Chuyên đề Những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai

Giaûi phöông trình: 4 x 4  HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phöông trình tích... Tìm soá nguyeân k nhoû nhaát sao cho phöô[r]

Trang 1

NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI A-MỤC TIÊU:

HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai

HS:Biết được các sai lầm cần tránh

HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.

B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra

Tiết 1,2:

I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a 0)(1)

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Xet hệ số a có hai khả năng:

a) Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m

Giả sử a = 0 <=> m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0

Ta biên luận tiếp

b) Trường hợp a 0 

Lập biệt số = b 2 –4ac hoặc ’ = b’ 2 –ac

Biện luận théo từng trường hơp : > 0 ; = 0 ; < 0  

Sau đó tóm tắt phần biên luận trên

II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:

 Có hai khả năng xẩy ra :

a) a = 0, b 0

b) a 0 ,    0

III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:











 0

0

a

IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:























0

0 0

V

b

a

V BÀI TOÁN 5:

1) Điều kiên hai nghiệm cùng dấu

0

;

0 



2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:



























0 0 0

a

b

S

a

c

P

3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:



























0 0 0

a

b

S

a

c

P

3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu:

P< 0 hoặc a và c trái dấu

VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia:

Trang 2

 Ta thay x = x1 vào (1) Giải tìm m

 Hoặc dựa vào S ;P tìm m

VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK:

t x

x

n x x h

x x k

x x x

x





















3

2

3

1

2 1

2 2

2 1

2 2

2 1 2

1

)

5

1 1 ) 4 )

3 )

2 )

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Điều kiên chung :  0Theo Định lý Vi et ta có :



















a

c x x

a

b x x

2 1

.

a)Trường hợp : x1  x  2 ( 3 ) Ta giải HPT => x1 ;x2 Thay các giá trị x1x2 vào























2 1

x

b x x

x1x2 = giải tìm giá trị của tham số

a

c

b)Trường hợp :x1 +x2 = k <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trị thamsố m c) Trường hợp : x1 +x2 h <=> (x1+x2)2 –2x1x2 h Giải BPT tìm m

Một số ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x2–4x +m = 0 (1)

Trước hết ta tính = b 2 –4ac = = 4-m

a) Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt

b) Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép

c) Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho PT x2- 3x –m = 0

a) Tìm m để PT có nghiệm

b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại

HD: = b 2 –4ac = 9 +4m

a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m 0

b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-)2 +3(-2) – m = 0 <=> Giải PTb tìm giá trị của m

Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x1 và x2 thõa mãn:

a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị

b) 2x1+ 3x2 = 13

HD:Tính = m 2 +14m +1

PT có hai nghiệm <=> m2 +14m +1 0 Giải BPT xác định m

a) Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức;

) ( ) 3 ( 6

) 2 ( 5

) 1 ( 1

2

1

2

1

2

I m

x

m x

x



























Giải HPT tìm m

b) Giải Tương tự như câu a

Ví dụ 4:

Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức

x1 +x2 = 10

HD: = a 2-4a –28 PT có hai nghiệm <=> a2-4a –28 0

Biến đổi x1 +x2 = 10 <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = 10

Trang 3

Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m

Ví dụ 5:

Cho PT x2+ax +1 = 0 Tìm các giá trị của a để PT có hai nghiệm thoã mãn 7

2

1 2 2

2

























x

x x

x

Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP:

Bài 1: (TN 1996)

1 Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai:ax2bx c 0 (a0)

2 Giải các phương trình:

2y 3 11y 19 0

b/ 4t212t 9 0

Bài 2: (TN 2001)

Cho phương trình bậc hai: x22(m 1)x m2 3m 0 với m là tham số

1 Giải phương trình với m = 8

2 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0

Bài 3: (TS 10 - 1993)

Cho phương trình : x2(1 m x m) 0 (1) với m là tham số

1 Giải phương trình (1) với m = 2

2 Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2

3 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m

Bài 4: (TS 10 - 1996)

Cho phương trình : mx2(m 1)x 3(m 1) 0 (1) với m là tham số

1 Giải phương trình (1) khi m = 2

2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép

3 Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x1 và x2 Chứng minh rằng:

3

x x

Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996)



2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 22 2 1 22 2 2 7



HD:

1) Tập xác định D R\ 4; 5; 6; 7

  

2





trình đưa đến 2 nghiệm x13;x 2

2) Tập xác định D R

Trang 4

Đặt 2  2 , ta có , ta loại nghiệm Với

2

3

1 6

5

t









3 5

t

tx x

Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997)

Cho phương trình: x22mx 2m 3 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 1

2 Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

3 Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng 14 và hai cạnh góc vuông có độ dài

x1 và x2 là hai nghiệm của (1)

1 2

0

0, 0

0

x x









Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)

Giải phương trình:   4 4

x x

x a x b M

2

a b

mt n mt n M

biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t

Một số phương trình tham khảo:

   

 

4





Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)

Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: x2px 1 0; c, d là hai nghiệm của phương trình:

a c a d b c b d p q

HD: Aùp dụng định lý Víét ta có hệ , sử dụng để biến đổi VT bằng VP

1 1

ab cd





 



 



 



Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)

Giải phương trình: 4x42x3 8x2 3x 9 0

HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phương trình tích

Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)

Cho phương trình: x2 6 2x kx 4 0   1

1 Giải phương trình trên khi k = -1

2 Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm

Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004)

Cho phương trình: x2px q 0 (ẩn x) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình

1 Xác định các hệ số p, q biết x1, x2 thỏa: x1x2 5 và 3 3

x x

n

3 Giả sử x1, x2 là các số nguyên và p + q = 198 Tìm x1, x2

Bài giải:

Trang 5

1 Vì x x1, 2 là các nghiệm của phương trình nên ta có :

1 2 2

0 0

0

n







 



, với

  *

S  pS qS

2 Theo định lý Víet ta có 1 2 , kết hợp với giả thiết ta tìm được

1 2







1 6

p q





 



nguyên x x1, 2 của phương trình (*) Do 199 là số nguyên tố nên:

*







Bài tập tương tự: Gọi x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình ax2bx c 0  1

Đặt 1n 2n, với

n

S x x n1, 2,

aS  bS cS

2 Aùp dụng tính

A 





1 2 2

1 2

1

2

x x x



 



1 , 2

Aùp dụng (*) cho (2) ta có A 18

Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997)

Giải phương trình: 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2

HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình

Từ (1), (2) và (3) ta có

   

2





VT VP x

Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:

  *

x x x x x x

VT x x x

 

2 2

*

2

x x













Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997)

Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình x2ax 1 0 với một nghiệm nào đó của phương trình x2bx 1 0 là nghiệm của phương trình x2cx 1 0

Chứng minh rằng: a2b2 c2 abc 4

Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001)

Cho phương trình a1x2 2a 1x a 2 0 với a là tham số

Trang 6

1 Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2 Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3? Tính nghiệm còn lại

3 Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:

 1 2 1 2

4 x x 7x x

ax a b x b

1 Với giá trị nào của a thì (1) là phương trình bậc hai

2 Giải phương trình (1) khi a3 1 ; b 3 1

3 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b

Cho phương trình x2mx m 1 0   1

1 Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm

2 Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của:

1 2

2 1

x x P







Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001)

Cho phương trình (a, b là tham số): ax2ab 1x b 0

1 Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm

2 Tìm giá trị của a, b để phương trình có một nghiệm kép là: 1

2

1 Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình x2x a1 a 0 trái dấu?

2 Giải phương trình x2px 35 0, biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74

Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2m 4x m2 3m 3 0, m là tham số

x x

121





Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và c 0 Chứng minh rằng nếu phương trình x2ax bc 0  1

và phương trình x2bx ca 0   2 có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thỏa mãn phương trình x2cx ab 0   3

HD: (Sử dụng định lý Viét).

Gọi là nghiệm chung của (1) và (2), ta có x0 , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta

 

0 0

 









được a b x 0 c a b  x0 c gt , vậy nghiệm chung của (1) và (2) là x0 c Gọi và x1 x2

lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo định lý Víet ta có

Trang 7

Hay a và b là nghiệm của (3) Đây là





    

điều cần chứng minh

x p x q

HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm 2 1 1   1 có nghiệm

2 2

0 0

 









Đặt y x 2, ta có hệ 1 1

0 0

y p x q











 Nếu p1 p2: Giải hệ phương trình này ta có nghiệm Do

2 1

1 2 1 2

x

q p p q y



 



 



2

y x

2





 

 Nếu p1  p2 ta có hệ 1 1 Hệ này có nghiệm khi , khi đó rõ ràng (*) cũng





 

đúng Vậy (*) đã được chứng minh

Bài tập về điều kiên có nghiệm chung:

Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:

 

1 2

2 2

2 1 0





HD:

 







Nhân vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế x0 3 , thay vào (1) và (2) rút ra

2

m

Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004)

Giải phương trình x33x2 13x 15 0 (HD: x1x 3x 5 0)

Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004)

1 Giải phương trình: 2x24x 18 7x2 14x 16 6 x2 2x (Xem bài giải của bài 14 và

14’).

2 Cho phương trình: 2x22m 1x m 1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thõa mãn: 3x1 4x2 11

Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình x2mx n 0   1 có nghiệm, thì phương trình:

cũng có nghiệm

  2







HD: Với (1) có nghiệm ta có m2 4m 0   3

Trang 8

Kết hợp với (3) khi đó (2) có 2 1 2 1 2 1 2 2  Vậy (2) có







nghiệm

x p x q

hệ số thỏa mãn điều kiện p p1 22q1 q2 thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm

1 p1 4 ,q1 2 p2 4q2 1 2 p1 p2 4 q1 q2



Từ p p1 2 2q1 q2 4q1 q2 2p p1 2,

nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm

Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:

 

2

ax bx c

bx cx a

cx ax b



  2  2 2

1

0



Bài 27*: Cho a, b là 2 số sao cho 1 1 1   1 Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình sau

2

b c

đây có nghiệm: x2 bx c 0   2 , x2 cx b 0   3

HD: Từ (1) suy ra:

Do đó ít nhất

   2   2  2 2   2 2  2

1 trong 2 phương trình trên có nghiệm

Bài 28*: Phương trình ax2bx c 0   1 có đúng một nghiệm dương là chứng minh rằng x1

phương trình cx2bx a 0   2 cũng có đúng một nghiệm dương và x2 x1x2 2

HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình).

Giả sử x1  0 là nghiệm của (1), khi đó ta có 2 , chia 2 vế của phương trình cho

1

x





1 0

x x





Bài 29: Giả sử phương trình ax2bx c 0   1 có 2 nghiệm dương x x1, 2 Chứng minh rằng phương trình cx2bx a 0   2 cũng có 2 nghiệm dương x x3, 4 Chứng minh  *

x x x x

HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho và 2 , ta có:

1

2

x

, nghĩa là (2) nhận và làm 2 nghiệm dương của nó

2

0

 

 

















1

Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm x x x x1, , ,2 3 4 ta có kết quả

Bài 30: Cho phương trình bậc hai: x2mx m 1 0

Trang 9

1 Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x x1, 2 với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng

1 2 6 1 2

A x x x x

a/ Chứng minh A m2 8m 8

b/ Tìm m sao cho A 8

c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng

Bài 31 ** : Giải các phương trình sau:

1 2x2  3x 1 2 x2 5x 1 9x2   1

2 x1x 3x 5x 7 297   2

3 4x5x 6x 10x 12 3x2 0   3

4 x32x2 2 2x 2 2 0   4

5 2x33x2 2 0   5

6 x 14 2x4 1   6

7

   7







2

2 2

2

x x x x x

x x









10

49







HD: 1) Rõ ràng x 0 không thỏa (1)



1

t x

x



9

t





11

t





Với tx2 4x 5 Giải tiếp



 

1

3 2

t

 







Trang 10

(với t x 60 16),

x



4) Đưa về phương trình tích x32x x 2 23 x 2x2 2 2x 2 0,



1

2

y

x





6) Khai triển rút gọn x44x3 6x2 4x 1 0, chia 2 vế cho rồi đặt x2 t x 1, ta đưa về phương

x



trình t24t 8 0 t 2 2 3 x 1 3 3 2

1.3 1 2 ; 2.4 1 3 ; 3.5 1 4 ; ; (  x x 1) 1 x 1

 

x



 



x

x x









Nên  8 x 1 1 4 x 4

9) Tập xác định: D R\ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 





2 7 1 1 1 1 0

x



  



2 7

2

, phương trình vô

2



 



nghiệm

   

2 2

2

5

3 49

2

y

 







Vậy nghiệm của phương trình (10) là

3994 2 3996 2

x

 



 



Bài 32: Định m để phương trình: m2x2 2m 1x m 3 0 m 2 có nghiệm x x1, 2 và thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m

Bài 33: Cho phương trình x22m 1x m2 3m 4 0

1 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thõa mãn hệ thức

1

x x

2 Tìm hệt thức liên hệ giữa x x1, 2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 34: Cho phương trình: x2mx m 2 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất

x x

Trang 11

Bài 35: Cho phương trình x22x 3 1 0 có các nghiệm x x1, 2 Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức: 12 1 2 22 (ĐS )

1 2 1 2

A







7 8

Bài 36**: Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c   1 a 0 Biết rằng f x x   2 vô nghiệm Chứng minh rằng phương trình 2      * vô nghiệm

0

af x bf x c

HD: Vì (2) vô nghiệm nên x R f x,   x hoặc x R f x,   x

* Nếu x R f x,   x x R f f x,   f x  x x R f f x,   x

, hay (*) vô nghiệm

    2

,



* Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm

Vậy (*) vô nghiệm

Bài 37*:

1 Chứng minh rằng nếu phương trình x4x 2 0   1, có nghiệm dương là thì x0 7

x 

2 Chứng minh rằng nếu phương trình x33x 3 0   2 , có nghiệm dương là thì x0 x05 36

3 Chứng minh nếu phương trình x2ax b 0 có nghiệm Chứng minh x0 2 2 2  *

HD:

0 0 2 2 2 0 0 8 0 0 8

x x x x x x

trong bất đẳng thức không xảy ra vì x0 2, không thỏa (1)

0 3 0 3 2 9 0 0 36 0 0 36

trong bất đẳng thức không xảy ra vì x0 3, không thỏa (2)

Bunhiacốpxki ta có:

 2 2  2   2 4  2 2  2   2

a b x ax b x a b x ax b

Vậy

4

2 0

1

x







Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	169,34 KB