TiÕp tôc xÐt hai trêng hîp ®Ó t×m m..[r]
Trang 1Đề c ơng ôn tập toán 9 – phần đại số
CH ƯƠNG 3 : Hàm số y = AX 2 ( a 0)
Ph ơng trình bậc hai một ẩn
A Trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số y =
2 1
2x
Kết luận nào sau đây đúng
A Hàm số trên luôn đồng biến
B Hàm số trên đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
C Hàm số trên luôn nghịch biến
D Hàm số trên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
Câu 2: Cho hàm số y =
2 2
3x Kết luận nào sau đây là đúng.
A y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số trên
B y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
C xác định đợc giá trị lớn nhất của hàm số trên
D Không xác định đợc giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Câu 3: Điểm P ( -1; 2 ) thuộc đồ thị hàm số y = mx2 khi m bằng.
Câu 4: Cho hàm số y = f(x) =
2 1
3x Giá trị của hàm số tại x = 3 là
1 3
Câu 5: Cho hàm số y =
2 1
2x Kết luận nào sau đây là đúng.
A Hàm số trên luôn đồng biến
B Hàm số trên đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
C Hàm số trên luôn nghịch biến
D Hàm số trên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
Câu 6: Cho hàm số y =
2 2
3x
Kết luận nào sau đây là đúng
A y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số trên
B y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
C Không xác định đợc giá trị lớn nhất của hàm số trên
D Xác định đợc giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Câu 7: Điểm P ( -1; 2 ) thuộc đồ thị hàm số y = mx2 khi m bằng
Câu 8: Cho hàm số y = f(x) =
2 1
3x
Giá trị của hàm số tại x = 3 là
1 3
Câu 9: Đồ thị hàm số hàm số y =
2 1
2x
đi qua điểm nào trong các điểm sau đây A.(-2,2); B.( 2; 2); C.( 2; 1); D.( 2; 1)
Câu 10: Điểm Q (
1 2;
2
) Thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau
Trang 2A
2 2 2
2 2 2
; C
2 2 4
2
2
4
Câu 11: Hệ số b’ của phơng trình x2 2(2m 1)x 2m 0 là
A m – 1; B –(2m – 1); C - 2m; D 2m – 1
Câu 12: Một nghiệm của phơng trình 2x2 (k 1)x 3 k 0 là
A
1 2
k
1 2
k
3 2
k
3 2
k
Câu 13: Tích hai nghiệm của phơng trình x2 7x 8 0 là
Câu 14: Biệt thức ’ của phơng trình 4x2 6x1 0 là
Câu 15: Tổng hai nghiệm của phơng trình 2x2 5x 3 0 là
A
3
2
3
5 2
5
2.
Câu 16: Tính nhẩm nghiệm của phơng trình 2x2 9x 7 0 đợc một nghiệm là
A
2
Câu 17: Phơng trình 3x2 4x 3 0 có biệt thức ’ bằng
Câu 18: Tính nhẩm nghiệm của phơng trình 3x2 7x 10 0 đợc một nghiệm là
A
10
3
10
7
3.
Câu 19: Phơng trình x2 4x 5 0 có biệt thức ’ bằng
Câu 20: Tính nhẩm nghiệm của phơng trình 3x2 2x 5 0 đợc một nghiệm là
5
5 3
2
3.
Câu 21: Một nghiệm của phơng trình 5x2 3x 2 0 là
2 5
3
Câu 22: Nếu x x1 , 2 là hai nghiệm của phơng trình 2x2 mx 3 0 thì tổng x1 x2
là
A 2
m
3 2
3
m
Câu 23: Một nghiệm của phơng trình 3x2 2x 1 0 là
2 3
1 3
Câu 24: Một nghiệm của phơng trình x2 10x 9 0 là
Trang 3A.-9; B
1
Câu 25: Một nghiệm của phơng trình 3x2 8x 5 0 là
A
5
3
5
8
8 3
Câu 26: Phơng trình x2 - ax -1 =0 có tích hai nghiệm là.
Câu 27: Phơng trình 3x2 - mx -5 =0 có tích hai nghiệm là.
A 3
m
m
5 3
5
3.
Câu 28: Phơng trình mx2 x 1 0( m 0) có nghiệm khi và chỉ khi
A m
1 4
; B m =
1 4
; C m <
1 4
1 4
Câu 29: Nếu x x1 , 2 là hai nghiệm của phơng trình x2 x 1 0 thì tổng x12x22 bằng
Câu 30: Nếu x x1 , 2 là hai nghiệm của phơng trình x2 x 1 0 thì tổng
3 3
1 2
x x
bằng
B- Tự Luận.
I công thức nghiệm của ph ơng trình bậc hai
Bài 1: Cho phơng trình x2 – mx + m – 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = 1
b) Chứng tỏ phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Tính nghiệm kép (nếu có) của phơng trình (1)
Bài2: Tìm các giá trị của tham số m để các phơng trình sau có hai nghiệm phân
biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm (Trờng hợp có nghiệm kép hãy xác định giá trị của nghiệm)
a) x2 3x m 0; b) x2 2x m 0
c) x2 2(m 3)x m 2 3 0; d) x2 2(m 1)x m 2m 1 0
Bài 3: Cho phơng trình : (m 1)x2 2mx m 2 0 (1)
a.Giải (1) khi m=1
b.Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
(Đáp số: a, x =
1
2; b, m 1 và m >
2
3 )
Bài 4: Chứng minh các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt
a) x2 mx 3 0 ; b) x2 2(m 1)x 2m 3 0
Bài 5: Chứng minh phơng trình bậc hai sau luôn có nghiệm.
a) x2 2(m 1)x 2m 3 0 ; b) 7x2 2(m 1)x m 2 0
Bài 6: Cho phơng trình : 2x2 (m 4)x m 0 (1)
a Tìm m biết x = 3 là nghiệm của (1) Tìm nghiệm còn lại
b Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Đáp số : a) m = 3, b) = m 2 16
Bài 7: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm kép.
Trang 4a) mx2 2(m 1)x 2 0; b) 3x2 (m 1)x 4 0.
c) 5x2 2mx 2m 15 0 ; d) mx2 4(m 1)x 8 0
Bài 8: Xác định giá trị của m và tìm nghiệm còn lại của các phơng trình bậc hai
sau
a) x2 2mx m 1 0 , biết một nghiệm x1 = 2
b) x2mx 35 0 , biết một nghiệm x1 = 7
c) 3x2 2(m 3)x 5 0, biết một nghiệm x1 =
1 3 d) x2 mx m 1 0, biết một nghiệm x1 = 3
2
-Bài 9: Giải các phơng trình sau:
a) 3x4 12x2 9 0; b) 2x4 3x2 2 0 ;
c) x4 5x 1 0; d) 2
x
x = 2
10 2 2
x
e) 2(x2 2 )x 2 3(x2 2 ) 1 0x ; (HD: Đặt ẩn phụ t = x2 2x)
g) 2 x 3; (HD: Bình phơng hai vế hai lần )
h) (3x2 5x 1)(x2 4) 0 ; (HD: Giải phơng trình tích)
f) x x 1 3 0 ; (HD: Đặt ẩn phụ t = x 1 ; t 0)
Bài 10: Giải các phơng trình sau:
c) 3x2 5x 1 x2 4 0
; d) (2x – 1) (x + 4) = (x +1)(x – 4)
Bài 11: Tìm m để một trong các nghiệm của phơng trình x2 8x 4m 0 (1) gấp
đôi một nghiệm của phơng trình x2 + x – 4m = 0 (2)
H
lợt các nghiệm này vào các PT (1) và (2), rồi trừ theo vế để khử m Từ đó tìm đ
-ợc a, rồi tìm m Đáp số: m = 0 và m = 3 (Chú ý phải thử lại)
Bài 12: Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau có ít nhất một phơng trình có
nghiệm:
x ax b (1); x2 bx c 1 0 (2); x2 cx a 1 0 (3)
H
ớng dẫn : Tính đợc 1 + 2 + 3 = a 22b 22c 22 0
Bài 13: Tìm a sao cho hai phơng trình x2 + ax + 1 = 0 và x2- x – a = 0 có ít nhất một nghiệm chung
H
theo vế để khử x0 Tiếp tục xét hai trờng hợp để tìm m (Chú ý phải thử lại)
II hệ thức vi – ét và ứng dụng
Bài 14: Cho phơng trình 2x2 7x 3 0 Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau
A =x1 + x2 ; B =
2 1 1 1
x x ; (x1, x2 là nghiệm của PT đã cho)
Bài 15: Cho phơng trình bậc hai sau: x2 2(m 1)x 2m 4 0 ( 1)
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
Trang 5b) Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính tổng bình phơng hai nghiệm của phơng trình
c) Chứng minh giá trị của biểu thức : A =
1 (1 ) 2 (1 )
không phụ thuộc vào m Trong đó x1, x2 là các nghiệm của phơng trình (1)
Bài 16: Cho phơng trình x2 3x m 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, 2
x thoả mãn.
a) x12x22 = 34; b) x1 - x2 = 6; c) x1, x2 trái dấu.
d) x1 , x2 cùng âm.; e) x1 , x2 cùng dơng.
H
c) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu Û ac < 0
d) Phơng trình có hai nghiệm cùng âm Û
0 0 0
S P
ỡù D ³ ùù
ù <
ớù
ù >
ùùợ
e) Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng Û
0 0 0
S P
ỡù D ³ ùù
ù >
ớù
ù >
ùùợ (Đs: Không tìm đợc m)
Bài 17: Cho phơng trình x2 6x m 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1
và x2 thoả mãn
a) x1 - x2 = 4; b) 2 2
1 2
x x = 18;
c) x1, x2 trái dấu; d) x1 , x2 cùng dơng;
e) x1 , x2 cùng âm.
Bài 18: Giải các phơng trình bậc hai sau bằng cách nhẩm nghiệm
a) 2x2 (1 5)x 5 3 0
b) (2 3)x2 2 3x (2 3) 0
c) (m 1)x2 (2m 3)x m 4 0 với m 1
Bài 19: Tìm hai số u, v trong mỗi trờng hợp sau.
a u + v =14 ; u.v = 40; b u + v = 12 ; u.v = 28 và u > v
c u2v2= 85 ; u.v = 18; d u – v = 10; u.v =24
Bài 20: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là hai số đợc cho trong mỗi
tr-ờng hợp sau
a) 3 và 5; b) 1,9 và 5,1; c) 4 và 1 2; d) 3 5 và 3 5
Bài 21: Cho phơng trình x2px 5=0 có hai nghiệm là x1 , x2 Hãy lập phơng
trình có hai nghiệm là hai số đợc cho trong mỗi trờng hợp sau
a) x1 , x2; b) 1 2
1 1 ,
Bài 22: Cho phơng trình x2 2(m 1)x 2m 3 0
a Chứng minh mọi m phơng trình luôn có nghiệm (x1và x2)
Trang 6b Với m
3 2
Hãy lập phơng trình mới nhận 1 2
2 2 ,
là nghiệm
Bài 23: Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phơng trình trùng phơng
ax bx c chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.áp dụng: Phơng trình x4 3x2 m2 0 ( m 0) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm ? Vì sao?
Bài 24: (Hàm số bậc nhất) Chứng minh rằng khi k thay đổi các đờng thẳng sau
luôn đi qua một điểm cố định
a) (k + 1)x - 2y = 1; b) (k -1)x - y + k = 0 (k 1)
c) kx – y +k +1 = 0; d) y = (k -1)x + (2k + 1)
Bài 25: a Chứng tỏ rằng phơng trình x2 4x 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1
và x2 Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm 2
1
x và 2
2
x .
b Tìm m để phơng trình x2 2mx 2m 3 0 có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm cùng dấu dơng hay cùng dấu âm?
Đáp số :
a = 3 và PT phải tìm là x214x 1 0
b m >
3
2 và PT có hai nghiệm dơng.
Bài 26: Cho phơng trình x2 2(m 1)x m 1 0 (1)
a Giải phơng trình (1) khi m = 4
b Trờng hợp phơng (1) có hai nghiệm x1 và x2 Chứng minh giá trị của
biểu thức A = x1( 1 - x2) + x2( 1 - x1) không phụ thuộc vào m.
Đáp số: a, ’ = 25; b, A = 10
Bài 27: Cho phơng trình x2 10x m 2 0 (1)
a) Chứng minh rằng PT trên có hai nghiệm trái dấu với mọi m 0
b Tìm m để (1) có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 6x1 + x2 =5.
(Đáp số m = 11)
c Chứng minh các nghiệm của (1) là nghịch đảo các nghiệm của phơng trình m x2 2 10x 1 0 (2) khi m 0
Bài 28: Cho phơng trình : x2bx c 0 (1) Biết rằng phơng trình (1) có hai nghiệm b và c Hãy tìm b và c
H
đó c = 0 hoặc b = 1 (Đáp số b = c = 0, hoặc b = 1; c = -2)
Bài 29: Cho phơng trình x2 2mx (m 1)3 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là bình phơng của nghiệm còn lại
H
ớng dẫn : b) ’ = m2 m 13
> 0 Giả sử hai nghiệm là a và a2 Khi đó a3 = (m – 1)3 Từ đó a = m – 1 hay m = a + 1, thay vào (1) và giải tiếp
Đáp số a) x1 4;x2 2; b) m = 0; m = 3
III Một số bài toán về quan hệ giữa parabol y = AX 2 và đ ờng thẳng y = MX + N
Trang 7Bài 30: Cho parabol
2 1 2
(có đồ thị là P) và đờng thẳng y =
1
2x + 3 (có đồ thị là d) Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Tìm toạ độ giao
điểm
Bài 31: Cho parabol y 2x2 (P) và đờng thẳng y = 7x -3 (d) Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Tìm toạ độ các giao điểm
Đáp số : Bài 1 Hai giao điểm ( -2 ; 2) và (3 ; 4,5)
Bài 2 Hai giao điểm (3 ; 18) và (0,5 ; 0,5)
Bài 32: Cho Parabol
2 1 2
(P) và đờng thẳng y = 4x – 8 (d) Chứng minh (P)
và (d) có một điểm chung (tiếp xúc) Tìm toạ độ tiếp điểm (điểm chung)
Đáp số: Toạ độ điểm chung (4 ; 8 )
Bài 33: Cho Parabol y 2x2 (P) và đờng thẳng y = -2x -
1
2 (d) Chứng minh (P)
và (d) tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm
Đáp số: Toạ độ tiếp điểm (
1 1
;
2 2
)
Bài 34: Cho Parabol y 3x2 (P) và đờng thẳng y = 2x – 1 (d) Chứng minh (P)
và (d) không cắt nhau
Bài 35: Cho Parabol y x 2(P) và đờng thẳng y = 2x – m (d) Tìm m sao cho:
a) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
b) (P) và (d) không cắt nhau
c) (P) và (d) tiếp xúc (có một điểm chung) Tìm toạ độ điểm chung
Đáp số : a m < 1; b m > 1; c, m = 1, Toạ độ điểm chung (1;1)
Bài 36: Cho Parabol y x 2 và đờng thẳng y = 2(m-1)x - m2 (d) Hãy tìm giá trị
m để
a (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
b (P) và (d) không cắt nhau
c (P) và (d) tiếp xúc (có một điểm chung) Tìm toạ độ điểm chung
Đáp số: a m <
1
2; b m >
1
2; c m =
1
2 Toạ độ điểm chung (
1 2
;
1
4)
Bài 37: Cho parabol y = x2 (P) và đờng thẳng y = 2(m+1)x + 2m +3 (d) Chứng
minh rằng với mọi m -2 thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Đáp số: Tính đợc ’ = m 22
> 0 với mọi m khác -2
Bài 38: Cho Parabol y mx 2 (m 0) và đờng thẳng y = 2(m-1)x - m2 (d).
Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm sao cho x12x22 =1 (x1, x2 lần lợt là
hoành độ giao điểm) Đáp số : m = 2 (loại); m = 8 (thoả mãn)