* Nhaän xeùt: Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví dụ đều chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở trên để thực hành [r]
Trang 1A- PHẦN MỞ ĐẦU
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như: Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9, 10 và về sau này
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm giảng dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng khi phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập
Để giúp học sinh tự học tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh
Đề tài gồm 4 phần: Phần A là mở đầu, phần B là nội dung, phần C là kết quả, phần D là kết luận Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện Một số bài tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân tích đa thức thành nhân tử và một số ví dụ nhận định một số sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
1 Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm được
các phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ năng giải Toán loại này và nhằm phát triển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh
2 Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích đa thức
thành nhân tử
3 Cho học sinh thấy được tầm quan trọng của phân tích đa thức thành nhân tử trong
Toán học, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận sáng tạo của người nghiên cứu khoa học
III ĐỐI TƯỢNG VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
1.Đối tượng nghiên cứu
Học sinh hai lớp 8A, 8B trường PTDT Nội trú Than Uyên
2 Nội dung nghiên cứu
Trang 2Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hay sử dụng trong chương trình Toán THCS, áp dụng máy tính Casio fx-570MS vào phân tích đa thức thành nhân tử
IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, sách tham khảo, tài liệu có liên quan
Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh
B- NỘI DUNG CHÍNH
PHẦN I: THỰC TRẠNG.
Thực tế học sinh ở trường PTDT Nội trú Than Uyên tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế Các em còn nhầm lẫn và chưa thành thạo sử dụng những phương pháp phân tích thành nhân tử, do thời lượng làm bài tập còn ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao
Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như :
Đặt nhân tử chung
Chưa vận dụng thành thạo hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập
Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý
Chưa biết cách tách hạng tử
Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn thì không tìm ra được cách giải
Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :
+ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều
+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học máy móc, hiểu một cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bài tập
PHẦN II: GIẢI PHÁP.
Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:
- Sắp xếp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo các mức độ, từ dễ đến khó.
- Xây dựng các phương pháp phân tích cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử.
Trang 3 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
+ Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
+ Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy
+ Giới thiệu thêm các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
+Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C).
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x – 6y
Giải : Ta có: 3x – 6y = 3 x – 3 2y
= 3 ( x – 2y)
Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 3 do đó ta có thể đưa ra ngoài làm nhân tử chung
theo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định được nhân tử chung
Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(x – y) – 5x(y – x)
Giải :
Ta có : 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) +5x (x – y)
= (x – y)(3 + 5x)
Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(x – y) và – 5x(y – x)
nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung Ta có thể đổi dấu – 5x(y – x) thành 5x (x – y) để xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung
Trang 4Khi dạy học sinh thông qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn luyện cho học sinh được thành thạo về các bước phân tích
Ví dụ3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y)
Giải : Ta có :
5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung ở đây là 5(x – 2y))
= 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y]
= 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y)
* Nhận xét :
Đối với các ví dụ trên khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên như sau :
+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử
+ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.
+ Một số trường hợp sử dụng quy tắc đổi biến để làm xuất hiện nhân tử chung.
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, 5x – 20y
b, x2 + xy – x
c, 10x(x – y ) – 8y (y – x )
d, 14x2 – 21xy2 + 28x2y2
Bài 2: Tìm x biết x3 + x = 0
Bài 3: Chứng minh rằng n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả như sau:
Bài 1:
a, 5x – 20y = 5(x – 4y )
b, x2 + xy – x = x(x + y -1 )
c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) = 2(x –y ).5x + 2(x – y ).4y
= 2(x –y )(5x + 4y)
d, 14x2 – 21x y2 + 28x2y2 = 7x.2x – 7x.3y2 + 7x.4xy2
= 7x(2x – 3y2 + 4xy2)
Bài 2:
Ta có : x3 + x = 0 x(x2 + 1 ) = 0
x = 0 hoặc x2 + 1 = 0
+ TH1: x = 0
+ TH2: x2 + 1 = 0 (vô lý vì x2 0 với x).
Trang 5Vậy x = 0
Bài 3: Ta có n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n n (n + 1) + 2n(n +1)
= n( n + 1)(n + 2).
Khi n Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên 2; 3 mà(2,3) =1 do M đó n( n + 1)(n + 2) 6 M
Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2
A 2 – 2AB + B 2 = (A – B) 2
A 2 – B 2 = (A + B) (A – B) 2
A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 – B 3 = (A – B) 3
A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 – AB + B 2 )
A 3 – B 3 = (A – B) (A 2 + AB + B 2 )
Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích, như vậy học sinh phải học thuộc các hằng đẳng thức
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6xy + 9y2
Giải :
Ta có : x2 – 6xy + 9y2 = x2 – 2.x 3y+(3y)2
= ( x – 3y)2
Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ nhất và thứ ba của đa thức dưới dạng một
lũy thừa để áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu
Qua ví dụ này học sinh chú ý khi một đa thức có ba hạng tử, trong đó có hai hạng tử được viết dưới dạng một lũy thừa thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 7
Giải :
Ta có : x2 – 7 = x2 – ( 7)2
= (x – 7)(x + 7)
Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải được
viết dưới dạng một lũy thừa 7 = ( 7)2.Khi đó hằng đẳng thức sử dụng là hiệu hai bình phương
Trang 6Ví dụ3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2
Giải :
Ta có : (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )]
= (x – y + y – t )(x – y – y + t)
= (x – t )(x – 2y + t)
Nhận xét : Từ ví dụ trên ta chú ý khi áp dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A + B)(A – B)
nếu B là một đa thức thì khi viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, x2 – 4y2
b, (3x – y)2 – (x + 2y)2
c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3
Bài 2: Tính nhanh
a, 1052 – 25
b, 452 + 402 – 152 + 80.45
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2
b, (6x + 1 )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + 1 )( 6x - 1 )
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Một số bước giải và kết quả:
Bài 1 : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)
b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)]
= (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y)
= (4x + y )(2x – 3y)
c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3 (2x)2y + 3.2x.y2 + y3
= (2x + y)3
Bài 2:
a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5)
= 110.100
= 11000
b , 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402 ) – 152
= (45 + 40)2 – 152
= 852 – 152
= (85 + 15 ) (85– 15)
Trang 7= 100 70
= 7000
Bài 3:
a ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2
= (3x – 1 + 2x + 1 )2
= (5x)2
= 25x2
b (6x + 1 )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + 1 )( 6x - 1 ) = [(6x + 1 ) – ( 6x - 1 )]2
= (6x + 1 – 6x + 1 )2
= 4
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + 2
Giải :
Ta có : 5x(x – 2) – x + 2 = 5x(x – 2) – (x – 2 )
= (x – 2) (5x – 1)
Nhận xét : Với ba hạng tử của đa thức trên ta có thể nhóm hai hạng tử thứ hai và thứ ba
với nhau ta được nhân tử chung là x – 2
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – y2 – y
Giải :
Ta có : x2 – x – y2 – y = (x2 – y2) – (x + y )
= (x + y ) (x – y) – (x + y )
= (x + y )(x – y – 1)
Nhận xét: Hạng tử thứ nhất và thứ ba là dạng của hằng đẳng thức nên ta nhóm hai hạng
tử đó với nhau,vậy thì hai hạng tử còn lại nhóm thành một nhóm
Ví dụ3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – y2 + 6x + 9
Giải :
Ta có : x2 – y2 + 6x + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2
= (x + 3)2 – y2
= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
Nhận xét : Nếu ta cứ tiếp tục nhóm hai hạng tử thành một nhóm thì sẽ không phân tích
đa thức trên thành nhân tử được Như vậy ta có thể nhóm ba hạng tử x2 , 6x , 9 thành một
Trang 8nhóm để đưa về một hằng đẳng thức, tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình
phương để ta phân tích
Sau 3 ví dụ, giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a x2 + 4x – y2 + 4
b 3x2 – 3xy – 5x + 5y
c x3 – 2x2 + x – xy2
d x2 – 4 + (x – 2)2
Bài 2 : Làm tính chia
a (x2 – y2 + 6x + 9 ) : (x + y + 3)
b (x2 – 3x + xy – 3y ) : (x + y)
Bài 3 : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực hiện được như sau:
Bài 1 : a x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2+ y ) (x + 2 – y)
b 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x (x – y) – 5 (x – y)
= (x – y) (3x – 5)
c x3 – 2x2 + x – xy2 = x(x2 - 2x + 1 – y2)
= x[(x2 - 2x + 1) – y2]
= x[(x – 1)2 – y2]
= x(x – 1 + y )(x – 1 – y)
d x2 – 4 + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x + 2) = (x + 2 ) (x – 2 + 1 )
= (x + 2 ) (x – 1)
Bài 2: a (x2 – y2 + 6x + 9 ) : (x + y + 3)
Ta có : x2 – y2 + 6x + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2
= (x + 3)2 – y2
= (x + 3 + y )(x + 3 – y)
Do đó (x + 3 + y )(x + 3 – y) : (x + 3 + y ) = x + 3 – y
Trang 9b Ta có: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x (x – 3) + y(x – 3)
= (x – 3) (x + y)
Do đó (x2 – 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – 3
Bài 3 : Ta có : x2 - 2xy + y2 + 1 = (x2 - 2xy + y2) + 1
= (x – y)2 + 1
Vì (x – y)2 0 với x, y R nên (x – y) 2 + 1 > 0 với x, y R
* Nhận xét :
Phương pháp nhóm các hạng tử là phương pháp mà học sinh sai sót và nhầm lẫn như
nhầm từ cách nhóm các hạng tử không hợp lý dẫn đến quá trình phân tích tiếp theo không
thực hiện được hoặc khi nhóm các hạng tử với nhau mà có dấu trừ thì hay sai dấu, vì vậy
mà giáo viên cần chú ý rèn luyện kỹ năng vận dụng cách nhóm cho học sinh
HẠNG TỬ KHÁC.
Ởû phương pháp này có rất nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai ax 2 + bx + c
(a 0) có thể tách hạng tử có bậc cao nhất hoặc tách hạng tử tự do nhưng thông thường ta
tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho : b1 + b2 = b
b1 b2 = a c
Trong thực hành ta có thể làm như sau :
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách
Bước 3 : Chọn 2 thừa số có tích bằng a.c nói trên mà có tổng bằng b
a/ Các ví dụ :
Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16
Giải : Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16
= (x2 – 2x) – (8x – 16)
= x(x – 2 ) – 8(x - 2)
= (x – 2)(x – 8)
Nhận xét : Ở đây ta đã tách -10x thành -2x và -8x, sau đó dùng phương pháp nhóm và
đặt nhân tử chung
Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x – 6
Giải : Ta có x2 – x – 6 = x2 – 3x + 2x – 6
= (x2 – 3x )+ (2x – 6)
Trang 10= x(x – 3) + 2(x – 3)
= (x – 3)(x + 2)
Nhận xét : Ở đây ta đã tách -x thành -3x và 2x, sau đó dùng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung
Ví dụ3 : Tìm x biết : x2 + 5x + 6 = 0
Để tìm được x trước hết ta đi phân tích đa thức x2 + 5x + 6 thành nhân tử
Giải : Ta có x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
= (x2 + 2x )+ (3x + 6)
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
Nên x2 + 5x + 6 = 0 (x + 2)(x + 3) = 0
x + 2 = 0 hoặc x + 3 = 0
+ x + 2 = 0 x = -2
+ x + 3 = 0 x = -3
Vậy x = -2; -3
* Nhận xét:
Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví dụ đều
chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở trên để thực hành
giải bài toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện được kỹ năng sử dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải chú ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm đó cũng chính là phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử.
Sau khi giáo viên dạy học sinh thông qua 3 ví dụ cụ thể của phương pháp tách hạng tử, tiếp theo cho học sinh làm bài tập tự luyện như sau:
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a 16x – 5x2– 3
b x2 – 7x + 12
c 2x2 + 3x – 5
d 4x2 – 3x – 1
Bài 2: Chứng minh rằng
a x(x – 6) + 10 > 0
b -x2 - x - 1 < 0 Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x2 – 6x + 11
B = 2x2 + 10x – 1
C = 5x – x2