BIẾN đổi FOURIER LIÊN tục (xử lý số tín HIỆU SLIDE)

Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn nhưng luôn là tín hiệu công suất:  Công thức Parseval cho tín hiệu công... Phổ mật độ công

Chương V:

BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Nội dung

 Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục

 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

 Các tính chất của biến đổi Fourier

 Lấy mẫu tín hiệu

Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn

 Một tín hiệu tuần hoàn x(t) sẽ biểu diễn

được một cách chính xác bởi một chuỗi

Fourier nếu x(t) thỏa mãn các điều kiện

Dirichlet sau đây:

1 Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của

Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn

 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần

hoàn x(t) với chu kỳ T:

ke c t

x

π

2

) (

T c

π

2

) ( 1

Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn

 Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn nhưng luôn là tín hiệu công suất:

 Công thức Parseval cho tín hiệu công

Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn

 Giá trị |c k|2 có thể coi là đại diện cho công

suất của thành phần e j2πkt/T (tín hiệu dạng

sin phức có tần số kF0 với F0 = 1/T) trong tín hiệu x(t).

 Đồ thị của |c k|2 theo các tần số kF0 (k = 0,

± 1, ± 2…) thể hiện phân bố công suất

của tín hiệu x(t) theo các tần số khác

nhau → phổ mật độ công suất

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn

 Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(t)

 Biến đổi Fourier ngược:

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên

tục không tuần hoàn

 Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của

tín hiệu tuần hoàn

∫

∑

∑

∞ +

∞

−

∞ +

−∞

=

→

∞ +

F X

F e

kF X

e c t

x

kF X

F T

k X

T c

Ft j

k

t kF j

F k

T

kt j

k T

k

π

π π

2

0

2 0

0 2

0 0

) (

) (

lim lim

) (

) (T

) (

1

0 0

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn

 Điều kiện cho sự tồn tại của biến đổi

Fourier (các điều kiện Dirichlet):

1. Số điểm không liên tục của x(t) phải hữu

hạn.

2. Số điểm cực trị của x(t) phải hữu hạn.

3. Tích phân của |x(t)| trong khoảng (−∞ , + ∞ )

phải hữu hạn.

Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu liên tục không tuần hoàn

 Xét tín hiệu năng lượng x(t):

 Công thức Parseval cho tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:

Phổ mật độ năng lượng của tín

hiệu liên tục không tuần hoàn

 Giá trị |X(F)|2 có thể coi là đại diện cho

năng lượng của thành phần e j2πFt (tín hiệu

dạng sin phức có tần số F) trong tín hiệu

x(t).

 Đồ thị của |X(F)|2 theo F thể hiện phân bố

năng lượng của tín hiệu x(t) theo tần số

→ phổ mật độ năng lượng

Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc

tuần hoàn

 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần

hoàn x(n) với chu kỳ N:

ke c n

1 N n

N

kn j

N c

π

Phổ mật độ công suất của tín hiệu rời rạc tuần hoàn

 Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc

x(n) tuần hoàn với chu kỳ N:

 Công thức Parseval cho tín hiệu công suất rời rạc tuần hoàn:

2

| ) (

|

1 N n

N P

k

P

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

không tuần hoàn

 Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(n)

 Biến đổi Fourier ngược:

) ] ,

[ (

) ( )

( )]

e n x X

n x

X n

2

1 )]

( [

) ( F 1

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của

tín hiệu rời rạc tuần hoàn

∫

∑

∑

∞ +

∞

−

∞ +

π

π π

ω

π π

d e

X

F e

kF X

e c n

x

N kF

X

F N

k X

N c

n j

k

n kF j

F

N

N k

N

kn j

k N

k

)

( 2

1

) 2

( lim

lim )

(

) (

) 2

(

2 1

0

2 0

0

2 /

2 /

2

0 0

0 0

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Điều kiện hội tụ:

−∞

=

∞ +

−∞

=

∞ +

−∞

=

∞ +

−∞

=

−

2 2

2

| ) (

|

| ) (

|

| ) (

|

| ) (

|

|

||

) (

|

| )

(

|

n n

x

n n

n

n j n

n j

n x n

x E

n x n

x

e n

x e

n

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|e jω

 Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z trên

đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z →

biến đổi Fourier tồn tại nếu miền hội tụ của biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị

) (

) ( 1

|

|

|

| ) ( )

( )

(

ω

ω

X z

X z

e z

n x z

n x z

X

n

n j n

−∞

=

−

Phổ mật độ năng lượng của tín

hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Xét tín hiệu năng lượng x(n):

 Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:

Phổ mật độ năng lượng của tín

hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Giá trị |X(ω)|2 có thể coi là đại diện cho

năng lượng của thành phần e jωn (tín hiệu dạng sin phức có tần số góc ω) trong tín

hiệu x(n).

 Đồ thị của |X(ω)|2 theo ω thể hiện phân

bố năng lượng của tín hiệu x(n) theo tần

số → phổ mật độ năng lượng

Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tuyến tính:

 Dịch thời gian:

 Lật:

) (

) (

)]

( )

( [ ax1 n + bx2 n = aX1 ω + bX 2 ω

F

) (

x − = − j n

F

) (

)]

( [ x − n = X − ω

F

Các tính chất của biến đổi Fourier

 Biến đổi Fourier của tích chập:

 Biến đổi Fourier của tương quan:

S x1x2(ω) được gọi là phổ mật độ năng lượng

chéo của 2 tín hiệu x1(n) và x2(n).

) (

) (

)]

( )

( [ x1 n ∗ x2 n = X1 ω X 2 ω

F

) )

( (

| ) (

| ) (

)]

( [

) (

) (

) (

x X

S n

r

S X

X n

r

xx xx

x x x

x

ω ω

ω ω

ω

F

F

Các tính chất của biến đổi Fourier

 Dịch tần số:

 Điều chế:

 Đạo hàm trong miền Fourier:

) (

)]

( [ e jω 0n x n = X ω − ω0

F

)] (

) (

[ 2

1 ]

cos )

( [ x n ω0n = X ω + ω0 + X ω − ω0

n

nx ( )] ( ) [ = −

F

Lấy mẫu tín hiệu

 Tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn → bề rộng phổ hữu hạn → tồn tại một tần số cao

nhất trong tín hiệu, F a: ∀F > F a thì X(F) =

0

 Rời rạc hóa x(t) với tần số lấy mẫu F s →

x(n) x(t) sẽ được khôi phục chính xác từ x(n) theo công thức sau nếu F s = 2F a:

F

n t

F n

x t

x

π π

π

π

2

) 2

sin(

) ( )

(

Lấy mẫu tín hiệu

 Định lý lấy mẫu (Shannon): một tín hiệu

liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số

cao nhất (bề rộng phổ) F a có thể được

khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của tín hiệu đó nếu tần số lấy mẫu thỏa

mãn điều kiện: F s ≥ 2F a

 Tần số F s = 2F a được gọi là tần số

Nyquist

Lấy mẫu tín hiệu

 Quan hệ giữa tần số của tín hiệu liên tục

và tín hiệu lấy mẫu: xét tín hiệu liên tục

x(t) có bề rộng phổ là F a

Nếu F s = 2F a : phổ của x(n) trong [−π , π ] có

dạng đúng như phổ của x(t) trong [−F a ,F a] và lặp lại với chu kỳ 2 π

Nếu F s > 2F a : phổ của x(t) trong [−F a ,F a] được nén vào 1 khoảng bên trong [ −π , π ] và lặp lại với chu kỳ 2 π

Lấy mẫu tín hiệu

Nếu F s < 2F a: xảy ra hiện tượng chồng phổ

(phổ của x(t) trong [−F a ,F a] bị giãn ra trong 1 khoảng rộng hơn [ −π , π ] nên bị chồng giữa các chu kỳ → phổ bị biến dạng).