Chuyên đề Dãy số viết theo qui luật - Dãy các phân số viết theo qui luật

Hoàn toàn tương tự ta có kết luận :Một số có tổng của 4 lần chữ số hàng trăm với hai lần chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị chia hết cho 8 thì chia hết cho 8... THCS QU¶NG S¥N.[r]

Chuyên đề 1

Dãy Số viết theo qui luật - Dãy các phân số

viết theo qui luật

I Dóy   theo qui 

1) Dóy

1.1) Xột cỏc dóy  sau:

a) Dóy  ' nhiờn: 0; 1; 2; 3; 4; (1)

b) Dóy  0 1; 3; 5; 7; (2)

d) Dóy cỏc  ' nhiờn 5 6 1 chia cho 3 %7 1: 4; 7; 10; 13; (4)

Trong 4 dóy

+) F @6 D là 1 H dóy (1)

+) F @6 D là 2 H dóy (1) và (2)

+) F @6 D là 3 H dóy (4)

Khi

1.2) Cụng

- Xột dóy a a a a a1, 2, 3, 4, 5, ,a n trong @B a2  a1 d Ta cú:

a  a d a4  a1 3d

8P quỏt: a n   a1 (n 1)d (I)

Trong

d Q & hai  < liờn R 8? (I) ta cú: a n a1 1 (II)

n d



Cụng

1

1.3) a a a a a1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ,a n Ta 

n n









Nờn 2S  (a1a n) (  a2a n1)    (a n1a2) (  a na1)  (a1a n n)

Do @B ( 1 ) (III)

2

n

Chỳ ý:

( 1)

1 2 3 4

2

n n

B- BÀI 8\] ÁP _V`

Bài 1: Tỡm

0 1; 3; 5; 7;

Bài 2: a) Tớnh

c) Tớnh: S      1 3 5  2n 1 5 (nN)

d) Tớnh: S      2 4 6  2n 5 *

(nN )

Bài 3: Cú

1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;      

Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng: ( 1)

2

n n

Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng

bằng 4 Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6

Bài 4: a)

b) Kf g 7 trờn   ? 1 @ 1000000

H

làm thay

thành 50

18

b) T76ng ' US: 27000001

Bài 5: Cho

1

2

3

4

1 2,

3 4 5,

6 7 8 9,

10 11 12 13 14,

S

S

S

S

 

  

   

Tớnh S100 ?

H 1, , S99 theo  ' /c 2; 3; 4; 5; …100

US: S100 = 515100

Bài 6: Khi phõn tớch ra

Bài 7: Tớnh

a) 1.6; 2.7; 3.8;

b) 1.4; 4.7; 7.10;

3 : 2

B

Tớnh BA

Bài 9: Tớnh cỏc P sau:

n

n

n

a A

b B

c C

d D

e E

Bài 10:

, 5 (

b) 2 4 6 2 , 5 ( )

2,

Bìa 11: Cho 2 3 99 100 K  minh 9c

3

B

A

Bài 12: Tính giá

50

200

) 9 99 999 999 9

) 9 99 999 999 9

a A

b B





ch÷ sè

ch÷ sè

(NCPTT6T1)

SUY V`hu TRÊN xy BÀI TOÁN

tìm thêm cách

lên trong

Bài toán 1 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và B =

A.3 Tính giá

Lời giải 1 : Theo @A bài ta có :

B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1)

+ 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) +

9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 =

9.10.11 = 990

= 330

Bây

trong

thành tích ba  ' nhiên liên R Ta % dàng ~ 5 = j sau :

Các

Bây X ta tìm X j khác cho bài toán

Lời giải 2 :

B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4

+ 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 +

8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 +

9 2 ).2.3 = (1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 ).6

Ta

Q 5 X j 1, ta có :

(1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 ).6 = 9.10.11, hay

(1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 9 2 ) = 9.10.11/6

Hoàn toàn TR lí khi ta ~ ngay @ bài toán P quát :

Bài toán 2 : Tính P :

P = 1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + … + (2n + 1) 2

 j : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6

…< bài toán sau là  = j liên quan @ bài toán 1 và bài toán 2

Bài toán 3 : Tính P :

Q = 11 2 + 13 2 + 15 2 + … + (2n + 1) 2

Bài toán 4 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và C = A

+ 10.11 Tính giá

= 10.11.12/3

Tình

Bài toán 5 : K  minh 9c :

2 2 + 4 2 + 6 2 + …+ (2n) 2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6

Bài toán 6 :

Tính P : 20 2 + 22 2 + … + 48 2 + 50 2

Bài toán 7 : Cho n

n 2 + (n + 2) 2 + (n + 4) 2 + … + (n + 100) 2

bài toán 5 và cách j bài toán 3

Bài toán

Bài toán 8 : K  minh 9c :

1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6

Lời giải 1 :

Xét

1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = (1 2 + 3 2 + 5 2 + … + (n – 1) 2 ) + (2 2 + 4 2 + 6 2 + … + n 2 )

= [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6

= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6

Lời giải 2 : Ta có :

1 3 = 1 3

2 3 = (1 + 1) 3 = 1 3 + 3.1 2 1 + 3.1.1 2 + 1 3 3 3 = (2 + 1 ) 3 = 2 3 + 3.2 2 1 + 3.2.1 2 + 1 3

……… (n + 1) 3 = n 3 + 3.n 2 1 + 3.n.1 2 + 1 3

1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 + (n + 1) 3 = = (1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 ) + 3(1 2 + 2 2 + 3 2 + … +

n 2 ) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + (n + 1)

=> (n + 1) 3 = 3(1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 ) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + (n + 1)

=> 3(1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 ) = (n + 1) 3 – 3(1 + 2 + 3 + … + n) – (n + 1)

= (n + 1) 2 (n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1)

= (n + 1)[2(n + 1) 2 – 3n + 2]/2

= (n + 1).n.(2n + 1)/2

=> 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6

Bài toán 9 : Tính giá

A = - 1 2 + 2 2 – 3 2 + 4 2 - … - 19 2 + 20 2

Lời giải : U76 nhiên, ta có > tách A = (22 + 4 2 + … + 20 2 ) – (1 2 + 3 2 + …+

19 2 ) ; tính

còn có cách j khác 7 sau :

A = (2 2 -1 2 ) + (4 2 – 3 2 ) + … + (20 2 -19 2 ) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + … + (20

+ 19)(20 – 19) = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 =

210

trong nhóm

Bài toán 10 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 +

8.9.10

Lời giải :

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 +

3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) +

… + 8.9.10.(11 – 7)] : 4 = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 –

7.8.9.10 + 8.9.10.11) : 4 = 8.9.10.11/4 = 1980

Bài toán 11 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).

  : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI

Các

& các bài toán

suy ~ nhé.

II- Dãy các phân số viết theo qui luật:

* Các công thức cần nhớ đến khi giải các bài toán về dãy các phân số viết

theo qui luật:

k

k

k

2 (2n n 2) 4 (n n 1) 2 2n 2n 2 4 n n 1

(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3

(Trong đó: n k,  N, n 1)

8Œ x8 BÀI TOÁN TÍNH 8V`

Chúng ta cùng

Bài toán A :

Tính P :

Lời giải :

Vì 1 2 = 2 ; 2 3 = 6 ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó 6

chút xíu

Bài 1 : Tính P :

Và

Bài 2 : Tìm x

h6 & ta có :

ta có bài toán

Bài 3 : K  minh 9c :

Do : cho ta bài toán “tưởng như khó”

Bài 4 : K  g 9c P :

không Rj là  nguyên

Chúng ta 1 ; a2 ; ; a44 là các  ' nhiên 5 6 1 và khác

nhau thì

Giúp ta @ 5 bài toán Hay và Khó sau :

Bài 5 : Tìm các  ' nhiên khác nhau a 1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho

Ta còn có các bài toán  f‘ 5 bài toán 5 7 sau :

Bài 6 : Cho 44  ' nhiên a 1 ; a2 ; ; a44g& mãn

K  minh 9c: trong 44  này, Š < hai  /c nhau

Bài 7 : Tìm các  ' nhiên a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a 44 ; a 45 g& mãn a 1 < a 2 a 3 < < a 44 <

a45 và

Các

Bài toán 2: Tính nhanh:

a) 1 12 13 14 17 18

b) 1 12 13 14 20071 20081

c) 1 12 13 14 11 1 ;

Bài toán 3: (Bài toán

Tính nhanh: S 1 12 13 14 1n 1 1n ; ( n N ; a 0)





Bài toán 3: Tính

a) 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; b)

1.2 2.3 3.4 4.5

; ; ; ,

H75 %i b) Ta ‡ 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…

Do

Bài toán 4: Tính P

1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008





Bài toán 5: Tính giá

1

A







B







H75 %i

a) Z @P  /D chia:

b) Z @P  chia:



1 100

B

Bài toán 6: Tìm tích

1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;

H

; ; ; ; ;

Hay

; ; ; ; ;

1.3 2.4 3.5 4.6 5.7

Do @ó  <  98 có %<

2

99 98.100

Ta

1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50

Chương 0 : HỆ THỐNG GHI SỐ THẬP PHÂN

F anan-1 a1a0 = an 10n + an-1.10n-1 a1.10 + a0

Ví % : F 99 9 + 1 = 10n

Ví

-

-



Ví

HD : …R ’  : (100a + 10b + c)/(a + b + c ) = 100 - (90b + 9c )/(a + b + c

) 100

Có : 42002 = 161001 nên có

(99)9 = 981 = 980.9 = 8140 9 Do 8140 có  cùng là 1 nên (99)9 có

Ví dụ 2 :

HD: - Tìm 3 + 13 + 23 + + 93

- Các  03 +13 + 23 + + 93 ; 103 +113 + 123 + + 193;

903 +913 + 923 + + 993 có

a

b

c

Ví dụ 1 :

Cho 4 + ax3 + bx2 + cx + d có giá

giá

UA HSG †VOUV 93-94

HD : - Có P(0) là  nguyên nên d là  nguyên

- Có : P(1) = 1 + a + b + c + d  a+b+c = P(1) - d - 1 Do P(1) , d là

các  nguyên nên a + b + c nguyên

- Có : P(-1) = 1 - a + b - c + d nên P(1) + P(-1) = 2b + 2d + 2

 2b = P(1) + P(-1) - 2d - 2  2b là  nguyên

- Có : P(1) - P(-1) = 2a + 2c là  nguyên

P(2) = 16 + 8a + 4b + 2c + d  6a = P(2) - (2a + 2c) - 4b - d - 16

Do (2a + 2c) ; 4b ; d ; 16 là các  nguyên nên 6a là  nguyên

Ví dụ 2 :

K76 I : PHÉP CHIA h—8 VÀ PHÉP CHIA CÓ ™

I Định nghĩa :

II Các phương pháp chứng minh chia hết :

a A(n) : m và B(n) : m  A(n)  B(n) : m

A(n)  B(n) : m và B(n) : m thì A(n) : m

A(n) : m và B(n) m  A(n)  B(n): m

A(n) : m1 và B(n) : m2  A(n).B(n) : m1.m2

b an - bn : a-b

-

-

- Tích hai

- Tích

tính

a.b = (2k+1)(2m+1) = 4km+2k +2m + 1 = 2(2km+k+m) + 1 = 2q + 1 là



2km+k+m là "7  nguyên

Ví dụ 2 :Tìm %‡ Q chia  cho 4, 8 :

a Tìm %‡ Q chia  cho 4 : anan-1 a2a1a0 = anan-1 a2.100 + a1a0

Do 100 : 4 nên anan-1 a2.100 :4 -1 a2a1a0 : 4  a1a0 : 4

Do a1a0 = 10a1 + a0 = 8a1 + 2a1 + a0 nên : a1a0 : 4  2a1 + a0 : 4 Ta có =

chia  cho 4 thì chia  cho 4

Hoàn toàn

cho 8

Có : 251 - 1 =( 23)17 - 1 = 817 -1 = (8- 1)(816 + 815 + + 1) : 7

c 3663 - 1 chia  cho 7 7 không chia  cho 37

a 270 + 370 = ( 22)35 + (32)35 = 435 + 935 chia  cho 4 + 9 hay chia 

b 1719 + 1917

c 3663 - 1 chia  cho 35 nên chia  cho 7

3663 - 1 = 3663 + 1 - 2 Do 3663 + 1 chia  cho 37 nên 3663 - 1 không

chia  cho 37

Bài

@A =Q P(1) = 1993 ; P(12) = 1998

UA HSG †VOUV 93-94

-1x-1 + + a1x + a0 Xét P(12) - P(1) = an ( 12n - 1) + an-1(12 n-1 -1)+ + a1(12-1)

Ta ‡  Rj chia  cho 11 trong khi  trái không chia  cho 11 nên

không

Bài

- Có 330 = 11.10 = 11.2.5

- Lèn

- A chia  5 nên z = { 0, 5}

- A chia  cho 2 nên z = 0

- A chia  cho 11 nên 0 + 9 + y + 5 = 9 + 1 + 4 + x

Đồng dư thức và áp dụng đồng dư thức trong chứng minh chia hết :

UD ~& : hai &:/ có cùng %7 khi chia cho m ta X a @ %7 5 b

theo

Ví % : 7 chia 5 %7 2

12 chia 5 %7 2

Ta nói 7

Ta có mit M chÍt sau:

1 ab (mod m) a - b chia  cho m

2 ab (mod m) thì a = b + mt

3 aa (mod m) ; ab (mod m) và bc (mod m) thì ac (mod m)

4 ab (mod m) và cd (mod m) thì :

a + c b + d (mod m) Suy ra :

a + e  b + e (mod m) a.k  b.k ( mod m)

5 ab (mod m) và cd (mod m) thì :

a b c d (mod m)

an bn (mod m)

Bài

Ví % : Tìm %7 khi chia :

a 32000 cho 7

b 9294 cho 15

H.D :

2  2 ( mod 7) suy ra 36  1 (mod 7)

(36 )666  1 (mod 7)

32  2 (mod 7) nên 32000  2 (mod 7) hay 32000 chia 7 %7 2

b Có 92  2 ( mod 15)

24  1 ( mod 15) nên 924  1 (mod 15)

9292  1 (mod 15) Bài 2 : K  minh 9c :

a 19911997 - 19971996 chia  cho 10

b 29 + 299 chia  cho 100

c 224n1+ 7 chia

d nn-1 + nn-2 + + n2 + 1 chia  cho n - 1

HD:

a 1991 1 (mod 10) nên 19911997  1 (mod 10

1997  - 3 ( mod 10)

19972  - 1 ( mod 10) 19971996  1 (mod 10)

Suy ra

mod 25

A(n) = 25q + 2 xét

d Có n  1 ( mod n -1)

Tính

F nguyên a khi chia cho m %7 m -1 thì có > xem là a chia m %7 -1 Vì 

Trong

Ví dụ 1 : K  minh 9c : A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) : 5

n = 5k ( n chia

n = 5k  1 : Có n2 + 4 = 25k2  10 k + 5 = 5( 5k2  2k +1) : 5 nên A(n) : 5

n = 5k  2 : Có n2 + 1 = 25k2  10 k + 5 = 5( 5k2  2k +1) : 5 nên A(n) : 5

Trong

Ví

A(n) = a(a+1)(a+2) .(a+ n-1) : n

Xét các 97X TR  %7 khi chia a cho n :

a= nk + 1 : Có a + n-1 = nk + 1 + n-1 = n(k+1) : n nên A(n) : n

a = nk + q (0 q  n-1) có a + n -q =nk + q + n - q = n(k+1) : n

p Tuy nhiên FGA "7  bài toán FGA  p #G không H A IA xét  9

khi chia n cho p vì lúc này K IA xét khá AL M9?/ : , lúc này ta có 8

Ví

- e5 n = 2k có A(n) = 2k(2k+1)(2k+2)(2k+3)

= 4k(k+1)(2k+1)(2k+3) Do k(k+1) : 2 nên A(n) : 8

- e5 n = 2k+1 có A(n) = (2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4) =

4(k+1)(k+2)(2k+1)(2k+3) Do (k+1)(k+2) : 2 nên A(n):8

Bài tập 1: K  minh 9c ab(a2-b2) chia

HD: Xét các

- Không có  nào chia  cho 3 : UY a = 3k  1 ; b = 3q  1 Lúc @B :

a2 - b2 = 9k2  6k + 1 -(9q2  6q + 1) = 3(3k2 - 3q2  2k  2q) : 3

e ab(a2-b2) chia

Bài tập 2 : K  minh :

a a2 + b2 chia

b a2 + b2 chia

c a2 - b2 chia

không chia  cho 3

d a4 + b4 chia

hi :

a Xét 2 khi chia cho 3 :

a = 3k  a2 = 9k2

a = 3k 1  a2 = 9k2  6k + 1

Suy ra a2 khi chia cho 3 có

876 ' b2 khi chia cho 3 có

a2 + b2 chia

kj ra khi a2 chia 3 %7 0 và b2 chia 3

cho 3

b Xét 2 khi chia cho 7 :

a = 7k  a2 = 49k2

a = 7k 1  a2 = 49k2  14k + 1

a = 7k 2  a2 = 49k2  28k + 4

a = 7k 3  a2 = 49k2  42k + 9

F %7 khi chia a2 cho 7 là 0, 1, 4, 9

876 ' b2 khi chia cho 7 là 0, 1, 4, 9.

a2 + b2 chia

kj ra khi a2 chia 7 %7 0 và b2 chia 7

cho 7

c

d

Bài R 4:

+ 2xy + 2y2 chia  cho 5

x2 + 2xy + 2y2 chia

(x2 - 2xy + 2y2 )( x2 + 2xy + 2y2 ) = x4 + 4y4 + 4x2y2 - 4x2y2 = x4 + 4y4

= x4 - y4 + 5y4

Tích trên chia  cho 5  x4 - y4 chia  cho 5

Xét  %7 khi chia a4 cho 5 :

a = 5k  a2 = 25 k2

a = 5k  1  a2 = 25 k2  10 k + 1

a = 5k  2  a2 = 25 k2  20 k + 4 = 25 k2  20 k + 5 - 1

a2 chia 5 có  %7 là 0, 1, -1 nên a4 chia 5 có  %7 là 0, 1

Phát

bÍt =Ÿ và p là  nguyên 

Mit

ap-1 = 1 ( mod p)

ap-1 - 1 chia  cho p 5 a không chia 

cho p

Ví dụ : K  minh A(n) = n7 - n : 42

Có A(n) = n7 - n = n(n6 - 1) = n(n3-1)(n3 + 1)

= n(n-1)(n2+n+1)(n+1)(n2 -n+1) : 6 vì xY khác n7 - n : 7 ( theo fermat) nên n7 - n : 42

Bài R áp % :

Bài 1 :

K  minh 9c a là  nguyên không chia  cho 5 và không chia

 cho 7 thì A(n) = (a4 - 1)( a4 + 15a2 + 1) chia  cho 35

H.D :

- Do a không chia  cho 5 nên a4 - 1 chia  cho 5

- A(n) = (a2 - 1)(a2 + 1)( a4 + 15a2 + 1) = (a2 + 1)( a6 - 1 + 14a2(a2 - 1))

- A(n) chia  cho 5 và chia  cho 7 nên A(n) chia  cho 35

bài 2:

Cho A(n) = n3 + 3n2 + 2n

a

b Tìm n nguyên %76 bé 6 10 @> A(n) chia  cho 15

H.D :

a áp % phecma cho n3 - n

b A(n) = n(n+1)(n+2)

cho 5

@ Tích a1a2 an chia  cho ( R thì có ít nhÍt mit & chia 

cho p

1a2 an không chia  cho p thì không có G chia

- V A(n) chia  cho a và b ; a và b nguyên  cùng nhau thì A(n) chia 

- V A(n).B(n) chia  cho m , B(n) và m nguyên  cùng nhau thì A(n) : m

Ví dụ 1 K  minh tích ba  ' nhiên liên R thì chia  cho 6

Có n(n+1) : 2 do nó tích hai  ' nhiên liên R

n(n+1)(n+2) : 3 do nó là tích ba  ' nhiên liên R

Ví dụ 2 :Cho a1 , a2 an là n  nguyên j :

Xét Q q - p = (a1 - a1) + (a2 -a2) + +(an5-an )

Có : (a15 - a1) = a1(a14 - 1) = a1(a1-1)(a1+1)(a12 + 1)

(a15 - a1) chia  cho 6 do a1(a1-1)(a1+1) là tích ba  ' nhiên liên R

(a15 - a1) chia  cho 5 theo Fermat

Do ™K…V.1:4 = 1 nên (a1 - a1) chia  cho 30.Do @B q - p : 30

Do q - p : 30 nên

Bài tập 1 K  minh A(n) = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n : 24

HD : Phân tích A(n) ra

-

Bài tập 2 K  minh a5b - ab5 : 30

Có a5b - ab5 = a5b - ab + ab - ab5 = b(a5 - a) - a(b5 - b )

K  minh a