Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7

Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta [r]

Giáo viên: Nguyễn Thị Hân - Trường THCS Tân Dân- Phú Xuyên- HN 1

Phần I - Đặt vấn đề

Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những  năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà 1 ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay

Trong tập hợp các môn nằm trong @ trình của giáo dục phổ thông nói chung,  THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân

Đổi mới @ pháp dạy học * hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho  học, kích thích, thúc đẩy, 1  duy của  học vào vấn

đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của  học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối *  học nhạy cảm việc ! @ pháp học tập theo 1 đổi mới là cần thiết và thiết thực Vậy làm gì để khơi dậy

và kích thích nhu cầu  duy, khả năng  duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? ?1 vấn đề đó  giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các

@ pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối * học sinh, xây dựng cho học sinh một 1  duy chủ động, sáng tạo

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên  * lại, giải quyết * điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và @ pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có

1  duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán

Phần II - Nội dung đề tài I/ Những lý do chọn đề tài.

Lop7.net

Trong khi tìm @ pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán

mà nếu không vẽ thêm  phụ thì có thể bế tắc Nếu biết vẽ thêm  phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ  thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có @ pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt * mục đích là tạo điều kiện để giải * bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ ttieen Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi  giáo viên

đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ  không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu * vì sao lại phải vẽ  vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra * cách vẽ  phụ  vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm  vậy mới giải * bài toán? … gặp phải tình huống  vậy, quả thật  giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ

* cách làm khi gặp bài toán @ tự vì các em ! biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn

đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi

&b khả năng  duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em  cơ sở của việc vẽ thêm  phụ và một số @ pháp

 dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các

em có thể chủ động * cách giải, chủ động  duy tìm 1 giải quyết cho bài toán,  vậy hiệu quả sẽ cao hơn

ii/ Những cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ

I - Cơ sở lý luận.

Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong @ trình THCS:

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.

Giáo viên: Nguyễn Thị Hân - Trường THCS Tân Dân- Phú Xuyên- HN 3

Giải:

Cách dựng:

- Dựng tia Ax

- Dựng  tròn(A; b) Gọi C là giao điểm của  tròn ( A; b) với tia Ax

- dựng  tròn (A; c) và  tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a

- Chú ý: Nếu hai  tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng

* tam giác ABC

Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.

Cách dựng:

- Gọi xOy là góc cho 15 Dựng  tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B

ta * OAB

- Dựng O’A’B’ = OAB ( c- c- c)  bài toán 1, ta * Oˆ'  Oˆ

Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.

Cách dựng:

- Dựng  tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C

- g* các  tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D Tia phân giác phân giác của xAy

Thật vậy: ABD = ACD ( c- c- c)  Aˆ1  Aˆ2

c b a

B

b

a c

y

x

O

A

x

O

A

B

O’

A’

B’

x

y

z A

B

C

D r

r 1

2

Lop7.net

I - Cơ sở thực tế

Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra * các cặp cạnh @ ứng bằng nhau, các cặp góc @ ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau

Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta  làm theo các $1 sau:

c1 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?

c1 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

c1 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) @ ứng bằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần

có cũng * cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện * các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm * các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ * một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản

và thiết thực, khi 1 dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả

phần III: một số phương pháp vẽ yêú tố phụ.

Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:

Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC( H  BC) thì DH = 4cm

Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

1) Phân tích bài toán:

Giáo viên: Nguyễn Thị Hân - Trường THCS Tân Dân- Phú Xuyên- HN 5

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh

AB Vẽ DH vuông góc với BC( H  BC) và DH = 4cm

Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A

2) D1 suy nghĩ:

ABC cân tại A  AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC

3) Chứng minh:

GT

ABC; AB = 10cm;

BC = 12 cm;

; DH  BC

AB 2

1 DB

DH = 4 cm

KL  ABC cân tại A

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC 6cm

2

1



Lại có: BD = AB= 5 cm ( do D là trung điểm của AB)

2 1

Xét  HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2

 BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9  BH = 3 ( cm)

Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)

 DH // AK (  nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3)

Ta có: DH  BC, DH // AK  AK  BC

Xét  ABK và ACK có:

 BK = KC ( theo cách lấy điểm K)

 AKB = AKC = 900

 AK là cạnh chung

  ABK = ACK (c – g – c)

 AB = AC   ABC cân tại A

4) Nhận xét:

Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác ,

 thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về  trung bình này học sinh sẽ * nghiên cứu trong @ trình toán 8  ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể

A A

D

Lop7.net

chứng minh * việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này

có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ

Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.

Bài toán 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là  trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: BC 2 AM BC

2

1

2) D1 suy nghĩ:

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng

đoạn thẳng đó ; vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD

3) Chứng minh:

90

Aˆ 

AM là trung tuyến

2

1

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

Xét  MAC và  MDB ta có:

 MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

 M1 = M2 ( vì đối đỉnh)

 MB = MC ( Theo gt)

  MAC =  MDB ( c - g - c)

 AB = CD (2 cạnh @ ứng) (1)

và Aˆ1  Dˆ (2 góc @ ứng)

 AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Lại có: AC  AB ( gt)

 AC CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay 0

90

Cˆ

(2)

Xét  ABC và  CDA có:

 AB = CD ( Theo (1))

90

Cˆ

B

A

C M

D 1

1

2

Giáo viên: Nguyễn Thị Hân - Trường THCS Tân Dân- Phú Xuyên- HN 7

 AC là cạnh chung

  ABC =  CDA ( c – g – c)

 BC = AD (2 cạnh @ ứng) Mà AD 

2

1

2

1

4) Nhận xét:

Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh BC ta đã vẽ thêm

2

1

đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AD ; vậy chỉ còn phải

2

1

chứng minh AD = BC Trên một tia cho 1 đặt một đoạn thẳng bằng một

đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ  phụ để vận dụng  hợp bằng nhau của tam giác

Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.

Bài toán 3: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)

( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD

Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD

2) D1 suy nghĩ:

để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D

3) Chứng minh:

GT AB // CD; AC // BD

KL AB = CD; AC = BD

Xét  ABD và  DCA có:

 BAD = CDA ( so le trong AB // CD)

 AD là cạnh chung

B A

B A

Lop7.net

 ADB = DAC( so le trong AC // BD)

  ABD =  DCA ( g – c – g)

 AB = CD; AC = BD ( các cạnh @ ứng)

4) Nhận xét:

Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là

AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh  ABD =

 DCA Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng *  hợp bằng nhau góc – cạnh – góc Điều này thực hiện * nhờ vận dụng tính chất của hai  thẳng song song

Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng

Bài toán 4: Tam giác ABC có  cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau

Chứng minh rằng  ABC là tam giác vuông và  ABM là tam giác đều?

1) Phân tích bài toán:

Bài cho  ABC có  cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau Yêu cầu ta chứng minh  ABC là tam giác vuông và  ABM là tam giác đều

j`D1 suy nghĩ:

Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm  thẳng vuông góc với AC và chứng minh  thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB  AC và suy ra A = 900

3) Chứng minh:

GT

 ABC; AH BC;

trung tuyến AM;

3 2

1 Aˆ Aˆ

KL  ABC vuông ;

 ABM đều

Vẽ MI  AC ( I  AC)

Xét  MAI và  MAH có:

90 I

 AM là cạnh chung)   MAI =  MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)

I A

1 2 3

2 1

Giáo viên: Nguyễn Thị Hân - Trường THCS Tân Dân- Phú Xuyên- HN 9

 Aˆ 2  Aˆ 3 (gt)  MI = MH ( 2 cạnh @ ứng) (1) Xét  ABH và  AMH có:

2

1 Hˆ 90

 AH là cạnh chung   ABHI =  AMH ( g – c - g)

 Aˆ1  Aˆ 2 ( gt)  BH = MH ( 2 cạnh @ ứng) (2)

2

1 MI CM

2

1 BM 2

1 MH

Xét  vuông MIC có: CMnên từ đó suy ra: HAC = 600

2

1

30

Cˆ

90 60

2

3 HAC 2

3

Vậy  ABC vuông tại A

60

Bˆ 30

Lại có AM = BC( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong

2

1

tam giác vuông)

 ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều

4) Nhận xét:

giải, tuy nhiên, chỉ bằng một  vẽ thêm ( MI  AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học

Cách 6: Phương pháp “ tam giác đều”

Đây là một @ pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm * vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán

* thuận lợi Ta hãy xét một bài toán điển hình:

Bài toán 6: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC Chứng minh rằng DCA = Aˆ

2 1

1) Phân tích bài toán:

Bài cho ABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC ( D AB)

Yêu cầu chứng minh: DCA = Aˆ

2 1

2) D1 suy nghĩ:

đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200,

suy ra góc ở đáy là 800

Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của

tam giác đều  Vẽ tam giác đều BMC

A

D

M Lop7.net

3) Chứng minh:

GT ABC; AB = AC; A = 200

AD = BC (D AB)

KL DCA = Aˆ .

2 1

Ta có: ABC; AB = AC; A = 200 ( gt)

0 0

80 2

20 180

Cˆ

Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),

ta *^ AD = BC = CM

 MAB =  MAC ( c - c - c)  MAB = MAC = 200 : 2 = 100

ABM = ACM = 800 – 600 = 200

Xét CAD và ACM có:

AD = CM ( chứng minh trên)

CAD = ACM ( = 200)

AC là cạnh chung

 CAD = ACM ( c – g – c )

 DCA = MAC = 100, do đó: DCA = BAC

2 1

4) Nhận xét:

1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800

Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC Với giả thiết

AD = BC thì vẽ tam giác đều  vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa

AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng

2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:

- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)

- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC)

- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC)

Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính * góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi  và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học