 60 120
Hình
0,25 0,5
0,25 0,5 0,5
Câu5
-Ta có :lấy điểm E trên cạnh AC sao cho
AE =AB
Xét ABD = AED( c.g.c)
BD = DE và
-Ta có : DEC>ADEA A (t/c góc ngoài tam giác)
ADEC>ADBA
Mà :ADB>ECDA A (t/c góc ngoài tam giác)
ADEC>ECDA
CD >DE (Quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)
CD > BD
Hình
0,25 0,25 0,5
0,5
0,5
E
D
C B
A
1 1
N M
2 O
C B
A
Trang 7THCS Năng Yên
Đề thi HSG- HS NK Môn : Toán 8 Năm học 2009-2010
( Thời gian làm bài 150 phút )
GV ra đề: Dương Thế Anh Câu (1,5điểm): Cho biểu thức: 2 3 2
B
a)Tìm điều kiện của x để B xác định và rút gọn B
b)Tìm x để =1 và =2009B B
c) Tìm các giá trị nguyên của x để: 2B2 nhận giá trị nguyên?
x -1
Câu 2(2điểm): Giải AB trình :
a) 2 2 7 2 32 ; b) (x2-1)2 = 4x+1
Câu 3 (2điểm):
Cho a+b+c = 2009 và 1+1+ =1 1 Chứng minh rằng tồn tại một trong 3 số a,b,c
bằng 2009
Câu 4(2,5điểm):
Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BC Kẻ AH vuông góc với BC, AP vuông góc CK( H thẳng BC, P
thẳng CK) Gọi I là giao của AP và BC.chứng minh rằng:
a) Tam giác AIB cân
b) AC2= AB.(AB +BC)
Câu 5 (2điểm):
a) Tìm nghiệm nguyên của AB trình: xy- 2x-3y +1 = 0
b) Cho một hình vuông và một lục giác đều có chu vi bằng nhau.Tính diện tích của lục giác đều nếu biết diện tích hình vuông là 12cm2
HếT
Trang 8Câu Hướng dẫn chấm Điểm
a)ĐK; x 2
B
1
x
0,5
b) =1B x 1=1 2 (Loại x=2 vì ĐK)
0
x x
Câu 1
c)Ta có: 2B2 =
x -1
x
B có giá trị nguyên (khi x nguyên)x+1 là J! của 2
x= 0 hoặc x=-3 (thoả mãn)
1 ( 1, 2)
x
0,5
a)ĐK: x 3
(x2-x)(x-3) –x2(x+3) = 3x-7x2
2
x3-3x2-x2+3x-x3-3x2-3x+7x2= 0
0x = 0
Suy ra: Nghiệm của AB trình là : x R ,x 3
0,5
0,5
Câu2
c) (x2-1)2= 4x+1(x2-1)2- 4x- 1= 0x2(x2-2)-4x = 0 x( x3-2x-4) =0 x(x-2)(x2+2x+2) = 0
( vì x2+2x+2 = (x+1)2+1 > 0 với mọi x)
2
0 2
x x
2
x x
Vậy AB trình có hai nghiệm : x= 0 ,x=2
0,5
0,5
Câu 3
-Từ giả thiết ta có :1 1 1 1
a b c a b c
(
ab bc ac a b c)( ) abc
(a+b)(b+c)(c+a) = 0 a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
- Nếu : a=-b ta có : Từ a+b+c =2009 c= 2009
- B tự : b=- c a=2009
c=- a b = 2009
0,5 1,0
0,5
Câu 4
a)Tacó : BK = BC (gt) BKC cân
tại B A BKC=BCKA
-Trong ΔAPK có : A A 0
BKC BAI 90 (1)
-Trong PIC có : A A 0
PCI+PIC=90
BKC BIA 90 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BAI=BIAA A
AIB cân tại B
0,25
0,5 K
I
P H
C B
A
Trang 9b)Ta có : ABC=BKC+BCK=2BKCA A A A
Theo GT : ABC=2ACBA A
hay
A BKC=ACBA AKC=ACBA A
Xét ABC và ACK có:
BACA (góc chung) ABC ~ ACK
(chứng minh trên)
ACB=AKC
2
0,5
0,5
0,5
Câu5
a) xy-2x-3y+1 = 0 x(y-2) -3(y-2) = 5(x-3)(y-2) =5(*) Vì x,y Z x-3,y-2 Z ,do đó từ (*) ta có:
hoặc ; ;
2 1
x y
3 1
x y
x y
x y
Suy ra nghiệm nguyên của AB trình là:
; ; ;
8 3
x y
4 7
x y
2 1
x y
2 3
x y
b) Diện tích hình vuông ABCD là 12cm2
cạnh hình vuông : a= AB =
Chu vi hình vuông là: 8 3(cm) Chu vi EFGHIK là : 8 (cm)
Cạnh lục giác đều:
a’ = IH = 8 3 4 3(cm)
h = =
2
Suy ra diện tích lục giác đều là:
S = 6.SOIH = 6.1 4 3 .2=8 (cm2)
0,25 0,25
0,5
0,5
0,5
2 3
h
O K
G
F E
B A
Trang 10Bài 4(1,5điểm)
Cho tam giác AMB cân tại M Trên tia đối của tia MB lấy điểm C sao cho: MB=MC Chứng minh rằng : CABA = 900
1
Â1=
2
B tự có: Â2=1AMBA
2
2
0 0
1
1
C
M B
A