Điều tra thực trang trước khi nghiên cứu: Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 28 em học [r]
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI
“ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
MỤC LỤC
A ĐẶT VẤN ĐỀ
I Lý do chọn đề tài Trang 02 II.Điều tra thực trang trước khi nghiên cứu Trang 03 III Mục đích nghiên cứu Trang 03 IV.Đối tượng và thời gian nghiên cứu Trang 03
V Nhiệm vụ của đề tài Trang 04
VI Phương pháp nghiên cứu Trang 04 VII Giới hạn sử dụng đề tài .Trang 04
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I Các cách so sánh hai phân số Trang 05
II Cách nhận dạng để so sánh hai phân số Trang 13
C KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Trang 15
D KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Trang 16
E TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 17
Trang 2A ĐặT VấN Đề
I Lí do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của đất
ngừng đổi mới Các nhà ( đã ngày càng chú trọng hơn đến chất /0 giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các
em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác
Dạy thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải 0 nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình
Để đáp ứng 0 yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi Điều đó đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải biết chọn lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu
0 và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt duy toán học
Với đối 0 học sinh khá, giỏi, các em có duy nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để các học sinh này phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta Bản thân tôi, trong hai năm học vừa qua 0 nhà ( phân công dạy toán lớp 6 Qua giảng dạy tôi nhận thấy “So sánh hai phân số " là đề tài lí thú, phong phú và
đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu khi bồi U học sinh khá giỏi môn toán 6 cũng môn toán THCS Với bài viết này, tôi chỉ xin ra một
số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về" So sánh hai phân số" trong tập hợp số nguyên mà tôi đã từng áp dụng thành công Tôi hy vọng nó
sẽ có ích cho các em học sinh khi muốn nghiên cứu sâu hơn kiến thức này
Trang 3II Điều tra thực trang trước khi nghiên cứu:
Để đánh giá 0 khả năng của các em đối với dạng toán trên và có -
án tối 5 truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 28 em học sinh trong lớp 6a1 của ( sau:
Với những bài tập tôi ra, học sinh giải một cách độc lập và tự giác, 0 thống kê theo bảng sau:
Số HS giải 0 theo các mức độ
Từ 0% -20% BT
Từ 20%-50% BT
Từ 50%-80% BT
Trên 80% BT
Năm
học
áp dụng
đề tài
Tổng
số HS lớp
2009 -
2010 dụng 28 5 17.8 13 46.5 8 28.6 2 7.1
Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh không có biện pháp so sánh phân số đạt hiệu quả Lời giải ( dài dòng, không chính xác, đôi khi còn ngộ nhận Cũng với bài toán trên nếu học sinh 0 ”Rèn luyện kỹ năng nhận dạng để so sánh phân số “thì chắc chắn sẽ có hiệu quả cao hơn
III.Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao chất /- học tập môn Toán cho học sinh THCS, cụ thể
là học sinh khối 6
- Rèn luyện cho học sinh duy sáng tạo khi học và giải toán
- Biết cách định
- Phát huy trí lực của học sinh tìm nhiều cách giải hay phát triển bài toán mới
- Giúp học sinh tự tin khi giải toán hoặc trong thi cử
IV Đối tượng và thời gian nghiên cứu
1.Đối 0 nghiện cứu :
Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về “So sánh hai phân số trong Z” trong SGK Toán 6 tập 2, qua định
Đối 0 khảo sát : Học sinh lớp 6a1 , ( THCS Thị Trấn Ngọc lặc
2 Thời gian nghiên cứu : Từ tháng 11/2008 đến tháng 5/2010
Trang 4V Nhiệm vụ của đề tài:
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày “Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 cách nhận dạng để giải các bài tập về so sánh hai phân số trong tập hợp Z”
Cụ thể là :
- Các - pháp ( dùng khi giải các bài toán về so sánh hai phân số
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về so sánh hai phân số
- Củng cố và
VI Phương pháp nghiên cứu
- l- pháp nghiên cứu tài liệu
- l- pháp thực hành
- Đúc kết một phần kinh nghiệm qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy phần so sánh hai phân số.
- Thụng
rỳt
VI Giới hạn sử dụng đề tài :
Áp
Trang 5B GI¶I QUỸT VÊN §Ị
Để so sánh 2 phân số, tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số, ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng (a c và )
trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp so sánh phân số
PHẦN I : CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH
1) Cách 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: tử nào lớn hơn thì
phân số đó lớn hơn
Ví dụ : So sánh 11 và ?
12
18
Ta viết : 11 33 và ;
12 36
18 18 36
33 34 11 17
36 36 12 18
Vì
Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương
2) Cách 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn
Ví dụ1 : 2 2
5 4;
5 4vì
3 3
7 5
7 5vì
Ví dụ 2: So sánh và ?2
5
5 7
Ta có : 2 10 và ;
5 25 5 10
7 24 10 10 2 5
25 24 5 7
Vì
Ví dụ 3: So sánh 3 và ?
4
7
Ta có : 3 3 6 và ;
4 4 8
6 6
7 7
8 7 4 7
Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương
3) Cách 3: Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương
+Nếu a.d > b.c thì a c
b d
+ Nếu a.d < b.c thì a c ;
b d
+ Nếu a.d = b.c thì a c
b d
Ví dụ 1: 5 7
5.8 7.6
6 8vì
Ví dụ 2: 4 4
4.8 4.5
vì
Trang 6Ví dụ 3: So sánh 3 và Ta viết và ;
4
4
? 5
3 3
4 4
4 4
5 5
Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên 3 4
4 5
Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương
vì chẳng hạn 3 4 do 3.5 < -4.(-4) là sai
4 5
4) Cách 4 : Dùng số hoặc phân số làm trung gian
4.1)Dùng số 1 làm trung gian:
a) Nếu a 1 và
b 1 c a c
d b d
b) Nếu a M 1;c N 1 mà M > N thì
b d
M,N là phần thừa so với 1 của hai phân số đã cho
Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó
lớn hơn.
c) Nếu a M 1;c N 1 mà M > N thì
b d
M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của hai
phân số đó.
Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ
hơn
Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh và 19 ?
18
2011 2010
Ta có : 19 1 và ;
1
18 18 2011 1 1
2010 2010 1 1 19 2011
18 2010 18 2010
Bài tập 2: So sánh và ?72
73
98 99
Ta có : 72 1 và ;
1
73 73 98 1 1
99 99 1 1 72 98
73 99 73 99
Bài tập 3 : So sánh và Ta có : 7
9
19 17
7 19 7 19 1
9 17 9 17
4.2) Dùng 1 phân số làm trung gian: (Phân số này có tử là tử của
phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai)
Ví dụ : Để so sánh và 18 ta xét phân số trung gian
31
15 37
18 37
Vì 18 18 và
31 37 18 15 18 15
37 37 31 37
*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ).
Trang 7*Tính bắc cầu : a c và
b d c m thì a m
d n b n
Bài tập áp dụng :
Bài tập 1: So sánh và 72
73
58
? 99
-Xét phân số trung gian là , ta thấy 72 và
99
72 72
73 99 72 58 72 58
99 99 73 99
-Hoặc xét số trung gian là , ta thấy 58 và
73
72 58
73 73 58 58 72 58
73 99 73 99
Bài tập 2: So sánh và
3
n
n
*
1
; ( ) 2
n
n N n
Dùng phân số trung gian là
2
n
n
Ta có : và
n n
*
; ( )
n N
Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:
a) 12 và e) và
49
13
? 47
456 461
123
? 128
b) 64và f) và
85
73
? 81
2010.2011 1 2010.2011
2011.2012 1
? 2011.2012
c) 19 và g) và
31
17
? 35
149 157
449
? 457
d) 67 và h) và
77
73
? 83
2009.2010 2009.2010 1
2010.2011
? 2010.2011 1
(Hướng dẫn : Từ câu ac :Xét phân số trung gian.
Từ câu d h :Xét phần bù đến đơn vị )
4.3) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.
Ví dụ : So sánh 12 và
47
19
? 77
Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là1
4
Ta có : 12 12 1 và
47 48 4 19 19 1 12 19
77 76 4 47 77
Bài tập áp dụng :
Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :
a) và 11 b) và c) và d) và
32
16 49
58 89
36 53
12 37
19 54
18 53
26 78
e) 13 và f) và h) và
79
34 204
25 103
74 295
58 63
36 55
Trang 85) Cách 5 : Dùng tính chất sau với m 0 :
*a 1 a a m
*a 1 a a m
a c a c
b d b d
Bài tập 1: So sánh 101211 1 và
10 1
10 11
10 1
?
10 1
Ta có : 101211 1 (vì tử nhỏ hơn mẫu)
1
10 1
A
101211 1 (101112 1) 11 101112 10 101011 1
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
Vậy A < B
Bài tập 2: So sánh 2009 2010 và
2010 2011
M 2009 2010?
2010 2011
Ta có : Cộng theo vế ta có kết quả M > N
2009 2009
2010 2010 2011
2010 2010
2011 2010 2011
Bài tập 3: So sánh và 37 ?
39
3737 3939
Giải: 37 3700 3700 37 3737(áp dụng )
39 3900 3900 39 3939
a c a c
b d b d
6)Cách 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh :
+Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn
+Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo
Bài tập 1: Sắp xếp các phân số 134 55 77 116 theo thứ tự tăng dần
; ; ;
43 21 19 37
Giải: Đổi ra hỗn số : 5 13 1 5
3 ; 2 ; 4 ;3
43 21 19 37
Ta thấy: 13 5 5 1 nên
21 43 37 19 55 134 116 77
21 43 37 19
Bài tập 2: So sánh 1088 2 và
10 1
8 8
10
?
10 3
B
Giải: 83 và mà
1
10 1
A
3 1
10 3
B
10 1 10 3 A B
Trang 9Bài tập 3: Sắp xếp các phân số 47 17 27 37 theo thứ tự tăng
; ; ;
223 98 148 183
dần
Giải: Xét các phân số nghịch đảo: 223 98 148 183 ,
; ; ;
47 17 27 37
đổi ra hỗn số là : 35 13 13 35
4 ;5 ;5 ; 4
47 17 27 37
Ta thấy: 13 13 35 35
17 27 37 47 17 27 37 47 ( )
98 148 183 223
a c b d vì
b d a c
Bài tập 4: So sánh các phân số : 3535.232323 3535 2323?
353535.2323 3534 2322
Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số A<B<C.
Bài tập 5: So sánh 5 11.13 22.26 và
22.26 44.54
2 2
138 690
?
137 548
Hướng dẫn giải:- Rút gọn 5 1 và
1
137 137
N M N
( Chú ý: 690=138.5 và 548=137.4 )
Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số 63 158 43 58theo thứ tự
; ; ;
31 51 21 41
giảm dần
Trang 10PHẦN II: CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
a) và 7 b) và c) và
8
210 243
11 15
13 17
31 41
313 413
d) 53 và e) và
57
531 571
25 26
25251 26261
(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý :10 100 100
41 410 413
d)Chú ý: 53 530 Xét phần bù đến đơn vị
57 570
e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là: 1 1010 1010 )
26 26260 26261
Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất
của phân số để so sánh các phân số sau:
và
244.395 151 )
244 395.243
423134.846267 423133 423133.846267 423134
Hướng dẫn giải: Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac
+Viết 244.395 = (243+1).395 = 243.395+395
+Viết 423134.846267 = (423133+1).846267 =…
+Kết quả A = B =1
53.71 18 54.107 53 135.269 133
71.52 53 53.107 54 134.269 135
(Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M = N = 1,P > 1)
Bài tập 3: So sánh 3 33.103 3 và
2 5.10 7000
A
3774 5217
B
Gợi ý: 7000 =7.103 ,rút gọn 33 và
47
A 3774 :111 34
5217 :111 47
Bài tập 4: So sánh 4 32 53 64 và
5
A 54 5 62 4 53?
B
Gợi ý: Chỉ tính 32 64 1534 62 54 3294
&
7 7 7 7 7 7
Từ đó kết luận dễ dàng : A < B
Bài tập 5:So sánh 1919.171717 và ?
191919.1717
19
N
Gợi ý: 1919=19.101 và 191919=19.10101 ; Kết quả M > N
Mở rộng : 123123123 = 123.1001001 … ;
Bài tập 6: So sánh và 17
19
1717
? 1919
Trang 11Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng a c a c.; chú ý :
b d b d
17 1700
19 1900
+Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101…
Bài tập 7: Cho a,m,n N * Hãy so sánh : A 10m 10n và
a a
B 11m 9n ?
a a
Giải: 10 9 1 và
A
10 9 1
B
Muốn so sánh A và B ,ta so sánh 1 và bằng cách xét các
n
a
1
m
a
trường hợp sau:
a) Với a=1 thì am = an A=B
b) Với a 0:
Nếu m= n thì am = an A=B
Nếu m< n thì am < an 1m 1n A < B
a a
Nếu m > n thì am > an 1m 1n A >B
a a
Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: 31 32 33 60và
2 2 2 2
P
?
1.3.5.7 59
Q
31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30)
2 2 2 2 2 2 (1.2.3 30)
(1.3.5 59).(2.4.6 60)
1.3.5 59 2.4.6 60
P
Q
Vậy P = Q
Bài tập 9 : So sánh 7.9 14.27 21.36 và
21.27 42.81 63.108
37
? 333
N
Giải:
Rút gọn 7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) và
21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4)
37 : 37 1
333 : 37 9
Vậy M = N
Bài tập10 : Sắp xếp các phân số 21 62và theo thứ tự tăng dần ?
;
49 97
93 140
Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh
Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết: 1 1 ?
18 12 9 4
x y
Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 2 3 4 9 2 < 3x < 4y < 9
36 36 36 36
x y
Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2
Bài tập 12: So sánh 1 7và
)
a A
6
1
B
Trang 12và
5
3 ) 8
b C
3
5 243
D
Giải: Aùp dụng công thức: x n x n n và
m n m n.
x x
Chọn 12515 làm phân số trung gian ,so sánh > C > D
125
2 15
125
3
Bài tập 13: Cho 1 3 5 99 và
.
2 4 6 100
M 2 4 6 .100
3 5 7 101
N
a)Chứng minh: M < N
b) Tìm tích M.N
c) Chứng minh: 1
10
M
Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số
a)Và 1 2 3 4 5 6 99 100 nên M < N
; ; ;
2 3 4 5 6 7 100 101
b) Tích M.N 1
101
c)Vì M.N 1 mà M < N nên ta suy ra được : M.M < <
101
101
1 100
tức là M.M < M < 1
10
1
10 1
10
Bài tập 14: Cho tổng : 1 1 1 Chứng minh:
31 32 60
5 S 5
Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm .Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S
1 1 1 1 1 1 1 1 1
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S
hay 10 10 10 từc là: Vậy (1)
30 40 50
60 60
5
S
Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
Trang 13tức là : Vậy (2).
10 10 10
40 50 60
60 60
5
S
Từ (1) và (2) suy ra: đpcm
Qua H ( giang /I$ tơi 4$ , sinh cịn +4 lúng túng khi , cách so sánh hai phân
quá trình
1.Nếu hai phân số và mà b - a = d - c ( hiệu giữa mẫu số và tử số a
b
c d
của hai phân số bằng nhau) thì ta so sánh phần bù.
2 Nếu hai phân số và mà a - b = c - d (hiệu giữa tử số và mẫu số a
b
c d
của hai phân số bằng nhau) thì ta so sánh phần thừa
3 Nếu hai phân số và khơng thuộc hai dạng trên :a
b
c d
Trong " a > c và b < d S a <c và b > d % phân này -6 T phân
-I 1 thì ta , phân trung gian
Khi , phân trung gian ta cĩ hai cách , E
Cách 1: , Y phân Z 4 làm Y phân trung gian và !O) Y phân Z hai làm !O) Y phân trung gian
Cách 2: , Y phân Z hai làm Y phân trung gian
và !O) Y phân Z 4 làm !O) Y phân trung gian
4 Nếu hai phân số và khơng thuộc ba dạng trên thì ta làm như a
b
c d
sau:
+ Nhân
cùng cùng !O) so sánh
+ Nhân
ba
Ví dụ 1: So sánh hai phân số
11 và
23
45 91
Ta
nhân và !O) Y phân &6 411
23
Ta cĩ: 11 =
23
11.4 44 23.4 92
Ta so sánh hai phân và 44
92
45 91
c, phân trung gian là S so sánh 44 45
... &6 41123< /small>
Ta cĩ: 11 =
23< /small>
11.4 44 23. 4 92
Ta so sánh hai phân 44
92...
c d
của hai phân số nhau) ta so sánh phần bù.
Nếu hai phân số mà a - b = c - d (hiệu tử số mẫu số a
b...
+ Nhân
cùng !O) so sánh
+ Nhân
ba
Ví dụ 1: So sánh hai phân số
11
23< /small>
45 91