Thí nghiệm chứng minh vai trò của khí CO2 đối với quang hợp

a) Cã thÓ tÝnh trùc tiÕp diÖn tÝch tõng phÇn nhá cña h×nh. Cho biÕt gi¸ trÞ diÖn tÝch cña mét phÇn nµo ®ã vµ yªu cÇu ta tÝnh diÖn tÝch toµn h×nh hoÆc diÖn tÝch cña c¸c phÇn h×nh kh¸c tro[r]

linh hoạt và sáng tạo trong giải toán tính diện tích hình tam giác

A. đặt vấn đề

Trong chơng trình toán Tiểu học, các bài toán về tính diện tích hình tamgiác đợc khá nhiều học sinh a thích Nhiều bài toán về tính diện tích hình tamgiác đợc giải bằng phơng pháp số học rất độc đáo Nhng cũng không ít bài toánchỉ qua một thao tác kẻ thêm đờng phụ đã tìm ra hớng giải của bài toán Giải tốtcác bài toán về tính diện tích hình tam giác không những giúp các em học giỏihình học mà còn học giỏi về số học

Đặc biệt có nhiều bài toán về tính diện tích hình tam giác mang tính thực tếcao, giúp các em có thêm vốn kinh nghiệm trong cuộc sống

Tìm ra đáp số của bài toán đã thú vị nhng thật thú vị hơn nếu ta tìm ra nhiềucon đờng đi đến đáp số ấy Mỗi con đờng, mỗi hớng giải là một “nghệ thuật” vậndụng những kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo Chính những lý do

đó đã thôi thúc tôi chọn đề tài Linh hoạt và sáng tạo trong giải toán tính diện“

tích hình tam giác”, với mong muốn giúp các em học sinh phần nào tìm thấy

kinh nghiệm suy nghĩ, cách thức tìm ra lời giải của một bài toán về tính diện tíchhình tam giác Từ đó giúp các em học sinh yêu thích môn toán nói chung và yêuthích các bài toán về tính diện tích hình tam giác nói riêng nhằm nâng cao chất l-ợng dạy học

B giải quyết vấn đề

I Một bài toán hình học có yêu cầu tính diện tích thờng có 3 dạng :

Dạng 1 Cho diện tích toàn bộ của hình và yêu cầu tính diện tích các hình

nhỏ hơn trong hình Trờng hợp này có hai khả năng xẩy ra :

a) Có thể tính trực tiếp diện tích từng phần nhỏ của hình Chẳng hạn, tính

Dạng 2 Cho biết giá trị diện tích của một phần nào đó và yêu cầu ta tính

diện tích toàn hình hoặc diện tích của các phần hình khác trong hình tổng thể ờng hợp này cần tính :

Tr-a) Diện tích toàn hình gấp bao nhiêu lần diện tích hình đã cho trong bài.b) Mỗi hình nhỏ còn lại trong hình gấp bao nhiêu lần diện tích phần hình đãcho Từ đó, ta có thể tính đợc trọn vẹn yêu cầu của bài toán.

Dạng 3 Đề bài không cho một số đo diện tích nào, thay vào đó đề cho biết

tỉ số của hai đoạn thẳng nào đó hoặc tỉ số diện tích của hai hình thành phần nào

đó để làm cơ sở thực hiện yêu cầu tính toán của bài (diện tích các phần nào đó có

Ví dụ : Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC Hãy so sánh diện tích

hai tam giác ABD và ADC

Nhận xét : Hai tam giác ABD và ADC

có chung chiều cao hạ từ đỉnh A

Muốn so sánh diện tích của chúng thì

ta phải so sánh hai cạnh đáy

C B

A

GiảiHai tam giác ABD và ADC có đáy BD = DC (vì bài toán cho D là điểmchính giữa của BC ) và chiều cao AH chung

Vậy : SABD = SADC

2) Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy), tam giác nào có chiều cao gấp 2, 3, 4, lần thì diện tích cũng gấp 2, 3, 4, lần

Ví dụ : Cho tam giác ABC Trên chiều cao AH ta lấy một điểm E sao cho AH =

EH  3 Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và EBC

Nhận xét : Hai tam giác ABC và EBC

có chung đáy BC nên để so sánh diện tích tam giác ABC và diện tích tam giácEBC ta phải so sánh chiều cao hạ từ

đỉnh E và A xuống đáy BC

E

H

C B

A

Giải Nối E với B, E với C

Hai tam giác ABC và EBC có chung đáy BC và có chiều cao

AH = EH  3 Vậy SABC = SEBC  3

3) Hai tam giác có chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao), tam giác nào

có đáy gấp 2, 3, 4, lần thì diện tích cũng gấp 2, 3, 4, lần

Ví dụ : Cho tam giác ABC Kéo dài BC thêm một đoạn CD = BC  2 Nối A với

D So sánh diện tích hai tam giác ABD và ABC

Nhận xét: Hai tam giác ABD và ABC

có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên để

so sánh diện tích của chúng ta cần sosánh hai đáy BC và BD

D B

A

GiảiHai tam giác ABD và ABC có chung chiều cao AH và đáy

BD = 3  BC (vì CD = 2  BC )Vậy SABD = 3  SABC

4) Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy (hoặc chiều cao) bằng nhau thì chiều cao (hoặc đáy ) cũng bằng nhau

Ví dụ 1: Hai tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau Hãy so sánh chiều

cao AH và DK hạ từ đỉnh A và D xuống đáy BC A

Nhận xét : Hai tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau nên để so sánh

chiều cao AH và DK ta phải tìm mối liên hệ giữa hai đáy ứng với chiều cao AH

và DK

GiảiTheo bài ra ta có : SABC = SDBC

Mặt khác, hai tam giác có diện tích bằng nhau này lại có chung đáy BC nên suy

ra chiều cao AH và DK hạ từ đỉnh A và D xuống đáy BC phải bằng nhau

Vậy AH = DK

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC Trên AC lấy một điểm D sao cho khi nối B với D thì

BD chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau là ABD và

BDC So sánh chiều cao AH và CK hạ từ đỉnh A và C xuống đáy BD

Nhận xét: Muốn giải bài toán này trớc hết

phải tìm vị trí của điểm D trên cạnh AC tức là

phải so sánh AD với DC

Sau đó để so sánh chiều cao AH và CK ta

phải dựa vào tỉ số về diện tích của tam giác

ABD và BDC và cạnh đáy tơng ứng

D

C B

A

K

H

GiảiHai tam giác ABD và BDC có diện tích bằng nhau và có chung chiều cao hạ từ

đỉnh B nên đáy AD = DC hay D là điểm chính giữa AC

Mặt khác hai tam giác ABD và BDC lại có chung đáy BD nên chiều cao AH =

CK

Ví dụ 3: Hai tam giác ABC và ACD có diện tích bằng nhau, chiều cao AH = CK.

K

GiảiTheo bài ra: SABC = SACD

Mặt khác hai tam giác này lại có chiều

cao AH = CK nên suy ra đáy của chúng

phải bằng nhau Vậy BC = AD

K

H

D

C B

A

5) Hai tam giác có đáy (hoặc chiều cao) bằng nhau, tam giác nào có diện tích gấp 2, 3, 4, lần thì chiều cao (hoặc đáy) cũng gấp 2, 3, 4, lần.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Trên BC lấy một điểm D sao cho khi nối A với D ta

đợc tam giác ABD gấp 2 lần diện tích tam giác ADC Hãy so sánh chiều cao BH

và CK hạ từ đỉnh B và C xuống AD

Giải Theo bài ra : SABD = 2  SADC mà hai tam giác

này lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy

BD = 2  DC Mặt khác, hai tam giác ABD và

ADC lại có chung đáy AD nên chiều cao BH = 2

 CK

H

K D

C B

A

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Trên BC kéo dài về phía C lấy một điểm D sao cho

diện tích tam giác ABD gấp 2 lần diện tích tam giác ABC So sánh BD và BC

GiảiTheo bài ra ta có SABD = SABC  2

Mặt khác hai tam giác này lại có chung

chiều cao AH suy ra đáy BD của tam giác ABD

phải gấp 2 đáy BC của tam giác ABC

Ví dụ: Cho tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau, AC và DB cắt nhau ở

I Hãy so sánh diện tích hai tam giác AIB và DIC

GiảiTheo bài ra ta có : SABC = SDBC

Mặt khác hai tam giác có diện tích bằng

nhau này lại có chung diện tích hình IBC nên

phần diện tích còn lại của chúng phải bằng nhau

Vậy SAIB = SDIC

I

D A

C

III Hệ thống bài tập về tính diện tính hình tam giác.

Trong nội dung bồi dỡng học sinh giỏi có nhiều bài toán rất phức tạp,không có một phơng pháp cụ thể nào để giải mà đòi hỏi học sinh phải tởng tợng,

t duy nhiều, phải qua nhiều bớc trung gian mới tìm ra đáp số Nhng có thể nói,hầu hết các bài toán đều vận dụng những kết luận đã nêu ở trên và kết hợp vớicách giải các bài toán điển hình để giải Do vậy, mặc dù trong chơng trình khôngnêu ra các dạng về so sánh, chứng minh liên quan đến tam giác nhng thông qua

hệ thống bài tập, giáo viên có thể gợi mở để học sinh rút ra một số dạng và hớngdẫn cách làm chung Cụ thể:

1 Các bài toán cho số đo cụ thể

Các bài toán này có thể chia làm hai loại:

Loại 1: Nếu các số đo về đáy và chiều cao cần thiết đều cho sẵn thì ta có thể

tính trực tiếp từ đó so sánh hoặc chứng minh theo yêu cầu bài toán.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có đáy BC = 28cm Nếu kéo dài đáy BC về phía C

thêm một đoạn CD = 7cm thì diện tích tăng thêm 84cm2 Tính diện tích hình tamgiác ABC ?

Giải

Cách 1: Nhìn hình vẽ thì 84cm2 chính là

diện tích của tam giác ACD có đáy CD =

7cm Vậy chiều cao AH của tam giác này là:

7

2

84 

= 24 (cm)

AH này cũng là chiều cao của tam giác

ABC Vậy diện tích tam giác ABC là:

đáy BC = 4 CD (vì 28 : 7 = 4 )

Vậy : SABC = 4 SACD

Hay diện tích tam giác ABC là :

84  4 = 336 (cm2)

Đáp số: 336 cm2

Bài toán 2; Cho tam giác ABC có BC = 33 cm, H là điểm trên BC sao cho BH =

18 cm và AH vuông góc với BC Kéo dài HA về phía A một đoạn AM = 4 cm.Hãy so sánh diện tích tam giác MAB và diện tích tam giác MAC

diện tích tam giác MAC thì bằng :

Cách 2 (Ta có thể so sánh trực tiếp nhờ sử dụng kết luận đã nêu mà không cần

tính diện tích mỗi tam giác)

Loại 2: Nếu các số đo về đáy và chiều cao cần thiết không cho đầy đủ thì ta cần

vận dụng các kết luận đã nêu ở trên để giải.

Bài toán 3: Cho tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm Trên AB lấy

điểm D sao cho AD = 3cm Trên AC lấy điểm E sao cho AE = 4cm Nối B với E;

C với D So sánh diện tích tam giác BDC và diện tích tam giác BEC

E

A

C

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có cạnh BC dài 9m Trên BC lấy 1 điểm D

với BD = 6cm Nối A với D Trên AD lấy 1 điểm E bất kì Nối E với B, E với C

a So sánh diện tích hai tam giác AEB và AEC

b Tính chiều cao EK của tam giác EBD biết chiều cao AH của tam giác ABC là7cm và E là trung điểm của AD

Mặt khác hai tam giác ABD và ADC lại

có chung đáy AD nên chiều cao BM = 2

CN

Ta lại có: SAEB = 2 SAEC

(Vì 2 tam giác này có chung đáy AE và

( Vì hai tam giác này có chung chiều cao

BM, đáy ED = 2

1

AD)Mặt khác 2 tam giác này lại có chung đáy

BD nên suy ra chiều cao EK = 2

Bài toán 5: Cho tam giác ABC có góc A là góc vuông, AB = 30cm,

AC = 45cm M là một điểm trên cạch AB sao cho AM = 20 cm Từ M kẻ đờng thẳng song song với cạch BC, cắt AC tại điểm N Tính diện tích tam giác AMN.Nhận xét: Muốn tính diện tích tam

giác vuông AMN khi biết AM =

20cm ta cần tính AN Mà AC =

45cm nên ta phải tính NC Tam giác

BNC có chiều cao AB = 30cm nên

để tính đáy NC ta cần biết SBNC

Diện tích tam giác BNC đợc tính

thông qua diện tích tam giác BMC

N

M B

C A

GiảiNối M với C , B với N

Diện tích tam giác BMC là :

45  (30 - 20) : 2 = 225 (cm2)Vì MN // BC nên tứ giác BMNC là hình thang

20  (45 - 15) : 2 = 300 (cm2)

Đáp số: 300 cm2

Bài toán 6: Cho tam giác ABC có diện tích là 12cm2 Cạnh AB = 8 cm và AC = 5

cm, kéo dài thêm AB đến M và AC đến N sao cho BM = CN = 2 cm Hỏi diệntích tam giác AMN là bao nhiêu?

Cách 1:

Nhận xét: Tam giác AMN có

AM = 8 + 2 = 10 ( cm )

Để tính đợc diện tích của nó cần tính chiều

cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AM ( hoặc có

AN = 5 + 2 = 7( cm ))

Để tính đợc diện tích của tam giác ta cần tính

chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy AN

C B

N M

A

Mặt khác chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AM lại là chiều cao của tam giácABN nên ta chỉ cần tìm diện tích của tam giác ABN thì bài toán sẽ đợc giải

GiảiNối B với N ta có :

Chiều cao BH là :

12  2 : 5 = 4,8 (cm)Diện tích tam giác ANB là :(5 + 2)  4,8 : 2 = 16,8 (cm2)Chiều cao NK là :16,8  2 : 8 = 4,2 (cm)Diện tích tam giác AMN là :(8 + 2)  4,2 : 2 = 21 (cm2) Đáp số : 21 cm2

Cách 2 :

Nhận xét : SAMN so sánh đợc với SANB

SANB so sánh đợc với SABC

=> SAMN so sánh đợc với SABC

DiÖn tÝch tam gi¸c ANB lµ :

Bµi to¸n 7: Cho tam gi¸c ABC cã M lµ trung ®iÓm cña AB, N lµ trung ®iÓm MB,

P lµ trung ®iÓm cña AC vµ Q lµ trung ®iÓm cña PC TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNQPbiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 16cm2

P M

A

Gi¶iNèi B víi Q B víi P ta cã :

Diện tích tam giác NBQ là :

Đờng thẳng BO cắt CA tại N Cho biết diện tích AOB là 3 cm2 , diện tích BOM

và AON đều bằng 1 cm2 Tính diện tích tam giác ABC

Nhận xét:

SABC = SAOB + SAOC + SBOC

Mà SAOB = 3 cm2 nên để tính

SABC ta cần so sánh SAOB với

SABC; SBOC với SABC ⇒ Tỉ số

SABC so với SAOB

Tính diện tích ABC

P Q

N O

C B

A

Giải Nối O với C ta có :

SABM = SABN = 3 + 1 = 4 (cm2)

MÆt kh¸c : SAOB = SABC - (SAOC + SBOC)

hay SAOB = SABC - ( 1

Bµi to¸n 9 : Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch 420 cm2 N lµ ®iÓm chÝnh gi÷a c¹nh

AC P lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh AB sao cho AP = 3PB C¸c ®o¹n th¼ng BN vµ CPc¾t nhau t¹i K H·y tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c BKC ?

C B

Bài toán 10 : Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho AD =

DE = EB, trên cạnh AC lấy điểm M, N sao cho AM = MN = NC Tính diện tíchtam giác ABC nếu biết diện tích tứ giác DEMN bằng 6 cm2

Nhận xét:

SDENM = SDEM + SMEN

Để tính SABC ta cần so sánh

SDEM và SMEN với diện tích các

tam giác có liên quan đến diện

tích tam giác ABC

N

M

E D

C B

A

NhËn xÐt : SABC = SADB + SADC + SBDC

§Ó tÝnh SABC cÇn tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ADC vµ diÖn tÝch tam gi¸c BDC

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy AN = 1

Bài toán 12: Cho tam giác ABC có cạnh AB bằng 9cm và có diện tích là

36 cm2 Trên BC lấy điểm M sao cho BM = 3MC Qua M ngời ta vẽ một đờngthẳng cắt BA kéo dài tại điểm K sao cho diện tích tam giác KBM cũng bằng 36

cm2

a Tính đoạn AK

b AC và MK cắt nhau tại điểm O So sánh diện tích 2 tam giác OAK và OCM

Nhận xét: Muốn tính đoạn AK

ta phải tính đợc BK

Theo bài ra SABC = SKBM = 36

cm2 nên để tính đợc BK ta cần

so sánh SKBM với SABM dựa vào

mối quan hệ giữa SABM và

b Theo bài ra : SABC = SKBM

Hai tam giác này có chung hình tứ giác ABMO nên phần diện tích còn lại củachúng cũng bằng nhau

Vậy SOAK = SOCM

Đáp số : a 3 cm

b SOAK = SOCM

Bài toán 13 : Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho

BM = 1

2 MC và trên cạnh CA lấy điểm N sao cho NC =

1

3 NA Đờng thẳng

MN cắt cạnh AB kéo dài tại điểm K

a Đờng thẳng MN cắt tam giác ABC thành 2 phần Tính diện tích các phần đónếu biết diện tích tam giác ABC bằng 36 cm2

b So sánh đoạn KA và KB

Nhận xét: Đờng thẳng MN chia tam giác ABC thành 2 phần đó là tam giác MNC

và tứ giác ABMN Để tính diện tích hai phần đó trớc hết ta phải tìm diện tích tamgiác MNC

Tam giác MNC cha biết số đo cạnh đáy và chiều cao nên muốn tính diện tích của

nó ta phải tìm mối quan hệ của tam giác MNC với tam giác có liên quan

Cụ thể : So sánh SMNC với SAMC

So sánh SAMC với SABC

C B

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy NC = 1

3 NA)

SMNC = 1

3 SMNA (4)(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy NC = 1

Bài toán 14 : Cho tam giác ABC có AB = 1,5 cm Trên cạnh BC lấy điểm M sao

cho BM = 3MC Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 2NC Đờng thẳng

MN và đờng thẳng AB cắt nhau tại P

a Tính đoạn thẳng AP

b So sánh độ dài đoạn thẳng MP và MN

Nhận xét: Muốn tính AP ta phải so

sánh SANP với SABN

Muốn so sánh diện tích 2 tam giác

trên ta cần so sánh chúng với các

tam giác trung gian

Vậy những tam giác nào đóng vai

trò là tam giác trung gian?

P

M N A

C B

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AN = 2 NC)

Vậy nếu gọi SPNC là 1 phần thì SPAN là 2 phần và SPBN là 3 phần

Diện tích tam giác ABN là :

3 - 2 = 1 (phần)Hay SPAN = 2  SABN

Hai tam giác PAN và ABN lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh N nên đáy

AP = 2  AB

Đoạn AP dài là : 1,5  2 = 3 (cm)

b SPAC = 2  SABC (3)(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy PA = 2 AB)

SPAN = 2  SABN (4)(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy PA = 2 AB)

Đáp số : a 3 cm

b MP = 9  MN

2 Các bài toán cho tỉ lệ

Đối với các bài toán này, ta cũng áp dụng các tính chất, các kết luận đã nêu

ở trên để giải Tuy nhiên nếu một số bài toán cho tỉ lệ gián tiếp thì phải qua bớctrung gian để đa về tỉ lệ cần cho bớc giải

Bài toán 15: Cho tam giác ABC, E là trung điểm cạnh AB, D là trung điểm

cạnh AC Nối điểm C với E, nối điểm B với D khi đó CE cắt BD tại G

Ta lại có: SACE = SBCE ( 4 )

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy