1 Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.. Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD..[r]
Trang 1S GIÁO D C VÀ ÀO T O
H I D ƠNG
CHÍNH TH C
KÌ THI TUY N SINH L P 10 THPT
N M H C 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài 120 phút (không k th i gian giao )
Ngày thi 28 tháng 6 n m 2011
thi g m: 01 trang
Câu 1 (3,0 i m)
1) Gi i các ph ng trình :
a) 5(x + 1) = 3x + 7
b) 4 2 3 4
+
x
2) Cho hai ng th ng (d1): y = 2x + 5; (d2): y = -4x + 1 c t nhau t i I Tìm m ng
th ng (d3): y = (m + 1)x + 2m - 1 i qua i m I
Câu 2 (2,0 i m)
Cho ph ng trình: x2
– 2(m + 1)x + 2m = 0 (1) ( v i n là x)
1) Gi i ph ng trình (1) khi m = 1
2) Ch ng minh ph ng trình (1) luôn có hai nghi m phân bi t v i m i m
3) G i hai nghi m c a ph ng trình (1) là x1, x2 Tìm giá tr c a m x1, x2 là dài hai
c nh c a m t tam giác vuông có c nh huy n b ng 12
Câu 3 (1,0 i m )
M t hình ch nh t có chu vi là 52 m N u gi m m i c nh i 4 m thì c m t hình ch
nh t m i có di n tích 77 m2 Tính các kích th c c a hình ch nh t ban u?
Câu 4 (3,0 i m)
Cho tam giác ABC có A 90 > 0 V ng tròn (O ) ng kính AB và ng tròn (O’)
ng kính AC ng th ng AB c t ng tròn (O’) t i i m th hai là D, ng th ng AC c t
ng tròn (O) t i i m th hai là E
1) Ch ng minh b n i m B, C, D, E cùng thu c m t ng tròn
2) G i F là giao i m c a hai ng tròn (O) và (O’) (F khác A) Ch ng minh ba i m
B, F, C th ng hàng và FA là phân giác c a góc EFD
3) H i H là giao i m c a AB và EF Ch ng minh BH.AD = AH.BD
Câu 5 (1,0 i m)
Cho x, y, z là ba s d ng tho mãn x + y + z = 3 Ch ng minh r ng:
1
x + 3x yz + + y + 3y xz + + z + 3z xy + ≤
- H t - Giáo viên: Hoàng V n Nam – THCS Long Xuyên – Bình Giang – H i D ng
Mail: hoangnamlx80@gmail.com
www.VNMATH.com
Trang 2H NG D N GI I THI TUY N SINH L P 10 N M 2011-2012 T NH H I D ƠNG
MÔN TOÁN ( t 1, ngày 28 tháng 6 n m 2011)
Gi i các ph ng trình:
a) 5(x + 1) = 3x + 7 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1
K t lu n ph ng trình có nghi m x = 1
+
x
x x x x KX : x 0 và x 1≠ ≠ Quy ng, kh m!u c: 4x + 2(x – 1) = 3x + 4 ⇔ x = 2 (th a mãn)
K t lu n ph ng trình có nghi m x = 2
1
(2,0 )
2
T a i m I là nghi m c a hpt: 1
2
I( 1;3)
ng th ng (d3): y = (m + 1)x + 2m – 1 i qua i m I(-1; 3) thì ta có:
3 = (m + 1).(-1) + 2m – 1 ⇔ m = 5
1
Ph ng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m = 0 (1) (v i n x)
*Khi m = 1, pt (1) có d ng: x2 – 4x + 2 = 0
có ∆ =' 2 0> ∆ =' 2
K t lu n PT có 2 nghi m phân bi t: x1 =2− 2; x2 =2+ 2
2 Ta có: ∆ =' m2+ >1 0, m∀ ( pcm)
2
(2,0 )
3
Do ' 0, m∆ > ∀ PT có 2 nghi m x1, x2 Theo nh lí Vi-ét ta có:
1 2
1 2
x x 2(m 1) (2)
= Theo bài: x1, x2 là dài 2 c nh c a m t tam giác vuông có c nh huy n b ng 12 nên x1 > 0, x2 > 0 m > 0 và 2 2 2
x +x =12⇔(x +x ) −2x x =12 (4) Thay (2), (3) vào (4), c: m2 + m – 2 = 0 m 1 (TM)
m 2 0 (loai)
=
⇔
= − <
K t lu n m = 1
*Cách 1: (L p ph ơng trình)
G i chi u dài hcn là x(m), k: 4 < x < 22
Do chu vi hcn b ng 52m nên chi u r ng hcn là: 26 – x (m)
Khi gi m m i c nh 4m thì hcn m i có: chi u dài là x – 4 (m), chi u r ng là 22–x (m)
Do di n tích hcn m i b ng 77m2 nên ta có PT: (x – 4)(22 – x) = 77
2
x 26x 165 0
⇔ − + = Gi i PT c: 1
2
x 15
x 11
=
=
* V i x = 15 thì chi u dài là 15m, chi u r ng 26 – 15 = 11m (th"a mãn)
* V i x = 11 thì chi u dài là 11m, chi u r ng 26 – 11 = 15m (lo i)
K t lu n kích th c hcn là 15m và11m
3
(1,0 )
*Cách 2: (L p h ph ơng trình)
G i hai kích th c c a hcn là x(m) và y(m), k: 4 < x; y < 22
Do chu vi hcn b ng 52m nên ta có pt: x + y = 26 (1) Khi gi m m i c nh 4m thì hcn m i có kích th c là: x – 4 (m) và y - 4 (m)
Do di n tích hcn m i b ng 77m2 nên ta có PT: (x – 4)(y – 4) = 77 (2)
T# (1) và (2), ta có hpt: ( )
x y 26 1 x y 26
xy 165
x – 4 y – 4 77 2
⇔
=
=
www.VNMATH.com
Trang 3x; y là nghi m c a pt: ⇔X2−26X 165 0+ =
- Gi i PT c: 1
2
=
= (th a mãn)
- K t lu n kích th c hcn là 15m và 11m
1
- V hình:
Ta có:
0
BEA 90= (góc n i ti p ch n n a (O)) hay BEC 90= 0
0
CEA 90= (góc n i ti p ch n n a (O’)) hay CDB 90= 0
E, D thu c ng tròn k’ BC hay
b n i m B, E, D, C cùng thu c m t
ng tròn
4 2 1
x
O H
F
E
D
C B
A
2
*Cách 1:
0
BFA 90= (góc n i ti p ch n n a (O))
0
AFC 90= (góc n i ti p ch n n a (O’))
Ta có:
BFC BFA AFC 90= + = +90 =180
B, F, C th ng hàng
*Cách 2:
G i I là giao i m c a AF và OO’
Ta có OO’ là trung tr$c c a AF
OI là ng trung bình c a ∆ ABF nên
BF // OI hay BF // OO’ (1)
O’I là ng trung bình c a ∆ AFC nên
CF // O’I hay CF // OO’ (2)
T# (1), (2) suy ra B, F, C th ng hàng
4
(3,0 )
3
* Trong ∆ DEF có FA là phân giác trong c a EFD AH FH=
AD FD (*)
Ta có FA là phân giác c a EFD và FA ⊥ BC (cmt)
1 2 0
0
1 4 4
=
(do F =3 F )4 FB là phân giác
góc ngoài BFxc a ∆DFH c t DH t i B BH FH=
BD FD (**)
T# (*) và (**) BH AH=
BD AD BH.AD = AH.BD ( pcm)
5
(1,0 )
*Cách 1: (S d%ng B T Bunhiacôpxki) ho c lí lu n nh sau:
Ta có: (a2 + b )(x2 2 + y ) (ax by)2 − + 2 = (ay bx) − 2 ≥ 0
(a + b )(x + y ) (ax by) ≥ +
Ta có: 3x yz x(x y z) yz (x y)(z x) + = + + + = + + ≥ ( xz + xy )2
3x yz + ≥ xz + xy ; 3y xz + ≥ xy + yz; 3z xy + ≥ xz + yz
x + 3x yz y + + + 3y xz z + + + 3z xy x + ≤ + xy + xz y + + xy + yz z + + xz + yz
y
1
www.VNMATH.com
Trang 4*Cách 2:
1
x + x + yz + y + y + xz + z + z + xy ≤ (1)
Tr%c c&n th c ta c:
2
1
1
1
xy yz zx
x x yz y y zx z z xy x + y2+ z2+ xy + yz + zx (2)
Ta i ch ng minh B T (2) úng Suy ra B T (1) úng
Do x, y, z > 0 Theo B T Cô-si (CauChy), ta có:
2 2
2
2 3
2 2
3
2
(3)
(4)
(5)
+ ≤
y xy yz zx
y y zx
z xy yz zx
z z xy
C ng v theo v các B T (3), (4) và (5) ta c B T (2) :
= x2+ y2 + z2 + xy + yz + zx
V y B T (2) úng Suy ra B T (1) úng ( pcm)
Giáo viên: Hoàng V n Nam – THCS Long Xuyên – Bình Giang – H i D ng
Mail: hoangnamlx80@gmail.com
www.VNMATH.com