Giải tích fourier (TOÁN kỹ THUẬT SLIDE)

Giải tích FourierFourier Series Fourier Series Integral Fourier Fourier Integral Discrete Fourier Transform Discrete Fourier Transform Fourier Transform Fourier Transform Fast Fourier Tr

Trang 1

TOÁN KỸ THUẬT

Trang 2

Nội dung

 Chương 1: Chuổi Fourier

 Chương 2: Tích phân Fourier và biến đổi Fourier

 Chương 3: Phép biến đổi Laplace

 Chương 4: Phép biến đổi Laplace ngược

 Chương 5: Ứng dụng phép biến đổi Laplace vào

Trang 3

Nội dung (tt)

 Chương 10: Lý thuyết thặng dư

 Chương 11: Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

 Chương 12: Phép biến đổi bảo giác

Trang 4

Tài liệu tham khảo

 Nguyễn Kim Đính: Giải Tích Fourier

 Nguyễn Kim Đính: Phép Biến Đổi Laplace

 Nguyễn Kim Đính: Hàm Phức và Ứng Dụng

 C-R Wylie & L-C Barrett: Advanced Engineering

Mathenatics

Trang 5

Giải tích Fourier

Fourier Series

Fourier Series Integral Fourier

Fourier Integral

Discrete Fourier Transform

Fourier Transform

Fast Fourier

Transform

Fast Fourier

Transform

Trang 6

Chương 1: Chuổi Fourier

 Các dạng khác của chuổi Fourier

 Ứng dụng của chuổi Fourier

Trang 7

Fourier, Joseph

Trang 8

Fourier, Joseph

In 1807, Fourier submitted a paper to the Academy of

Sciences of Paris In it he derived the heat equation and

proposed his separation of variables method of solution The

paper, evaluated by Laplace, Lagrange, and Lagendre, was

rejected for lack rigor However, the results were promising

enough for the academy to include the problem of describing

heat conduction in a prize competition in 1812 Fourier’s 1811

revision of his earlier paper won the prize, but suffered the

same criticism as before In 1822, Fourier finally published

his classic Theorie analytique de la chaleur, laying the

fundations not only for the separation of variables method and

Fourier series, but for the Fourier integral and transform as

well.

Trang 9

Chuổi Fourier

Hàm tuần hoàn

Trang 10

 ĐN 1.1: Hàm tuần hoàn

Một hàm f(t) được gọi là tuần hoàn nếu

và chỉ nếu có một số dương 2p sao cho:

với mọi t trong MXĐ của f(t) Số 2p được

gọi là một chu kỳ của f(t)

( 2 ) ( )

Trang 12

 f(t+2p)=f(t), f(t+2np)=f(t)

 Nếu f(t) và g(t) có chu kỳ 2p thì hàm

H(t)=af(t)+bg(t) cũng có chu kỳ 2p

 Nếu 1 hàm chu kỳ f(t) có chu kỳ nhỏ

nhất 2p (p >0) thì 2p được gọi là chu

kỳ căn bản của f(t)

Trang 13

 Một số VD khác:

 Các hàm Cosine : cosx, cos2x, cos3x, …

 Các hàm Sine : sinx, sin2x, sin3x, …

 e ix , e i2x , e i3x , …

 e -ix , e -i2x , e -i3x , …

Trang 14

Chuổi Fourier

Chuổi Fourier của một hàm tuần hoàn

Trang 15

Chuổi Fourier

 Bổ đề: Hệ lượng giác là trực giao

p p

Trang 17

Chuổi Fourier: Công thức

Trang 18

Chuổi Fourier: Công thức Euler

p p

Trang 20

Chuổi Fourier

Giải:

0

0 0

Trang 22

Các hàm chẵn và lẻ

 Hàm f(t) được gọi là chẵn nếu

 Hàm f(t) được gọi là lẻ nếu

( ) ( )

f    t f t

Trang 25

Các hàm chẵn và lẻ

 Chuổi Fourier Cosine

 Chuổi Fourier Sine

Trang 26

Tổng các hàm

 Các hệ số Fourier của hàm tổng f 1 +f 2

bằng tổng tương ứng các hệ số Fourier của f 1 và f 2 .

 Các hệ số của hàm cf bằng c lần các

hệ số tương ứng của hệ số Fourier của hàm f

Trang 27

Ví dụ

 Hàm răng cưa

 Tìm chuổi Fourier của hàm sau:

( ) t ( 2 ) ( )

Trang 28

Sự hội tụ của chuổi Fourier

Hai câu hỏi đặt ra:

 Các loại hàm nào có thể khai triển

thành chuổi Fourier ?

 Nếu hàm không liên tục tại 1 điểm thì

chuổi Fourier có giá trị là gì ?

Dirichlet đã trả lời các câu hỏi này ở

nửa đầu thế kỷ 19.

Trang 29

Điều kiện Dirichlet

 ĐN 1.2: Một hàm f thỏa điều kiện

Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu f bị chặn và cùng lắm là có một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I

 Đồ thị hàm này trên khoảng I = [a,b] có

dạng như slide kế tiếp, nghĩa là liên tục từng đoạn

Trang 31

Định lý Dirichlet

 ĐL 1.1: Nếu f là hàm tuần hoàn thỏa

điều kiện Dirichlet trong một chu kỳ thì chuổi Fourier của f(t) hội tụ về:

1. f(t) nếu t là một điểm liên tục của f

2. nếu t k là một điểm gián

Trang 32

Chuổi Fourier

Các công thức khác để

tính các hệ số Fourier

Trang 33

Bước nhảy của một hàm

 ĐN 1.3: Bước nhảy của một hàm f tại tk

Trang 34

Hai công thức lặp tính các hệ số Fourier

 ĐL 1.2: Nếu f tuần hoàn ck 2p thỏa đk

Dirichlet và có các bước nhảy J1,…,Jmtại m điểm gián đoạn t1 < t2 <…< tm

trong [a, a+2p) thì:

Trong đó: hệ số của trong khai triển Fourier

Trang 35

 ĐL 1.3: Nếu f tuần hoàn ck 2p thỏa đk

Dirichlet và có các bước nhảy J1,…,Jmtại m điểm gián đoạn t1 < t2 <…< tm

trong [a, a+2p) thì:

Trong đó: hệ số của trong khai triển Fourier

Trang 36

 VD 1.5: Tìm khai triển Fourier của hàm f(t):

f t

t t

Trang 37

 VD 1.5: (tt) Đồ thị hàm f(t) và f’(t) như sau:

f ’ (t) f(t)

Trang 38

 VD 1.5: (tt) Bảng các điểm gián đoạn và giá

trị bước nhảy:

Trang 39

n n

a

n

n b

chan

�

Trang 40

Trang 41

Trang 42

Tốc độ tiến về zero của các hệ số Fourier

 Áp dụng quy trình lặp như đã nhận xét:

1

3 2

1

2

' '

Trang 43

 Nếu f gián đoạn thì ít nhất 2 số hạng đầu của an và bn khác

0 Do đó, ít nhất 1 trong 2 hệ số an và bn không thể tiến đến zero nhanh hơn c/n Chuổi Fourier hội tụ rất chậm.

 Nếu f liên tục nhưng f ’ gián đoạn thì 2 số hạng đầu của an

và bn = 0 nhưng ít nhất 1 số hạng thứ 2 khác 0 Do đó, ít nhất 1 trong 2 hệ số an và bn không thể tiến đến zero

nhanh hơn c/n 2

Trang 44

 ĐL 1.4:

+ Khi n∞: an và bn trong khai triển Fourier của 1 hàm tuần hoàn thỏa đk Dirichlet luôn luôn tiến đến zero ít nhất cũng nhanh như c/n.

+ Nếu f có 1 hay nhiều điểm gián đoạn trong

[a,a+2p) thì an hoặc bn và thường cả 2 không thể tiến đến zero nhanh hơn c/n.

Trang 45

 ĐL 1.4 (tt):

+ Nếu f, f ’ ,…, f (k) thỏa đk Dirichlet và liên tục khắp nơi thì an và bn tiến đến zero ít nhất cũng nhanh như c/n k+2

+ Nếu thêm đk f (k+1) gián đoạn thì an hoặc bn và thường

cả 2 không thể tiến đến zero nhanh hơn c/n k+2

 Mặc dầu thiếu chính xác, nếu hàm f càng “trơn” thì chuổi Fuorier hội tụ càng nhanh.

Trang 46

 VD 1.8 và 1.9: (xem sách)

 VD có kiểm tra bằng Matlab

Tìm chuổi Fourier của hàm tuần hoàn

( )

0 ( 2 ) ( )

Trang 47

VD1 (tt): Kiểm tra bằng Matlab

Trang 48

Trang 49

Trang 50

Trang 51

Trang 52

 Tìm chuổi Fourier của hàm tuần hoàn

( ) ( 2 ) ( )

Trang 53

Trang 54

2 1

1 1

2

cos 2

cos 2 1

4

n n

Trang 55

Trang 56

Trang 57

Trang 58

Đạo hàm và tích phân chuỗi Fourier

 ĐL 1.5 Tích phân của bất cứ hàm nào thỏa đk

Dirichlet cũng có thể tìm bằng cách lấy tích phân từng số hạng chuỗi Fourier của nó.

 ĐL 1.6 Nếu f(t) là hàm tuần hoàn thỏa đk

Dirichlet và liên tục khắp nơi và nếu f ’ (t) cũng

thỏa đk Dirichlet thì tại bất cứ điểm nào mà f ’ (t) tồn tại, nó có thể được tìm bằng cách lấy đạo

hàm từng số hạng chuỗi Fourier của f(t).

 VD 1.10 Xem sách

Trang 59

Chuổi Fourier

Khai triển bán kỳ

Trang 60

 Xét hàm f(t) chỉ xác định trên [0,p] và ta muốn khai triển Fourier của nó

Trang 61

 Nếu chọn (t) = f(-t) thì F(t) chẵn, ta có chuỗi Fourier cosin

 Nếu chọn (t) = -f(-t) thì F(t) lẻ, ta có chuỗi Fourier sin.

 ĐL 1.9 Nếu f(t) là hàm xác định trên khoảng [0,p] và

thỏa đk Dirichlet thì nó sẽ được khai triển thành

chuổi Fourier cosin hoặc sin.

 Các khai triển này gọi chung là khai triển bán kỳ.

Trang 62

3 3

1

3 3 1

Trang 64

Chuổi Fourier

Các dạng khác của

chuỗi Fourier

Trang 65

Dạng sóng hài của chuỗi Fourier

Trang 66

Dạng mũ phức của chuỗi Fourier

1 0

Trang 67

 VD 1.12: Tìm dạng mũ của chuỗi Fourier

Trang 68

Trang 69

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	765 KB