Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp... Phép cộng trừ các phân thức đại số.[r]
Trang 1Phép cộng các phân thức đại số Phép Trừ các phân thức đại số
I Lí thuyết:
Muốn cộng ( hay trừ ) hai phõn thức cú cựng mẫu thức, ta cộng ( hay trừ ) cỏc tử thức với nhau và giữ nguyờn mẫu thức
Muốn cộng ( hay trừ ) hai phõn thức khụng cựng mẫu thức trước hết ta quy đồng mẫu thức, rồi ta cộng ( hay trừ ) cỏc tử thức với nhau và giữ nguyờn mẫu thức
II Bài tập
Bài 1:: Thực hiện phép tính:
a),
2
5 2
5
x x
x
8 4
x y
y y x
x
2 2
d,
x
x x
x x
x
20
3 4 5
1 2 4
e,
x x
x x
x
2
2 2
4
g,
1 2
2 1
1 1 2
1
2 2
2
x x
x x
x x
x x
Bài 2.Thực hiện phép tính
a,
1
2 1
1
1
1
2
2
x x
4
1 2
1 )
2 (
1
x x
x
x
x x x x
Bài tập 3: Thực hiện phép tính
2 3
5 3
2
1
,
x
x
1 2
3 2 1 2
1 2 ,
a
a a
a
3 3
2
x
c
Bài tập 4 : Thực hiên phép tính
1
2 1
1
1
1
x
x x
1
1 2
1 )
2 (
1
x x
x
x
2
1 1 1
x x
x
Bài tập 5: Tìm a ,b và c để có
a)
2 1
2
3
7
4
x
b x
a x
x
2 3
2 ) ( 2
3
7
4
2
x x
b a x b a x
x
7
2
4
b
a
b
a
trừ vế với vế cho nhau ta được a =3 thay a=3 vào a +b = 4 ta được b = 1
Vậy a = 3 ; b = 1
b) HD: Đáp số A= 2, B= 1, C= 1
2
2
1
x
2
2 2
Trang 2Quy đồng mẫu thức ở vế phải: x2 + 2x -1 = A( x2+ 1 ) + ( Bx+C )( x-1)=> =>
1 2 1
A B
C B
A C
1 0 2
A B C
d) 3 2 5 2 ( Đáp số A= 1; B =- 2 )
Bài 5 Cho hai biểu thức P =
10030 2006
5
142431 1990
79
2 3
2
x x
x
x x
; Q =
5 2006
x
c x
b ax
1) Xác định a, b, c để P = Q với mọi x 5 2) Tính giá trị của P khi
2006
2005
Trả lời: 1) a = 3 ; b = 2005 ; c = 76
2) P = - 17,99713 ; khi
2006
2005
x
Vớ dụ 1 : Thực hiện phộp tớnh
2 2
x y
x x x x
2
4 2
2 2
x x
x x
Bài giải
2
2
x
2 2
x y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 2
a x y b x y b x y a b x a b y a b a x y a b x a b y a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2 1
a b a b
a b a b
c)
Trang 3
Ví dụ 2 : Chứng minh hằng đẳng thức
1 1 1 11
x x x x
S
Bài giải
S
1 1 11 2 21 3 13
S
S
TÝnh tỉng c¸c ph©n thøc sau:
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
x x x
x
x
) 2004 )(
2003 (
1
x
Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B =
2 2
1 2
) 4 3 (
7 )
3 2 (
5 )
2 1 (
3
n n n
Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp
2 2
1 1
) 1 (
) 1 ( ) 1 (
1 2
n n n
n
n n
n
n
n
2
) 2 ( ) 1 (
1
n n n
Ví dụ 3:Cho A =
2 );
1 1 ( ) (
2 );
1 1 (
1
2 2 5 3
3 4 4
4
y
Thực hiện phép tính A+B+C
Giải:Rút gọn biểu thức A = …= 24 4 2 2 ;Tính B+C =…=
) (
) )(
(
y x y x
x y x y
3 3 2
) (
) ( 2
y x y x
x y
Tính A+B+C = …= 4 4
y x
x
y
Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trị biểu thức
P =
1 2005
2005 2005
2005
c b
bc
b a
ab
a
Giải:Ta không thể QĐMT Thay 2005 =abc
1
c abc
b bc
b abc
a abc
ab
a abc
Bài 7:
a)Tìm các số m,n để : HD:m=1;n=-1
x
n x
m x
( 1
b)Rút gọn biểu thức:M=
30 11
1 20
9
1 12
7
1 6
5
1
2 2
2
a
Trang 4HD:Tách mỗi phân thức: Tương tự
2
1 3
1 ) 3 )(
2 (
1
a
1
8 1
4 1
2 1
1 1
1
x x
x x
x
Giải:Do đặc điểm của bài toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng lần lượt tùng phân thức
1
16
1
8 1
4 1
4 1
8 1
4 1
2 1
2
x x
x x
x x
x
x
Bµi tËp: TÝnh tỉng: 1 1 22a 2 44a3 4 88a7 8 DS:
a b a b a b a b a b
15
16a
a b
Bài 5:Rút gọn biểu thức ;
2 2 1
1 2
1 6
5 1 4
3 1 2
1 )
;
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
n
n B
b n A
a
1
1
1 3
1 3
1
2
1
2
3 3
3 3
3
n
n C
c
HD:A=
n
n n
n n
n n
n n
n n
2
1 2
1
1
4 3 2
) 1 .(
5 4 3
4 3 2
) 1 .(
4 3 2 1 ) 1 )(
1 (
4
5 3 3
4
2
2
3
1
2 2
2
2
3
2
1
n
) 1 ( 3
) 1 (
2
3
1
) 1 (
2 1 )
1 .(
13 7 3
) 1 )(
1 .(
21 13
7
)
1
(
2
1
) 1 ) (
1 3 3 )(
1 2 2 (
) 1 ) (
1 3 3 )(
1 2 2 ( ) 1
(
5
4
3
) 1
(
3
2
1
) 1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
) 1 1
2
2
)(
1
2
(
) 1 1
2
2
)(
1
2
(
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
n n
n n n
n n n n
n
n n n n n
n
n n
n n n
n
n n n
n n n
Bài 6:Rút gọn các biểu thức:
) 5 3 )(
2 3 (
1
11 8
1 8 5
1 5 2
1 )
; ) 1 (
1
4 3
1 3 2
1
2
1
1
)
n n
B b n n A
a
) 1 ( ) 1 (
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
2
1
1
)
n n n C
c
HD:
) 5 3 ( 2
1 5
3
1 2
1 5
3
1 2 3
1 3
1 ) 5 3
)(
2
3
(
1
)
1 1
1 )
1
(
1
)
n
n n
n n
n n
b
n n
n
n
a
3
1 B quả Kết
1) 4n(n
2) 1)(n -(n : quả Kết
1 )
1 (
1 2
1 ) 1 (
)
1
(
1
)
n n n n n
n
n
c
Bài 9:Cho a+b+c =0 (a0;b0;c0)Rút gọn biểu thức :
A= 2 22 2 2 22 2 2 22 2
b a c
c a
c b
b c
b
a
a
HD:Ta có a+b+c = 0 =>a3+b3+c3=3abc và a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a2-b2-c2=2bc.Tương tự cho các trường hợp cò lại
b2-c2-a2=2ac; c2-a2-b2 = 2ab
Trang 5m/////////
Thay vào biểu thức:A =
2
3
2 2
2 2
3 3 3 2 2 2
abc
c b a ab
c ac
b bc a
b
ca a
bc c
b
c
ab P : thức biểu trị giá Tính HD:Vận dụng công thức x+y+z = 0 => x3+y3+z3= 3xyz Áp dụng giải :
3
3 1
1
1
3 3 3 2 2 3
3
a
abc b
abc c
abc b
ca a
bc abc
c
b
ab P đó Do
Bài 11:Cho a3+b3+c3=3abc.Tính giá trị của biểu thức A=
a
c c
b b
a
1 1
1
HD:Từ a3+b3+c3=3abc <=>(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0<=> …<=>
0
0
2 2
a
c b a
Nếu a+b+c =0 thì A = …= -1
Nếu a2+b2+c2-ab-ac-bc =0 <=> (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 <=> a=b=c Khi đó A = 8
Bài 12:Cho a+b+c = 0
a c
b c b
a b a
c b
a c a
c b c
b a
b
a c a
c b c
b a
abc
c ab
c ab
b a c b a
b
a
c
ab
a ac bc b b a
c b
a c a
c b b a
c b
a
c
M
3 2
2 2
2 1
2 1 ) )(
(
1
1
1
Tương tự cho các trường hợp còn lại:
A = 3 2( ) 9(Vì a3+b3+c3=3abc)
3 3 3
c b a a
c
b M c b
a M b
a
c
M
Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0, 0Chứng minh ax2+by2+cz2=0
z
c y
b x a
HD:Từ x+y+z =0 => x2 = (y+z)2 Tương tự cho các trường hợp còn lại
Do đó ax2+by2+cz2=a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 =a(y2+2yz+z2)+b(x2+2xz+z2)+c(x2+2xy+y2)=
Khai triển ta có =x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1)
Thay b+c =-a; .a+b =-c; a+c = -b và ayz+bxz+cxy = 0( vì 0)vào (1)Ta có ax2+by2+cz2
=-z
c y
b x a
ax2-by2-cz2=>…=> ax2+by2+cz2=0
) ( ) ( )
c c
a
b c
b b
a
c a c
b c b
c a c
b c
b
a
) )(
(
2 2
a b c a
c ca ba b a b
c c a
b c b
a
) )(
)(
( ) (
c ca ba b c
b
a c
Tương tự cho các trường hợp còn lại:
Trang 6) 3 ( ) )(
)(
( ) ( ) 2 (
; ) )(
)(
(
)
(
2 2
2
2 2
b cb ca a b
a
c c
a a c c b
a ba bc c
c
a
b
) ( ) ( )
c c
a
b c
b
a
c a c
b c b b
a
c a c
b c
b
HD:Nhaõn hai veỏ cuỷa 1Cho a+b+c ta coự :
c a c
b c b a
c b a c b a
c b a c
b a
c
b
a
c b a b
a
a b c c a
c
a c b b c
b
c
b
a
a
2 2
2
2 2
=>ẹieàu phaỷi chửựng minh
Bài 16 Chứng minh hằng đẳng thức: 22 3 2 2 2 5 2 322 2 2
( Đề thi HSG miền bắc 1962 )
HD: Rút gọn vế trái và vế phải
3
a b
b a
Bài 17: Thực hiện phép tính:
(b c a)( ac b bc) ( c a ab c)( ac b ) ( a b c)( bc a ab)
( Đề thi HSG lớp 8 tòan quốc 1980 ) HD: Quy đồng kết quả bằng 0
Bài 18 Cho A =
1
2 2
3 4
2 4
a a a
a a
1
2 2
3 4
2 4
a a a
a a
) 1 (
) 1 (
1 ) 1 ( ) 1 (
2 2
2 2
a a a
a a
1
1 ) 1 (
2
2
a a a
Ta có tử thức : (a – 1)2 + 1 1
Mẫu thức : a2 – a + 1 = (a - )2 +
2
1 4
3 4
3
Suy ra A > 0 với mọi a khác -1 nên A = A