C.Kết luận và đề nghị I/KÕt luËn vµ bµi häc kinh nghiÖm Đề tài "Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên"mà tôi trình bày trên đây,qua việc sử dụng đề tài tôi th[r]
Trang 1A phÇn më ®Çu
I- Lý do chọn đề tài
Toán
phát
khoa
'
sách giáo khoa
ra bài toán
thì
G 2 ( hàm 1$
các
( bài toán ) M%A lí Pecma"
Qua quá trình
II- Nhiệm vụ nhiên cứu:
sinh, tôi
1.Nghiên
2.Nghiên
III- Đối tượng nghiên cứu:
nguyên tôi
IV- Phương pháp nghiên cứu:
hành trình bày
< hai là: Q 1 )* pháp )K dùng 0 "& )* trình (
V- Thời gian nghiên cứu:
Trang 2B Néi dung
I - Cơ sở lí luận
Ngoài
không có qui
cách
linh
có
không
II - Cơ sở thực tế và khảo sát ban đầu:
Nh÷ng
+ 30%
+ 5%
III - Các biện pháp để thực hiện đề tài
PhÇn 1: Ki ến thức cơ bản
1 Khái
Xét )* trình: f (x,y,z) = g (x,y,z )
0 mãn )* trình $ x,y,z, là _
2
3
+ Các tính
+ Tính
+
Trang 3+Cụng
+Cỏc quy
Khi khụng
vào )* trỡnh đã cho theo / U
ta suy ra cỏc _ 0
) , , (x0 y o z0
' cỏc giỏ A nào
trỡnh
Ph ần 2: Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình
v ới nghiệm nguyên
1 /Ph ương pháp dùng tính chia hết
1.1/Ph ương pháp phát hiện tính chất chia hết của một ẩn.
*Ví d S 1: Gi0i ph)*ng trình v(i nghiệm nguyên
2x+13y=156 (1) GV: Em có nh'n xét gì v3 13y v à 156 (nhận xét về tính chia hết)
HS: 13y 13 v à 156 13
GV: % ( 2x+13y) thì 2x ph0i chia h&t cho s1 nào? 13
HS : 2x 13
GV: T4 ó các em hãy tìm ra công th/c nghi9m c#a ph)*ng trình
Gi ải
Gi0 se x,y là các s1 nguyên tho0 mãn ph)*ng trình (1) ta th2y 13y và 156
3u chia h&t cho 13 nên suy ra: 2x 13 x (vì 2 v à 13 nguyên tố cùng 13
nhau)
%.t x=13t ( t Z ) thay vào ph)*ng trình (1) ta )>c:
2.13t + 13y = 156 2t y 12 y 12 2t
t y
t x
2 12
13
Z
%0o l-i thay các bi u th/c c#a x và y vào (1) ph)*ng trình )>c nghi9m
úng
V'y ph)*ng trình (1) có vô s1 nghi9m nguyên (x;y) @A biểu thị bởi công
thức (t Z )
t y
t x
2 12
13
1.2/ Phương pháp đưa về phương trình ước số:
Ví dụ2 : Tìm các nghiệm nguyên của @H trình
xy + x - y = 2
GV : 5@J dẫn học sinh thêm hoặc bớt 1 số nào đó vào 2 vế của @H trình sao cho vế trái phân tích @A thành tích các nhân tử vế phải là 1 số Sau đó dựa vào
@J của vế phải mà tìm nghiệm của @H trình S@H trình dạng @ vậy gọi là
@H trình @J số
Giải
Trang 4xy - x - y = 2
x(y 1 ) (y 1 ) 3
(y 1 )(x 1 ) 3 vì x;yZ y 1 ;x 1 Z Và là @J của 3.Các @J của 3 là
1 ; 3
Do vai trò bình đẳng của x và y trong @H trình nên có thể giả thiết rằng
khi đó
y
x x 1 y 1
Ta có :
Do đó :
Vậy nghiệm của @H trình là : (4;2);(2;4);(0;-2);(-2;0)
*
1.3/ Phương pháp tách ra các giá trị nguyên
*Ví dụ 3 : Tìm các nghiệm nguyên của @H trình :
x2 xy 6x 5y 8
GV : Hãy biểu thị y theo x
HS : y =
5
8
6 2
2
x
x x
GV: Em hãy tính biểu thức thành phần nguyên cộng với một biểu
5
8
6 2
2
x
x x
thức có tử là 1 số
HS : x = = x-1 +
5
8
6 2
2
x
x x
5
3
x
GV : vì y Z;x 1 ZVậy suy ra điều gì ?
5
3
x Z x5
GV : Từ đó em hãy giải tiếp bài toán
Giải
x2 xy 6x 5y 8
8 6 )
5 (
8 6 5
x x x
y
x x y xy
* x = 5 @H trình có dạng 0y =13 vô nghiệm
* x 5 y = =
5
8 6
x
x x
5
3 1
x x
Do y Z nên là @J của 3
5
3
x Z x 5
Ta có :
Trang 5x 6 4 8 2
Vậy nghiệm nguyên của @H trình là : (6;8);(4;0);(8;8);(2;0)
GV:chú ý ví dụ 2 cũng có thể giải theo @H pháp tách ra các giá trị nguyên
đó là:
Ví dụ2: Cách2: xy - x - y = 2 x(y-1) = y + 2 (y 1)
1
2
y
y
(Nếu y = 1 thì 0x = 3 ( vô nghiệm ))
do x là số nguyên nên y - 1 là @J của 3 Từ đó tìm @A
1
3 1
y x
nghiệm của @H trình là: (4;2) ,(2;4) ,(0;-2),(-2;0)
* * *
2/ Phương pháp xét số dư của từng vế
* Ví dụ 1 : Chứng minh rằng các @H trình sau không có nghiệm nguyên
a.x2 y2 2002
b.x2 y2 2003
GV : Em có nhận xét gì về số !@ của từng 2 2chia cho 4
; y x
HS : 2 2chia cho 4 chỉ có số !@ là 0 hoặc1
, y x
GV:vậy số !@ của 2 2và chia cho 4 là bao nhiêu ?
y
y
x
GV:2003,2002 chia cho 4 có số !@ là bao nhiêu ?
Từ đó ta có cách giải:
Giải
a/ Dễ chứng minh @A 2 2chia cho 4 chỉ có số !@ là 0 hoặc1 nên
; y
chia cho 4 có số !@ 0;1;3 còn vế phải chia cho 4 !@ 2
Vậy @H trình không có nghiệm nguyên
b/ 2 2chia cho 4 có !@ là 0;1 nên chia cho 4 có số !@ 0;1;2 còn vế phải 2003
; y
chia cho 4 !@ 3.Vậy @H trình không có nghiệm nguyên
*Ví dụ5:Tìm các nghiệm nguyên của @H trình : x y2 y
2 9
GV:cho HS nhận xét tính chia hết và chia có !@ của 2 vế để đi đến cách giải
Giải: x y2 y
2
Ta thấy 9x + 2 chia cho 3 !@ 2 nên suy ra y( y + 1) chia cho 3 !@ 2 y = 3k + 1
y + 1 = 3k + 2 (k Z)
Khi đó: 9x + 2 = ( 3k + 1) ( 3k + 2)
9x = 9k (k + 1)
x = k( k + 1 )
Thử lại: y = 3k + 1, x = k ( k + 1) thoả mãn @H trình đã cho
Vậy @H trình đã cho có nghiệm ( x; y) trong đó: (k Z)
k(k 1 )
x
Trang 63/ Phương pháp dùng bất đẳng thức
3.1/ Phương pháp sắp thứ tự các ẩn.
Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên !@H của @H trình
x + y + z = xyz ( 1)
GV: Do vai trò bình đẳng của x,y,z trong @H trình, nên giả sử 1
chia 2 vế cho z ta @A Từ đó suy ra kết quả
z z y x
z
y
Giải:
Vì x,y,z có vai trò bình đẳng trong @H trình
Giả sử 1 x yzxyz xyz 3z
Chia cả hai vế của bất đẳng thức: xyz 3z cho số !@H ta có:
1 , 2 , 3
xy
+ Với: xy = 1 ta có x = 1, y = 1 thay vào (1) ta @A 2 + z = z ( loại) + Với: xy = 2 ta có x = 1; y = 2 thay vào ( 1) ta có : 1+2+z = 2z z = 3 + Với xy = 3 ta có x = 1; y = 3 thay vào ( 1) ta có : 1+3+z = 3z z = 2 ( loại) vì ta giả sử z y
Vậy nghiệm của @H trình là ( 1;2;3) ; ( 2;1;3) ; ( 1;3;2); (2;3;1); ( 3;1;2); (3;2;1)
3.2/ Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn:
* Ví dụ 7: Tìm các nghiệm nguyên !@H của @H trình
4
1 1
y x
GV: 5@J dẫn học sinh lập luận để đi đến giới hạn khoảng nghiệm của x hoặc y rồi từ đó tìm ra kết quả
Giải
Do vai trò bình đẳng của x và y nên giả sử 1 x y thì ta suy ra: vì
y x
1
1 8
2
1
1
4
x
y
x
mặt khác: < ( vì > 0 ) x > 4
x
1 4
1
y
1
Vậy khoảng giá trị của x là: 4 < x 8
Ta có:
Vậy @H trình có nghiệm là: ( 5;20) ; (20;5) ; ( 6;12) ; ( 12;6) ; (8;8) GV: có thể giải @H trình trên bằng cách @ về @H trình @J số là:
Trang 7từ đó tìm ra x;y
16 ) 4 )(
4 ( 0 4 4 4
1 4
1 1
xy
y x y
x
3.3/ Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên.
* Ví dụ 8: Tìm các số tự nhiên x sao cho x x x
5 3
GV: S@H pháp này cho học sinh nhận xét chỉ ra các nghiệm của @H trình rồi chứng minh cho @H trình đó không còn nghịêm nào khác
ở ví dụ 8 GV cho HS nhận xét x = 0 ; x = 1 ( các giá trị đặc biệt) rồi chứng minh không còn giá trị nào khác là nghiệm
Giải:
x x x (1)
5 3
5
3 5
x x
+ Với: x = 0 thì vế trái của @H trình (1) = 2; vế phải băng 1 nên x = 0 không phải là nghiệm
+ Với: x = 1 thì vế trái của @H trình (1) bằng 1, đúng vậy x = 1 là một nghiệm của @H trình
+ Với: x 2 thì < <
x
5
2
5
5
3 5
2
5
3 5
2
và < < 1 ( loại)
x
5
5
3 5
2 5
3
Vậy @H trình không có nghiệm
Trả lời: S@H trình có nghiệm duy nhất là x=1
3.4/ Sử dụng điêù kiện 0để phương trình bậc hai có nghiệm
GV: S@H pháp làm là viết @H trình f( ,y) 0!@J dạng @H trình bậc hai một ẩn (chẳng hạn đối với x) khi đó y là tham số Điều kiện để @H trình có nghiệm là 0 (để có nghiệm nguyên còn cần là số chính @H1
*Ví dụ 9: Tìm các nghiệm nguyên của @H trình
2 2 (1)
y x xy
y
x
Giải:
y x xy y
x
x2 (y 1 )x (y2 y) 0 (2)
Điều kiện cần để @H trình (2) có nghiệm là 0
Ta có:
3
4 ) 1 ( 4 ) 1 (
3
0 1 6 3 0 1 6 3 0
1 6 3 ) (
4 ) 1 (
2 2
2 2
2 2
2
y y
y y y
y
y y y
y y
Suy ra: *y-1=1y=2 thay vào (2) @A#x2 x3 2 0giải @H trình này ta
@A#
x=1; x=2
Trang 8*y-1=0y=1 thay vào (2) @A x2 x2 0 x 0 ;x 2
Thử lại các giá trị trên nghiệm đúng @H trình (1)
Vậy @H trình (1)có nghiệm là (0;0) ;(1;0) ;(0;1) ;(2;1);(1;2) ;(2;2)
* Chú ý: có thể giải bất @H trình 3y2 y6 1 0theo các xét dấu của tam thức bậc hai đó là @H trình 3y2 y6 1 0có 2 nghiệm là Do đó bất
3
12
3
y
@H trình3y2 y6 1 0
3
7 3
1 3
4 3 3
4 3 3
12 3 3
12
Từ đó suy ra x
*
Phần 3: Kết quả thu được của đề tài
Sau khi thực hiện xong đề tài này tôi thấy phần lớn học sinh làm thành thạo dạng toán về @H trình nghiệm nguyên ,các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này Qua kiểm tra khảo sát,kết quả thu @A @ sau :
+ 80% Số học sinh giải @A bài tập trung bình
+ 40% Số học sinh giải @A bài tập khá khó
+ 10% Số học sinh giải @A khó
@ vậy so với kết quả %@J khi thực hiện đề tài rõ ràng kết quả thu @A cao hơn nhiều Không những thế đề tài còn giúp các em mạnh dạn hơn ,tự tin hơn, gây sự
@ phấn cho các em khi gặp dạng toán
Trang 9C.Kết luận và đề nghị
I/Kết luận và bài học kinh nghiệm
Đề tài "Một số @H pháp @o dùng để giải @H trình nghiệm nguyên"mà tôi trình bày trên đây,qua việc sử dụng đề tài tôi thấy nó mang lại hiệu quả rất lớn trong quá trình giảng dạy đó là:
+ Đề tài giúp cho học sinh thấy @A tầm quan trọng của việc giải @H trình đó
là tổng hợp rất nhiều kiến thức liên quan.Vì thế đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản và sau đó vận dụng linh hoạt @A kiến thức đó vào giải bài tập + Đề tài giới thiệu một số @H pháp @o dùng đề giải @H trình nghiệm nguyên.Trong mỗi @H pháp tôi @ ra một số ví dụ điển hình có tính chất giới thiệu để giảng mẫu ,để các em nhận dạng nhanh @H trình và tìm ra @H pháp hợp lí nhất Tuy nhiên có một số bài về @H trình nghiệm nguyên khi giải không thể áp dụng các @H pháp trên @A mà đòi hỏi học sinh phải suy luận để giải quyết
+ Đề tài giúp cho học sinh rèn luyện thêm về kĩ năng giải toán khoa học, ngắn gọn
và lô gíc
* *
*
II /Đề nghị với các cấp
Với những hiệu quả thu @A của bản thân và học sinh tôi thấy đề tài mang tính khả thi lớn Do kinh nghiệm còn hạn chế tôi mong muốn và đề nghị các đồng chí đồng nghiệp đặc biệt là các cấp ngành bổ sung ,góp ý chân thành để đề tài có kết quả khả quan hơn nữa khi áp dụng
Tôi chân thành xin cảm ơn Ngày:30/3/2008 @o viết:
Mai Thị Thi